Zad.1 Wykazać, że następujące szeregi są zbieżne oraz wyznaczyć ich sumy:
∞
1
∞
1
1. ∑
3. ∑
n n
n
n
n
(2
)
1 (2
)
1
1
−
n=
(
)
3
1
+
=
+
n
∞
n
1
∞
1
2. ∑
4. ∑ 200
4
5
2
1
1
n=
n=
Zad.2 Posługując się warunkiem koniecznym zbieżności szeregu wykazać, że następujące szeregi są rozbieżne
∞
∞
1
1. ∑11⋅ 2 n
3. ∑
n
n=1
n=1
n
n
∞
∞
1
1
2. ∑ 1 +
4. ∑ cos
n
n 1
=
=
1
n
n
Zad.3 Zbadać zbieżność szeregów:
∞ 2 nn!
∞
n
n
1. ∑
2. ∑
n
2
n
=
n
n 1
n 1
= 2
∞ (5 n)!
2 n
∞
3. ∑
1
4. ∑
5 n
arc tg cos
=
n
n 1
=
n
n 1
∞
n
10
2 n
∞ ( n + ) n 5. ∑
1
∑
n
6.
+
n=1 ( n + ) 1
n 1
=
n
n 1
∞ (
∞
4 n) 4
! n
1
7. ∑
8. ∑
4 n
1
−
n=1
n
= n 5 n n 1
∞
(2 n)!
n
∞
9. ∑
1
∑
2 n
11.
3 n−1
arc tg n
n=1 ( n + ) 1
3
n=
2
1
∞ 3 n +1
∞
2
10. ∑
sin n
3
12. ∑
2
n=1 n
+ 3
n=1
n
Zad.4 Zbadać zbieżność następujących szeregów naprzemiennych.
∞
∞
2
∞
+
1
n 1
+
1
1
+
n
1
n
n
1. ∑
+
(−
1
)
1
2. ∑ (− )
1
3. ∑ (− )
1
n +
4
n
=
n=
+
1
2
1
1
+
n=
1
1
n
n
n
Zad.5 Rozstrzygnąć, które z podanych niżej szeregów są zbieżne warunkowo, a które bezwzględnie
∞ (− 2) n
∞ −
n
∞
n
2 n
(− )1 n
1. ∑
2. ∑
3. ∑
n
3 n + 5
2
n=1 3
+1
n
n
1
n=1
=2
+