Zadania z analizy dla pierwszego roku matematyki
Zestaw 9
Zadanie 1. Korzystając z definicji oraz z faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne, obliczyć
Ä„
1 1
2
całki oznaczone: x2dx, 3xdx, sin xdx.
0 0 0
Zadanie 2. Wykorzystując twierdzenie Newtona-Leibniza, wyznaczyć całki oznaczone:
"
Ä„
e 1 Ä„/2
4 dx
1) ln xdx 2) tg xdx 3) 4) x sin x2dx
1 0 0 x2 + 6x + 10 0
Zadanie 3. Korzystając z definicji całki oznaczonej uzasadnić podane równości:
12 + 22 + . . . + n2 1
a) lim = ,
n"
n3 3

1 1 1
b) lim + . . . + = ln2,
n"
n + 1 n + 2 n + n

Ą Ą 2Ą nĄ
c) lim sin + sin + . . . + sin = 2.
n"
n n n n
Zadanie 4. Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki:

4 e Ä„
dx lnx
1) " , 2) dx, 3) sin xecos xdx.
0 1 + x 1 x 0
Zadanie 5. Obliczyć całki stosując metodę całkowania przez części:

1 1 2
1) xarctgxdx, 2) x2e2xdx, 3) ln xdx.
0 0 1
Zadanie 6. Pokazać, że jeżeli f jest funkcją parzystą (odpowiednio: nieparzystą) na prze-

a a a
dziale [-a, a], to f(x)dx = 2 f(x)dx (odpowiednio f(x)dx = 0).
-a 0 -a
Zadanie 7. Pokazać, że spełnione są równości:

1/2 Ä„/3 1 1
1 + x
a) ln dx = 0 b) x10 sin9 xdx = 0 c) ecos xdx = 2 ecos xdx
1
-1/2 - x -Ä„/3 -1 0
Zadanie 8. Udowodnić, że


1 " 1 "
Ä„ dx Ä„ xdx
" " "
1) 2) 2 - 1 ln 1 + 2.
6 0 - x2 - x3 4 2 1 + x3
0
4
Zadanie 9. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych:

+" +" +" +"
2 dx dx ln x
1) xe-x dx 2) 3) 4) dx
0 -" x2 + 2x + 2 0 1 + x4 1 x
3 Ä„
1 Ä„ 1
dx 2 dx dx 2 cos x
" "
5) , 6) , 7) , 8) dx.
3 3
x2
0 1 - x Ä„ sin2 x -1 - 1 0 1 - 2 sin x
1
2
Zadanie 10. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaści-
wych:

" " 1
xdx (1 + sin x)dx
1) e-x sin2 xdx, 2) , 3) " .
x2
0 2 - arctgx 0 x
Zadanie 11. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów:
"
" " "

1 n2 n
1) , 2) , 3) .
3
n ln n en n + 1
n=2 n=1 n=1
Zastosowania geometryczne
Długość łuku
Długość V (ł) krzywej ł : [a, b] Rn klasy C1:

b
V (Å‚) = ||Å‚ (t)||dt, (1)
a
gdzie || · || jest normÄ… euklidesowÄ… w Rn. Dla n = 2 mamy: Å‚(t) = (x(t), y(t)) oraz

b
V (Å‚) = (x (t))2 + (y (t))2dt. (2)
a
W przypadku parametrycznego przedstawienia krzywej ł we wspólrzędnych biegunowych:
x(t) = r(t) cos ¸(t), y(t) = r(t) sin ¸(t)
całka (2) przyjmuje postać:

b
V (Å‚) = (r (t))2 + r2(t) (¸ (t))2dt. (3)
a
JeÅ›li za parametr t przyjmiemy sam kÄ…t: ¸ a" t " [0, 2Ä„], to wówczas ¸ (t) a" 1, r(t) a" r(¸),
a wzór (3) możemy zapisać w postaci

2Ä„
V (Å‚) = (r (¸))2 + r2(¸)d¸. (4)
0
Jeśli za rozważany łuk przyjmiemy wykres funkcji f : [a, b] R klasy C1, to jego pa-
rametryzację ł(t) = (x(t), y(t)) otrzymamy przyjmując x(t) a" t, y(t) a" f(t), a wówczas
wzór (2) możemy zapisać jako

b
V (Å‚) = 1 + (f (t))2dt. (5)
a
Zadanie 12. Obliczyć długość łuku:
a) cykloidy: x = r(t - sin t), y = r(1 - cos t), gdzie r > 0, t " [0, 2Ä„],
b) kardioidy: r = a(1 + cos ¸), a > 0, w przedziale 0 ¸ Ä„,
c) spirali Archimedesa: r = a¸, gdzie a > 0, ¸ " [0, 2Ä„],
1
d) krzywej y = ln(1 - x2) w przedziale 0 x .
2
3
Pole powierzchni figury płaskiej
Jeśli f : [a, b] R jest nieujemną funkcją całkowalną w sensie Riemanna, to zbiór
A = {(x, y) " R2|x " [a, b], 0 y f(x)}
jest mierzalny w sensie Jordana, a jego powierzchnia wynosi

b
|A| = f(x)dx. (6)
a
W przypadku, gdy funkcja f jest niedodatnia oraz
A = {(x, y) " R2|x " [a, b], f(x) y 0},
to

b
|A| = - f(x)dx. (7)
a
Ogólniej, dla funkcji f przyjmującej dowolne znaki pole obszaru A ograniczonego osią Ox,
wykresem funkcji f i prostymi x = a oraz x = b wyraża się wzorem:

b
|A| = |f(x)|dx. (8)
a
Jako wniosek otrzymujemy następujący fakt: jeśli f, g : [a, b] R są funkcjami całko-
walnymi, to pole obszaru A ograniczonego wykresami tych funkcji i prostymi x = a oraz
x = b wyraża się wzorem:

b
|A| = |f(x) - g(x)|dx. (9)
a
JeÅ›li 0 Ä… ² 2Ä„, to pole obszaru A ograniczonego (we współrzÄ™dnych bieguno-
wych) półprostymi ¸ = Ä… i ¸ = ² oraz wykresem nieujemnej funkcji caÅ‚kowalnej r = r(¸)
jest równy

²
1
|A| = r2(¸)d¸. (10)
2 Ä…
W konsekwencji, pole figury A ograniczonej półprostymi ¸ = Ä… i ¸ = ² oraz krzywymi
r = r1(¸), r = r2(¸) wynosi

²
1
|A| = (r1(¸) - r2(¸))2d¸. (11)
2 Ä…
Pole obszaru A ograniczonego krzywą zamkniętą ł : [a, b] R klasy C1, dodatnio
zorientowaną, jest równy (przyjmujemy: ł(t) = (x(t), y(t))):

b
1
|A| = (x(t)y (t) - x (t)y(t)) dt. (12)
2 a
Zadanie 13. Znalez
ć pola figur, na które parabola y2 = 6x dzieli koło x2 + y2 = 16.
Zadanie 14. Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi o równaniach:
1)y = 2x - x2 i x + y = 0 2)y = x2 i x = y2
x2 x2
3) + y2 = 1 i - y2 = 1
4 2
Zadanie 15. Znalez
ć pole obszaru ograniczonego kardioidÄ… r = a(1 + cos ¸), gdzie a > 0.
4
Zadanie 16. Obliczyć pole figury ograniczonej linią:
a) x = a sin t, y = b sin t gdzie a > 0, b > 0, t " [0, 2Ä„],
b) x = 3(cos t + t sin t), y = 3(sin t - t cos t), 0 t 2Ä„,
3at 3at2
c) x = , y = gdzie a > 0, t " [0, +").
1 + t3 1 + t3
Objętość i pole powierzchni figury obrotowej
Niech f : [a, b] R będzie funkcją całkowalną i niech

A = {(x, y, z) " R3|x " [a, b], y2 + z2 |f(x)|}.
Jest to zbiór ograniczony płaszczyznami x = a i x = b oraz powierzchnią powstałą z
obrotu wykresu funkcji f wokół osi Ox. Jego objętość |A| wyraża się wzorem:

b
|A| = Ä„ f2(x)dx, (13)
a
a jeśli f jest klasy C1, to pole powierzchni bocznej tej bryły ma wartość


b
b(A) = 2Ä„ |f(x)| 1 + (f (x))2dx. (14)
a
Niech teraz f : [a, b] R będzie funkcją całkowalną i niech a 0. Rozważmy zbiór
A ograniczony powierzchnią powstałą przez wykresu funkcji f wokół osi Oy, płasz-
"obrót "
czyzną y = 0 oraz powierzchniami walców x2 + z2 = a i x2 + z2 = b:
" "
A = {(x, y, z) " R3|a x2 + z2 b, 0 y |f( x2 + z2)|}.
Jego objętość wynosi

b
|A| = 2Ä„ x|f(x)|dx, (15)
a
a jeśli funkcja f jest klasy C1, to pole powierzchni bocznej tej bryły jest równe


b
b(A) = 2Ä„ |f(x)| 1 + (f (x))2dx. (16)
a
Jeśli ł : [a, b] R2 jest krzywą zamkniętą klasy C1, dodatnio zorientowaną, przy czym
ł(t) = (x(t), y(t)), y(t) 0, to objętość bryły A ograniczonej powierzchnią powstałą
przez obrót tej krzywej wokół osi Ox wynosi

b
|A| = -Ä„ y2(t)x (t)dt, (17)
a
natomiast pole powierzchni jest równe


b
b(A) = 2Ä„ y(t) (x (t))2 + (y (t))2dt. (18)
a
Jeśli zaś x(t) 0, to objętość bryły A ograniczonej powierzchnią powstałą przez obrót
krzywej ł wokół osi Oy wyraża się wzorem

b
|A| = Ä„ x2(t)y (t)dt, (19)
a
5
a pole jej powierzchni wynosi


b
b(A) = 2Ä„ x(t) (x (t))2 + (y (t))2dt. (20)
a
Niech ł : [a, b] R, ł(t) = (x(t), y(t)), y(t) 0, będzie krzywą zwyczajną klasy
C1, łączącą dwa różne punkty (x(a), y(a)) i (x(b), y(b)). Połączmy je dodatkowo łamaną
przechodzącą przez punkty (x(a), 0) i (x(b), 0). Obszar ograniczony tak powstałą krzy-
wą nazywa się trapezem krzywoliniowym. Przypuśćmy, że orientacja krzywej ł względem
trapezu jest taka, że pozostaje on po lewej stronie krzywej podczas jej obiegu. Objętość
figury A powstałej wskutek obrotu trapezu wokół osi Ox wyraża się wówczas wzorem:

b
|A| = -Ä„ y2(t)x (t)dt, (21)
a
a pole jej powierzchni bocznej wynosi


b
b(A) = 2Ä„ y(t) (x (t))2 + (y (t))2dt. (22)
a
Zadanie 17. Obliczyć objętość i pole powierzchni bocznej stożka kołowego o wysokości
h i promieniu podstawy r.
Zadanie 18. Obliczyć pole powierzchni powstałej z obrotu łuku paraboli y2 = 4x w
granicach 0 x 3 dokoła osi Ox oraz objętość bryły ograniczonej tą powierzchnią i
płaszczyzną x=3.
Zadanie 19. Obliczyć objętość i pole powierzchni brył, które powstają przez obrót pętli
określonej parametrycznie: x(t) = 2t - t2, y(t) = 4t - t3, t " [0, 2], dookoła osi Ox oraz
Oy.
Zadanie 20. Obliczyć objętość i pole powierzchni torusa, czyli bryły powstałej przez obrót
dookoła osi Ox koła {(x, y) " R2|x2 + (y - R)2 r2}. Użyć następującej parametryzacji
okręgu: x(t) = r cos t, y(t) = R + r sin t, t " [0, 2Ą].
Zadanie 21. Obliczyć objętość oraz pole powierzchni elipsoidy powstałej z obrotu elipsy
dookoła osi Ox. Jakie wyniki otrzymujemy, gdy elipsoida jest kulą?