x = x( u, v),

f : ∆ ∋ ( u, v)

( x, y) ∈ D , gdzie

y = y( u, v).

∂ x

∂ x

Macierz f ′ u

( , v) = ∂ u ∂ v

∂ y

∂ y nazywa si macierz Jacobiego odwzorowania f , za jej wyznacznik – jakobianem.

∂ u

∂ v

[Zad.1] Obliczy jakobian odwzorowania zwanego zamian współrz dnych kartezja skich na współrz dne biegunowe.

x = r ⋅ cos ϕ,

y = r ⋅ sin ϕ.

x

∂

x

∂

ϕ

∂

r

∂

− r ⋅ sin ϕ cosϕ

J (ϕ, r) =

=

= − r

y

∂

y

∂

r ⋅ cos ϕ

sin ϕ

ϕ

∂

r

∂

x = x( u, v),

f : ∆ ∋ u

( , v)

( x, y, z) ∈ D , gdzie y = y( u, v), z = z( u, v).

∂ x

∂ x

∂ u

∂ v

Macierz f ′( u, v) = ∂ y

∂ y

∂

nazywa si macierz Jacobiego odwzorowania f .

u

∂ v

∂ z

∂ z

∂ u

∂ v

x = x( u, v, )

w ,

f : ∆ ∋ ( u, v, w) ( x, y) ∈ D , gdzie

y = y( u, v, )

w .

∂ x

∂ x

∂ x

Macierz f ′( u, v, w) = ∂ u

∂ v

∂ w

∂ y

∂ y

nazywa si macierz Jacobiego odwzorowania f .

∂ t

∂ u

∂ v

∂ w

x = x( u, v, )

w ,

f : ∆ ∋ ( u, v, w) ( x, y) ∈ D , gdzie y = y( u, v, ) w ,

z = z( u, v, )

w .

∂ x

∂ x

∂ x

∂ u

∂ v

∂ w

Macierz f ′ u

( , v) = ∂ y

∂ y

∂ y

∂

nazywa si macierz Jacobiego odwzorowania f , za jej wyznacznik – jakobianem.

u

∂ v

∂ w

∂ z

∂ z

∂ z

∂ u

∂ v

∂ w

[Zad.2] Obliczy jakobian odwzorowania zwanego zamian współrz dnych kartezja skich na współrz dne walcowe.

P = ( x, y, z)

P 0 = ( x, y, 0)

x = r ⋅ cosϕ,

y = r ⋅ sin ϕ,

z = z.

x

∂

x

∂

x

∂

ϕ

∂

r

∂

z

∂

− r ⋅ cosϕ cosϕ 0

J (ϕ, r, z

y

∂

y

∂

y

) =

∂

det

= r ⋅ cosϕ

sin ϕ 0 = − r

ϕ

∂

r

∂

z

∂

z

∂

z

∂

z

∂

0

0

1

ϕ

∂

r

∂

z

∂

St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 10

1

[Zad.3] Obliczy jakobian odwzorowania zwanego zamian współrz dnych kartezja skich na współrz dne sferyczne.

P = ( x, y, z)

P 0 = ( x, y, 0)

P = ( x, y, z)

ψ

O

P 0 = ( x, y, 0)

x = r ⋅ cos ϕ ⋅ cosψ,

y = r ⋅ sin ϕ ⋅ cos ψ,

z = r ⋅ sin ψ.

∂ x

∂ x

∂ x

ϕ

∂

ψ

∂

∂ r

− r ⋅ sin ϕ ⋅ cosψ − r ⋅ cosϕ ⋅ sin ψ cosϕ ⋅ cosψ

J (ϕ,ψ, r) =

∂ y

∂ y

∂

det

y

= r ⋅ cosϕ ⋅ cosψ

− r ⋅ sin ϕ ⋅ sin ψ sin ϕ ⋅ cosψ = 2

r cosψ

ϕ

∂

ψ

∂

∂

r

∂ z

∂ z

∂ z

0

r ⋅ cos ψ

sin ψ

ϕ

∂

ψ

∂

∂ r

• Funkcj ϕ: 3⊃ V → nazywamy polem skalarnym w przestrzeni 3.

•

ϕ

∂

ϕ

∂

ϕ

∂

Pole skalarne ϕ : 3 ⊃ V → nazywamy ró niczkowalnym, gdy istnieje pochodna grad ϕ =

= [ϕ′ x ϕ′ y ϕ′ z ].

x

∂

y

∂

z

∂

∂

∂

∂

Wprowadzaj c operator ró niczkowy ∇ =

, zwany nabl , dostajemy

∂ x ∂ y ∂ z

∂

∂

∂

ϕ

∂

ϕ

∂

ϕ

∂

grad ϕ = ∇ ⋅ ϕ =

⋅ ϕ =

.

∂ x ∂ y ∂ z

∂ x ∂ y

∂ z

• Własno ci gradientu:

[ a] grad(ϕ⋅ ψ) = gra ϕ

d ⋅ ψ + ϕ⋅ gra ψ

d

grad(ϕ ⋅ ψ) = ∂

[ (ϕ ⋅ ψ

∂

)

(ϕ ⋅ ψ

∂

)

(ϕ ⋅ ψ)] = ϕ

∂

[ ψ + ϕ ψ

∂

ϕ

∂ ψ + ϕ ψ

∂

ϕ

∂ ψ + ϕ ψ

∂ ] = ϕ

∂

[ ψ

ϕ

∂ ψ ϕ

∂ ψ] + [ϕ ψ

∂

ϕ ψ

∂

ϕ ψ

∂ ] =

∂

x

∂ y

∂ z

∂ x

∂ x

∂ y

∂ y

∂ z

∂ z

∂ x

∂ y

∂ z

∂ x

∂ y

∂ z

= ϕ

∂

ϕ

∂

ϕ

∂

[

]⋅ ψ + ϕ ⋅ ψ

∂

ψ

∂

ψ

∂

[

] = gra ϕ

d ⋅ ψ + ϕ ⋅ gra ψ

d

∂ x

∂ y

∂ z

∂ x

∂ y

∂ z

ϕ gradϕ⋅ ψ − ϕ⋅ gradψ

[ b] grad

=

2

ψ

ψ

ϕ

∂

ψ

∂

ϕ

∂

ψ

∂

ϕ

∂

ϕ

∂

ϕ

∂

ψ

∂

ψ

∂

ψ

∂

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ψ − ϕ

ψ − ϕ

ϕ

∂

[ ψ

ψ

ψ] − [ϕ

ϕ

ϕ ]

∂

∂

∂

∂ x

∂ x

∂ y

∂ y

ψ − ϕ ψ

∂

grad( ) = [ ( )

( )

( )] =

∂ z

∂

[

z ] = ∂ x

∂ y

∂ z

∂ x

∂ y

∂ z

=

ψ

∂ x ψ

∂ y ψ

∂ z ψ

ψ2

ψ2

ψ2

ψ2

ϕ

∂

ϕ

∂

ϕ

∂

[

] ⋅ ψ − ϕ ⋅ ψ

∂

ψ

∂

ψ

∂

[

]

= ∂ x ∂ y ∂ z

∂ x

∂ y

∂ z

= gradϕ ⋅ ψ − ϕ ⋅ gradψ

ψ2

2

ψ

[ c] grad F(ϕ) = F′(ϕ) ⋅ gra ϕ

d .

grad (

F ϕ) = ∂

[ ( F(ϕ

∂

))

( F(ϕ

∂

))

( F(ϕ))] = [ F ′(ϕ) ⋅ ϕ

∂

F ′(ϕ) ⋅ ϕ

∂

F ′(ϕ) ⋅ ϕ

∂ ] = F′(ϕ) ⋅ ϕ

∂

ϕ

∂

ϕ

∂

[

] = F ′(ϕ) ⋅ gra ϕ

∂

d

x

∂ y

∂ z

∂ x

∂ y

∂ z

∂ x

∂ y

∂ z

St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 10

2

• (Pochodna pola skalarnego ϕ w punkcie M w kierunku wersora v ) = (gradϕ)( M ) • v = (grad ) ϕ ( M ) ⋅cos[ v,(grad )

ϕ ( M )] .

Zatem pr dko zmiany warto ci pola skalarnego w punkcie M osi ga maksimum równe grad ) ϕ ( M ) w kierunku wektora

(grad )

ϕ ( M ) . Gradient jest wektorem okre laj cym kierunek najszybszego wzrostu (spadku) warto ci pola skalarnego.

Zadania.

1. Oblicz gradient pola (

ϕ x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 − 2 xyz w punkcie M = , 1

( − ,

1 )

2 . W jakich punktach gradient jest prostopadły do osi Ox, w jakich punktach si zeruje?

2. Oblicz gradient pola

2

3

4

(

ϕ x, y, z) = 3 x y − 3 xy + y w punkcie M = , 1

( ,

2 )

0 .

x

3. Oblicz k t mi dzy gradientami pól

2

2

2

(

ϕ x, y, z) = x + y − z , ψ( x, y, z) = arcsin w punkcie M =

,

1

,

1

(

7 ) .

x + y

4. Dla pola ϕ( x, y, z) = x y − z wyznacz najwi ksz pr dko zmiany warto ci punkcie M = ( , 2 ,

2 )

4 .

5. Dla pola (

ϕ x, y, z) = ln( 2

x + 4 2

y ) wyznacz najwi ksz pr dko zmiany warto ci punkcie M = ( , 6 ,

4 )

0 .

6. Oblicz pochodn pola ϕ( x, y, z) = xyz w kierunku pola ψ( x, y, z) = 2 x 2 − 3 xz + z 2 + yz w punkcie M =

)

1

,

1

,

1

(

.

• Funkcj W : 3 ⊃ V ∋ ( x, y, z) →[ P( x, y, z) Q( x, y, z) R( x, y, z)]∈ 3 nazywamy polem wektorowym w przestrzeni 3.

• Dywergencj (rozbie no ci ) pola wektorowego W nazywamy pole skalarne okre lone nast puj co:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

di W

v

= ∇ • W =

• [ P Q R]

P

Q

R

=

+

+

.

x

∂

y

∂

z

∂

x

∂

y

∂

z

∂

•

ϕ

∂

ϕ

∂

Pole wektorowe W = [ P Q R] nazywamy potencjalnym, je li istnieje pole skalarne ϕ, e W = gra ϕ

d , czyli P =

, Q =

,

x

∂

y

∂

ϕ

∂

R =

(pole wektorowe W jest gradientem pewnego pola skalarnego ϕ). Pole skalarne ϕ nazywamy wówczas potencjałem pola W.

z

∂

Zadanie. Wyznaczymy potencjał pola wektorowego W = [2 3

2

x − xy

2 3

2

y − x y] .

Rozwi zanie.

ϕ

∂

3

2

P =

= 2 x − xy → ϕ = (2 3

2

x − xy )

1

4

1

2 2

dx = x − x y + C( y) x

∂

2

2

3

2

ϕ

∂

2

dC

dC

Q = 2 y − x y =

= − x y +

→

3

= 2 y → C( y) =

y 3

2 dy = 1 y 4 + K (stała) y

∂

dy

dy

2

Odp. ϕ( x, y = 1

)

x 4 − 1 x 2 y 2 + 1 y 4 + K .

2

2

2

Zadania.

Wyznacz potencjał pola wektorowego

y

x

a)

W = 1 −

,

2

x + 2

2

y

x + 2

y

b)

W = [ ey xey − 2 y],

y + sin x ⋅ cos2 ( xy)

x

c)

W =

sin y +

,

cos2 ( xy)

cos2 ( xy)

1

x

y

y

1

y

x

x

1

d)

W =

⋅ sin −

cos + 1

⋅ cos −

sin +

.

2

2

2

y

y

x

x

x

x

y

y

y

• Pole W : 2 ⊃ D ∋ ( x, y) → [ P( x, y) Q( x, y)]∈ 2 (

1

W ∈ C ( D) , D – obszar jednospójny) jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy P

∂

Q

∂

=

. (Jest to wniosek z twierdzenia Schwarza o pochodnych mieszanych).

y

∂

x

∂

• Rotacj (wirowo ci ) pola wektorowego W nazywamy pole wektorowe okre lone nast puj co: i

j

k

∂ R ∂ Q ∂ P ∂ R ∂ Q ∂ P

ro W

t

= ∇ × W = ∂

∂

∂ =

−

−

−

.

∂ x

∂ y

∂ z

∂ y

∂ z

∂ z

∂ x

∂ x

∂ y

P Q R

St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 10

3

• Pole W : 3 ⊃ V ∋ ( x, y, z) → [ P( x, y, z) Q( x, y, z) R( x, y, z)]∈ 3 (

1

W ∈ C ( V ) , V – obszar jednospójny) jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy rot W = 0 . (Jest to wniosek z tw. Schwarza o pochodnych mieszanych)

• Potencjał (

ϕ x, y, z) pola potencjalnego W = [ P Q R] znajdujemy ze wzoru x

y

z

ϕ( x, y, z) = P( x, y, z) dx + Q( x 0, y, z) dx + R( x 0, y 0, z) dx + K

x

y

z

0

0

0

Zadania.

Uzasadni poni sze wzory:

a) div(ϕ ⋅ W ) = gradϕ • W + ϕ ⋅ di W

v

,

b) div(rot W ) = 0 ,

c) rot(grad )

ϕ = 0 .

∂(ϕ ⋅ P) ∂(ϕ ⋅ Q) ∂(ϕ ⋅

∂(ϕ ⋅ P) ∂(ϕ ⋅ Q) ∂(ϕ ⋅ R) ϕ

∂

∂ P

ϕ

∂

∂ Q

ϕ

∂

∂ R

div ϕ

( ⋅

)

W ) =

+

+

R =

+

+

=

⋅ P + ϕ ⋅

+

⋅ Q + ϕ ⋅

+

⋅ R + ϕ ⋅

=

∂ x

∂ y

∂ z

∂ x

∂ y

∂ z

∂ x

∂ x

∂ y

∂ y

∂ z

∂ z

ϕ

∂

∂ P

ϕ

∂

∂ Q

ϕ

∂

∂ R

ϕ

∂

ϕ

∂

ϕ

∂

∂ P ∂ Q ∂

=

⋅ P + ϕ ⋅

+

⋅ Q + ϕ ⋅

+

⋅ R + ϕ ⋅

=

R

[

] •[ P Q R] + ϕ ⋅[

] = gradϕ • W + ϕ ⋅ di W

v

∂ x

∂ x

∂ y

∂ y

∂ z

∂ z

∂ x ∂ y

∂ z

∂ x

∂ y

∂ z

∂

∂

∂

∂ R ∂ Q ∂ P ∂ R ∂ Q ∂ P

∂ ∂ R ∂ Q

∂ ∂ P ∂ R

∂ ∂ Q ∂ P

div(rot W ) = ∇ • (ro W

t ) =

•

−

−

−

=

−

+

−

+

−

= 0

∂ x ∂ y ∂ z

∂ y

∂ z

∂ z

∂ x

∂ x

∂ y

∂ x ∂ y

∂ z

∂ y ∂ z

∂ x

∂ z ∂ x

∂ y

(wykorzysta równo pochodnych mieszanych)

St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 10

4