Zadanie 3.11. (c.d.)
(3) Istnieje zbi r mierzalny E taki, że A �" E i " (A) =  (E).
(4) Istnieje zbi r K " G� taki, że A �" K i " (A) =  (K).
k
Zadanie 3.27. Udowodnić, że dla dowolnego zbioru A �" :
(1) " (A) = sup { (E) : E �" A '" E " Sk}.
(2) " (A) = sup { (F) : F �" A '" F " F}.
(3) " (A) = sup { (F) : F �" A '" F - zwarty}.
(4) Istnieje zbi r mierzalny E taki, że E �" A i " (A) =  (E).
(5) Istnieje zbi r H " F� taki, że H �" A i " (A) =  (H).
k
Zadanie 3.28. Niech A �" , E " Sk. Udowodnić, że:
(1) Jeżeli A �" E i " (A) =  (E) < ", to E jest mierzalna otoczka A.
(2) Jeżeli E �" A i " (A) =  (E) < ", to E jest mierzalnym jadrem A.
k
Zadanie 3.29. Zal żmy, że An �" dla n " .
"
(1) Udowodnić, że jeżeli dla każdego n " , Ln jest mierzalna otoczka An, to Ln
n=1
"
jest mierzalna otoczka An.
n=1
"
(2) Udowodnić, że jeżeli dla każdego n " , Kn jest mierzalnym jadrem An, to Kn
n=1
"
jest mierzalnym jadrem An.
n=1
(3) Podać przyklad zbior w A1, A2, K1, K2 �" takich, że Kn jest mierzalnym jadrem An
(n = 1, 2), ale K1 *" K2 nie jest mierzalnym jadrem A1 *" A2.
(4) Podać przyklad zbior w A1, A2, L1, L2 �" takich, że Ln jest mierzalna otoczka An
(n = 1, 2), ale L1 )" L2 nie jest mierzalna otoczka A1 )" A2.
Zadanie 3.30. Korzystajac z zadań 3.11, 3.27, 3.28 i 3.29 udowodnić, że każdy zbi r
k
A �" ma mierzalna otoczke i mierzalne jadro (wzgledem miary Lebesgue a).
Errata do zadania 3.25. (Na Wikampie jest już wersja poprawiona).
1 2 7 8
Jest: P0 = , , P1 = , .
9 9 9 9
1 2 7 8
Powinno być: P0 = , , P1 = , .
9 9 9 9
1