Materia wspó finansowany ze !rodków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Spo ecznego

Centralna
Komisja
Egzaminacyjna

Próbny egzamin maturalny z matematyki

listopad 2009

Klucz odpowiedzi do zada zamkni!tych

i przyk"adowe rozwi#zania zada otwartych

2

Klucz odpowiedzi do zada zamkni!tych

Nr zadania

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Odpowied$ A C

B

B

C

A

B

A

D

A

C

B

B

C

C

D

A

D

C

D

A

A

D

D

A

Przyk"adowe rozwi#zania zada otwartych

Zadanie 26. (2 punkty)
Rozwi"# nierówno!$

2

3

2

0

x

x

! " .

Rozwi#zanie:
Obliczam miejsca zerowe funkcji kwadratowej

# $

2

3

2

f x

x

x

%

! :

# $

2

3

4 1 2

9 8 1

& %

' ' % %

1

& %

1

3 1

1

2

x

%

%

2

3 1

2

2

x

!

%

%

Rysuj% fragment wykresu funkcji kwadratowej f i na jego podstawie odczytuj%
rozwi"zanie nierówno!ci:

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

Odpowied&:

1, 2 .

x (

Uwaga: Mo#na przedstawi$ funkcj% f w postaci

# $ #

$#

$

1

2

f x

x

x

%

i odczyta$

rozwi"zanie nierówno!ci.

3

Zadanie 27. (2 punkty)
Rozwi"# równanie

3

2

7

2

14

0

x

x

x

!

% .

Rozwi#zanie:
Stosuj% metod% grupowania, by przedstawi$ lew" stron% równania w postaci iloczynowej:

#

$ #

$

#

$

#

$

3

2

2

2

7

2

14

7

2

7

2

7

x

x

x

x

x

x

x

x

!

%

!

%

!

.

Z równania

#

$

#

$

2

2

7

0

x

x

!

% otrzymujemy, #e

2

2

0

x ! % lub

7

0

x %

.

Równanie

2

2

0

x ! %

nie ma rozwi"za'. Rozwi"zaniem równania

7

0

x %

jest liczba 7.

Odpowied&: Jedynym rozwi"zaniem jest

7

%

x

.

Zadanie 28. (2 punkty)
W uk adzie wspó rz%dnych na p aszczy&nie punkty

#

$

2, 5

A %

i

#

$

C

6, 7

%

s" przeciwleg ymi

wierzcho kami kwadratu

ABCD. Wyznacz równanie prostej BD.

Rozwi#zanie:

Obliczam wspó czynnik kierunkowy prostej

AC:

7 5

1

6 2

2

AC

a

%

%

, a nast%pnie wyznaczam

wspó czynnik kierunkowy prostej

BD prostopad ej do AC:

2

BD

a

% .

Wyznaczam wspó rz%dne !rodka

S odcinka AC:

# $

2 6 5 7

,

4, 6

2

2

S

!

!

)

*

%

%

+

,

-

.

i wyznaczam

równanie prostej o wspó czynniku kierunkowym 2

, przechodz"cej przez punkt S.

Odpowied&:

2

14

y

x

%

!

.

Zadanie 29. (2 punkty)

K"t jest ostry i

4

tg

3

/

% . Oblicz

/

/

cos

sin

!

.

Rozwi#zanie:
I sposób rozwi"zania:

Z definicji funkcji tangens mamy

sin

4

cos

3

/

/

% , zatem

4

sin

cos

3

/

/

%

. Podstawiam t% równo!$

do to#samo!ci

2

2

sin

cos

1

/

/

!

% i otrzymuj%

2

2

4

cos

cos

1

3

/

/

)

* !

%

+

,

-

.

, a st"d

2

9

cos

25

/

%

.

Zatem

5

3

cos

%

/

lub

5

3

cos

%

/

. Ujemny wynik odrzucam, poniewa# zgodnie z warunkami

zadania k"t

/ jest k"tem ostrym. Obliczam warto!ci funkcji

4

sin

5

/

% , a nast%pnie warto!$

wyra#enia

4

3

7

sin

cos

5

5

5

/

/

!

% ! % .

Odpowied&:

5

7

cos

sin

%

!

/

/

.

4

II sposób rozwi"zania:
Rysuj% trójk"t prostok"tny, w którym oznaczam przyprostok"tne 3x i 4x oraz

zaznaczam k"t ostry

/

tak, aby

4

tg

3

/

% .

4x

3x

Z twierdzenia Pitagorasa obliczam d ugo!$ przeciwprostok"tnej:

# $ # $

2

2

2

4

3

25

x

x

x

!

%

.

Zatem przeciwprostok"tna ma d ugo!$ 5x . Obliczam warto!ci funkcji

4

sin

5

/

%

i

3

cos

5

/

% . St"d

4

3

7

sin

cos

5

5

5

/

/

!

% ! % .

Odpowied&:

5

7

cos

sin

%

!

/

/

.

Zadanie 30. (2 punkty)

Wyka#, #e dla ka#dego m ci"g

,

.

*

+

-

)

!

!

!

12

9

,

6

3

,

4

1

m

m

m

jest arytmetyczny.

Rozwi#zanie:
I sposób rozwi"zania:
Wystarczy sprawdzi$, #e zachodzi nast%puj"cy zwi"zek mi%dzy s"siednimi wyrazami

ci"gu:

1

1

2

n

n

n

a

a

a

!

!

%

.

Mamy

1

1

4

m

a

!

%

,

2

3

6

m

a

!

%

,

3

9

12

m

a

!

%

.

Zatem

1

3

2

1

9

3

3

9

4

12

3

4

12

2

2

24

24

6

m

m

a

a

m

m

m

m

a

!

!

!

!

! ! !

!

!

%

%

%

%

%

.

St"d wynika, #e ci"g

,

.

*

+

-

)

!

!

!

12

9

,

6

3

,

4

1

m

m

m

jest arytmetyczny dla ka#dego

m.

II sposób rozwi"zania:

Mamy

1

1

4

m

a

!

%

,

2

3

6

m

a

!

%

,

3

9

12

m

a

!

%

.

Wystarczy sprawdzi$, #e

2

1

3

2

a

a

a

a

%

.

Obliczamy:

6

3

12

9

4

1

6

3

!

!

%

!

!

m

m

m

m

12

6

2

9

12

3

3

6

2

!

%

!

m

m

m

m

12

3

12

3

!

%

!

m

m

5

Zadanie 31. (2 punkty)
Trójk"ty

ABC i CDE s" równoboczne. Punkty A, C i E le#" na jednej prostej. Punkty K, L i M

s" !rodkami odcinków

AC, CE i BD (zobacz rysunek). Wyka#, #e punkty K, L i M

s" wierzcho kami trójk"ta równobocznego.

Rozwi#zanie:
Z warunków zadania wynika, #e

60

BAC

DCE

%

%

0

, wi%c odcinki

AB i CD s"

równoleg e. Czworok"t

ACDB jest trapezem. Odcinek KM "czy !rodki boków

nierównoleg ych w tym trapezie, wi%c jest równoleg y do jego podstaw. Wobec tego

60

MKL %

0

.

Podobnie

60

ACB

CED

%

%

0

, wi%c odcinki

BC i DE s" równoleg e. Czworok"t BCED

jest trapezem. Odcinek

ML "czy !rodki boków nierównoleg ych w tym trapezie, wi%c jest

równoleg y do jego podstaw. Wobec tego

60

KLM %

0

.

Odpowied&: Dwa k"ty trójk"ta

KLM maj" miar% 600 , zatem jest to trójk"t równoboczny.

Zadanie 32. (5 punktów)
Ucze' przeczyta ksi"#k% licz"c" 480 stron, przy czym ka#dego dnia czyta jednakow" liczb%
stron. Gdyby czyta ka#dego dnia o 8 stron wi%cej, to przeczyta by t% ksi"#k% o 3 dni
wcze!niej. Oblicz, ile dni ucze' czyta t% ksi"#k%.

Rozwi#zanie:
Oznaczam:

x – liczba stron przeczytanych ka#dego dnia, y – liczba dni.

Zapisuj% i rozwi"zuj% uk ad równa':

#

$ #

$

480

8

3

480

x y

x

y

' %

12

3

! '

%

24

Z pierwszego równania mamy

480

x

y

%

, zatem

#

$

480

8

3

480

y

y

y

)

*

!

'

%

'

+

,

-

.

#

$#

$

480 8

3

480

y

y

y

!

%

Po uproszczeniu otrzymuj% równanie

2

3

180

0

y

y

% .

Rozwi"zaniem równania s" liczby: –12 oraz 15. Odrzucam ujemn" liczb% dni.

Odpowied&: Ucze' przeczyta ksi"#k% w ci"gu 15 dni.

A

B

C

D

E

K

L

M

6

Zadanie 33. (4 punkty)
Punkty

# $

2, 0

A %

i

#

$

12, 0

B %

s" wierzcho kami trójk"ta prostok"tnego ABC

o przeciwprostok"tnej AB. Wierzcho ek C le#y na prostej o równaniu

y

x

% . Oblicz

wspó rz%dne punktu

C.

Rozwi#zanie:
I sposób rozwi"zania:
Punkt

C le#y na prostej o równaniu

x

y %

i na okr%gu, którego !rodkiem jest !rodek

przeciwprostok"tnej, a promie' jest równy po owie d ugo!ci tej przeciwprostok"tnej.

Obliczam d ugo!$ przeciwprostok"tnej

AB:

#

$ #

$

10

0

0

2

12

2

2

%

!

%

AB

.

Wyznaczam wspó rz%dne !rodka przeciwprostok"tnej:

# $

7, 0

S %

.

Zapisuj% równanie okr%gu:

#

$

25

7

2

2

%

!

y

x

Rozwi"zuj% uk ad równa'

#

$

4

3

1

%

!

%

25

7

2

2

y

x

x

y

Otrzymuj% równanie z jedn" niewiadom":

0

12

7

2

%

!

x

x

Rozwi"zaniem tego równania s" liczby:

1

4

x % ,

2

3

x % .

Odpowied&: Warunki zadania spe niaj" dwa punkty:

# $

4

,

4

%

C

oraz

# $

3, 3

C %

.

II sposób rozwi"zania:

Oznaczmy wspó rz%dne punktu C przez

#

$

,

x y

. Wtedy

#

$ #

$

10

0

0

2

12

2

2

%

!

%

AB

,

#

$ #

$

2

2

2

0

AC

x

y

%

!

,

#

$ #

$

2

2

12

0

BC

x

y

%

!

.

Trójk"t ABC jest prostok"tny, wi%c spe niona jest równo!$

2

2

2

AB

BC

AC

%

!

, czyli

#

$

#

$

2

2

2

2

2

2

12

10

x

y

x

y

!

!

!

%

.

Punkt C le#y te# na prostej o równaniu

x

y %

, zatem aby obliczy$ jego wspó rz%dne, nale#y

rozwi"za$ uk ad równa':

#

$

#

$

4

3

1

%

%

!

!

!

x

y

y

x

y

x

2

2

2

2

2

10

12

2

2

2

2

2

2

4

4

24

144

100

4

28

48

0

x

x

x

x

x

x

x

x

! !

!

!

!

%

!

%

0

12

7

2

%

!

x

x

1

2

4,

3

x

x

%

%

Odpowied&: Warunki zadania spe niaj" dwa punkty:

# $

4

,

4

%

C

oraz

# $

3, 3

C %

.

7

Zadanie 34. (4 punkty)
Pole trójk"ta prostok"tnego jest równe

2

60 cm . Jedna przyprostok"tna jest o 7 cm d u#sza

od drugiej. Oblicz d ugo!$ przeciwprostok"tnej tego trójk"ta.

Oznaczam: a, b – d ugo!ci przyprostok"tnych danego trójk"ta.
Zapisuj% uk ad równa'

7

1

60

2

a

b

a b

% !

1

2

3

' %

24

Otrzymuj% równanie z jedn" niewiadom"

#

$

1

7

60

2

b

b

!

%

, którego pierwiastkami s" liczby

8

b % oraz

15

b %

.

Odrzucam ujemny pierwiastek, gdy# b jest d ugo!ci" odcinka. Zatem

8

b %

,

8 7 15

a % ! %

.

Teraz obliczam d ugo!$ przeciwprostok"tnej

2

2

2

2

8

15

289

17

c

a

b

%

!

%

!

%

%

.

Odpowied&: Przeciwprostok"tna ma d ugo!$ 17 cm.