13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1
Talia kart składa się z 16 figur i 36 blotek. Dobrze potasowane karty rozdajemy czterem
graczom, każdemu po 13. Jakie jest prawdopodobieństwo p , że każdy z graczy otrzyma 4
figury i 9 blotek?
4
13
ëÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
(A) p =
52
ëÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚16
íÅ‚ Å‚Å‚
4
16
ëÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
(B) p =
52
ëÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚13
íÅ‚ Å‚Å‚
13 9 5
ëÅ‚ ëÅ‚ ëÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚ ìÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚ ìÅ‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚4Å‚Å‚íÅ‚4Å‚Å‚
(C) p =
52 36 20
ëÅ‚ ëÅ‚ ëÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚
ìÅ‚16 ìÅ‚16 ìÅ‚
ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚16 Å‚Å‚
16 Å"15Å"14 Å"13
(D) p =
164
1
(E) p =
4
13
ëÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
1
 13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2
W urnie znajdują się kule, z których każda jest oznaczona jedną z liter alfabetu:
" 10 kul oznaczonych literÄ… A,
" 20 kul oznaczonych literÄ… B,
" 30 kul oznaczonych literÄ… C,
" x kul oznaczonych innymi literami alfabetu.
Losujemy ze zwracaniem 7 razy po jednej kuli z urny. Zmienne losowe N , NB , NC
A
oznaczają, odpowiednio, liczbę tych ciągnień, w których pojawiła się litera A,B,C.
Jakie musi być x , aby zmienne losowe N + NB oraz NB + NC były nieskorelowane ?
A
(A) x 25
(B) x 20
(C) x 15
(D) x 10
(E) x 50
2
 13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3
Załóżmy, że X1,..., X ,... są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie
n
jednostajnym na przedziale [0,1], zaś N jest zmienną o rozkładzie Poissona o wartości
oczekiwanej , niezależną od X1,..., X ,... . Niech
n
max(X1,..., X ) gdy N > 0;
Å„Å‚
N
M =
òÅ‚
0 gdy N = 0.
ół
Oblicz E(M ) .
(A) E(M ) = e
e
(B) E(M ) =
e +1
e -1
(C) E(M ) =
e
1- e
(D) E(M ) = 1-
(E) E(M ) =
+1
3
 13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4
Zmienne losowe I1, I2 ,..., In ,... i X1, X ,..., X ,... są niezależne. Każda ze zmiennych Ii ma
2 n
jednakowy rozkład prawdopodobieństwa: Pr(Ii = 1) = p , Pr(Ii = 0) = 1- p = q . Każda ze
zmiennych X ma jednakowy rozkład prawdopodobieństwa taki, że E(X ) = i
i i
2
Var(X ) = . Niech
i
n n
Sn = Ii X , Kn = Ii .
" i "
i 1 i 1
Sn - Kn
Zbadaj zbieżność rozkładów prawdopodobieństwa zmiennych losowych przy
n
n " .
Sn - Kn
2
(A) N(0, )
n
Sn - Kn
2
(B) N(0, p )
n
Sn - Kn
2 2
(C) N(0, p + pq )
n
Sn - Kn
(D) nie jest ciągiem zbieżnym do rozkładu normalnego
n
Sn - Kn
2 2
(E) N(0, p + q )
n
4
 13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5
Załóżmy, że W1,W2 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
wykładniczym, E(Wn ) = 1/ dla n = 1,2 . Niech X = min(W1,W2 ) .
Oblicz E(W | X ) .
1
1
(A) E(W | X ) = X +
1
1
(B) E(W | X ) = X +
1
2
X +1/
(C) E(W | X ) =
1
2
1
(D) E(W | X ) =
1
(E) E(W | X ) = min(X ,1/ )
1
Wskazówka: Zauważ, że z prawdopodobieÅ„stwem ½ mamy W1 = X .
5
 13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6
Załóżmy, że X1,..., X , X ,..., X jest próbką z rozkładu normalnego
m m 1 n
2
N( , ) . Niech
m
1
X = X będzie średnią z pierwszej części próbki;
m " i
m
i 1
n
1
X = X będzie średnią z całej próbki.
n " i
n
i 1
Oblicz
m
îÅ‚
"(X - X )2 Å‚Å‚
i m
ïÅ‚ śł
i 1
ïÅ‚ śł
r = E .
n
ïÅ‚
"(X - X )2 śł
i n
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ i 1 ûÅ‚
m
(A) r =
n
m -1
(B) r =
n - 2
m
(C) r =
n -1
m -1
(D) r =
n -1
m -1
(E) r =
n
6
 13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7
Niech X1,..., X będzie próbką z rozkładu prawdopodobieństwa o gęstości
n
Å„Å‚
e x dla x e" 0;
f (x) =
òÅ‚
0 dla x < 0.
ół
1 n
Parametr 0 jest nieznany. Niech X = X .
" i
i 1
n
Znajdz
taką liczbę c , żeby c(X )2 był nieobciążonym estymatorem wariancji pojedynczej
zmiennej X .
i
n +1
(A) c =
n
n -1
(B) c =
n
(C) c 1
(D) Nie istnieje taka liczba c
n
(E) c =
n +1
7
 13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8
2
Każda ze zmiennych losowych X1, X ,..., X100 ma rozkład normalny N , z nieznaną
2
2
wartością oczekiwaną i znaną wariancją . Założono, że zmienne są niezależne i
zbudowano w standardowy sposób przedział ufności na poziomie 1 0.95 dla :
X -1.96 10 , X +1.96 10 .
W rzeczywistości, zmienne X1, X ,..., X100 mają łączny rozkład normalny, ale
2
sÄ… skorelowane, Corr(X , X ) = 1/10 dla wszystkich i `" j .
i j
Oblicz faktyczny poziom ufności, czyli
c = Pr X -1.96 10 d" d" X +1.96 10 .
(z dokładnością do 0.01).
(A) c 0.99
(B) c 0.97
(C) c 0.45
(D) c 0.90
(E) c 0.85
8
 13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9
Niech X będzie pojedynczą obserwacją z rozkładu prawdopodobieństwa Pareto o
dystrybuancie
Å„Å‚1-
dla x e" 0;
ôÅ‚
ôÅ‚
+ x
F (x) =
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 0 dla x < 0.
ół
Rozważmy test najmocniejszy hipotezy H0 : = 1 przeciwko alternatywie H1 : = 101 na
poziomie istotności 0.01.
Wyznacz moc tego testu.
(A) moc 0.805
(B) moc 0.005
(C) moc 0.020
(D) moc 0.915
(E) moc 0.505
9
 13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10
Rozważmy łańcuch Markowa X , X1,...X ,...o trzech stanach:  1 ,  2 i ,,3  który ma
0 n
następującą macierz prawdopodobieństw przejścia:
1/ 2 1/ 2 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1/
P = 3 0 2 / 3śł .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚1/ 3 0 2 / 3ûÅ‚
(oczywiście, element Pij stojący w i -tym wierszu i j -tej kolumnie tej macierzy oznacza
Pr(X = j | X = i) ). Załóżmy ponadto, że Pr(X = 1) = 1/ 6 , Pr(X = 2) = 1/ 3 i
n 1 n 0 0
Pr(X = 3) = 1/ 2 . Oblicz
0
lim Pr(X1 = 1| X = 2) .
n
n
(A) lim Pr(X1 = 1| X = 2) = 2 / 5
n
n
(B) lim Pr(X1 = 1| X = 2) = 1/ 6
n
n
(C) lim Pr(X1 = 1| X = 2) = 13/ 36
n
n
(D) lim Pr(X1 = 1| X = 2) nie istnieje
n
n
(E) lim Pr(X1 = 1| X = 2) = 1/ 3
n
n
10
 13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
XXV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 kwietnia 2002 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Arkusz odpowiedzi*
ImiÄ™ i nazwisko ............................ K L U C Z O D P O W I E D Z I ..................................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacja
1 A
2 C
3 D
4 B
5 B
6 D
7 E
8 C
9 E
10 C
*
szczone w Arkuszu odpowiedzi.
11