x = x( u, v),
f : ∆ ∋ ( u, v)
( x, y) ∈ D , gdzie
y = y( u, v).
∂ x
∂ x
Macierz f ′ u
( , v) = ∂ u ∂ v
∂ y
∂ y nazywa si macierz Jacobiego odwzorowania f , za jej wyznacznik – jakobianem.
∂ u
∂ v
[Zad.1] Obliczy jakobian odwzorowania zwanego zamian współrz dnych kartezja skich na współrz dne biegunowe.
x = r ⋅ cos ϕ,
y = r ⋅ sin ϕ.
x
∂
x
∂
ϕ
∂
r
∂
− r ⋅ sin ϕ cosϕ
J (ϕ, r) =
=
= − r
y
∂
y
∂
r ⋅ cos ϕ
sin ϕ
ϕ
∂
r
∂
x = x( u, v),
f : ∆ ∋ u
( , v)
( x, y, z) ∈ D , gdzie y = y( u, v), z = z( u, v).
∂ x
∂ x
∂ u
∂ v
Macierz f ′( u, v) = ∂ y
∂ y
∂
nazywa si macierz Jacobiego odwzorowania f .
u
∂ v
∂ z
∂ z
∂ u
∂ v
x = x( u, v, )
w ,
f : ∆ ∋ ( u, v, w) ( x, y) ∈ D , gdzie
y = y( u, v, )
w .
∂ x
∂ x
∂ x
Macierz f ′( u, v, w) = ∂ u
∂ v
∂ w
∂ y
∂ y
nazywa si macierz Jacobiego odwzorowania f .
∂ t
∂ u
∂ v
∂ w
x = x( u, v, )
w ,
f : ∆ ∋ ( u, v, w) ( x, y) ∈ D , gdzie y = y( u, v, ) w ,
z = z( u, v, )
w .
∂ x
∂ x
∂ x
∂ u
∂ v
∂ w
Macierz f ′ u
( , v) = ∂ y
∂ y
∂ y
∂
nazywa si macierz Jacobiego odwzorowania f , za jej wyznacznik – jakobianem.
u
∂ v
∂ w
∂ z
∂ z
∂ z
∂ u
∂ v
∂ w
[Zad.2] Obliczy jakobian odwzorowania zwanego zamian współrz dnych kartezja skich na współrz dne walcowe.
P = ( x, y, z)
P 0 = ( x, y, 0)
x = r ⋅ cosϕ,
y = r ⋅ sin ϕ,
z = z.
x
∂
x
∂
x
∂
ϕ
∂
r
∂
z
∂
− r ⋅ cosϕ cosϕ 0
J (ϕ, r, z
y
∂
y
∂
y
) =
∂
det
= r ⋅ cosϕ
sin ϕ 0 = − r
ϕ
∂
r
∂
z
∂
z
∂
z
∂
z
∂
0
0
1
ϕ
∂
r
∂
z
∂
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 10
1
[Zad.3] Obliczy jakobian odwzorowania zwanego zamian współrz dnych kartezja skich na współrz dne sferyczne.
P = ( x, y, z)
P 0 = ( x, y, 0)
P = ( x, y, z)
ψ
O
P 0 = ( x, y, 0)
x = r ⋅ cos ϕ ⋅ cosψ,
y = r ⋅ sin ϕ ⋅ cos ψ,
z = r ⋅ sin ψ.
∂ x
∂ x
∂ x
ϕ
∂
ψ
∂
∂ r
− r ⋅ sin ϕ ⋅ cosψ − r ⋅ cosϕ ⋅ sin ψ cosϕ ⋅ cosψ
J (ϕ,ψ, r) =
∂ y
∂ y
∂
det
y
= r ⋅ cosϕ ⋅ cosψ
− r ⋅ sin ϕ ⋅ sin ψ sin ϕ ⋅ cosψ = 2
r cosψ
ϕ
∂
ψ
∂
∂
r
∂ z
∂ z
∂ z
0
r ⋅ cos ψ
sin ψ
ϕ
∂
ψ
∂
∂ r
• Funkcj ϕ: 3⊃ V → nazywamy polem skalarnym w przestrzeni 3.
•
ϕ
∂
ϕ
∂
ϕ
∂
Pole skalarne ϕ : 3 ⊃ V → nazywamy ró niczkowalnym, gdy istnieje pochodna grad ϕ =
= [ϕ′ x ϕ′ y ϕ′ z ].
x
∂
y
∂
z
∂
∂
∂
∂
Wprowadzaj c operator ró niczkowy ∇ =
, zwany nabl , dostajemy
∂ x ∂ y ∂ z
∂
∂
∂
ϕ
∂
ϕ
∂
ϕ
∂
grad ϕ = ∇ ⋅ ϕ =
⋅ ϕ =
.
∂ x ∂ y ∂ z
∂ x ∂ y
∂ z
• Własno ci gradientu:
[ a] grad(ϕ⋅ ψ) = gra ϕ
d ⋅ ψ + ϕ⋅ gra ψ
d
grad(ϕ ⋅ ψ) = ∂
[ (ϕ ⋅ ψ
∂
)
(ϕ ⋅ ψ
∂
)
(ϕ ⋅ ψ)] = ϕ
∂
[ ψ + ϕ ψ
∂
ϕ
∂ ψ + ϕ ψ
∂
ϕ
∂ ψ + ϕ ψ
∂ ] = ϕ
∂
[ ψ
ϕ
∂ ψ ϕ
∂ ψ] + [ϕ ψ
∂
ϕ ψ
∂
ϕ ψ
∂ ] =
∂
x
∂ y
∂ z
∂ x
∂ x
∂ y
∂ y
∂ z
∂ z
∂ x
∂ y
∂ z
∂ x
∂ y
∂ z
= ϕ
∂
ϕ
∂
ϕ
∂
[
]⋅ ψ + ϕ ⋅ ψ
∂
ψ
∂
ψ
∂
[
] = gra ϕ
d ⋅ ψ + ϕ ⋅ gra ψ
d
∂ x
∂ y
∂ z
∂ x
∂ y
∂ z
ϕ gradϕ⋅ ψ − ϕ⋅ gradψ
[ b] grad
=
2
ψ
ψ
ϕ
∂
ψ
∂
ϕ
∂
ψ
∂
ϕ
∂
ϕ
∂
ϕ
∂
ψ
∂
ψ
∂
ψ
∂
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ψ − ϕ
ψ − ϕ
ϕ
∂
[ ψ
ψ
ψ] − [ϕ
ϕ
ϕ ]
∂
∂
∂
∂ x
∂ x
∂ y
∂ y
ψ − ϕ ψ
∂
grad( ) = [ ( )
( )
( )] =
∂ z
∂
[
z ] = ∂ x
∂ y
∂ z
∂ x
∂ y
∂ z
=
ψ
∂ x ψ
∂ y ψ
∂ z ψ
ψ2
ψ2
ψ2
ψ2
ϕ
∂
ϕ
∂
ϕ
∂
[
] ⋅ ψ − ϕ ⋅ ψ
∂
ψ
∂
ψ
∂
[
]
= ∂ x ∂ y ∂ z
∂ x
∂ y
∂ z
= gradϕ ⋅ ψ − ϕ ⋅ gradψ
ψ2
2
ψ
[ c] grad F(ϕ) = F′(ϕ) ⋅ gra ϕ
d .
grad (
F ϕ) = ∂
[ ( F(ϕ
∂
))
( F(ϕ
∂
))
( F(ϕ))] = [ F ′(ϕ) ⋅ ϕ
∂
F ′(ϕ) ⋅ ϕ
∂
F ′(ϕ) ⋅ ϕ
∂ ] = F′(ϕ) ⋅ ϕ
∂
ϕ
∂
ϕ
∂
[
] = F ′(ϕ) ⋅ gra ϕ
∂
d
x
∂ y
∂ z
∂ x
∂ y
∂ z
∂ x
∂ y
∂ z
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 10
2
• (Pochodna pola skalarnego ϕ w punkcie M w kierunku wersora v ) = (gradϕ)( M ) • v = (grad ) ϕ ( M ) ⋅cos[ v,(grad )
ϕ ( M )] .
Zatem pr dko zmiany warto ci pola skalarnego w punkcie M osi ga maksimum równe grad ) ϕ ( M ) w kierunku wektora
(grad )
ϕ ( M ) . Gradient jest wektorem okre laj cym kierunek najszybszego wzrostu (spadku) warto ci pola skalarnego.
Zadania.
1. Oblicz gradient pola (
ϕ x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 − 2 xyz w punkcie M = , 1
( − ,
1 )
2 . W jakich punktach gradient jest prostopadły do osi Ox, w jakich punktach si zeruje?
2. Oblicz gradient pola
2
3
4
(
ϕ x, y, z) = 3 x y − 3 xy + y w punkcie M = , 1
( ,
2 )
0 .
x
3. Oblicz k t mi dzy gradientami pól
2
2
2
(
ϕ x, y, z) = x + y − z , ψ( x, y, z) = arcsin w punkcie M =
,
1
,
1
(
7 ) .
x + y
4. Dla pola ϕ( x, y, z) = x y − z wyznacz najwi ksz pr dko zmiany warto ci punkcie M = ( , 2 ,
2 )
4 .
5. Dla pola (
ϕ x, y, z) = ln( 2
x + 4 2
y ) wyznacz najwi ksz pr dko zmiany warto ci punkcie M = ( , 6 ,
4 )
0 .
6. Oblicz pochodn pola ϕ( x, y, z) = xyz w kierunku pola ψ( x, y, z) = 2 x 2 − 3 xz + z 2 + yz w punkcie M =
)
1
,
1
,
1
(
.
• Funkcj W : 3 ⊃ V ∋ ( x, y, z) →[ P( x, y, z) Q( x, y, z) R( x, y, z)]∈ 3 nazywamy polem wektorowym w przestrzeni 3.
• Dywergencj (rozbie no ci ) pola wektorowego W nazywamy pole skalarne okre lone nast puj co:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
di W
v
= ∇ • W =
• [ P Q R]
P
Q
R
=
+
+
.
x
∂
y
∂
z
∂
x
∂
y
∂
z
∂
•
ϕ
∂
ϕ
∂
Pole wektorowe W = [ P Q R] nazywamy potencjalnym, je li istnieje pole skalarne ϕ, e W = gra ϕ
d , czyli P =
, Q =
,
x
∂
y
∂
ϕ
∂
R =
(pole wektorowe W jest gradientem pewnego pola skalarnego ϕ). Pole skalarne ϕ nazywamy wówczas potencjałem pola W.
z
∂
Zadanie. Wyznaczymy potencjał pola wektorowego W = [2 3
2
x − xy
2 3
2
y − x y] .
Rozwi zanie.
ϕ
∂
3
2
P =
= 2 x − xy → ϕ = (2 3
2
x − xy )
1
4
1
2 2
dx = x − x y + C( y) x
∂
2
2
3
2
ϕ
∂
2
dC
dC
Q = 2 y − x y =
= − x y +
→
3
= 2 y → C( y) =
y 3
2 dy = 1 y 4 + K (stała) y
∂
dy
dy
2
Odp. ϕ( x, y = 1
)
x 4 − 1 x 2 y 2 + 1 y 4 + K .
2
2
2
Zadania.
Wyznacz potencjał pola wektorowego
y
x
a)
W = 1 −
,
2
x + 2
2
y
x + 2
y
b)
W = [ ey xey − 2 y],
y + sin x ⋅ cos2 ( xy)
x
c)
W =
sin y +
,
cos2 ( xy)
cos2 ( xy)
1
x
y
y
1
y
x
x
1
d)
W =
⋅ sin −
cos + 1
⋅ cos −
sin +
.
2
2
2
y
y
x
x
x
x
y
y
y
• Pole W : 2 ⊃ D ∋ ( x, y) → [ P( x, y) Q( x, y)]∈ 2 (
1
W ∈ C ( D) , D – obszar jednospójny) jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy P
∂
Q
∂
=
. (Jest to wniosek z twierdzenia Schwarza o pochodnych mieszanych).
y
∂
x
∂
• Rotacj (wirowo ci ) pola wektorowego W nazywamy pole wektorowe okre lone nast puj co: i
j
k
∂ R ∂ Q ∂ P ∂ R ∂ Q ∂ P
ro W
t
= ∇ × W = ∂
∂
∂ =
−
−
−
.
∂ x
∂ y
∂ z
∂ y
∂ z
∂ z
∂ x
∂ x
∂ y
P Q R
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 10
3
• Pole W : 3 ⊃ V ∋ ( x, y, z) → [ P( x, y, z) Q( x, y, z) R( x, y, z)]∈ 3 (
1
W ∈ C ( V ) , V – obszar jednospójny) jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy rot W = 0 . (Jest to wniosek z tw. Schwarza o pochodnych mieszanych)
• Potencjał (
ϕ x, y, z) pola potencjalnego W = [ P Q R] znajdujemy ze wzoru x
y
z
ϕ( x, y, z) = P( x, y, z) dx + Q( x 0, y, z) dx + R( x 0, y 0, z) dx + K
x
y
z
0
0
0
Zadania.
Uzasadni poni sze wzory:
a) div(ϕ ⋅ W ) = gradϕ • W + ϕ ⋅ di W
v
,
b) div(rot W ) = 0 ,
c) rot(grad )
ϕ = 0 .
∂(ϕ ⋅ P) ∂(ϕ ⋅ Q) ∂(ϕ ⋅
∂(ϕ ⋅ P) ∂(ϕ ⋅ Q) ∂(ϕ ⋅ R) ϕ
∂
∂ P
ϕ
∂
∂ Q
ϕ
∂
∂ R
div ϕ
( ⋅
)
W ) =
+
+
R =
+
+
=
⋅ P + ϕ ⋅
+
⋅ Q + ϕ ⋅
+
⋅ R + ϕ ⋅
=
∂ x
∂ y
∂ z
∂ x
∂ y
∂ z
∂ x
∂ x
∂ y
∂ y
∂ z
∂ z
ϕ
∂
∂ P
ϕ
∂
∂ Q
ϕ
∂
∂ R
ϕ
∂
ϕ
∂
ϕ
∂
∂ P ∂ Q ∂
=
⋅ P + ϕ ⋅
+
⋅ Q + ϕ ⋅
+
⋅ R + ϕ ⋅
=
R
[
] •[ P Q R] + ϕ ⋅[
] = gradϕ • W + ϕ ⋅ di W
v
∂ x
∂ x
∂ y
∂ y
∂ z
∂ z
∂ x ∂ y
∂ z
∂ x
∂ y
∂ z
∂
∂
∂
∂ R ∂ Q ∂ P ∂ R ∂ Q ∂ P
∂ ∂ R ∂ Q
∂ ∂ P ∂ R
∂ ∂ Q ∂ P
div(rot W ) = ∇ • (ro W
t ) =
•
−
−
−
=
−
+
−
+
−
= 0
∂ x ∂ y ∂ z
∂ y
∂ z
∂ z
∂ x
∂ x
∂ y
∂ x ∂ y
∂ z
∂ y ∂ z
∂ x
∂ z ∂ x
∂ y
(wykorzysta równo pochodnych mieszanych)
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 10
4