Kolokwium nr 1

30 listopada 2010 r.

Wariant Ą

Zadanie nr 1

Studenci z akademikowej meliny przez 10 kolejnych tygodni badali zależność pomiędzy ceną

sprzedawanego przez nich piwa marki „Mech” (Xi w PLN) a wielkością sprzedaży (Yi w sztukach). W

okresie tym średnia cena sprzedawanego przez nich piwa wynosiła 4 PLN, a wariancja (liczona jako

realizacja asymptotycznie nieobciążonego estymatora) 4 PLN2. Wiadomo dodatkowo, że w badanym

okresie sprzedawano średnio 40 piw tygodniowo, a wartość ∑

wyniosła 1200 ( i = 1, …, 10

oznacza numer kolejnego tygodnia w okresie badania).

a) (3 pkt) Zapisz oszacowanie równania regresji wielkości sprzedaży piwa marki „Mech”

względem jego ceny.

b) (2 pkt) Ile wynosi średni błąd szacunku współczynnika regresji w oszacowanym modelu jeżeli

wiadomo, że wariancja składnika losowego została oszacowana na poziomie 10?

c) (1 pkt) Na najbliższy tydzień studenci planują podnieść cenę piwa marki „Mech” do 6 PLN.

Jakiej wielkości sprzedaży powinni się spodziewać?

d) (3 pkt) Ile wynosi średni błąd predykcji ex ante dla prognozy wyznaczonej w poprzednim

punkcie? Wariancja składnika losowego wynosi tyle ile w podpunkcie b).

Zadanie nr 2

Na podstawie danych miesięcznych z lat 1993-2001 ( t = 1,2,…,108; t = 1 dla stycznia 1993) oszacowano model ekonometryczny, w którym zmienną objaśnianą jest produkcja przemysłowa w

Polsce w mln PLN (PRODUKCJA) a zmiennymi objaśniającymi są wydatki rządowe w Polsce w mln

PLN (WYDATKI) oraz import do Polski w mln PLN (IMPORT).

Dodatkowo, na podstawie tych samych danych oszacowano dwa modele pomocnicze. W pierwszym z

nich zmienną objaśnianą były reszty z oszacowanego wcześniej modelu (RESZTY), a w drugim

kwadraty tych reszt (RESZTY_KW). Zmienne: RESZTY_1, WYDATKI_KW, IMPORT_KW oraz

WYDATKI_IMPORT to odpowiednio zmienna RESZTY opóźniona o jeden miesiąc, kwadrat

zmiennej WYDATKI, kwadrat zmiennej IMPORT oraz iloczyn tych dwóch zmiennych.

Wyniki estymacji wszystkich trzech modeli przedstawiają częściowo poniższe fragmenty wydruków z

programu Gretl (niektóre dane zostały ukryte pod gwiazdkami):

Model 1: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1993:01-2001:12 (N = 108)

Zmienna zależna: PRODUKCJA

współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p

---------------------------------------------------------------

const 5151,04 441,781 *** ***

IMPORT 1,52252 *** 26,43 ***

WYDATKI *** 0,0928650 5,169 1,13e-06

Wsp. determ. R-kwadrat 0,982137 Skorygowany R-kwadrat 0,981796

F(2, 105) 2886,475 Wartość p dla testu F 1,69e-92

Test RESET na specyfikację -

Hipoteza zerowa: ***

Statystyka testu: F(2, 103) = ***

z wartością p = P(F(2, 103) > ***) = 4,24427e-007

Test na normalność rozkładu reszt -

Hipoteza zerowa: składnik losowy ma rozkład normalny

Statystyka testu: Chi-kwadrat(2) = ***

z wartością p = 0,07219

Model 2: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1993:02-2001:12 (N = 107)

Zmienna zależna: RESZTY

współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p

---------------------------------------------------------------

const 510,410 407,637 1,252 0,2134

IMPORT 0,0599923 0,0520469 1,153 0,2517

WYDATKI -0,117594 0,0850559 -1,383 0,1698

RESZTY_1 0,495505 0,0889881 5,568 2,06e-07

Wsp. determ. R-kwadrat 0,231453 Skorygowany R-kwadrat 0,209068

F(3, 103) 10,33970 Wartość p dla testu F 5,23e-06

Model 3: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1993:01-2001:12 (N = 108)

Zmienna zależna: RESZTY_KW

współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p

-----------------------------------------------------------------------

const 1,93222e+06 1,71623e+06 1,126 0,2629

IMPORT -263,518 500,602 -0,5264 0,5998

WYDATKI 229,601 733,338 0,3131 0,7549

IMPORT_KW 0,00440508 0,0266443 0,1653 0,8690

WYDATKI_KW -0,0129449 0,0643267 -0,2012 0,8409

WYDATKI_IMPORT 0,00957196 0,0777385 0,1231 0,9022

Wsp. determ. R-kwadrat 0,010328 Skorygowany R-kwadrat -0,038185

F(5, 102) 0,212888 Wartość p dla testu F 0,956345

Dodatkowo znane są wartości poszczególnych zmiennych dla obserwacji o numerach 108, 109, 110 i

111:

Nr obserwacji

PRODUKCJA

WYDATKI

IMPORT

108

38 682,00

17 415,20

15 980,40

109

36 693,10

17 213,50

14 816,40

110

35 906,70

17 452,10

16 236,90

111

39 807,40

13 046,50

17 924,20

a) (2 pkt) Dla której zmiennej (Model 1) względny błąd szacunku jest najniższy? Ile on wynosi?

b) (2 pkt) Zinterpretuj oszacowanie parametru stojącego przy zmiennej WYDATKI (Model 1) i

zbadaj istotność tej zmiennej.

c) (2 pkt) Czy liniowa specyfikacja modelu 1 została słusznie dobrana? Zweryfikuj odpowiednią

hipotezę.

d) (3 pkt) Czy w modelu 1 występuje problem autokorelacji składnika losowego? Zweryfikuj

odpowiednią hipotezę.

e) (2 pkt) Na podstawie oszacowanego modelu 1 wyznacz prognozę wartości produkcji

przemysłowej w Polsce w styczniu i lutym 2002 roku.

f) (2 pkt) Wyznacz przeciętny względny błąd prognozy wyznaczonej w poprzednim punkcie.

Zadanie nr 3

Jaś Wyzyskiwacz postanowił zatrudnić 75 Chińczyków w swoim nowo powstającym warsztacie

tkackim „Brudna Szmata”, gdzie wyrabia wysokiej jakości makaty. Zaobserwował on, że w jego

warsztacie produkcja (P w sztukach makat) zależy od liczby zatrudnionych Chińczyków (Z w

sztukach) oraz wartości majątku w postaci maszyn (M w tys. EUR) według funkcji Cobba-Douglasa

danej wzorem:

Zgodnie z oszacowanym modelem, miesięczna produkcja w warsztacie Jasia Wyzyskiwacza wykazuje

stałe efekty skali, jej elastyczność względem zatrudnienia wynosi 1/3, a krańcowa produkcyjność

majątku, przy obecnie obserwowanym technicznym uzbrojeniu pracy równym 8 wynosi 1/4.

a) (3 pkt) Zapisz oszacowanie funkcji produkcji dla warsztatu Jasia Wyzyskiwacza.

b) (2 pkt) Xiu Xi, jeden z Chińczyków zatrudnionych w tym warsztacie jest bardzo biedny i

poprosił Jasia aby ten zatrudnił jego żonę i siostrę od przyszłego miesiąca. Ten zgodził się pod

warunkiem, że Chińczyk policzy o ile zwiększy to produkcję w warsztacie. Pomóż biednemu

Xiu Xi, licząc krańcową produkcyjność zatrudnienia. Przyjmij założenie, że nie są planowane

żadne inne zmiany a Chinki są w stanie pracować równie efektywnie jak Chińczycy.

c) (2 pkt) Policz krańcową stopę substytucji zatrudnienia kapitałem. O ile Jaś może zmniejszyć

wartość majątku zaangażowanego w proces produkcji w przypadku zatrudnienia żony i córki

Xiu Xi, tak aby produkcja w kolejnym miesiącu nie zmieniła się?

Zadanie nr 4

Justynka zbadała dwustu absolwentów SGH pod kątem tego czy wyjeżdżali na stypendium

zagraniczne. Zbudowała model logitowy, w którym zmienną objaśnianą była zmienna zerojedynkowa

Y, pokazująca czy dany absolwent wyjechał w czasie studiów na stypendium (1 – wyjechał, 0 – nie

wyjechał), zmiennymi objaśniającymi zaś były: X1 – miejsce pochodzenia (0 – wieś, 1 – miasto), X2

– płeć (0 – kobieta, 1 – mężczyzna), X3 – miesięczny dochód w rodzinie absolwenta na osobę (w

PLN). Niestety, roztargniona Justynka wylała kawę na wydrukowane wyniki estymacji modelu w

Gretlu, wskutek czego część danych stała się nieczytelna:

Model 1: Estymacja Logit, wykorzystane obserwacje 1-200

Zmienna zależna: Y

współczynnik błąd standardowy t-Studenta efekt krańcowy

--------------------------------------------------------------------

const -6,25177 0,892245 -7,007

X1 1,87125 0,580573 3

,223 0,389624

X2 -0,741545 0,4

13052 -1,795 -0,114785

X3 0,00186585 0,000279199 6,683 0,000286392

Średn.aryt.zm.zależnej 0,300000 Odch.stand.zm.zależnej 0,153492

McFadden R-kwadrat 0,355960 Skorygowany R-kwadrat 0,323219

Logarytm wiarygodności -78,68423 Kryt. inform. Akaike'a 165,3685

Liczba przypadków 'poprawnej predykcji' = 156 (78,0%)

f(beta'x) do średnich niezależnych zmiennych =

0,153

Test ilorazu wiarygodności: Chi-kwadrat(3) = 86,9773

Przewidywane

0 1

Empiryczne 0 122 18

1 26 34

Załamana Justynka nie potrafiła na podstawie zaplamionego wydruku odpowiedzieć na kilka

poniższych pytań. Pomóż Justynce:

a) (2 pkt) Zinterpretuj wpływ miejsca pochodzenia absolwenta na fakt wyjazdu na stypendium

zagraniczne.

b) (2 pkt) Oceń dopasowanie modelu do danych, licząc odpowiednią miarę dopasowania.

c) (2 pkt) Koleżanka Justynki – Stefka pochodzi z miasta, a miesięczny dochód na osobę w jej

rodzinie wynosi 1000 PLN. Czy według oszacowanego modelu Stefka wyjeżdżała na

stypendium zagraniczne?

d) (3 pkt) W rodzinie Bolka z maleńkiej Koziej Wólki oraz w rodzinie Kazika z Warszawy

miesięczny dochód na osobę jest taki sam. Wiedząc, że prawdopodobieństwo, że Bolek

wyjeżdżał na stypendium zagraniczne wynosi 0,4 policz prawdopodobieństwo, że na

stypendium zagraniczne wyjeżdżał Kazik.

Zadanie nr 5

Poniższe wydruki przedstawiają oszacowania dwóch modeli dotyczących procesu stochastycznego Y.

W nazwie zmiennej na wydruku literka „d” na początku oznacza przyrosty, a cyferka na końcu rząd

opóźnienia. Wartość krytyczna testu ADF na poziomie istotności 0,05 i przy liczbie obserwacji 123

(dotyczy równania z wyrazem wolnym i bez trendu) wynosi -2,89.

Model 1: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1997:04-2007:06 (N = 123)

Zmienna zależna: d_Y

współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p

---------------------------------------------------------------

const 2,18799 1,46726 1,491 0,1386

Y_1 0,00230397 0,00452092 0,5096 0,6113

d_Y_1 -0,224322 0,0899718 -2,493 0,0140

d_Y_2 0,225862 0,0898479 2,514 0,0133

Model 2: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1997:04-2007:06 (N = 123)

Zmienna zależna: d_d_Y

współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p

---------------------------------------------------------------

const 2,87696 0,568453 5,061 1,52e-06

d_Y_1 -0,987041 0,142415 -6,931 2,25e-010

d_d_Y_1 -0,231262 0,0889453 -2,600 0,0105

a) (2 pkt) Oceń stopień zintegrowania procesu stochastycznego Y.

b) (1 pkt) Wiadomo, że proces stochastyczny X jest stacjonarny. Czy procesy X i Y mogą

pozostawać w równowadze długookresowej? Uzasadnij.

c) (2 pkt) Zmienna Z podlega procesowi ARMA(3,2). W oszacowaniu parametrów tego modelu

wyraz wolny wyniósł 0, parametry części AR utworzyły ciąg geometryczny z pierwszym

wyrazem równym 0,5 i ilorazem 0,4, a parametry części MA utworzyły ciąg arytmetyczny z

pierwszym wyrazem równym 0,2 i różnicą 0,1. Zapisz oszacowanie modelu.

d) (2 pkt) Wyznacz prognozę zmiennej Z na okres t = 121 oraz t = 122, wiedząc, że Z120 = 7, Z119

= 6, Z118 = 8, Z117 = 7, e120 = 1, e119 = -2, e118 = -1, e117 = 0, gdzie et oznacza składnik resztowy

z okresu t.

Zadanie nr 6

Zależność konsumpcji Gieni względem dochodu w kolejnych miesiącach opisuje model Koycka.

Zgodnie z oszacowanym modelem mnożnik krótkookresowy wynosi 0,4 zaś mnożnik długookresowy

wynosi 0,8.Wyraz stały oszacowano na poziomie 0,7.

a) (2 pkt) Zapisz oszacowany model.

b) (1 pkt) Zinterpretuj wartość mnożnika długookresowego w tym modelu.

c) (2 pkt) Przypuśćmy, że w listopadzie 2010 roku dochód Gieni spada o 400 PLN i stabilizuje

się na tym poziomie. O ile z tego tytułu będzie niższa konsumpcja Gieni w styczniu 2011 roku

w porównaniu do października 2010 roku?