Miejsce na identyfikacj´ szko∏y
Za rozwiàzanie
wszystkich zadaƒ
mo˝na otrzymaç
∏àcznie 50 punktów.
LISTOPAD
ROK 2008
KOD
ZDAJÑCEGO
PESEL ZDAJÑCEGO
Wpisuje zdajàcy przed rozpocz´ciem pracy
ARKUSZ PRÓBNEJ
MATURY Z OPERONEM
MATEMATYKA
POZIOM ROZSZERZONY
Czas pracy 180 minut
Instrukcja dla zdajàcego
1. Sprawdê, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zada-
nia 1–11). Ewentualny brak zg∏oÊ przewodniczàcemu
zespo∏u nadzorujàcego egzamin.
2. Rozwiàzania zadaƒ i odpowiedzi zamieÊç w miejscu na to
przeznaczonym.
3. W rozwiàzaniach zadaƒ przedstaw tok rozumowania prowa-
dzàcy do ostatecznego wyniku.
4. Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5. Nie u˝ywaj korektora, a b∏´dne zapisy przekreÊl.
6. Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.
7. Obok ka˝dego zadania podana jest maksymalna liczba
punktów, którà mo˝esz uzyskaç za jego poprawne rozwià-
zanie.
8. Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych, cyr-
kla i linijki oraz kalkulatora.
˚yczymy powodzenia!
Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON.
Kopiowanie w ca∏oÊci lub we fragmentach bez zgody wydawcy zabronione. Wydawca zezwala na kopiowanie zadaƒ
przez dyrektorów szkó∏ bioràcych udzia∏ w programie Próbna Matura z OPERONEM.
dysleksja
2
3
Zadanie 1. (4 pkt)
Korzystajàc z w∏asnoÊci wartoÊci bezwzgl´dnej, uzasadnij, ˝e wyra˝enie
x
x
x
x
2
4
2
4
4
12
2
2
$
$
-
-
-
+
-
-
przedstawia liczb´ naturalnà. Podaj konieczne za∏o˝enia.
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
4
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Zadanie 2. (5 pkt)
Wyznacz wszystkie wartoÊci parametru m, dla których rozwiàzania x
1
i x
2
równania
(
)
x
x
m x
13
24
10
15
2
+
-
=
-
-
spe∏niajà warunek x
x
x x
3
0
1
2
2
2
1
2
+
+
=
.
5
Zadanie 3. (4 pkt)
Wyka˝, ˝e liczby
(
)
sin
cos
a
60
60
2
c
c
=
+
i
cos
b
tg45
30
c
c
=
-
sà pierwiastkami wielomianu
( )
W x
x
x
x
4
8
3
2
=
-
+
.
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
6
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Zadanie 4. (5 pkt)
Wyznacz x, tak aby liczby
,
,
x
x
x
x
3
3 11
2
2
+
+
-
by∏y w podanej kolejnoÊci wyrazami rosnàcego cià-
gu geometrycznego o wyrazach ca∏kowitych.
7
Zadanie 5. (5 pkt)
Prosta l przechodzi przez poczàtek uk∏adu wspó∏rz´dnych. Napisz równanie tej prostej, wiedzàc, ˝e
jej odleg∏oÊç od punktu
,
A
3
4
= -
-
_
i
jest równa 3.
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
8
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Zadanie 6. (7 pkt)
Trapez ABCD podzielono na trzy figury o równych polach.
Sposób podzia∏u ilustruje rysunek. Wiedzàc, ˝e bok kwa-
dratu CDEF jest równy 6, oblicz:
a) obwód trapezu ABCD,
b) cosinus kàta CBF.
A
B
E
F
D
C
9
Zadanie 7. (4 pkt)
Wyznacz rozwiàzanie równania cos
sin
x
x
2
3
2
=
nale˝àce do przedzia∏u ,
0
2
r
c
m
.
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
10
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Zadanie 8. (4 pkt)
Ciàg a
n
_ i
jest arytmetyczny. Wiedzàc, ˝e a
a
a
a
2
1
5
3
=
, wyznacz ró˝nic´ tego ciàgu.
11
Zadanie 9. (5 pkt)
Dany jest ostros∏up trójkàtny, którego podstawà jest trójkàt równoramienny o bokach d∏ugoÊci 5 cm,
5
cm i 6 cm. WysokoÊç ostros∏upa jest równa 2 cm. Spodek wysokoÊci jest Êrodkiem okr´gu wpisa-
nego w podstaw´. Oblicz pole powierzchni ca∏kowitej tego ostros∏upa.
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
12
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Zadanie 10. (4 pkt)
Rozwià˝ równanie P
V
P
10
(
)
(
)
x
x
x
2
2
1
$
$
=
-
-
, wiedzàc, ˝e:
P
n
– oznacza liczb´ wszystkich ró˝nych permutacji bez powtórzeƒ zbioru n-elementowego.
V
n
k
– oznacza liczb´ wszystkich ró˝nych k-elementowych wariacji bez powtórzeƒ zbioru n-elemen-
towego.
13
Zadanie 11. (3 pkt)
Funkcja f okreÊlona jest wzorem ( )
f x
2
3
x
=
c m
. Funkcja g powstaje w wyniku przesuni´cia wykresu
funkcji f o wektor
,
1 2
-
7
A.
a) Zapisz wzór funkcji g, uzyskanej w wyniku tego przesuni´cia.
b) Sporzàdê wykres funkcji g.
c) Wska˝ najwi´kszà liczb´ (
)
m m
R
!
takà, dla której równanie ( )
g x
m
=
nie ma rozwiàzania.
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
14
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)