Miejsce na identyfikacj´ szko∏y

Za rozwiàzanie

wszystkich zadaƒ

mo˝na otrzymaç

∏àcznie 50 punktów.

LISTOPAD

ROK 2008

KOD

ZDAJÑCEGO

PESEL ZDAJÑCEGO

Wpisuje zdajàcy przed rozpocz´ciem pracy

ARKUSZ PRÓBNEJ

MATURY Z OPERONEM

MATEMATYKA

POZIOM ROZSZERZONY

Czas pracy 180 minut

Instrukcja dla zdajàcego

1. Sprawdê, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zada-

nia 1–11). Ewentualny brak zg∏oÊ przewodniczàcemu
zespo∏u nadzorujàcego egzamin.

2. Rozwiàzania zadaƒ i odpowiedzi zamieÊç w miejscu na to

przeznaczonym.

3. W rozwiàzaniach zadaƒ przedstaw tok rozumowania prowa-

dzàcy do ostatecznego wyniku.

4. Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym

tuszem/atramentem.

5. Nie u˝ywaj korektora, a b∏´dne zapisy przekreÊl.
6. Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.
7. Obok ka˝dego zadania podana jest maksymalna liczba

punktów, którà mo˝esz uzyskaç za jego poprawne rozwià-
zanie.

8. Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych, cyr-

kla i linijki oraz kalkulatora.

˚yczymy powodzenia!

Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON.

Kopiowanie w ca∏oÊci lub we fragmentach bez zgody wydawcy zabronione. Wydawca zezwala na kopiowanie zadaƒ

przez dyrektorów szkó∏ bioràcych udzia∏ w programie Próbna Matura z OPERONEM.

dysleksja

2

3

Zadanie 1. (4 pkt)

Korzystajàc z w∏asnoÊci wartoÊci bezwzgl´dnej, uzasadnij, ˝e wyra˝enie

x

x

x

x

2

4

2

4

4

12

2

2

$

$

-

-

-

+

-

-

przedstawia liczb´ naturalnà. Podaj konieczne za∏o˝enia.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

4

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 2. (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartoÊci parametru m, dla których rozwiàzania x

1

i x

2

równania

(

)

x

x

m x

13

24

10

15

2

+

-

=

-

-

spe∏niajà warunek x

x

x x

3

0

1

2

2

2

1

2

+

+

=

.

5

Zadanie 3. (4 pkt)

Wyka˝, ˝e liczby

(

)

sin

cos

a

60

60

2

c

c

=

+

i

cos

b

tg45

30

c

c

=

-

sà pierwiastkami wielomianu

( )

W x

x

x

x

4

8

3

2

=

-

+

.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

6

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 4. (5 pkt)

Wyznacz x, tak aby liczby

,

,

x

x

x

x

3

3 11

2

2

+

+

-

by∏y w podanej kolejnoÊci wyrazami rosnàcego cià-

gu geometrycznego o wyrazach ca∏kowitych.

7

Zadanie 5. (5 pkt)

Prosta l przechodzi przez poczàtek uk∏adu wspó∏rz´dnych. Napisz równanie tej prostej, wiedzàc, ˝e
jej odleg∏oÊç od punktu

,

A

3

4

= -

-

_

i

jest równa 3.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

8

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 6. (7 pkt)

Trapez ABCD podzielono na trzy figury o równych polach.
Sposób podzia∏u ilustruje rysunek. Wiedzàc, ˝e bok kwa-
dratu CDEF jest równy 6, oblicz:
a) obwód trapezu ABCD,
b) cosinus kàta CBF.

A

B

E

F

D

C

9

Zadanie 7. (4 pkt)

Wyznacz rozwiàzanie równania cos

sin

x

x

2

3

2

=

nale˝àce do przedzia∏u ,

0

2

r

c

m

.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

10

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 8. (4 pkt)

Ciàg a

n

_ i

jest arytmetyczny. Wiedzàc, ˝e a

a

a

a

2

1

5

3

=

, wyznacz ró˝nic´ tego ciàgu.

11

Zadanie 9. (5 pkt)

Dany jest ostros∏up trójkàtny, którego podstawà jest trójkàt równoramienny o bokach d∏ugoÊci 5 cm,

5

cm i 6 cm. WysokoÊç ostros∏upa jest równa 2 cm. Spodek wysokoÊci jest Êrodkiem okr´gu wpisa-

nego w podstaw´. Oblicz pole powierzchni ca∏kowitej tego ostros∏upa.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

12

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 10. (4 pkt)

Rozwià˝ równanie P

V

P

10

(

)

(

)

x

x

x

2

2

1

$

$

=

-

-

, wiedzàc, ˝e:

P

n

– oznacza liczb´ wszystkich ró˝nych permutacji bez powtórzeƒ zbioru n-elementowego.

V

n

k

– oznacza liczb´ wszystkich ró˝nych k-elementowych wariacji bez powtórzeƒ zbioru n-elemen-

towego.

13

Zadanie 11. (3 pkt)

Funkcja f okreÊlona jest wzorem ( )

f x

2

3

x

=

c m

. Funkcja g powstaje w wyniku przesuni´cia wykresu

funkcji f o wektor

,

1 2

-

7

A.

a) Zapisz wzór funkcji g, uzyskanej w wyniku tego przesuni´cia.
b) Sporzàdê wykres funkcji g.
c) Wska˝ najwi´kszà liczb´ (

)

m m

R

!

takà, dla której równanie ( )

g x

m

=

nie ma rozwiàzania.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

14

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)