IX. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEC
STWA
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń w skończonych
przestrzeniach probabilistycznych
Maria Kielar, Tomasz Kielar
Wszelkie prawa zastrzeżone. Kopiowanie i rozpowszechnianie całości lub fragmentu niniejszej publikacji
w jakiejkolwiek postaci jest zabronione.
Autorzy oraz Wydawnictwo Dobry eBook dołożyli wszelkich starań, aby zawarte w tej książce informacje były
kompletne i rzetelne. Nie biorą jednak żadnej odpowiedzialności ani za ich wykorzystanie, ani za związane z tym
ewentualne naruszenie praw patentowych lub autorskich. Autorzy i Wydawnictwo Dobry eBook nie ponoszą również
żadnej odpowiedzialności za ewentualne szkody wynikłe z wykorzystania informacji zawartych w niniejszej publikacji.
Wszelkie prawa zastrzeżone � 2009 Dobry eBook
ISBN: 978-83-60863-88-6 (całość), 978-83-60863-89-3 (część 1), 978-83-60863-90-9 (część 2),
978-83-60863-91-6 (część 3), 978-83-60863-92-3 (część 4)
Wydanie II
Dobry eBook
ul. Grenadierów 5/5, 30-085 Kraków
tel./fax [phone]
e-mail: [e-mail]
www.DobryeBook.pl
Spis treści
1 Wstęp 3
2 IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń w skończonych 4-15
przestrzeniach probabilistycznych  poziom podstawowy
i rozszerzony
3 IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom 16-67
podstawowy i rozszerzony
www.DobryeBook.pl
eBook
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
3
Wstęp
1 Wstęp
Zdanie nowego egzaminu maturalnego z matematyki to marzenie każdego licealisty. Nie wystarczy chcieć
zdać, ale trzeba jeszcze wiedzieć jaki materiał obowiązuje do egzaminu, w jakiej formie ma być
przyswojony, a następnie wykorzystany na egzaminie.
Tematy zadań, odpowiedzi oraz przykładowe rozwiązania  to materiał, który proponujemy absolwentom
szkół ponadgimnazjalnych (liceów ogólnokształcących i profilowanych) zdających egzamin maturalny
w zakresie podstawowym lub rozszerzonym.
Matematyka może być przedmiotem wybranym przez zdającego jako obowiązkowy, zdawany na poziomie
podstawowym (120 min) lub rozszerzonym (180 min).
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie, w porozumieniu z pozostałymi komisjami okręgowymi,
opracowała Informator maturalny od 2008 roku z matematyki, w którym zostały umieszczone  standardy
wymagań egzaminacyjnych , czyli wykaz zagadnień wymaganych do matury w latach 2008 i 2009. Do
matury w 2010 r. obowiązują nowe  standardy wymagań egzaminacyjnych , które również opublikowała
CKE.
Mając na uwadze jakie trudności mają nauczyciele i uczniowie z dobraniem odpowiednich zadań, w czasie
nauki szkolnej, przygotowaliśmy odpowiedni zbiór zadań, którego struktura i plan poszczególnych działów
uwzględniają standardy wymagań.
Autorami zbioru są: Maria Kielar  absolwentka Wydziału Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego,
nauczycielka matematyki z 30 letnim stażem pracy w szkole średniej i Tomasz Kielar  absolwent Wydziału
Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego. Od początku swojej aktywności zawodowej pracuje w jednym
z krakowskich liceów, egzaminator OKE. Połączenie dużego doświadczenia z aktualnymi potrzebami na
bazie dobrych podstaw teoretycznych owocuje materiałem bardzo praktycznym.
Zestaw pytań jest bardzo dobrze dobrany do obowiązującego programu, a bardzo dużą zaletą zbioru jest to,
że posiada on zestaw rozwiązań przykładowych, które ułatwią rozwiązywanie proponowanych zadań.
Cały materiał podzielony jest na IX działów:
I. Liczby i ich zbiory, II. Funkcje i ich własności, III. Wielomiany i funkcje wymierne, IV. Funkcje
trygonometryczne, V. Ciągi liczbowe, VI. Planimetria, VII. Geometria analityczna, VIII. Stereometria,
IX. Rachunek prawdopodobieństwa.
Proponowany eBook obejmuje dział IX. Rachunek prawdopodobieństwa, którego materiał wymagany jest
na egzaminie maturalnym na poziomie podstawowym i rozszerzonym.
IX.3. zawiera zadania na obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń losowych na podstawie definicji klasycznej
za pomocą drzewa lub na podstawie własności prawdopodobieństwa (bez wykorzystania wzorów
kombinatorycznych  poziom podstawowy, z wykorzystaniem wzorów kombinatorycznych  poziom
rozszerzony).
www.DobryeBook.pl strona 3 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
4
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&  poziom podstawowy i rozszerzony
2 IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń w skończonych
przestrzeniach probabilistycznych  poziom podstawowy
i rozszerzony
obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń losowych na podstawie definicji klasycznej lub
za pomocą drzewa,
obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń losowych na podstawie własności
prawdopodobieństwa.
w  zadanie z rozwiązaniem
(R)  zadania z zakresu rozszerzonego
3.1 Rzucamy monetą i sześcienną kostką do gry. Oblicz, korzystając z definicji klasycznej lub za
pomocą drzewka prawdopodobieństwo następującego zdarzenia:
a) A  wypadła reszka i parzysta liczba oczek,
b) B  wypadł orzeł i szóstka,
c) C  wypadła piątka,
d) D  wypadł orzeł i liczba oczek podzielna przez 3,
e) E  wypadła reszka i liczba oczek będąca liczbą pierwszą,
f) F  wypadł orzeł. w
3.2 Ze zbioru liczb całkowitych dwucyfrowych mniejszych od 50 losujemy jedną liczbę. Oblicz
prawdopodobieństwo, że jest to liczba:
a) podzielna przez 2,
b) podzielna przez 2 lub przez 3,
c) podzielna przez 2 i przez 3,
d) podzielna przez 2 i nie jest podzielna przez 4,
e) podzielna przez 4 i nie jest podzielna przez 10,
f) podzielna przez 2 lub podzielna przez 7. w
3.3 Ze zbioru liczb całkowitych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana liczba jest:
a) kwadratem liczby jednocyfrowej,
b) iloczynem dwóch kolejnych liczb nieparzystych,
c) naturalną potęgą liczby 2,
d) pierwiastkiem arytmetycznym z liczby trzycyfrowej,
e) liczbą pierwszą,
f) liczbą podzielną przez 9 lub przez 7. w
3.4 Ze zbioru cyfr {1;2;3;4;5;6}losujemy dwie cyfry ze zwracaniem i zapisujemy je w kolejności
losowania. Oblicz z definicji klasycznej i przedstaw drzewkiem prawdopodobieństwo, że
otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa jest:
www.DobryeBook.pl strona 4 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
5
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&  poziom podstawowy i rozszerzony
a) nieparzysta, b) parzysta, c) podzielna przez 3,
d) podzielna przez 5, e) podzielna przez 4,
f) podzielna przez 15. w
3.5 Rzucamy dwa razy czworościanem foremnym o ponumerowanych ścianach od 1 do 4.
Oblicz z definicji klasycznej i za pomocą drzewka prawdopodobieństwo zdarzenia:
a) suma wyrzuconych liczb jest większa od 5,
b) wartość bezwzględna różnicy wyrzuconych liczb wynosi 1,
c) suma wyrzuconych liczb nie jest większa od 4,
d) iloczyn wyrzuconych liczb jest liczbą parzystą,
e) iloczyn wyrzuconych liczb jest liczbą nieparzystą,
f) suma wyrzuconych liczb wynosi 5. w
3.6 Ze zbioru liczb Z = {- 3;-2;-1;0;1;2;3} losujemy dwa razy ze zwracaniem po jednej liczbie.
Oznaczamy zdarzenia:
A  suma wylosowanych liczb jest równa zero,
B  iloczyn wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.
Oblicz:
b) P(A )" B), P(A \ B), c)
a) P(A), P(B), P(A'), P(B'), P(A *" B), P(B \ A),
d) P(A *" B'), P(A )" B'), e) P(A' *" B), P(A' )" B), f) P(A' *" B'), P(A' )" B'). w
3.7 Ze zbioru liczb Z = {- 3;-2;-1;0;1;2;3;4} losujemy kolejno dwie liczby bez zwracania.
Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych tego doświadczenia. Zaznacz na płaszczyz
nie zbiór
X, a następnie oblicz prawdopodobieństwo, że punkt S(a;b), gdzie a i b są odpowiednio
pierwszą oraz drugą z wylosowanych liczb należy do zbioru X. Wykonaj obliczenia, jeśli:
a) X = {(x; y): x " R '" y " R '" y = x - 2}, b) X = {(x; y): x " R '" y " R '" y e" x - 3},
c) X = {(x; y): x " R '" y " R '" x2 + y2 = 4}, d) X = {(x; y): x " R '" y " R '" y = x2 +1},
e) X = {(x; y): x " R '" y " R '" x + y < 3}, f) X = {(x; y): x " R '" y " R '" x + y - 3 = 0}. w
3.8 Ze zbioru liczb Z = {0;1;2;3;4;5;6} losujemy dwa razy bez zwracania po jednej liczbie.
Oznaczmy:
A  suma wylosowanych liczb jest równa 5,
B  iloczyn wylosowanych liczb jest mniejszy od 5.
Oblicz:
a) P(A), P(B), P(A'), P(B'), b) P(A )" B), P(A \ B), c) P(A *" B), P(B \ A),
f) P(A' *" B'), P(A' )" B').
d) P(A )" B'), P(A \ B'),  (R) e) P(A' *" B), P(A' )" B),  (R)
(R) w
3.9 (R)  Rzucamy trzy razy symetryczną kostka do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
a) za każdym razem otrzymamy inną liczbę oczek,
b) otrzymamy co najmniej dwa razy  szóstkę ,
www.DobryeBook.pl strona 5 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
6
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&  poziom podstawowy i rozszerzony
c) liczba oczek otrzymana za pierwszym razem będzie o 2 większa od sumy oczek wyrzuconych
za drugim i trzecim razem,
d) w pierwszym rzucie otrzymamy  jedynkę , a w drugim i trzecim parzyste liczby oczek,
e) w co najmniej dwóch rzutach liczba oczek się powtórzy,
f) wynik drugiego rzutu jest o 1 większy od wyniku pierwszego rzutu. w
3.10 Mikrobus z czterema pasażerami zatrzymuje się na pięciu ostatnich przystankach. Żaden
dodatkowy pasażer nie wsiadł już do mikrobusu. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a) na żadnym przystanku nie wysiądzie więcej niż jeden pasażer,
b) wszyscy pasażerowie wysiądą na tym samym przystanku,
c) wszyscy pasażerowie wysiądą na czwartym lub wszyscy wysiądą na piątym przystanku,
d) na pierwszym przystanku wysiądzie dwóch, na drugim jeden i na ostatnim jeden pasażer,
e) na czwartym przystanku wysiądzie jeden, a na piątym trzech pasażerów,
f) na dwóch pierwszych przystankach i na dwóch ostatnich wysiądzie po jednym pasażerze. w
3.11 Do windy 10 piętrowego domu weszło 4 pasażerów. Każdy z pasażerów może wysiąść na
dowolnym piętrze, począwszy od trzeciego z takim samym prawdopodobieństwem. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że:
a) wszyscy wysiądą na 8 piętrze,
b) wszyscy wysiądą na tym samym piętrze,
c) wszyscy wysiądą na różnych piętrach,
d) wszyscy wysiądą na różnych piętrach powyżej piątego,
e) wszyscy wysiądą poniżej piętra siódmego,
f) trzech z nich wysiądzie na tym samym piętrze, a czwarty na innym. w
3.12 Oblicz co jest bardziej prawdopodobne:
a) uzyskanie co najmniej raz szóstki w dwóch rzutach kostką do gry, czy co najwyżej raz orła
w pięciu rzutach monetą,
b) uzyskane dwucyfrowej sumy oczek w dwóch rzutach kostką do gry czy wyrzucania większej
liczby orłów niż reszek w czterech rzutach moneta,
c) wylosowanie nieparzystej liczby przy jednokrotnym losowaniu ze zbioru reszt dzielenia liczby
naturalnej przez 9, czy uzyskanie sumy oczek mniejszej od 8 w dwukrotnym rzucie kostką
do gry,
d) wylosowanie ze zbioru cyfr liczby pierwszej, czy wyrzucenie dwa razy parzystej liczby oczek
przy dwukrotnym rzucie kostką do gry. w
3.13 Rzucamy 3 razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym,
że:
a) iloczyn wyrzuconych oczek będzie liczbą parzystą,
b) iloczyn wyrzuconych oczek będzie liczbą nieparzystą,
c) suma wyrzuconych oczek będzie liczbą parzystą,
d) iloczyn wyrzuconych oczek będzie niemniejszy od 150,
e) suma wyrzuconych oczek będzie nie większa od 5,
f) suma wyrzuconych oczek będzie liczbą nieparzystą. w
www.DobryeBook.pl strona 6 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
7
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&  poziom podstawowy i rozszerzony
3.14 Oblicz prawdopodobieństwo tego, że rzucając cztery razy monetą otrzymamy:
a) więcej razy orła niż reszkę, b) dokładnie dwa razy reszkę,
c) dokładnie raz orła, d) co najwyżej raz orła,
e) co najmniej dwa razy reszkę,
f) w drugim rzucie orła. w
3.15 Rzucamy trzy razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyniki
utworzą:
a) Ciąg arytmetyczny rosnący,
b) Ciąg arytmetyczny nierosnący,
c) Ciąg geometryczny,
d) Ciąg geometryczny rosnący,
e) Ciąg, który jest równocześnie arytmetyczny i geometryczny,
f) Ciąg arytmetyczny. w
3.16 Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że przy dwukrotnym rzucie kostką do gry, suma
wyrzuconych oczek:
a) jest podzielna przez 5, b) jest podzielna przez 9,
c) jest większa od 10, d) nie jest większa od 7,
e) nie jest liczbą podzielną przez 10,
f) jest liczbą parzystą. w
3.17 Ze zbioru Z = {- 2;-1;0;1;2;3} losujemy bez zwracania liczby a,b,c i tworzymy funkcję
f (x) = ax2 + bx + c . Oblicz prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia:
a) A  otrzymana funkcja osiąga maksimum,
b) B  otrzymana funkcja jest parzysta,
c) C  otrzymana funkcja jest malejąca w R,
d) D  otrzymana funkcja jest rosnąca w R,
e) E  wykres otrzymanej funkcji przechodzi przez punkt P(0;3),
f) F  otrzymana funkcja ma dwa miejsca zerowe, które są liczbami przeciwnymi. w
3.18 Ze zbioru liczb Z = {x : x " C '" x2 - 8x - 9 < 0} losujemy kolejno dwie bez zwracania,
tworząc z nich liczbę dwucyfrową (pierwsza jest cyfrą dziesiątek). Oblicz
prawdopodobieństwo tego, że otrzymana liczba będzie:
a) parzysta, b) podzielna przez 5, c) podzielna przez 6,
d) większa od 20, e) podzielna przez 9,
f) podzielna przez 3 lub przez 5.w
3.19 Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w trzech rzutach symetryczną
kostką do gry:
a) iloczyn wyrzucanych oczek jest liczbą podzielną przez 25,
b) suma wyrzucanych oczek jest podzielna przez 15,
c) za każdym razem wypadła inna liczba oczek,
www.DobryeBook.pl strona 7 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
8
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&  poziom podstawowy i rozszerzony
d) w pierwszym rzucie wypadła piątka lub w trzecim szóstka,
e) dokładnie w dwóch rzutach wypadła ta sama liczba oczek,
f) iloczyn wyrzuconych oczek jest podzielny przez 50 lub suma wyrzuconych oczek jest większa
od 16. w
3.20 Ze zbioru liczb Z = {1;2;...;2006} losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia, że wylosowana liczba:
a) jest podzielona przez 4 i nie jest podzielna przez 100,
b) jest podzielna przez 5 lub przez 4,
c) ma sumę cyfr nie większą od 3,
d) jest podzielna przez 100 lub 9,
e) jest kwadratem liczby naturalnej. w
3.21 Ze zbioru cyfr {1;2;3;...;9} tworzymy liczbę trzycyfrową, w ten sposób, że losujemy z nich
cyfrę setek, następnie z pozostałych ośmiu losujemy cyfrę dziesiątek, wreszcie z pozostałych
siedmiu losujemy cyfrę jedności. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
a) liczby nieparzystej, b) liczby podzielnej przez 5, c) liczby podzielnej przez 9,
d) liczby większej od 528, e) liczby podzielnej przez 18,
f) liczby mniejszej od 471. w
3.22 (R)  Ze zbioru liczb Z = {10;11;12;13;...; n}, gdzie n d" 99 , losujemy jedną liczbę. Oblicz n
mając dane prawdopodobieństwo zdarzenia A i wiedząc, że podana wartość P(A) jest
dokładna. Wykonaj obliczenia, gdy:
1
a) A  wylosowano liczbę nieparzystą i P(A) = ,
2
1
b) B  wylosowano liczbę podzielną przez 3 i P(A) = ,
3
3
c) A  wylosowano liczbę podzielną przez 25 i P(A) = ,
80
1
d) A  wylosowana liczba nie jest większa od 40 i P(A) = ,
2
1
e) A  wylosowana liczba jest większa od 21 i P(A) = ,
3
1
f) A  wylosowana liczba nie jest mniejsza od 61 i P(A) = . w
4
3.23 (R)  Ze zbioru n kul ponumerowanych od 1 do n losujemy kolejno bez zwracania dwie kule.
Numery wylosowanych kul tworzą uporządkowaną parę (a;b). Dla jakich wartości n " N
prawdopodobieństwo wylosowania pary liczb spełniających warunek a - b = 2 , jest:
3 1 1
a) równe , b) większe od , c) większe od ,
14 9 5
www.DobryeBook.pl strona 8 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
9
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&  poziom podstawowy i rozszerzony
4 7 1
d) równe , e) równe , f) większe od . w
15 36 6
3.24 Rzucamy n razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że zaszło zdarzenie:
a) A  za każdym razem wypadła inna liczba oczek,
b) B  za każdym razem wypadła inna liczba oczek i jedynka nie wypadła ani razu,
c) C  suma wyrzuconych oczek wynosi 6n -1,
d) D  suma wyrzuconych oczek nie jest większa od n +1,
e) E  za każdym razem wypadła liczba oczek podzielna przez 3,
f) F  iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą. w
3.25 Grupa pięciu dziewcząt, wśród których są dwie siostry Ola i Ala oraz czterech chłopców,
wędrowała szlakiem turystycznym gęsiego. Oblicz prawdopodobieństwo, tego że będą
wędrować w następującym ustawieniu:
a) Ola na początku, a Ala na końcu,
b) Ola na początku, za nią wszystkie pozostałe dziewczyny, a za nimi chłopcy,
c) dziewczyny będą przedzielone chłopcami,
d) Ola i Ala będą szły jedna za drugą, w dowolnej kolejności,
e) Ola lub Ala będą zamykać wędrującą grupę,
f) Olę i Alę będzie przedzielał dokładnie jeden chłopiec. w
3.26 (R)  Liczby 1,2,3,...,n ustawiamy w ciąg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w
otrzymanym ciągu:
a) liczby 1 i 3 przedziela dokładnie jedna liczba 2,
b) liczby 2 i 3 sąsiadują ze sobą i miedzy liczbami 1 i 2 znajduje się dokładnie jedna liczba z tego
zbioru różna od 1,2 i 3,
c) liczby 1, 2, 3 występują obok siebie w kolejności wzrastania,
d) między liczbami 1, 2, 3 występującymi w kolejności wzrastania znajduje się dokładnie po
jednej liczbie z tego zbioru,
e) liczby 1, 2, 3, 4 występują obok siebie w dowolnej kolejności,
f) liczba 1 znajduje się na 4 miejscu. w
3.27 (R)  Na półce stoi 10 książek, w tym 4 tomowa powieść. Książki ustawione są w sposób
losowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a) 4 tomy powieści ustawione są w prawidłowej kolejności od lewej do prawej na początku lub na
końcu,
b) 4 tomy powieści stoją obok siebie w kolejności od lewej do prawej lub od prawej do lewej,
c) 4 tomy powieści stoją obok siebie w dowolnej kolejności,
d) między każdym tomem powieści ustawionym w kolejności od lewej do prawej stoi dokładnie
jedna książka,
e) między każdym z tomów powieści ustawionym w przypadkowy sposób stoją dwie inne książki,
f) 4 tomy powieści ustawione w dowolny sposób stoją na początku. w
www.DobryeBook.pl strona 9 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
10
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&  poziom podstawowy i rozszerzony
3.28 (R)  Gracz wypełnia jeden zakład  Ekspres Lotka (z 42 liczb skreśla 5). Jakie jest
prawdopodobieństwo trafnego wytypowania:
a) pięciu liczb, b) czterech liczb, c) trzech liczb,
d) co najmniej trzech liczb, e) co najmniej dwóch liczb,
f) żadnej z liczb. w
3.29 (R)  W czasie spotkania towarzyskiego, na którym było 12 par małżeńskich (24 osoby),
wybrano losowo trzy kobiety i trzech mężczyzn. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że
wśród wybranych osób:
a) będzie jedna para małżeńska, b) będą dwie pary małżeńskie,
c) nie będzie żadnej pary małżeńskiej, d) będzie trzy pary małżeńskie,
e) będzie co najwyżej jedna para małżeńska,
f) będzie co najmniej jedna para małżeńska. w
3.30 (R)  Dziesięcioosobowa grupa uczniów, w której jest 6 dziewcząt otrzymała 3 bilety do
teatru. Bilety rozdzielono drogą losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że do teatru
pójdą:
a) dokładnie dwie dziewczyny, b) dokładnie jedna dziewczyna,
c) przynajmniej jedna dziewczyna, d) co najwyżej jedna dziewczyna,
e) sami chłopcy,
f) co najmniej jeden chłopiec. w
3.31 (R)  Na loterii jest 100 losów, z których 5 wygrywa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
wśród trzech kupionych losów:
a) dokładnie jeden wygrywa, b) dokładnie trzy wygrywa,
c) co najmniej jeden wygrywa, d) co najwyżej jeden wygrywa,
e) żaden nie wygrywa,
f) jeden lub dwa wygrywa. w
3.32 (R)  Na festyn z okazji Dnia Dziecka dwaj sponsorzy przygotowali dwie loterie. Pierwsza
zawierała 200 losów, w tym 40 wygrywających, druga 100 losów w tym 20 wygrywających.
W której z tych loterii mamy większą szansę wygrania przy zakupie:
a) 1 losu, b) 2 losów, c) 3 losów,
d) 4 losów. w
Przez wygranie rozumiemy, że przynajmniej jeden z zakupionych losów jest wygrywający.
3.33 (R)  Wśród n losów pewnej loterii 6 jest wygrywających. Jaka musi być liczba losów, aby
prawdopodobieństwo zdarzenia, że zakupione dwa losy będą wygrywające, było:
1 1 5
a) większe od , b) równe , c) nie mniejsze od ,
4 3 7
1 1 1
d) równe , e) równe , f) nie mniejsze od . w
7 8 14
www.DobryeBook.pl strona 10 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
11
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&  poziom podstawowy i rozszerzony
3.34 Wśród 20 losów loterii znajduje się 1 los z główną wygraną i dwa losy uprawniające do
bezpłatnego otrzymania jednego losu. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania głównej
wygranej przy zakupie jednego losu i maksymalnym wykorzystywaniu uprawnień. w
3.35 Wśród 7 losów znajdujących się w urnie 2 są wygrywające i 5 przegrywających. Losujemy
jeden los i jeśli jest przegrywający to wyrzucamy go i losujemy następny itd. aż trafimy na los
wygrywający. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że aby trafić na los wygrywający
wystarczy mniej niż 4 losowania.
3.36 (R)  W urnie jest 10 kul: 3 białe, 4 czarne i 3 zielone. Losujemy z urny trzy razy po jednej
kuli bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania:
a) trzech kul różnokolorowych, b) trzech kul jednokolorowych,
c) dokładnie dwóch kul białych, d) dokładnie jednej kuli białej,
e) dokładnie dwóch kul czarnych,
f) co najmniej dwóch kul zielonych. w
3.37 (R)  W urnie znajduje się 8 kul białych i 4 czerwone. Losujemy z urny 3 kule. Jakie jest
prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród wylosowanych kul:
a) dokładnie trzy są białe, b) dokładnie jedna jest biała,
c) wszystkie trzy są tego samego koloru, d) co najmniej dwie są białe,
e) co najmniej jedna jest czerwona,
f) jedna lub dwie są białe. w
3.38 (R)  W urnie jest n kul, z których 5 jest białych. Jakie powinno być n, aby przy losowaniu
dwóch kul bez zwracania prawdopodobieństwo dwukrotnego wylosowania kuli białej było
większe od p. Wykonaj obliczenia dla:
1 3 1 2
a) p = , b) p = , c) p = , d) p = . w
2 4 3 5
3.39 (R)  Z urny zawierającej n kul czarnych i 2 białe losujemy kolejno bez zwracania k kul.
Oblicz najmniejszą wartość liczby k, dla której prawdopodobieństwo wylosowania co
1
najmniej jednej kuli białej jest większe od , gdy:
2
a) n = 10, b) n = 12, c) n = 15, d) n = 16, e) n = 20,
f) n = 18. w
3.40 (R)  W urnie są kule białe, zielone i czarne. Kul zielonych jest dwa razy więcej niż białych,
a czarnych jest trzy razy więcej niż białych. Ile jest kul białych, jeżeli przy jednoczesnym
losowaniu trzech kul, prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli w innym kolorze
wynosi:
27 75 12 3 48
a) , b) , c) , d) , e) . w
136 406 55 10 253
www.DobryeBook.pl strona 11 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
12
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&  poziom podstawowy i rozszerzony
3.41 (R)  W urnie są kule białe i czarne. Razem jest ich n. Losujemy dwukrotnie bez zwracania
po jednej kuli. Niech A oznacza zdarzenie, że obie kule są tego samego koloru, B zdarzenie,
że kule są różnych kolorów. Oblicz ile jest w urnie kul białych, jeżeli wiadomo, że
P(A) = P(B) i łączna liczba kul w urnie wynosi:
a) n = 16, b) n = 25, c) n = 9, d) n = 36, e) n = 49,
f) n = 100. w
3.42 (R)  Z talii 52 kart losujemy bez zwracania pięć kart. Opisz zbiór zdarzeń elementarnych
tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania:
a) dwóch pików, b) trzech dam i jednego króla,
c) czterech asów, d) jednego asa, króla kier i trzech dziewiątek,
e) dwóch kierów i trzech trefli,
f) co najmniej jednego asa. w
3.43 (R)  Mamy do dyspozycji 5 kart: dwie karowe i trzy pikowe. Karty tasujemy i wykładamy
dwie z nich. Określamy zdarzenia:
A  wyłożone karty są pikowe,
B  wyłożone karty są tego samego koloru,
C  wyłożone karty są różnych kolorów,
D  wyłożone karty są karowe.
Oblicz, które ze zdarzeń jest bardziej prawdopodobne:
a) A czy B, b) A czy C, c) A czy D, d) B czy C, e) B czy D,
f) C czy D. w
3.44 (R)  Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania przez brydżystę (otrzymuje 13 kart z talii 52
kart):
a) wszystkich kart w jednym kolorze,
b) czterech asów,
c) dwóch asów i dwóch króli,
d) pięciu pików i 8 trefli,
e) asa kierowego, trzech króli, dwie dziesiątki, a pozostałe karty młodsze od szóstki,
f) czterech najstarszych pików, pięć najmłodszych trefli, trzy kara starsze od dziewiątki i jednego
kiera młodszego od siódemki. w
Informacja do zadań 3.45 i 3.46.
Mając dane trzy odcinki o różnych długościach a,b,c sprawdzam, czy można z nich zbudować
trójkąt i czy będzie to trójkąt ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny, w następujący sposób:
1. Porównuję długości boków: np. a < b < c .
2. Sprawdzam czy spełniony jest warunek definicji odległości punktów:
 jeśli c < a + b �! z odcinków można zbudować trójkąt,
 jeśli c e" a + b �! z odcinków nie można zbudować trójkąta.
3. Sprawdzam czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny (wynika z tw.
cosinusów):
 jeśli c2 < a2 + b2 �! trójkąt jest ostrokątny,
www.DobryeBook.pl strona 12 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
13
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&  poziom podstawowy i rozszerzony
 jeśli c2 = a2 + b2 �! trójkąt jest prostokątny,
 jeśli c2 > a2 + b2 �! trójkąt jest rozwartokątny.
4. Sprawdzam, czy z odcinków o długościach 2,5 i 6 można zbudować trójkąt i jaki to jest
trójkąt:
1. 2 < 5 < 6 ,
2. 6 < 2 + 5 �! z danych odcinków można zbudować trójkąt,
3. 36 > 4 + 25 �! trójkąt jest rozwartokątny.
Wykorzystując podane informacje, rozwiąż zadania 3.45 i 3.46.
3.45 (R)  Z sześciu odcinków o długościach 1, 2, 3, 4, 5, 6 losujemy trzy. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że z wylosowanych odcinków można zbudować:
a) trójkąt, b) trójkąt prostokątny, c) trójkąt ostrokątny,
d) trójkąt rozwartokątny. w
3.46 (R)  Ze zbioru odcinków o długościach: 3cm, 4cm,5cm,6cm,7cm,8cm losujemy bez
zwracania trzy odcinki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z wylosowanych odcinków można
zbudować:
a) trójkąt, b) trójkąt prostokątny, c) trójkąt rozwartokątny,
d) trójkąt ostrokątny. w
3.47 (R)  Na płaszczyz
nie danych jest k punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe.
Kreślimy trzy różne odcinki o końcach w tych punktach. Zakładając, że wszystkie rezultaty są
jednakowo prawdopodobne, oblicz prawdopodobieństwo tego, że otrzymane trzy odcinki
utworzą trójkąt, jeśli:
a) k = 8, b) k = 10, c) k = 12, d) k = 15, e) k = 20,
f) k = 25. w
3.48 (R)  Na dwóch prostych równoległych wybrano punkty: na jednej pięć, na drugiej sześć.
a) Losujemy trzy z tych punktów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że są one wierzchołkami
trójkąta,
b) Losujemy cztery z tych punktów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że są one wierzchołkami
pewnego trapezu. w
3.49 (R)  Z wierzchołków sześcianu o krawędzi a w sposób losowy wybieramy dwa. Oblicz
prawdopodobieństwo, że wyznaczony w ten sposób odcinek:
a) będzie dłuższy od krawędzi sześcianu,
b) będzie krótszy od krawędzi sześcianu,
c) będzie równy przekątnej ściany sześcianu,
d) nie będzie krótszy od przekątnej ściany sześcianu,
e) nie będzie dłuższy od przekątnej ściany sześcianu,
f) będzie dłuższy od przekątnej ściany sześcianu. w
www.DobryeBook.pl strona 13 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
14
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&  poziom podstawowy i rozszerzony
3.50 (R)  Z wierzchołków sześcianu o krawędzi a = 1 losujemy dwa. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowane wierzchołki tworzą odcinek o długości d,
jeśli:
3 1
a) d = 1, b) d < , d) d > 1 , f) d > 1,4. w
c) d = 2, e) d = 3,
2 3
3.51 (R)  Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że trzy losowo wybrane wierzchołki
sześcianu o krawędzi a = 1 są wierzchołkami trójkąta:
a) równobocznego,
b) prostokątnego,
c) równoramiennego,
d) różnobocznego,
e) o polu nie większym niż połowa pola jednej ściany sześcianu,
f) o polu większym od 75% pola jednej ze ścian sześcianu. w
3.52 Drewniany sześcian, którego wszystkie ściany pomalowano na czerwono, został rozcięty
na 64 przystające sześciany. Spośród otrzymanych sześcianów wylosowano jeden.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybrany sześcian:
a) ma trzy ściany czerwone, b) ma dokładnie jedną ścianę czerwoną,
c) ma dwie ściany czerwone, d) nie ma żadnej ściany czerwonej,
e) ma co najmniej jedną ścianę czerwoną,
f) ma jedną lub dwie ściany czerwone. w
3.53 (R)  Średnio 85% nasion kiełkuje. Z partii 100 nasion wybieramy 10.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wykiełkuje:
a) dokładnie 8, b) co najmniej 9, c) dokładnie 5,
d) mniej niż 5, e) dokładnie 10,
f) więcej niż połowa. w
3.54 (R)  W kartonie znajduje się 50 żarówek, w tym cztery są wadliwe. Wybieramy losowo trzy
żarówki. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wybranych żarówek:
a) żadna nie jest wadliwa, b) dokładnie jedna jest wadliwa,
c) co najwyżej jedna jest wadliwa,
d) dokładnie dwie są wadliwe. w
3.55 (R)  W szafie jest n par butów. Losowo wybieramy z tej szafy dwa buty. Oblicz
prawdopodobieństwo, że wylosowano buty z jednej pary, jeśli:
a) n = 10, b) n = 12, c) n = 8, d) n = 15, e) n = 9,
f) n = 20. w
3.56 (R)  W kasetce znajduje się 500 zł w banknotach o nominałach 50 zł, 20 zł i 10 zł. A
ączna
liczba banknotów znajdujących się w kasetce jest równa 20. Liczba banknotów
dziesięciozłotowych jest o 2 większa od liczby banknotów dwudziestozłotowych. Z kasetki
wybrano w sposób losowy cztery banknoty. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wartości
wybranych banknotów będzie:
www.DobryeBook.pl strona 14 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
15
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&  poziom podstawowy i rozszerzony
a) większa od 150 zł, b) nie mniejsza od 140 zł i nie większa od 170 zł,
c) nie większa od 60 zł, d) dokładnie 100 zł,
e) nie mniejsza od 170 zł,
f) nie większa od 50 zł. w
3.57 (R)  96% wyrobów pewnego zakładu nie zawiera wad, z tego 62,5% jest pierwszego
gatunku. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród czterech losowo wybranych wyrobów z
partii dziesięciu:
a) Dwa są pierwszego gatunku, b) trzy są pierwszego gatunku,
c) co najmniej trzy są pierwszego gatunku, d) co najwyżej trzy są pierwszego gatunku,
e) dokładnie cztery są pierwszego gatunku,
f) co najmniej dwa są pierwszego gatunku. w
3.58 Dany jest wielomian W(x). Jeden z pierwiastków tego wielomianu jest równy
prawdopodobieństwu zajścia zdarzenia A w dwukrotnym rzucie kostką do gry.
Oblicz pozostałe pierwiastki wielomianu W(x), gdy:
a) A  iloczyn wyrzuconych oczek jest liczba nieparzystą i W(x) = 4x3 - x2 + kx +1,
b) A  suma wyrzuconych oczek jest liczba parzystą i W(x) = 2x3 + 3x2 - 2x + k,
c) A  iloczyn wyrzuconych oczek jest liczba parzystą i W(x) = 4x3 + kx2 -16x +12,
d) A  w obu rzutach wypadła ta sama liczba oczek i W(x) = kx3 - x2 - 6x +1,
e) A  w drugim rzucie wypadło więcej niż cztery oczka i W(x) = 3x3 - x2 - 27x + k,
f) A  w pierwszym rzucie wypadła jedynka i W(x) = 6x3 - x2 -150x + k. w
www.DobryeBook.pl strona 15 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
16
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
3 IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom
podstawowy i rozszerzony
3.1
1 1 1 1 1 1
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = , d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
4 12 6 6 4 2
Rozwiązanie
f) Rzucamy monetą i sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia F   wypadł orzeł .
Zbiór zdarzeń elementarnych � jest zbiorem uporządkowanych par, w których pierwszym
elementem jest wynik rzutu monetą, a drugim wynik rzutu kostką.
� = {(O;1), (O;2), (O;3), (O;4), (O;5), (O;6), (R;1), (R;2), (R;3), (R;4), (R;5), (R;6)}.
Wszystkich zdarzeń elementarnych jest � = 12.
Zdarzenie losowe F = {(O;1), (O;2), (O;3), (O;4), (O;5), (O;6)}
Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu F jest równa F = 6.
F
Zgodnie z definicją klasyczną prawdopodobieństwa P(F) = .
�
6 1
Po wstawieniu wartości otrzymuję: P(F) = = .
12 2
Przedstawiam rozwiązanie zadania na drzewku:
Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeń F jest równa 6 zaś liczba wszystkich zdarzeń
tego doświadczenia wynosi 12.
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wypadł
1
orzeł przy rzucie monetą i kostką do gry wynosi P(F) = .
2
3.2
1 13 7 1 1 23
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = , d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
2 20 40 4 5 40
www.DobryeBook.pl strona 16 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
17
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Rozwiązanie
f) Ze zbioru liczb całkowitych dwucyfrowych mniejszych od 50 losujemy jedną.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana
liczba jest podzielona przez 2 lub przez 7.
Zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór � = {10;11;...;49}. Liczba wszystkich zdarzeń
elementarnych tego doświadczenia jest równa � = 40.
Zdarzenie losowe polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 2 lub przez
7 oznaczam F i jest ono zbiorem zdarzeń elementarnych:
F = {10;12;14;16;18;20;21;22;24;26;28;30;32;34;35;36;38;40;42;44;46;48;49}.
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu F jest równa F = 23.
F 23
Prawdopodobieństwo, że zaszło zdarzenie F jest więc równe P(F) = �! P(F) = .
40
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo, że losując jedną liczbę ze zbioru liczb całkowitych dwucyfrowych
23
mniejszych od 50, wylosuję liczbę podzielną przez 2 lub przez 7 wynosi P(F) = .
40
3.3
1 2 1
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
15 45 30
11 7 11
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
45 30 45
Rozwiązanie
f) Ze zbioru liczb całkowitych dwucyfrowych losujemy jedną. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia, że będzie to liczba podzielna przez 9 lub przez 7.
Zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór wszystkich liczb całkowitych dwucyfrowych
� = {10;11;...;99}. Liczba wszystkich zdarzeń tego doświadczenia wynosi � = 90. Liczby
podzielne przez 9 lub przez 7 są to liczby ze zbioru
F = {14;18;21;27;28;35;36;42;45;49;54;56;63;70;72;77;81;84;90;91;98;99}.
Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu F jest równa F = 22.
F 22 11
Prawdopodobieństwo, że zajdzie zdarzenie F jest równe P(F) = �! P(F) = = .
90 45
�
www.DobryeBook.pl strona 17 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
18
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losując jedną liczbę ze zbioru liczb
11
całkowitych dwucyfrowych otrzymano liczbę podzielną przez 9 lub przez 7 jest równe P(F) = .
45
3.4
1 1 1 1 1 1
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = , d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
2 2 3 6 4 18
Rozwiązanie
f) Ze zbioru cyfr {1;2;...;6} losujemy dwie cyfry ze zwracaniem i zapisujemy je
w kolejności losowania. Oblicz z definicji klasycznej i przedstaw drzewkiem
prawdopodobieństwo, że otrzymana liczba dwucyfrowa jest podzielna przez 15.
Zdarzeniami elementarnymi tego doświadczenia są dwuelementowe wariacje z powtórzeniami
zbioru 6-elementowego. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa � = 62 = 36 .
Z praw podzielności liczb wynika, że liczba jest podzielna przez 15 �! gdy jest podzielna przez 5
(cyfrą jedności jest 0 lub 5) i jest podzielna przez 3 (suma cyfr jest podzielna przez 3).
Wyznaczam zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu losowemu F   otrzymana liczba jest
podzielna przez 15 .
Liczba otrzymana z danych cyfr będzie podzielna przez 15 gdy cyfrą jedności będzie 5 i suma cyfr
będzie podzielna przez 3.
F = {(1;5), (4;5)}, F = 2.
F 2 1
Z definicji klasycznej prawdopodobieństwa P(F) = �! P(F) = = .
36 18
�
Przedstawiam zdarzenia na drzewku:
www.DobryeBook.pl strona 18 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
19
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych wynosi 6 �" 6 = 36 .
Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu F wynosi 2. Prawdopodobieństwo zdarzenia F jest równe
2 1
P(F) = = .
36 18
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana w opisany sposób liczba jest podzielna przez 15
1
wynosi P(F) = .
18
3.5
3 3 3 3 1 1
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = , d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
8 8 8 4 4 4
Rozwiązanie
f) Rzucamy dwa razy czworościanem foremnym o ponumerowanych ścianach od
1 do 4. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia F polegającego na tym, że suma
wyrzuconych liczb jest równa 5. Przedstaw rozwiązanie za pomocą drzewka.
Zdarzeniami elementarnymi są dwuelementowe ciągi o wyrazach ze zbioru {1;2;3;4}. Zdarzeń
elementarnych jest � = 42 = 16 .
� = {(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (4;1), (4;2), (4;3), (4;4)}.
Zdarzenie losowe F = {(1;4), (2;3), (3;2), (4;1)}.
Zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu losowemu F jest F = 4.
F 4 1
Z definicji klasycznej P(F) = �! P(F) = = .
16 4
�
Przedstawiam zdarzenia na drzewku:
www.DobryeBook.pl strona 19 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
20
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
�! wyniki pierwszego rzutu
�! wyniki drugiego rzutu
Zdarzeń elementarnych jest 4 �" 4 = 16 .
Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu losowemu F jest 4.
4 1
P(F) = = .
16 4
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że przy dwukrotnym rzucie czworościanem
foremnym o ścianach ponumerowanych od 1 do 4 suma wyrzuconych liczb będzie równa 5 wynosi
1
P(F) = .
4
3.6
1 33 6 16
a) P(A) = , P(B) = , P(A')= , P(B')= ,
7 49 7 49
3 4
b) P(A )" B) = , P(A \ B) = ,
49 49
37 30
c) P(A *" B) = , P(B \ A) = ,
49 49
19 4
d) P(A *" B')= , P(A )" B')= ,
49 49
45 30
e) P(A' *" B)= , P(A' )" B)= ,
49 49
46 12
f) P(A' *" B')= , P(A' )" B')= .
49 49
www.DobryeBook.pl strona 20 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
21
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Rozwiązanie
f) Ze zbioru liczb Z = {- 3;-2;...;2;3} losujemy dwa razy ze zwracaniem po jednej
liczbie. Zdarzenie A oznacza  suma wylosowanych liczb jest równa zero , B
oznacza zdarzenie  iloczyn wylosowanych liczb jest liczbą parzystą . Oblicz
P(A' *" B') i P(A' )" B').
Zdarzenie A' przeciwnie do zdarzenia A oznacza  suma wylosowanych liczb nie jest równa zero .
Zdarzenie B' przeciwne do zdarzenia B oznacza  iloczyn wylosowanych liczb jest liczbą
nieparzystą .
Wyznaczam P(A' )" B'):
A' )" B' oznacza zdarzenie  suma wylosowanych liczb jest różna od zera i iloczyn wylosowanych
liczb jest liczbą nieparzystą.
A' )" B' = {(- 3;-3), (- 3;-1), (- 3;1), (-1;-3), (-1;-1), (-1;3), (1;-3), (1;1), (1;3), (3;-1), (3;1), (3;3)},
A' )" B' = 12 .
Zdarzeniami elementarnymi tego doświadczenia są dwuelementowe wariacje z powtórzeniami
zbioru 7-elementowego. Liczba wszystkich zdarzeń jest równa � = 72 = 49
(Pierwszą liczbę losuję na 7 sposobów i drugą na 7 �! wszystkich możliwych losowań jest
7 �" 7 = 49 ).
A' )" B' 12
Z definicji klasycznej prawdopodobieństwa wynika: P(A' )" B')= �! P(A' )" B')= .
49
�
Ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń otrzymuję:
P(A' *" B')= P(A')+ P(B')- P(A' )" B').
Aby wyznaczyć P(A' *" B') obliczam P(A') i P(B').
Wyznaczam zdarzenie A: A = {(- 3;-3), (- 2;2),(-1;1), (0;0), (1;-1),(2;-2), (3;-3)}�! A = 7,
A 7 1
P(A) = �! P(A) = = .
49 7
�
1 6
Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego P(A')= 1- P(A)�! P(A')= 1- = .
7 7
'
Wyznaczam zdarzenie B :
B' = {(- 3;-3), (- 3;-1), (- 3;1), (- 3;3), (-1;-3), (-1;-1), (-1;1), (-1;3), (1;-3), (1;-1), (1;1), (1;3),
(3;-3), (3;-1), (3;1), (3;3)}, B = 16.
B' 16
P(B')= �! P(B')= .
49
�
6 16 12 42 4 46
P(A' *" B')= + - = + = .
7 49 49 49 49 49
Odpowiedz

46 12
Szukane prawdopodobieństwa są równe: P(A' *" B')= i P(A' )" B')= .
49 49
www.DobryeBook.pl strona 21 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
22
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
2 8! 8!
3.7 � = {(a;b): a " Z '" b " Z '" a = b}, � = = = = 8 �" 7 = 56.
/
V
8
(8 - 2)! 6!
3 23 1
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
28 28 14
3 19 3
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
56 28 28
Rozwiązanie
f) Z podzbioru zbioru liczb całkowitych Z = {- 3;-2;...;4} losujemy kolejno bez
zwracania dwie liczby. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych tego
doświadczenia. Zaznacz na płaszczyz
nie zbiór
X = {(x; y): x " R '" y " R '" x + y - 3 = 0}.Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia, że punkt S = (a;b) należy do zbioru X, jeśli a jest pierwszą i b drugą
z wylosowanych liczb.
Losowanie jest bez zwracania. Zdarzeniami elementarnymi są dwuelementowe wariacje bez
powtórzeń zbioru 8-elementowego.
2 8! 8!
� = {(a;b): a " Z '" b " Z '" a = b}, � = = = = 8 �" 7 = 56.
/
V
8
(8 - 2)! 6!
(Pierwszą liczbę mogę wylosować na 8 sposobów. Do każdej z wylosowanych, drugą mogę
wylosować na 7 sposobów bo losowanie jest bez zwracania. Parę liczb mogę więc wylosować na
8 �" 7 = 56 sposobów.)
Wyznaczam na płaszczyz
nie zbiór X.
y = -x + 3 jest równaniem prostej przechodzącej przez punkty K = (0;3) i L = (3;0).
Wyznaczam punkty, których współrzędne należą do zbioru Z i które
leżą na danej prostej.
Zdarzenie losowe F   punkt S(a;b) należy do zbioru X jest
równe F = {(-1;4), (0;3), (1;2), (2;1), (3;0), (4;-1)}�! F = 6 .
F 6 3
Z definicji prawdopodobieństwa P(F) = �! P(F) = = .
56 28
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że punkt S = (a;b) należy do zbioru X
3
wynosi P(F) = .
28
www.DobryeBook.pl strona 22 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
23
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
3.8
1 3 6 4 2 1
a) P(A) = , P(B) = , P(A')= , P(B')= , b) P(A )" B) = , P(A \ B) = ,
7 7 7 7 21 21
10 1 1 2
c) P(A *" B) = , P(B \ A) = , d) P(A )" B')= , P(A \ B')= ,  (R)
21 3 21 21
20 1 19 11
e) P(A' *" B)= , P(A' )" B)= ,  (R) f) P(A' *" B')= , P(A' )" B')= .  (R)
21 3 21 21
Rozwiązanie
f) Ze zbioru liczb Z = {0;1;...;6} losujemy dwa razy bez zwracania po jednej
liczbie. Zdarzenie A oznacza  suma wylosowanych liczb jest równa 5, zdarzenie
B oznacza  iloczyn wylosowanych liczb jest mniejszy od 5 . Oblicz P(A' *" B')
i P(A' )" B').
� = {(x; y): x " Z '" y " Z '" x = y}.
/
Zdarzeniami elementarnymi są dwuelementowe wariacje bez powtórzeń zbioru 7-elementowego.
2 7! 7!
� = = = = 7 �" 6 = 42.
V
7
(7 - 2)! 5!
(Pierwszą liczbę losuję z 7 i drugą z sześciu pozostałych �! � = 7 �"6 = 42 .)
' '
Z praw działań na zbiorach wynika: A' *" B' =(A )" B) , A' )" B'=(A *" B) .
Wyznaczam zdarzenia A, B i A )" B :
A = {(0;5), (5;0), (1;4), (4;1), (2;3), (3;2)}, A = 6 ,
A 6 1
P(A) = �! P(A) = = .
42 7
�
B = {(0;1), (0;2), (0;3), (0;4), (0;5), (0;6), (1;0), (2;0), (3;0), (4;0), (5;0), (6;0), (1;2), (2;1), (1;3), (3;1),
(1;4), (4;1)}, B = 18,
B 18 3
P(B) = �! P(B) = = .
42 7
�
A )" B = {(0;5), (5;0), (1;4), (4;1)}, A )" B = 4 ,
4 2
P(A )" B) = = .
42 21
'
Z własności prawdopodobieństwa wynika: P(A' *" B')= P[(A )" B) ],
2 19 19
' '
P[(A )" B) ]= 1- P(A )" B)�! P[(A )" B) ]= 1- = �! P(A' *" B')= .
21 21 21
'
P(A' )" B')= P[(A *" B) ]= 1- P(A *" B).
Ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń:
1 3 2 12 2 10
P(A *" B) = P(A)+ P(B)- P(A )" B)�! P(A *" B) = + - = - = .
7 7 21 21 21 21
www.DobryeBook.pl strona 23 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
24
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
10 11
P(A' )" B')= 1- = .
21 21
Odpowiedz

19 11
Szukane prawdopodobieństwa są równe: P(A' *" B')= i P(A' )" B')= .
21 21
3.9
5 2 1 1 4 5
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = , d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
9 27 6 24 9 36
Rozwiązanie
f) Rzucamy trzy razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na tym, że wynik drugiego rzutu jest o 1 większy od
wyniku pierwszego rzutu.
� = {(k1;k2;k3): k1,k2 ,k3 "{1;2;...;6}}.
Zdarzeniami elementarnymi są trzyelementowe wariacje z powtórzeniami zbioru
sześcioelementowego.
3
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa � = = 63 = 216.
W
6
(W pierwszym rzucie otrzymuję 6 wyników, w drugim 6 i w trzecim 6 czyli razem 6 �" 6 �" 6 = 216.)
Zdarzenie F   wynik drugiego rzutu jest o 1 większy od wyniku pierwszego rzutu mogę zapisać
F = {(k1;k2;k3): k1, k2 ,k3 "{1;2;...;6}'" k2 = k1 +1}.
Zdarzeniami elementarnymi są takie wyniki trzykrotnego rzutu kostką do gry, w których
w pierwszym rzucie może wypaść od 1 do 5 oczek.
Liczba oczek w drugim rzucie jest o 1 większa od liczby oczek w pierwszym rzucie.
Takich wyników pierwszego i drugiego rzutu jest 5.
Ponieważ wynik trzeciego rzutu może być dowolny i przyjmować 6 wartości to wszystkich zdarzeń
elementarnych zdarzenia losowego F jest 5 �" 6 = 30.
F = {(1;2;1), (1;2;2),...,(1;2;6), (2;3;1),..., (2;3;6),...,(5;6;6)}, F = 30 .
Z definicji klasycznej prawdopodobieństwa wynika
F 30 5
P(F) = �! P(F) = = .
216 36
�
Odpowiedz

5
Prawdopodobieństwo, że zajdzie dane zdarzenie F wynosi P(F) = .
36
www.DobryeBook.pl strona 24 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
25
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
3.10
24 1 2
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
125 125 625
12 4 24
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
625 625 624
Rozwiązanie
f) Mikrobus z czterema pasażerami zatrzymuje się na pięciu ostatnich
przystankach. Zakładając, że żaden dodatkowy pasażer już nie wsiadł do
mikrobusu, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że na dwóch pierwszych i na
dwóch ostatnich przystankach wysiądzie dokładnie po jednym pasażerze.
Pasażerom p1, p2 , p3, p4 przyporządkowuję numer przystanku na którym wysiądą.
Zdarzeniami elementarnymi są wiec ciągi czteroelementowe o wyrazach ze zbioru
pięcioelementowego.
� = {(p1; p2; p3; p4 ): p1, p2 , p3, p4 "{1;2;...;5}} (czteroelementowe wariacje z powtórzeniami
zbioru pięcioelementowego).
4
� = = 54 = 625.
W
5
( p1 może przyjąć 5 wartości, p2 5 wartości& razem wszystkich ciągów będzie 5 �" 5 �" 5 �" 5 = 625.)
Zdarzenie F   na dwóch pierwszych i na dwóch ostatnich przystankach wysiądzie po jednym
pasażerze .
F = {(p1; p2; p3; p4 ): pi "{1;2;4;5}'" pi = pk '" i,k "{1;...;4}}.
/
Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu losowemu F są czteroelementowe permutacje.
F = 4!= 2 �" 3�" 4 = 24 (pasażer p1 może wysiąść na jednym z czterech przystanków drugi na jednym
z trzech pozostałych, trzeci na jednym z dwóch pozostałych i czwarty już tylko na jednym
pozostałym F = 4 �" 3�" 2 �"1) .
F 24
Z definicji klasycznej prawdopodobieństwa P(F) = �! P(F) = .
625
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo, że pasażerowie mikrobusu wysiądą po jednym na dwóch pierwszych i dwóch
24
ostatnich przystankach wynosi P(F) = .
625
3.11
1 1 105
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
4096 512 256
15 1 7
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
512 16 128
www.DobryeBook.pl strona 25 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
26
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Rozwiązanie
f) Do windy 10 piętrowego domu weszło 4 pasażerów. Każdy z pasażerów może
wysiąść na dowolnym piętrze, począwszy od trzeciego z takim samym
prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na
tym, że trzech z nich wysiądzie na tym samym piętrze, a czwarty na innym.
Każdemu pasażerowi przyporządkowuję numer piętra, na którym wysiądzie. Są to więc ciągi
czteroelementowe o wyrazach ze zbioru 8-elementowego.
� = {(p1; p2; p3; p4 ): pi "{3;4;...;10}'" i "{1;...;4}}.
Zdarzeniami elementarnymi są czteroelementowe wariacje z powtórzeniami zbioru
8-elementowego.
4
� = = 84 = 4096. (Pierwszy pasażer może wysiąść na 8 piętrach, drugi na 8, trzeci na
W
8
8 i czwarty na 8 �! możliwości wysiadania jest 8 �"8 �"8 �"8 = 84.)
Liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu losowemu F obliczę w następujący sposób:
trzej pasażerowie, którzy wysiądą na tym samym piętrze mogą tego dokonać na 8 sposobów (jedno
z pięter od 3 do 10), czwarty pasażer może dokonać wyboru już tylko z 7 pozostałych pięter.
Wszystkich możliwości wyboru dwóch pięter jest 8 �" 7 = 56 .
F = {(p1; p2; p3; p4 ): p1, p2 , p3, p4 "{a;a;a;b}'" a,b "{3;4;...;10}} (losuję dla pasażerów od p1 do
p4 piętro a lub b z danego zbioru bez zwracania).
Do każdej możliwości wysiadania trzech pasażerów dokładam wybór czwartego pasażera.
Pasażer, który wysiada jako jeden na wybranym piętrze to może być p1 (" p2 (" p3 (" p4 .
Stąd F = 56 �" 4 = 224.
F 224 7
P(F) = �! P(F) = = .
84 128
�
Odpowiedz

7
Szukane prawdopodobieństwo wynosi P(F) = .
128
3.12 Bardziej prawdopodobne jest:
a) uzyskanie co najmniej raz szóstki w dwóch rzutach kostką do góry,
b) wyrzucenie większej liczby orłów niż resztek w czterech rzutach monetą,
c) uzyskanie sumy oczek, mniejszej od 8 w dwukrotnym rzucie kostką do gry,
d) wylosowanie ze zbioru cyfr liczby pierwszej.
Rozwiązanie
d) Oblicz, co jest bardziej prawdopodobne, wylosowanie ze zbioru cyfr liczby
pierwszej, czy wyrzucenie dwa razy parzystej liczby oczek przy dwukrotnym
rzucie kostką do gry.
Obliczam prawdopodobieństwo wylosowania ze zbioru cyfr liczby pierwszej:
� = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}, � = 10,
www.DobryeBook.pl strona 26 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
27
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
A 4 2
A = {2;3;5;7}, A = 4, P(A) = �! P(A) = = .
10 5
�
Obliczam prawdopodobieństwo wyrzucenia dwa razy parzystej liczby oczek przy dwukrotnym
rzucie kostką do gry.
2
� = {(k1;k2 ): k1,k2 "{1;2;...;6}}, � = = 62 = 36 (w pierwszym rzucie mogę otrzymać 6
W
6
wyników i w drugim 6 �! � = 6 �" 6 ).
B = {(k1;k2 ): k1, k2 "{2;4;6}}, B = 32 = 9 (zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu
B są tylko parzyste wyniki obu rzutów �! B = 3�" 3).
B 9 1
P(B) = �! P(B) = = .
36 4
�
2 8 5
= > �! P(A) > P(B).
5 20 20
Odpowiedz

Bardziej prawdopodobne jest wylosowanie ze zbioru cyfr liczby pierwszej, niż wyrzucenie dwa
razy parzystej liczby oczek przy dwukrotnym rzucie kostką do gry.
3.13
7 1 1
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
8 8 2
7 5 1
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
216 108 2
Rozwiązanie
f) Rzucamy 3 razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
polegającego na tym, że suma uzyskanych oczek będzie liczbą nieparzystą.
Zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem wariacji z powtórzeniami trzyelementowych zbioru
6-elementowego.
3
� = {(a;b;c): a,b,c "{1;2;...;6}}, � = = 63 = 216. (Pierwszy rzut może przyjąć 6 wartości,
W
6
drugi 6 i trzeci 6 razem 6 �" 6 �" 6 = 216.)
Suma uzyskanych oczek będzie liczbą nieparzystą, gdy trzy razy otrzymam nieparzystą liczbę
oczek lub dwa razy parzystą i raz nieparzystą. Pierwsze ze zdarzeń oznaczam F1 a drugie F2 .
Zdarzenie F oznaczające, że suma uzyskanych oczek jest liczbą nieparzystą jest sumą zdarzeń
rozłącznych F1 i F2 .
F = F1 *" F2 .
F1 = {(a;b;c): a,b,c "{1;3;5}}, F1 = 33 = 27 (pierwszy wynik rzutu może przyjmować trzy
wartości, drugi trzy i trzeci trzy).
F2 wyznaczam z drzewka:
www.DobryeBook.pl strona 27 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
28
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
3�"3�"3 3�"3�"3 3�"3�"3
F2 = {(2;1;1),(2;1;3),...,(5;6;5)}, F2 = 3�" 27 = 81
F1 )" F2 = O �! F = 27 + 81 = 108.
/
F 108 1
P(F) = �! P(F) = = .
216 2
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo, że przy trzykrotnym rzucie kostką do gry suma wyrzuconych oczek jest
1
liczbą nieparzystą wynosi P(F) = .
2
3.14
5 3 1
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
16 8 4
5 11 1
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
16 16 2
Rozwiązanie
f) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że rzucając cztery razy monetą otrzymamy
w drugim rzucie orła.
� = {(a;b;c;d),: a,b,c, d "{O; R}} .
Zdarzeniami elementarnymi są czteroelementowe wariacje z powtórzeniami zbioru
dwuelementowego (każdy z czterech rzutów może przyjmować dwie wartości).
4
� = = 24 = 16
W
2
F = {(a;O;c;d),: a,c, d "{O; R}}, F = 2 �" 2 �" 2 = 8
(Pierwszy rzut może przyjmować dwie wartości, trzeci dwie i czwarty dwie czyli razem
2 �" 2 �" 2 = 8.)
F 8 1
P(F) = �! P(F) = = .
16 2
�
www.DobryeBook.pl strona 28 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
29
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że rzucając cztery razy monetą w drugim
1
rzucie otrzymamy orła wynosi P(F) = .
2
3.15
1 1 1
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
36 18 27
1 1 1
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
216 36 12
Rozwiązanie
f) Rzucamy trzy razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na tym, że otrzymane wyniki utworzą ciąg arytmetyczny.
Zbiorem zdarzeń elementarnych jest:
3
� = {(a;b;c): a,b,c "{1;2;...;6}}, � = = 63 = 216 (pierwszy rzut może przyjmować 6
W
6
wartości, drugi 6 i trzeci 6).
Wyniki trzykrotnego rzutu kostką do gry tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 0 lub 1 lub 2 lub
 1 lub  2.
Zdarzenie losowe F jest więc zbiorem zdarzeń elementarnych:
F = {(1;1;1), (2;2;2),(3;3;3),(4;4;4),(5;5;5),(6;6;6),(1;2;3),(2;3;4),(3;4;5),(4;5;6),(1;3;5),(2;4;6),(3;2;1),
(4;3;2),(5;4;3),(6;5;4),(5;3;1),(6;4;2)}, F = 18
F 18 1
P(F) = �! P(F) = = .
216 12
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyniki trzykrotnego rzutu kostką do gry
1
tworzą ciąg arytmetyczny wynosi P(F) = .
12
3.16
7 1 1
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
36 9 12
7 11 1
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
12 12 2
www.DobryeBook.pl strona 29 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
30
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Rozwiązanie
f) Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że przy
dwukrotnym rzucie kostką do gry suma wyrzuconych oczek jest liczbą parzystą.
Zbiorem zdarzeń elementarnych jest: � = {(a;b): a,b "{1;2;...;6}}. Zdarzeniami elementarnymi są
dwuelementowe wariacje z powtórzeniami zbioru 6-elementowego.
2
� = = 62 = 36. (Pierwszy rzut 6 wyników i drugi 6 czyli wszystkich wyników 6 �" 6 = 36.)
W
6
Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu F   suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą
przedstawiam na drzewku.
Suma wyrzuconych oczek jest liczbą parzystą gdy wynik pierwszego i wynik drugiego rzutu jest
liczbą nieparzystą lub wyniki obu rzutów są liczbami parzystymi.
Wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu F jest 9 + 9 = 18 (F = 18).
Obliczam prawdopodobieństwo zdarzenia F:
F 18 1
P(F) = �! P(F) = = .
36 2
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że przy dwukrotnym rzucie kostką do gry suma wyrzuconych
1
oczek jest liczbą parzystą wynosi P(F) = .
2
3.17
1 1 1
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
3 6 15
1 1 1
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
10 6 10
Rozwiązanie
f) Ze zbioru Z = {- 2;-1;...;3} losujemy bez zwracania liczby a,b,c i tworzymy
funkcję f (x) = ax2 + bx + c. Oblicz prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia F 
 otrzymana funkcja ma dwa miejsca zerowe, które są liczbami przeciwnymi .
www.DobryeBook.pl strona 30 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
31
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Zdarzeniami elementarnymi są trzyelementowe ciągi o wyrazach ze zbioru 6-elementowego.
� = {(a;b;c): a,b," Z '" a = b '" a = c '" b = c}.
/ / /
Zdarzeniami elementarnymi są trzyelementowe wariacje bez powtórzeń zbioru 6-elementowego.
3 6!
� = = = 6 �" 5 �" 4 = 120 (pierwszą liczbę losuję z 6, drugą już z 5 pozostałych i trzecią z 4
V
6
3!
pozostałych, razem losowań jest 6 �" 5 �" 4 ).
Funkcja ma dwa miejsca zerowe, które są liczbami przeciwnymi gdy da się zapisać w postaci
iloczynowej:
f (x) = a(x - x0 )(x + x0 ) �! f (x) = a(x2 - x0 2)�! f (x) = ax2 - ax0 2.
Funkcja określona wzorem f (x) = ax2 + bx + c będzie mieć dwa miejsca zerowe, które są liczbami
przeciwnymi, gdy współczynnik b = 0 i współczynniki a i c są różnych znaków.
Zdarzenie losowe jest równe:
F = {(- 2;0;2), (- 2;0;1),(- 2;0;3), (-1;0;1), (-1;0;2), (-1;0;3),(1;0;-1),(1;0;-2), (2;0;-1), (2;0;-2),
(3;0;-2), (3;0;-1)}, F = 12
F 12 1
P(F) = �! P(F) = = .
120 10
�
Odpowiedz

1
Szukane prawdopodobieństwo wynosi P(F) = .
10
3.18
9 15 3
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
16 64 16
55 1 1
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
64 8 2
Rozwiązanie
f) Ze zbioru Z = {x : x " C '" x2 - 8x - 9 < 0} losujemy kolejno bez zwracania
dwie liczby, tworząc liczbę dwucyfrową (pierwsza z wylosowanych jest cyfrą
dziesiątek). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia F   otrzymana liczba jest
podzielna przez 3 lub przez 5 .
Wyznaczam zbiór Z rozwiązując nierówność kwadratową:
x2 - 8x - 9 < 0, " = b2 - 4ac = 64 + 36 = 100, " = 10,
- b - " 8 -10 - b + " 8 +10
x1 = = = -1 (" x2 = = = 9.
2a 2 2a 2
Szkicuję wykres funkcji kwadratowej f (x) = x2 - 8x - 9
Zbiór Z jest zbiorem liczb całkowitych spełniających nierówność x2 - 8x + 9 < 0
Z = {0;1;2;3;4;5;6;7;8}
www.DobryeBook.pl strona 31 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
32
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Zdarzeniami elementarnymi są dwuelementowe ciągi bez powtórzeń
o wyrazach ze zbioru 9-elementowego, w których pierwszy wyraz
jest różny od zera.
� = {(a;b): a,b " Z '" a = 0 '" a = b}.
/ /
� = 8 �"8 = 64 (cyfrę dziesiątek a mogą wylosować na 8 sposobów
ze zbioru Z \ {0}, cyfrę jedności mogę wylosować na 8 sposobów ze
zbioru Z \ {a}).
x "(-1;9)'" x " C
Zdarzenie F przedstawiam za pomocą drzewka:
F = 32
Obliczam prawdopodobieństwo zdarzenia F.
F 32 1
P(F) = (z definicji klasycznej) �! P(F) = = .
64 2
�
Odpowiedz

1
Prawdopodobieństwo, że zajdzie dane zdarzenie wynosi P(F) = .
2
3.19
2 5 5
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
27 108 9
11 5 13
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
36 12 216
www.DobryeBook.pl strona 32 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
33
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Rozwiązanie
f) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w trzech
rzutach symetryczną kostką do gry, iloczyn wyrzuconych oczek jest podzielny
przez 50 lub suma jest większa od 16.
Zbiór zdarzeń elementarnych � = {(a;b;c): a,b;c "{1;...;6}}.
Zdarzeniami elementarnymi są trzyelementowe wariacje z powtórzeniami zbioru 6-elementowego.
3
� = = 63 = 216 (pierwszy rzut może przyjąć 6 wartości, drugi 6 i trzeci 6, razem
W
6
6 �" 6 �" 6 = 216 ).
Zdarzenie F   iloczyn wyrzuconych oczek jest podzielny przez 50 lub suma wyrzuconych oczek
jest większa od 16 jest sumą zdarzeń F1  iloczyn jest podzielny przez 50 i F2  suma jest
większa od 16.
F = F1 *" F2
Wyznaczam zdarzenia F1 i F2 .
Iloczyn wyrzuconych oczek jest podzielny przez 50, gdy w dwóch rzutach wypadnie 5 oczek a na
trzeciej z kostek wypadnie parzysta liczba oczek.
Zdarzenia elementarne sprzyjające F1 przedstawiam na grafie:
Zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu F1 jest 9.
F2 = {(a;b;c): a,b,c "{1;2;...;6}'" a + b + c > 16}, F2 = {(6;6;5),(6;5;6),(5;6;6),(6;6;6)}, F2 = 4 .
F1 )" F2 = O (zdarzenia F1 i F2 są rozłączne)�! P(F) = P(F1 *" F2 ) = P(F1)+ P(F2 )
/
F1 9 1 F2 4 1
P(F1) = �! P(F1) = = , P(F2 ) = �! P(F2 ) = = ,
216 24 216 54
� �
9 4 13
P(F) = + = .
216 216 216
Odpowiedz

13
Szukane prawdopodobieństwo wynosi P(F) = .
216
www.DobryeBook.pl strona 33 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
34
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
3.20
481 401 31
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
2006 1003 2006
120 22
d) P(D) = , e) P(E) = .
1003 1003
Rozwiązanie
e) Ze zbioru liczb Z = {1;2;...;2006} losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby
naturalnej.
� = {1;2;...;2006}, � = 2006
F = {x : x " Z '" x = n2 '" n " N}
Kwadratów liczb naturalnych w zbiorze Z jest 44.
F = {1;4;9;16;...;k}, k " N '" k d" 2006 .
2006 H" 44,8, 442 = 1936, 452 = 2025 �! k = 44 .
F = 44.
Obliczam prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia F z definicji klasycznej.
F 44 22
P(F) = �! P(F) = = .
2006 1003
�
Odpowiedz

22
Prawdopodobieństwo, że zajdzie opisane zdarzenie F wynosi P(F) = .
1003
3.21
5 1 5
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
9 9 42
89 1 29
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
168 21 72
Rozwiązanie
f) Ze zbioru cyfr {1;2;...;9} tworzymy liczbę trzycyfrową w ten sposób, że
losujemy z nich cyfrę setek, z pozostałych ośmiu losujemy cyfrę dziesiątek,
z pozostałych siedmiu cyfrę jedności. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania
liczby mniejszej od 471.
Zdarzeniami elementarnymi są trzyelementowe wariacje bez powtórzeń zbioru 9-elementowego.
� = {(a;b;c): a,b,c "{1;2;...;9}'" a = b '" a = c '" b = c}.
/ / /
www.DobryeBook.pl strona 34 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
35
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
� = 9 �"8�" 7 = 504 (cyfrę setek losuję z 9 cyfr, dziesiątek już z 8 cyfr i jedności z pozostałych
7 cyfr).
F = {(a;b;c): a,b,c "{1;2;...;9}'"100a +10b + c < 471}
Utworzona w podany sposób liczba będzie mniejsza od 471, jeśli cyfrą setek będzie 1 lub 2 lub 3
i cyframi dziesiątek i jedności będą dowolne cyfry różne od siebie i różne od cyfry setek lub cyfrą
setek jest 4 i cyframi dziesiątek są cyfry 1(" 2 (" 3 (" 4 (" 5 (" 6 a cyfrą jedności jest dowolna cyfra
różna od 4 i różna od cyfry dziesiątek.
Pierwszych liczb jest 3�"8 �" 7 = 168 (do każdej z cyfr setek: 1, 2, 3 losuję cyfrę dziesiątek z ośmiu
pozostałych i cyfrę jedności z siedmiu pozostałych).
Liczby, które cyfrę setek mają równą 4 przedstawiam za pomocą
drzewka.
Do każdej z cyfr dziesiątek 1, 2, 3, 5, 6 losuję cyfrę jedności na
7 sposobów.
Wszystkich liczb o cyfrze setek 4 mniejszych od 471 jest 5 �" 7 = 35.
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu
F 203 29
F jest F = 168 + 35 = 203. P(F) = �! P(F) = = .
504 72
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo otrzymania z danego zbioru cyfr w podany sposób liczby trzycyfrowej
29
mniejszej od 471 wynosi P(F) = .
72
3.22 (R)
a) n = 2k +1, k "{5;6;...;49}, b) n = 3k, k "{4;5;...;33}, c) n = 89,
d) n = 71, e) n = 27,
f) n = 77.
Rozwiązanie
f) Ze zbioru liczb Z = {10;11;...;n}, gdzie n d" 99 losujemy jedną liczbę. Oblicz n
wiedząc, że prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że
1
wylosowana liczba nie jest mniejsza od 61 wynosi P(A) = .
4
Zbiorem zdarzeń elementarnych jest: � = {10;11;...;n}, � = n - 9 .
A n - 60
Zdarzenie losowe A jest równe: A = {61;62;...; n}�! A = n - 60 �! P(A) = = .
n - 9
�
n - 60 1
Po podstawieniu wartości otrzymuję równanie: = '" n " N '" n > 61.
n - 9 4
4(n - 60) = n - 9 �! 4n - 240 = n - 9 �! 3n = 231 �! n = 77.
www.DobryeBook.pl strona 35 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
36
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Odpowiedz

Szukana ostatnia liczba zbioru Z jest równa n = 77.
3.23 (R)
a) n = 8, b) n "{3;4;...;16}, c) n "{3;4;...;8},
d) n = 6, e) n = 9, f) n "{3;4;...;10}.
Rozwiązanie
f) Ze zbioru n kul ponumerowanych od 1 do n losujemy kolejno bez zwracania
dwie kule. Numery wylosowanych kul tworzą uporządkowaną parę (a;b). Dla
jakich wartości n " N prawdopodobieństwo wylosowania pary liczb
1
spełniających warunek a - b = 2 jest większe od .
6
Wyznaczam zbiór zdarzeń elementarnych:
2 n! (n - 2)!�"(n -1)�" n
� = {(a;b): a,b "{1;2;...;n}'" a = b} �! � = = = = n(n -1).
/
V
n
(n - 2)! (n - 2)!
Zdarzenie A polega na tym, że wylosowane liczby spełniają warunek a - b = 2.
Z własności wartości bezwzględnej wynika, że a - b = 2 lub a - b = -2 �! a = b + 2 lub a = b - 2 .
A = {(a;b): a,b "{1;2;...; n}'" (a = b + 2 (" a = b - 2)}.
Par (a;b) spełniających warunek a = b + 2 jest n - 2 i spełniających warunek a = b - 2 jest n - 2 .
Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest A = 2 �"(n - 2).
A 2(n - 2).
Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe: P(A) = �! P(A) =
n(n -1)
�
Z treści zadania wynika:
1 2(n - 2) 1
P(A) > �! > '" n " N '" n > 2 �! 12(n - 2) > n(n -1) �! 12n - 24 > n2 - n �!
6 n(n -1) 6
n2 -13n + 24 < 0, " = b2 - 4ac = 169 - 96 = 73,
- b - " 13 - 73
n1 = = H" 2,2 ,
2a 2
- b + " 13 + 73
n2 = = H" 10,8.
2a 2
n "{3;4;...;10}.
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo danego zdarzenia spełnia podany warunek dla n "{3;4;...;10}.
www.DobryeBook.pl strona 36 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
37
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
3.24 (R)
6! 5!
a) P(A) = '" n " N+ '" n d" 6, b) P(B) = '" n " N+ '" n d" 5,
(6 - n)!�"6n (5 - n)!�"6n
n n +1
c) P(C) = '" n " N+ , d) P(D) = '" n " N+ ,
6n 6n
n n
1 1
�# ś# �# ś#
e) P(E) = '" n " N+ , f) P(F) = '" n " N+.
ś# ź# ś# ź#
3 2
�# # �# #
Rozwiązanie
f) Rzucamy n razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że
zaszło zdarzenie F   iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą .
Zdarzeniami elementarnymi są n-elementowe ciągi o wyrazach ze zbioru {1;2;...;6}.
� = {(k1;k2;...;kn ): ki "{1;2;...;6}'" i "{1;2;...;n}}.
n
� = = 6n (n-elementowe wariacje z powtórzeniami zbioru 6-elementowego).
W
6
Iloczyn wyrzuconych oczek będzie liczbą nieparzystą, gdy w każdym rzucie wypadnie nieparzysta
liczba oczek.
F = {(k1;k2;...;kn ): ki "{1;3;5}'" i "{1;2;...;n}}.
n
F = = 3n (n-elementowe wariacje z powtórzeniami zbioru 3-elementowego).
W
3
Obliczam prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia F.
n n
F 3n 3 1
�# ś# �# ś#
P(F) = �! P(F) = = = '" n " N+.
ś# ź# ś# ź#
6n 6 2
�# # �# #
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia  iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą przy
n
1
�# ś#
n-krotnym rzucie kostką do gry jest równe P(F) = .
ś# ź#
2
�# #
3.25
1 1 1 2 2 1
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = , d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(A) = .
72 630 126 9 9 9
Rozwiązanie
f) Grupa pięciu dziewcząt, wśród których są dwie siostry Ola i Ala oraz czterech
chłopców, wędrowała szlakiem turystycznym gęsiego. Oblicz
prawdopodobieństwo, że Olę i Alę będzie przedzielał dokładnie jeden chłopiec.
Szlakiem turystycznym wędruje 9 osób. Wędrują jedna za drugą. Zdarzeniami elementarnymi są
dziewięcioelementowe ciągi o różnych wyrazach ze zbioru dziewięcioelementowego
(dziewięcioelementowe permutacje).
www.DobryeBook.pl strona 37 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
38
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
� = {(t1;t2;...;t9): ti "{1;2;...;9}'" ti = t dla i, j "{1;2;...;9}}�! � = 9!.
/
j
Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu F stanowią dziewięcioelementowe ciągi, w których
Ola wędruje przed Alą a między nimi jeden chłopiec lub Ala wędruje przed Olą a między nimi
jeden z czterech chłopców.
Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających F jest równa
2 �" 7 �" 4 �" 6! (2 bo Ola zamienia się z Alą, pierwsza z sióstr może
w grupie zajmować 7 miejsc, na 4 sposoby można wybrać
chłopca, który przedziela siostry, pozostałe 6 osób, 3 dziewczynki
i 3 chłopców mogą zmieniać się między sobą na 6! sposobów).
F = 2 �" 7 �" 4 �" 6!= 8�" 7 �" 6!= 8!
Prawdopodobieństwo zdarzenia F jest więc równe:
F 8! 8! 1
P(F) = �! P(F) = = = .
9! 8!�"9 9
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że dwie siostry Olę i Alę w wędrówce 5 dziewcząt i 4 chłopców
1
gęsiego, będzie przedzielał dokładnie jeden chłopiec, wynosi P(F) = .
9
3.26 (R)
2 2(n - 3) 1
a) P(A) = '" n e" 3, b) P(B) = '" n e" 4, c) P(C) = '" n e" 3,
n(n -1) n(n -1)(n - 2) n(n -1)
n - 4 24
1
d) P(D) = '" n e" 5, e) P(E) = '" n e" 4,
f) P(F) = '" n e" 4.
n(n -1)(n - 2) n(n -1)(n - 2)
n
Rozwiązanie
f) Liczby 1;2;...;n ustawiamy w ciąg. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że
w otrzymanym ciągu liczba 1 znajduje się na czwartym miejscu.
Zdarzeniami elementarnymi są n-elementowe ciągi zbioru n-elementowego (n-elementowe
permutacje)
� = {(a1;a2;...;an ): ai "{1;2;...;n}'" i "{1;2;...;n}}�! � = n!.
F = {(a1;a2;...;an ): ai "{2;...;n}'" i "{1;2;...;n}'" i = 4 '" a4 = 1}.
/
Zdarzenie elementarne ma postać: (a1;a2;a3;1;a5;...;an ).
Wszystkie wyrazy oprócz a4 = 1 ( n -1 wyrazów) mogą zamieniać się miejscami.
Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu F jest więc równa: F = (n -1)! i n e" 4.
Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia F jest równe:
F (n -1)! (n -1)! 1
P(F) = �! P(F) = = = i n e" 4.
n! n �"(n -1)! n
�
www.DobryeBook.pl strona 38 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
39
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w otrzymanym ciągu liczba 1 znajdzie się na czwartym miejscu
1
wynosi P(F) = .
n
3.27 (R)
1 1 1
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
2520 360 30
1 1 1
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
1260 210 210
Rozwiązanie
f) Na półce stoi 10 książek, w tym 4 tomowa powieść. Książki ustawione są
w sposób losowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 4 tomy powieści ustawione
w dowolny sposób stoi na początku.
Zdarzeniami elementarnymi są 10-elementowe ciągi zbioru 10-elementowego.
� = {(a1;a2;...;a10 ): ai "{t1;...;t4;k5;...;k10}'" i "{1;2;...;10}} (10-elementowe permutacje). � = 10!.
F = {(a1;a2;...;a10 ): a1,...,a4 "{t1;...;t4}'" a5,...,a10 "{k5;...;k10}}.
Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu F są ciągami, w których pierwsze cztery wyrazy są
czterema tomami powieści ustawionymi w dowolnej kolejności na 4! sposobów. Do każdego
ustawienia powieści dokładam każde ustawienie sześciu pozostałych książek, których jest 6!.
F = 4!�"6!.
Prawdopodobieństwo, że zaszło zdarzenie F jest równe:
F 4!�"6! 2 �" 3�" 4 �" 6! 1
P(F) = �! P(F) = = = .
10! 6!�"7 �"8 �" 9 �"10 210
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że cztery tomy powieści ustawione w dowolny sposób stoi na
1
początku 10 książek ustawionych na półce jest równe P(F) = .
210
3.28 (R)
1 5 5
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
850668 850668 425334
4 1 20757
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
212667 32718 40508
Rozwiązanie
f) Gracz wypełnia jeden zakład  Ekspres Lotka . Jakie jest prawdopodobieństwo,
że nie wytypował trafnie żadnej z liczb?
www.DobryeBook.pl strona 39 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
40
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Zdarzeniami elementarnymi są 5-elementowe podzbiory zbioru 42-elementowego.
� = {{a1;a2;...;a5}: a1,...,a5 "{1;...;42}}(5-elementowe kombinacje zbioru 42-elementowego).
42
�# ś#
5 42! 42! 37!�"38�" 39 �" 40 �" 41�" 42
� = = ś# ź# = = = = 38�"13�" 41�" 42 = 850668.
C
42 ś# ź#
5 5!�"(42 - 5)! 5!�"37! 2 �" 3�" 4 �" 5 �" 37!
�# #
Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu F są pięcioelementowe podzbiory zbioru
37-elementowego (gracz wytypował spośród 37 liczb, które nie zostały wylosowane).
F = {{a1;a2;...;a5}: a1,...,a5 "{1;...;37}}
37
�# ś#
5 37! 32!�"33�" 34 �" 35�" 36 �" 37
F = = ś# ź# = = = 33�"17 �" 7 �" 3�" 37 = 435897.
C
37 ś# ź#
5 5!�"32! 2 �" 3�" 4 �" 5�" 32!
�# #
Obliczam prawdopodobieństwo, że zaszło zdarzenie F:
F 435897 20757
P(F) = = = .
850668 40508
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że gracz wypełniając jeden zakład  Ekspres
20757
Lotka nie wytypuje prawidłowo żadnej z liczb wylosowanych, wynosi P(F) = .
40508
3.29 (R)
27 27 21
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
55 220 55
1 48 34
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
220 55 55
Rozwiązanie
f) W czasie spotkania towarzyskiego, na którym było 12 par małżeńskich,
wybrano losowo 3 kobiety i 3 mężczyzn. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
wśród wybranych osób będzie co najmniej jedna para małżeńska?
Zdarzeniami elementarnymi są sześcioelementowe podzbiory, w których trzy elementy należą do
zbioru 12-elementowego kobiet i trzy do 12-elementowego mężczyzn.
� = {{a1;a2;a3;b1;b2;b3}: a1,a2 , a3 "{k1;k2;...;k12}'" b1;b2;b3 "{m1;m2;...;m12}}
2 2
12 12
�# ś# �# ś# 12! 9!�"10 �"11�"12
3 3 �# ś# �# ś#
� = �" = ś# ź# �" ś# ź# = = = 2202 = 48400
ś# ź# ś# ź#
C C
12 12 ś# ź# ś# ź#
3 3 3!�"9! # �# 2 �" 3�" 9!
�# #
�# # �# #
'
F - zdarzenie przeciwne do F (wśród wylosowanych trzech kobiet i trzech mężczyzn nie będzie
ani jednej pary małżeńskiej).
'
Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu F są 6-elementowe podzbiory, w których
trzy elementy należą do zbioru 12 kobiet a trzy pozostałe należą do zbioru 9 mężczyzn, którzy nie
są mężami wylosowanych kobiet.
'
F = {{a1;a2;a3;b1;b2;b3}: a1, a2 , a3 "{k1;k2;...;k12}'" b1;b2;b3 "{m1;m2;...;m9}}
www.DobryeBook.pl strona 40 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
41
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
12 9
�# ś# �# ś#
3 3 12! 9! 9!�"10 �"11�"12 6!�"7 �"8�"9
'
F = �" = ś# ź# �" ś# = �" = = 10 �"11�" 2 �" 7 �" 4 �" 3 = 18480
C C
ź#
12 9 ś# ź# ś#3ź# 3!�"9! 3!�"6! 2 �" 3�" 9! �"
3 2 �" 3�" 6!
�# # �# #
'
F 18480 84 21
'
P(F )= = = = .
48400 220 55
�
21 34
'
Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego P(F) = 1- P(F )�! P(F) = 1- = .
55 55
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród wylosowanych 3 kobiet i 3 mężczyzn z grupy 12 par
34
małżeńskich będzie co najmniej jedna para małżeńska wynosi P(F) = .
55
3.30 (R)
1 3 29
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
2 10 30
1 1 5
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
3 30 6
Rozwiązanie
f) Dziesięcioosobowa grupa uczniów, w której jest 6 dziewcząt otrzymała 3 bilety
do teatru, które rozdzielono drogą losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
do teatru pójdzie co najmniej jeden chłopiec.
Zdarzeniami elementarnymi są trzyelementowe podzbiory zbioru 10-elementowego.
10
�# ś#
3 10! 7!�"8�" 9 �"10
� = {{a1;a2;a3}: a1,a2 , a3 "{d1;d2;...;d6;c7 ;...c10}}�! � = = ś# ź# = = = 120.
C
10 ś# ź#
3 3!�"7! 2 �"3�" 7!
�# #
F jest zdarzeniem polegającym na tym, że do teatru pójdzie co najmniej jeden chłopiec. Zdarzenie
'
F przeciwnie do F polega na tym, że do teatru nie pójdzie żaden chłopiec, czyli pójdą same
dziewczyny.
6
�# ś#
3 6! 3!�"4 �" 5 �" 6
' '
F = {{a1;a2;a3}: a1, a2 , a3 "{d1;d2;...;d6}}�! F = = ś# = =
C
ź#
6 ś#3ź# 3!�"3! 2 �" 3�" 3! = 20.
�# #
'
F 20 1
' '
P(F )= �! P(F )= = .
120 6
�
1 5
'
Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: P(F) = 1- P(F )�! P(F) = 1- = .
6 6
Odpowiedz

5
Prawdopodobieństwo, że do teatru pójdzie co najmniej jeden chłopiec, jest równe P(F) = .
6
www.DobryeBook.pl strona 41 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
42
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
3.31 (R)
893 1 4657
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
6468 16170 32340
2679 27683 19
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(E) = .
2695 32340 132
Rozwiązanie
f) Na loterii jest 100 losów, z których 5 wygrywa. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że wśród trzech kupionych losów, jeden lub dwa wygrywa.
Zdarzeniami elementarnymi są trzyelementowe podzbiory zbioru 100-elementowego (kombinacje).
� = {{l1;l2;l3}: l1,l2 ,l3 "{1;2;...;100}}�!
100
�# ś#
3 100! 97!�"98 �" 99 �"100
� = = ś# ź# = = = 49 �" 33�"100 = 161700.
C
100 ś# ź#
3 3!�"97! 2 �" 3�" 97!
�# #
F = F1 *" F2 (zdarzenie jeden lub dwa losy wygrywają jest sumą dwóch rozłącznych zdarzeń):
F1  jeden los wygrywa, F2  dwa losy wygrywają, F1 )" F2 = O
/
Ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń rozłącznych otrzymuję:
P(F) = P(F1 *" F2 ) = P(F1)+ P(F2 )
F1 = {{l1;l2;l3}: l1 "{1;2;...;5}'" l2 ,l3 "{6;7;...;100}}.
5 95
�# ś# �# ś#
1 2 95! 95�" 94
F1 = �" = ś# �" ś# ź# = 5 �" = 5 �" = 5 �" 95�" 47 = 22325.
C C
ź#
5 95 ś#1ź# ś# ź#
2 2!�"93! 2
�# # �# #
F2 = {{l1;l2;l3}: l1 �" l2 "{1;2;...;5}'"l3 "{6;7;...;100}}.
5 95
�# ś# �# ś#
2 1 5! 95! 4 �" 5 95
F2 = �" = ś# �" ś# ź# = �" = �" = 950.
C C
ź#
5 95 ś#2ź# ś# ź#
1 2!�"3! 1!�"94! 2 1
�# # �# #
F1 22325 893 F2 950 38
P(F1) = �! P(F1) = = , P(F2 ) = �! P(F2 ) = = .
161700 6468 161700 6468
� �
893 38 931 19
P(F) = + = = .
6468 6468 6468 132
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupując 3 losy na danej loterii otrzymam jeden lub dwa
19
wygrywające wynosi P(F) = .
132
3.32 (R)
a) w obydwu jednakową, b) w drugiej, c) w drugiej, d) w drugiej.
Rozwiązanie
d) Na festyn z okazji Dnia Dziecka dwaj sponsorzy przygotowali dwie loterie.
Pierwsza zawierała 200 losów, w tym 40 wygrywających, druga 100 losów w tym
www.DobryeBook.pl strona 42 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
43
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
20 wygrywających. W której loterii mamy większą szansę wygrania
(przynajmniej jeden los wygrywający) przy zakupie 4 losów.
Korzystam ze zdarzenia przeciwnego.
Obliczam prawdopodobieństwo, że żaden z wylosowanych losów nie jest wygrywający:
I loteria: 200 losów, w tym 40 wygrywających i 160 przegrywających,
II loteria: 100 losów, w tym 20 wygrywających i 80 przegrywających.
Oznaczam: A  wygrano w I loterii, B  wygrano w II loterii.
Wyznaczam P(A) (I loteria):
� = {{l1;l2;l3;l4}: l1,l2,l3,l4 "{1;2;...;200}},
200
�# ś#
4 200! 196!�"197 �"198 �"199 �" 200
� = = ś# ź# = = = 197 �" 33�"199 �" 50 = 64684950,
C
200 ś# ź#
4 4!�"196! 2 �"3�" 4 �"196!
�# #
A' = {{l1;...;l4}: l1,...,l4 "{1;...;160}},
160
�# ś#
4 160! 160 �"159 �"158 �"157
A' = = ś# ź# = = = 20 �" 53�"158 �"157 = 26294360 ,
C
160 ś# ź#
4 4!�"156! 2 �" 3�" 4
�# #
A' 20 �" 53�"158�"157 2629436
P(A')= �! P(A')= = ,
197 �" 33�"199 �" 50 6468495
�
2629436 3839059
P(A) = 1- P(A')�! P(A) = 1- = H" 0,5935.
6468495 6468495
Wyznaczam P(B) (II loteria):
� = {{l1;l2;l3;l4}: l1,l2 ,l3,l4 "{1;2;...;100}},
100
�# ś#
4 100! 100 �" 99 �" 98�" 97
� = = ś# ź# = = = 25 �" 33�" 49 �" 97 ,
C
100 ś# ź#
4 4!�"96! 2 �" 3�" 4
�# #
B' = {{l1;l2;l3;l4}: l1,l2 ,l3,l4 "{1;2;...;80}},
80
�# ś#
4 80! 76!�"77 �" 78 �" 79 �"80
B' = = ś# ź# = = = 77 �" 26 �" 79 �"10 ,
C
80 ś# ź#
4 4!�"76! 2 �" 3�" 4 �" 76!
�# #
B' 77 �" 26 �" 79 �"10 26 �" 79 �" 2 4108
P(B')= �! P(B')= = = ,
25�" 33�" 49 �" 97 5 �" 3�" 7 �" 97 10185
�
4108 6077
P(B) = 1- P(B')�! P(B) = 1- = H" 0,5967 .
10185 10185
P(B) > P(A).
Odpowiedz

Większa szansa wygranej jest w drugiej z loterii.
www.DobryeBook.pl strona 43 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
44
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
3.33 (R)
a) n " N '" 6 d" n d" 11, b) n = 10, c) n "{6;7},
d) n = 15, e) n = 16,
f) n " N '" 6 d" n d" 21.
Rozwiązanie
f) Wśród n losów pewnej loterii 6 jest wygrywających. Jaka musi być liczba
losów, aby prawdopodobieństwo zdarzenia, że zakupione dwa losu będą
1
wygrywające było nie mniejsze od .
14
Losuję dwa losy z n losów loterii.
Zdarzeniami elementarnymi są więc dwuelementowe podzbiory zbioru n elementowego.
n
�# ś#
2 n! (n - 2)!�"(n -1)�" n n(n -1)
� = {{l1;l2}: l1,l2 "{1;2;...;n}}�! � = = ś# ź# = = = .
C
n ś#
2ź# 2!�"(n - 2)! 2 �"(n - 2)! 2
�# #
Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu F   zakupione dwa losy będą wygrywające
są dwuelementowe podzbiory zbioru 6-elementowego.
6
�# ś#
2 6! 4!�"5 �" 6
F = {{l1;l2}: l1,l2 "{1;2;...;6}}�! F = = ś# = =
C
ź#
6 ś#2ź# 2!�"4! 2 �" 4! = 15 .
�# #
Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia F jest równe:
F 15 30
P(F) = �! P(F) = = .
n(n -1)
n2 - n
�
2
1
Z treści zadania wynika, że P(F) e" .
14
30 1
Po wstawieniu danych otrzymuję nierówność: e" '" n " N '" n e" 6 �!
n2 - n 14
30 �"14 e" n2 - n �! n2 - n - 420 d" 0, " = b2 - 4ac = 1+1680 = 1681 �! " = 41,
- b - " 1- 41 - b + " 1+ 41
n1 = = = -20 (" n2 = = = 21.
2a 2 2a 2
n" - 20;21 )" N '" n e" 6 �! n"{6;7;...;21}�! n" N '" 6 d" n d" 21.
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że zakupione dwa losy w tej loterii będą wygrywające jest nie
1
mniejsze od dla 6 d" n d" 21'" n " N.
14
www.DobryeBook.pl strona 44 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
45
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
1
3.34 P(A) = .
18
5
3.35 P(A) = .
7
Rozwiązanie
Wśród 7 losów znajdujących się w urnie 2 są wygrywające i 5 przegrywających.
Losujemy jeden los i jeśli jest przegrywający to go wyrzucamy i losujemy
następny itd. aż trafimy na los wygrywający. Obliczyć prawdopodobieństwo tego,
że aby trafić na los wygrywający wystarczy mniej niż 4 losowania.
Zadanie rozwiązuję posługując się drzewkiem.
A  zdarzenie polegające na tym, że trafiono na los wygrywający
w co najwyżej trzecim losowaniu.
2 4 5 2 5 2 40 + 50 + 60 150 5
P(A) = �" �" + �" + = = = �"
5 6 7 6 7 7 5 �" 6 �" 7 210 7
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że aby natrafić na los wygrywający z danej
5
urny wystarczy mniej niż cztery losowania, wynosi P(A) = �"
7
3.36 (R)
3 1 7
a) P(A) = , b) P(b) = , c) P(C) = ,
10 20 40
21 3 11
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
40 10 60
Rozwiązanie
f) W urnie jest 10 kul: 3 białe, 4 czarne i 3 zielone. Losujemy z urny trzy razy po
jednej kuli bez z wracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej
dwóch kul zielonych.
Z treści zadania wynika, że kolejność losowania kul nie jest ważna.
Zdarzeniami elementarnymi są więc trzyelementowe podzbiory zbioru 10-elementowego.
� = {{k1;k2;k3}: k1, k2 , k3 "{b1;...;b3;c1;...;c4; z1;...; z3}}.
10
�# ś#
3 10! 7!�"8 �" 9 �"10
� = = ś# ź# = = = 120.
C
10 ś# ź#
3 3!�"7! 2 �" 3�" 7!
�# #
www.DobryeBook.pl strona 45 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
46
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Zdarzenie F jest sumą dwóch rozłącznych zdarzeń F = F1 *" F2 , gdzie F1 jest zdarzeniem
polegającym na wylosowaniu dwóch kul zielonych i jednej białej lub czarnej a F2 zdarzeniem
polegającym na wylosowaniu trzech kul zielonych.
P(F) = P(F1 *" F2 ) = P(F1)+ P(F2 ).
F1 = {{k1;k2;k3}: k1, k2 "{z1;...; z3}'" k3 "{b1;...;b3;c1;...;c4}},
F2 = {{k1;k2;k3}: k1,k2 , k3 "{z1; z2; z3}},
3 7 3
�# ś# �# ś# �# ś#
2 1 3
F1 = �" = ś# �" ś# = 3�" 7 = 21, F2 = = ś# = 1.
C C C
ź# ź# ź#
3 7 ś#2ź# ś#1ź# 3 ś#3ź#
�# # �# # �# #
F1 21 7 F2 1
P(F1) = �! P(F1) = = , P(F2 ) = = ,
120 40 120
� �
21 1 22 11
P(F) = + = = .
120 120 120 60
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo wylosowania z danej urny co najmniej dwóch kul zielonych wynosi
11
P(F) = .
60
3.37 (R)
14 12 3
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
55 55 11
42 41 8
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
55 55 11
Rozwiązanie
f) W urnie znajduje się 8 kul białych i 4 czerwone. Losujemy z urny 3 kule. Jakie
jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród wylosowanych kul jest jedna lub
dwie białe.
Wszystkich kul w urnie jest 12. Losujemy z urny 3 kule. Zdarzeniami elementarnymi są więc
trzyelementowe podzbiory zbioru 12-elementowego. Przestrzeń zdarzeń elementarnych mogę
zapisać:
12
�# ś#
3 12! 9!�"10 �"11�"12
� = {{k1;k2;k3}: k1,k2, k3 "{b1;...;b8;c1;...;c4}}�! � = = ś# ź# = = = 220.
C
12 ś# ź#
3 3!�"9! 2 �" 3�" 9!
�# #
Zdarzenie losowe polegające na tym, że wśród wylosowanych kul jest jedna lub dwie białe jest
sumą zdarzeń F1  wśród wylosowanych kul jest jedna biała i F2  wśród wylosowanych kul są
dwie białe.
F = F1 *" F2 '" F1 )" F2 = O ( F1 i F2 są zdarzeniami rozłącznymi).
/
Ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych:
P(F) = P(F1 *" F2 ) = P(F1)+ P(F2 ).
www.DobryeBook.pl strona 46 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
47
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
F1 = {{k1;k2;k3}: k1 "{b1;...;b8}'" k2, k3 "{c1;...;c4}},
8 4
�# ś# �# ś#
1 2 4! 3!�"2 �" 4 F1 48 12
F1 = �" = ś# �" ś# = 8 �" = 8 �" = 48 �! P(F1) = �! P(F1) = = ,
C C
ź# ź#
8 4 ś#1ź# ś#2ź# 2!�"2! 2!�"2
220 55
�# # �# # �
F2 = {{k1;k2;k3}: k1, k2 "{b1;...;b8}'" k3 "{c1;...;c4}},
8 4
�# ś# �# ś#
2 1 8! 7 �"8 F2 112 28
F2 = �" = ś# �" ś# = �" 4 = �" 4 = 28�" 4 = 112 �! P(F2 ) = �! P(F2 ) = = .
C C
ź# ź#
8 4 ś#2ź# ś#1ź# 2!�"6! 2
220 55
�# # �# # �
12 28 40 8
Po podstawieniu do wzoru na P(F) otrzymuję: P(F) = + = = .
55 55 55 11
Odpowiedz

8
Prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul będzie jedna lub dwie białe wynosi P(F) = .
11
3.38 (R)
a) n "{5;6}, b) n = 5, c) n "{5;6;7;8}, d) n "{5;6;7}.
Rozwiązanie
d) W urnie jest n kul, z których 5 jest białych. Jakie powinno być n, aby przy
losowaniu dwóch kul bez zwracania prawdopodobieństwo dwukrotnego
2
wylosowania kuli białej było większe od .
5
Zdarzeniami elementarnymi są dwuelementowe podzbiory zbioru n-elementowego.
n
�# ś#
2 n! (n - 2)!�"(n -1)�" n n2 - n
� = {{k1;k2}: k1, k2 "{1;...; n}} �! � = = ś# ź# = = = .
C
n ś#
2ź# 2!�"(n - 2)! 2 2
�# #
Zdarzenie A oznacza, że dwukrotnie wylosowano kulę białą:
A = {{k1;k2}: k1, k2 "{1;...;5}} (dwuelementowe kombinacje zbioru 5-elementowego)�!
5
�# ś#
2 5! 3!�"4 �" 5
A = = ś# = = = 10 .
C
ź#
5 ś#2ź# 2!�"3! 2 �"3!
�# #
Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest równe 10.
Z definicji klasycznej prawdopodobieństwa:
A 10 20
P(A) = �! P(A) = = .
n2 - n n2 - n
�
2
2
Z treści zadania wynika, że P(A) > . Otrzymuję więc nierówność:
5
20 2
> '" n " N '" n e" 5 �! 50 > n2 - n �! n2 - n - 50 < 0, " = b2 - 4ac =1+ 200 = 201,
n2 - n 5
www.DobryeBook.pl strona 47 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
48
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
- b - " 1- 201 - b + " 1+ 201
n1 = = H" -6,6 (" n2 = = H" 7,6.
2a 2 2a 2
Sporządzam wykres:
n "(n1;n2 ))" N '" n e" 5 �! n "{5;6;7}
Odpowiedz

2
Prawdopodobieństwo wylosowania z danej urny dwóch kul białych jest większe od dla
5
n "{5;6;7}.
3.39 (R)
a) k = 4, b) k = 4, c) k = 5,
d) k = 6, e) k = 7,
f) k = 6.
Rozwiązanie
f) Z urny zawierającej 18 kul czarnych i 2 białe losujemy kolejno bez zwracania
k kul. Oblicz najmniejszą wartość liczby k, dla której prawdopodobieństwo
1
wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest większe od .
2
Zdarzeniami elementarnymi są k-elementowe podzbiory zbioru 20-elementowego.
� = {{a1;...; ak}: ai "{1;...;20}'" i "{1;...;20}}.
20
�# ś#
k 20!
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa: � = = ś# ź# = .
C
20 ś# ź#
k k!�"(20 - k)!
�# #
Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowano co najmniej jedną kulę białą.
A'  zdarzenie przeciwne do A oznacza, że wylosowano k kul czarnych (ani jednej białej),
A' = {{a1;...;ak }: ai "{1;...;18}'" i "{1;...;k}},
18
�# ś# 18!
k
Zdarzeń elementarnych sprzyjających A' jest A' = = ś# ź# = .
C
18 ś# ź#
k k!�"(18 - k)!
�# #
Z definicji klasycznej prawdopodobieństwa:
18!
A' k!(18 - k)! 18!�"k!(20 - k)! 18!�"(18 - k)!�"(19 - k)(20 - k) (19 - k)(20 - k)
P(A')= �! P(A')= = = = .
20!
k!�"(18 - k)!�"20! (18 - k)!�"18!�"19 �" 20 19 �" 20
�
k!�"(20 - k)!
www.DobryeBook.pl strona 48 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
49
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:
(19 - k)(20 - k)
P(A) = 1- P(A')�! P(A) = 1- .
380
1
Z treści zadania wynika, że P(A) > .
2
Po wstawieniu wartości prawdopodobieństwa do nierówności otrzymuję:
2 2
380 - 39k + k 1 1 380 - 39k + k
2 2
1- > �! > �! 190 > k - 39k + 380 �! k - 39k +190 < 0 '"
380 2 2 380
k " N+ '" k d" 20 �!
2
k - 39k +190 < 0, " = b2 - 4ac = 1521- 760 = 761,
- b - " 39 - 761 - b + " 39 + 761
k1 = = H" 5,7 (" k2 = = H" 33,3.
2a 2 2a 2
Szkicuję wykres trójmianu kwadratowego z lewej strony
nierówności:
k "(k1;k2 ))" N �! k "{6;7;...;33}.
Najmniejszą liczbą naturalną spełniającą daną nierówność jest
k = 6 .
Odpowiedz

Najmniejsza wartość k, dla której prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej
1
jest większe od wynosi k = 6 .
2
3.40 (R)
a) 3, b) 5, c) 2, d) 1, e) 4.
Rozwiązanie
e) W urnie są kule białe, zielone i czarne. Kul zielonych jest dwa razy więcej niż
białych a czarnych jest trzy razy więcej niż białych. Ile jest kul białych, jeżeli przy
jednoczesnym losowaniu trzech kul, prawdopodobieństwo wylosowania każdej
48
kuli w innym kolorze wynosi .
253
Przyjmuję, że liczba kul białych wynosi k, k " N+ .
Zgodnie z treścią zadania liczba kul zielonych jest więc równa 2k a liczba kul czarnych 3k .
Liczba wszystkich kul w urnie jest więc równa k + 2k + 3k = 6k .
Zdarzeniami elementarnymi są 3-elementowe podzbiory zbioru 6k -elementowego (kombinacje).
� = {{k1;k2;k3}: k1, k2 ,k3 "{1;...;6k}},
www.DobryeBook.pl strona 49 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
50
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
6k
�# ś# (6k)! (6k - 3)!�"(6k - 2)(6k -1)�" 6k
3
2
� = = ś# ź# = = = 2k(3k -1)(6k -1) = 2k(18k - 9k +1).
C
6k ś# ź#
3 3!�"(6k - 3)! 2 �" 3�"(6k - 3)!
�# #
Niech A oznacza zdarzenie, że każda z wylosowanych kul jest w innym kolorze.
A = {{k1;k2;k3}: k1 "{b1;...;bk}'" k2 "{z1;...; z2k}'" k3 "{c1;...;c3k}}.
Obliczam liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A.
1 1
Do każdej kuli białej wylosowanej na sposobów losuję kulę zieloną na sposobów,
C C
k 2k
1
a następnie kulę czarną na sposobów.
C
3k
3 2
1 1 1 6k 3k
3
A = �" �" = k �" 2k �" 3k = 6k �! P(A) = = .
C C C 2 2
k 2k 3k
2k(18k - 9k +1) 18k - 9k +1
48
Z treści zadania wynika: P(A) = .
253
Po wstawieniu obliczonych wyrażeń otrzymuję równanie:
2
3k 48
2 2 2 2
= �! 253k = 16(18k - 9k +1)�! 253k = 288k -144k +16 �!
2
18k - 9k +1 253
2
35k -144k +16 = 0 '" k " N+ , " = b2 - 4ac = 20736 - 2240 = 18496, " = 136,
- b - " 144 -136 8 4 - b + " 144 +136 280
k1 = = = = " N+ (" k2 = = = = 4 " N+
2a 70 70 35 2a 70 70
Odpowiedz

W urnie są 4 kule białe.
3.41 (R)
a) 6 lub 10, b) 10 lub 15, c) 3 lub 6, d) 15 lub 21, e) 21 lub 28, f) 45 lub 55.
Rozwiązanie
f) W urnie są kule białe i czarne. Razem jest ich 100. Losujemy dwukrotnie bez
zwracania po jednej kuli. Niech A oznacza zdarzenie, że obie kule są tego samego
koloru, B zdarzenie, że kule są różnych kolorów. Oblicz ile jest w urnie kul
białych, jeżeli wiadomo, że P(A) = P(B).
Oznaczam, że w urnie jest k kul białych. Czarnych jest więc 100 - k .
Zdarzeniami elementarnymi są 2-elementowe podzbiory zbioru 100-elementowego.
100
�# ś#
2 100! 98!�"99 �"100
� = {{a1; a2}: a1, a2 "{1;...;100}}�! � = = ś# ź# = = = 4950.
C
100 ś# ź#
2 2!�"98! 2 �" 98
�# #
Wyznaczam zdarzenie A i jego prawdopodobieństwo.
A = {{a1;a2}: a1, a2 "{1;...;k}(" a1, a2 "{k +1;...;100}}.
Dwie kule losujemy z k kul białych lub dwie kule losujemy z 100 - k kul czarnych.
www.DobryeBook.pl strona 50 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
51
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
k 100
�# ś# �# - k
ś#
2 2 k! (100 - k)! (k - 2)!�"(k -1)�" k
A = + = ś# ź# + ś# ź# = + = +
C C
k 100-k ś# ś# ź#
2ź# 2 2!�"(k - 2)! 2!�"(100 - k - 2)! 2(k - 2)!
�# # �# #
2 2 2
(98 - k)!�"(99 - k)�"(100 - k) k - k (99 - k)�"(100 - k) k - k + 9900 -199k + k
= + = =
2 �"(98 - k)! 2 2 2
2
2k - 200k + 9900
2
= k -100k + 4950.
2
2
A k -100k + 4950
Z definicji klasycznej prawdopodobieństwa: P(A) = �! P(A) = .
4950
�
Obliczam prawdopodobieństwo zdarzenia B: B = {{a1;a2}: a1 "{1;...;k}'" a2 "{k +1;...;100}}
k 100
ś#
�# ś# �# - k
1 1
2
B = �" = ś# �" ś# ź# = k(100 - k) = 100k - k .
C C
ź#
k 100-k ś#1ź# ś# ź#
1
�# # �# #
2
B 100k - k
P(B) = �! .
4950
�
Z treści zadania wynika, że P(A) = P(B).
Po wstawieniu danych otrzymuję równanie:
2 2
k -100k + 4950 100k - k
2 2
= '" k " N+ '" k < 100 �! k -100k + 4950 = 100k - k �!
4950 4950
2 2
2k - 200k + 4950 = 0 �! k -100k + 2475 = 0, " = b2 - 4ac = 10000 - 9900 = 100, " = 10
- b - " 100 -10 - b + " 100 +10
k1 = = = 45 (" k2 = = = 55.
2a 2 2a 2
Odpowiedz

W urnie jest 45 lub 55 kul białych.
3.42 (R)  � = {{k1;...;k5}: k1,...,k5 "{1;...;52}},
9139 44 1
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
33320 162435 54145
1 143 18472
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
162435 16660 54145
Rozwiązanie
f) Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 5 kart. Opisz zbiór zdarzeń
elementarnych tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania
co najmniej jednego asa.
Zdarzeniami elementarnymi są pięcioelementowe podzbiory zbioru 52-elementowego. Kolejność
wylosowanych kart nie jest ważna, są to więc kombinacje 5-elementowe zbioru 52-elementowego.
� = {{k1;...;k5}: k1,...,k5 "{1;...;52}}.
www.DobryeBook.pl strona 51 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
52
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia jest więc równa:
52
�# ś#
5 52! 47!�"48 �" 49 �" 50 �" 51�" 52
� = = ś# ź# = = = 2 �" 49 �"10 �" 51�" 52 = 2598960 .
C
52 ś# ź#
5 5!�"47! 2 �" 3�" 4 �" 5 �" 47!
�# #
Niech F oznacza zdarzenie, że wylosowano co najmniej jednego asa.
'
Zdarzenie przeciwne do zdarzenia F oznaczam F i oznacza ono, że nie wylosowano ani jednego
asa (losujemy 5 kart z 48 nie będących asami):
'
F = {{k1;k2...;k5}: k1,..., k5 "{1;...;48}}.
48
�# ś#
5 48! 43!�"44 �" 45�" 46 �" 47 �" 48
'
F = = ś# ź# = = = 44 �" 9 �" 46 �" 47 �" 2 = 1712304 .
C
48 ś# ź#
5 5!�"43! 2 �" 3�" 4 �" 5 �" 43!
�# #
Z definicji klasycznej prawdopodobieństwa otrzymuję:
'
F 44 �"9 �" 46 �" 47 �" 2 11�" 3�" 23�" 47 35673
'
P(F )= �! = = .
2 �" 49 �"10 �" 51�" 52 49 �" 5 �"17 �"13 54145
�
'
Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego P(F) = 1- P(F ) wynika:
35673 18472
P(F) = 1- = .
54145 54145
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednego asa przy losowaniu 5 kart z talii 52 kart
18472
wynosi P(F) = .
54145
3.43 (R)
a) B, b) C, c) A, d) C, e) B, f) C.
Rozwiązanie
f) Mamy do dyspozycji 5 kart: dwie karowe i trzy pikowe. Karty tasujemy
i wykładamy dwie z nich. Określamy zdarzenia: C  wyłożone karty są różnych
kolorów, D  wyłożone karty są karowe. Które z tych zdarzeń jest bardziej
prawdopodobne.
Zdarzeniami elementarnymi są 2-elementowe podzbiory zbioru 5-elementowego.
5
�# ś#
2 5! 3!�"4 �" 5
� = {{k1;k2}: k1, k2 "{c1;c2; p1; p2; p3}}�! � = = ś# = = = 10 .
C
ź#
5 ś#2ź# 2!�"3! 2 �" 3!
�# #
Zdarzenie C polega na tym, że zostanie odkryta jedna karta karowa i jedna pikowa.
2 3
�# ś# �# ś#
1 1
C = {{k1;k2}: k1 "{c1;c2}'" k2 "{p1; p2; p3}}�! C = �" = ś# �" ś# = 2 �" 3 = 6 .
C C
ź# ź#
2 3 ś#1ź# ś#1ź#
�# # �# #
Z definicji klasycznej prawdopodobieństwa:
C 6
P(C) = �! P(C) = .
10
�
www.DobryeBook.pl strona 52 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
53
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Zdarzenie D polega na tym, że wyłożone karty są karowe:
D = {{k1;k2}: k1, k2 "{c1;c2}} (kombinacje 2-elementowe zbioru 2-elementowego)�!
2
�# ś#
2
D = C = ś# = 1.
2
ś#2ź#
ź#
�# #
D 1
P(D) = �! P(D) = .
10
�
6 1
�# ś#
P(C) > P(D) > .
ś# ź#
�#10 10 #
Odpowiedz

Bardziej prawdopodobne jest zdarzenie C.
3.44 (R)
4 13 4 48 4 4 44
�# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś#
ś# �" ś# ś# �" ś# ź# ś# �" ś# �" ś# ź#
ś#1ź# ś#13ź# ś#4ź# ś# ź# ś#2ź# ś#2ź# ś# ź#
ź# ź# ź# ź# ź#
9 9
�# # �# # �# # �# # �# # �# # �# #
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
52 52 52
�# ś# �# ś# �# ś#
ś# ś# ś#
ź# ź# ź#
ś#13ź# ś#13ź# ś#13ź#
�# # �# # �# #
13 13 1 4 4 16
�# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś#
ś# ź# �" ś# ź# ś# �" �" ś# �" ś# ź#
50
ś# ź# ś# ź# ś#1ź# ś# ź# ś#2ź# ś# ź#
ź# ś#3ź# ź#
f) P(F) = .
5 8 7
�# # �# # �# # �# # �# # �# #
52
d) P(D) = , e) P(E) = , �# ś#
ś#
52 52
�# ś# �# ś#
ś#13ź#
ź#
ś# ś#
�# #
ź# ź#
ś#13ź# ś#13ź#
�# # �# #
Rozwiązanie
f) Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania przez brydżystę czterech najstarszych
pików, pięć najmłodszych trefli, trzy kara starsze od dziewiątki i jednego kiera
młodszego od siódemki.
Brydżysta otrzymuje w jednym rozdaniu 13 kart wylosowanych z talii 52 kart.
Zdarzeniami elementarnymi są 13-elementowe podzbiory zbioru 52-elementowego.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych mogę więc zapisać:
52
�# ś#
13
� = {{k1;...;k13}: ki "{1;...;52}'" i "{1;...;13}}�! � = = ś# .
C
ź#
52 ś#13ź#
�# #
Zdarzenie F polega na tym, że brydżysta otrzymał cztery najstarsze piki (as, król, dama, walet), pięć
najmłodszych trefli (dwójka, trójka, czwórka, piątka, szóstka), trzy kara starsze od dziewiątki
(z pięciu kart) i jednego kiera młodszego od siódemki (z pięciu kart).
Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu F jest równa:
4 5 5 5
�# ś# �# ś# �# ś# �# ś#
4 5 3 1 5! 4 �" 5
F = �" �" �" = ś# �" ś# �" ś# �" ś# = 1�"1�" �" 5 = �" 5 = 50.
C C C C
ź# ź# ź# ź#
4 5 5 5 ś#4ź# ś#5ź# ś#3ź# ś#1ź# 3!�"2! 2
�# # �# # �# # �# #
www.DobryeBook.pl strona 53 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
54
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Z definicji klasycznej prawdopodobieństwa otrzymuję:
F 50
P(F) = �! P(F) = H" 7,87 �"10-11 .
52
�# ś#
�
ś#
ś#13ź#
ź#
�# #
Odpowiedz

50
Prawdopodobieństwo otrzymania przez brydżystę wymienionych kart wynosi P(F) = .
52
�# ś#
ś#
ś#13ź#
ź#
�# #
3.45 (R)
7 1 1 1
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = , d) P(D) = .
20 20 20 4
Rozwiązanie
d) Z sześciu odcinków o długościach 1, 2, 3, 4, 5, 6 losujemy trzy. Oblicz
prawdopodobieństwo, że z wylosowanych odcinków można zbudować trójkąt
rozwartokątny.
Zdarzeniami elementarnymi są trzyelementowe podzbiory zbioru 6-elementowego.
6
�# ś#
3 6! 3!�"4 �" 5 �" 6
� = {{a;b;c}: a,b,c "{1;...;6}}�! � = = ś# = =
C
ź#
6 ś#3ź# 3!�"3! 3!�"2 �" 3 = 20 .
�# #
Z wylosowanych odcinków a,b,c spełniających nierówność a < b < c można zbudować trójkąt
rozwartokątny, gdy c < a + b i c2 > a2 + b2 .
Takimi zdarzeniami są:
D = {{2;3;4},{2;4;5},{2;5;6},{3;4;6},{3;5;6}}�! D = 5.
(4 < 2 + 3 '"16 > 4 + 9)'" (5 < 2 + 4 '" 25 > 4 +16)'" (6 < 2 + 5 '" 36 > 4 + 25)'" (6 < 3 + 4 '" 36 > 9 +16)
'" (6 < 3 + 5 '" 36 > 9 + 25).
Z definicji klasycznej prawdopodobieństwa:
D 5 1
P(D) = �! P(D) = = .
20 4
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo, że z wylosowanych trzech odcinków z danych sześciu można zbudować
1
trójkąt rozwartokątny wynosi P(D) = .
4
www.DobryeBook.pl strona 54 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
55
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
3.46 (R)
17 1 1 3
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = , d) P(D) = .
20 20 2 10
Rozwiązanie
d) Ze zbioru odcinków o długościach: 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm i 8 cm
losujemy bez zwracania trzy odcinki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
z wylosowanych odcinków można zbudować trójkąt ostrokątny.
Zdarzeniami elementarnymi są 3-elementowe podzbiory zbioru 6-elementowego.
Przestrzenią zdarzeń elementarnych jest: � = {{a;b;c}: a,b,c "{3;4;5;6;7;8}} �!
6
�# ś#
3 6! 3!�"4 �" 5 �" 6
� = = ś# = =
C
ź#
6 ś#3ź# 3!�"3! 3!�"2 �" 3 = 20 .
�# #
Niech D oznacza zdarzenie, że z wylosowanych odcinków można zbudować trójkąt ostrokątny.
Z własności odległości punktów i tw. cosinusów dla trójkąta wynika, że zdarzenie D jest zbiorem
zdarzeń elementarnych spełniających warunki:
D = {{a;b;c}: a < b < c '" a,b,c "{3;...;8}'" c < a + b '" c2 < a2 + b2}.
Wypisuję zbiór zdarzeń D: D = {{4;5;6},{4;6;7},{4;7;8},{5;6;7},{5;7;8}, {6;7;8}}�! D = 6 .
Z definicji klasycznej prawdopodobieństwa:
D 6 3
P(D) = �! P(D) = = .
20 10
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo, że z wylosowanych odcinków można zbudować trójkąt ostrokątny wynosi
3
P(D) = .
10
3.47 (R)
2 4 1
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
117 473 208
1 1 1
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
412 987 1937
Rozwiązanie
f) Na płaszczyz
nie danych jest 25 punktów, z których żadne trzy nie są
współliniowe. Kreślimy trzy różne odcinki o końcach w tych punktach. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że otrzymane trzy odcinki tworzą trójkąt?
Mając do dyspozycji 25 punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe, wyznaczam wszystkie
odcinki o końcach w tych punktach. Do wyznaczenia odcinków wybieram po dwa z danych 25
punktów. Kolejność wybranych punktów przy budowie odcinka nie jest ważna. Odcinki są więc
www.DobryeBook.pl strona 55 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
56
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
2-elementowymi kombinacjami zbioru 25-elementowego. Wszystkich odcinków, które można
zbudować z danych punktów jest:
25
�# ś#
2 25! 23!�"24 �" 25
= ś# ź# = = = 12 �" 25 = 300 .
C
25 ś# ź#
2 2!�"23! 2 �" 23!
�# #
Z 25 punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe można zbudować 300 odcinków o końcach
w tych punktach.
Wybieram 3 z 300 odcinków i chcę zbudować z nich trójkąt.
Zdarzeniami elementarnymi tego doświadczenia są 3-elementowe podzbiory zbioru
300-elementowego:
� = {{a;b;c}: a,b,c "{1;...;300}}.
300
�# ś#
3 300! 297!�"298 �" 299 �" 300
� = = ś# ź# = = = 298�" 299 �" 50 = 4455100 .
C
300 ś# ź#
3 3!�"(300 - 3)! 2 �" 3�" 297!
�# #
Przez F oznaczam zdarzenie, że z wybranych odcinków można zbudować trójkąt.
Z utworzonych 300 odcinków powstałych z połączenia danych 25 punktów można zbudować tyle
trójkątów ile można wybrać trzech różnych punktów ze zbioru danych 25 punktów.
Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu F są 3-elementowe podzbiory zbioru
25-elementowego.
A
ącząc każde dwa z trzech wybranych punktów otrzymuję trzy odcinki, które tworzą trójkąt.
Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjającymi zdarzeniu F jest więc równa:
25
�# ś#
3 25! 22!�"23�" 24 �" 25
F = = ś# ź# = = = 23�" 4 �" 25 = 2300 .
C
25 ś# ź#
3 3!�"22! 2 �" 3�" 22!
�# #
Prawdopodobieństwo, że zaszło zdarzenie F obliczam z definicji klasycznej prawdopodobieństwa:
F 2300 46 1 1
P(F) = �! P(F) = = = = .
298 �" 299 �" 50 298 �" 299 149 �"13 1937
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo, że wybrane trzy odcinki łączące po dwa punkty z danego zbioru 25 punktów,
1
utworzą trójkąt wynosi .
1937
3.48 (R)
9 5
a) P(A) = , b) P(B) = .
11 11
Rozwiązanie
b) Na dwóch prostych równoległych wybrano punkty: na jednej pięć na drugiej
sześć. Losujemy cztery z tych punktów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że są one
wierzchołkami pewnego trapezu.
Na obu prostych jest 11 punktów. Wybieram 4 z nich. Zdarzeniami elementarnymi są więc
czteroelementowe podzbiory zbioru 11-elementowego.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych mogę opisać:
www.DobryeBook.pl strona 56 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
57
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
� = {{p1;...; p4}: p1,..., p4 "{l1;...;l5;k1;...;k6}}.
11
�# ś#
4 11! 7!�"8 �" 9 �"10 �"11
� = = ś# ź# = = = 330 .
C
11 ś# ź#
4 4!�"7! 2 �"3�" 4 �" 7!
�# #
Mając do dyspozycji 11 punktów leżących na dwóch prostych równoległych mogę z nich utworzyć
330 czteroelementowych zbiorów punktów.
Aby otrzymać trapez dwa z punktów muszą leżeć na jednej prostej a dwa na drugiej.
Oznaczam przez B zdarzenie polegające na tym, że z wylosowanych czterech punktów można
zbudować trapez. Zdarzenie B jest więc zbiorem zdarzeń elementarnych takich, gdzie dwa
z wylosowanych punktów leżą na jednej prostej a dwa na drugiej.
B = {{p1;...; p4}: p1, p2 "{l1;...;l5}'" p3, p4 "{k1;...;k6}}.
5 6
�# ś# �# ś#
2 2 5 �" 4 6 �" 5
B = �" = ś# �" ś# = = = 10 �"15 = 150 .
C C
ź# ź#
5 6 ś#2ź# ś#2ź# 2 2
�# # �# #
Do każdej pary punktów wylosowanych z jednej prostej losuję parę punktów z drugiej prostej.
Obliczam prawdopodobieństwo zdarzenia B z definicji klasycznej prawdopodobieństwa.
B 150 5
P(B) = �! P(B) = = .
330 11
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia, że losując cztery punkty z danych 11 otrzymam
5
z wierzchołki trapezu wynosi P(B) = .
11
3.49 (R)
4 3
a) P(A) = , b) P(B) = 0, c) P(C) = ,
7 7
4 6 1
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
7 7 7
Rozwiązanie
f) Z wierzchołków sześcianu o krawędzi a w sposób losowy wybieramy dwa.
Oblicz prawdopodobieństwo, że wyznaczony w ten sposób odcinek będzie
dłuższy od przekątnej ściany.
Sześcian ma 8 wierzchołków, 12 krawędzi o długości a, 12 przekątnych ścian o długości a 2 ,
4 przekątne sześcianu o długości a 3 .
d oznacza przekątną ściany, która jest przekątną kwadratu
2
o krawędzi a �! d = a 2(d = a2 + a2 �! d = a 2).
Każda ze ścian sześcianu (jest ich 6) ma dwie przekątne�! liczba
przekątnych ścian sześcianu jest równa 6 �" 2 = 12 .
p oznacza przekątną sześcianu. Z twierdzenia Pitagorasa
2
p2 = d + a2 �! p2 = 2a2 + a2 �! p2 = 3a2 �! p = a 3 .
www.DobryeBook.pl strona 57 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
58
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Sześcian ma cztery przekątne.
Zdarzeniami elementarnymi są 2-elementowe podzbiory zbioru 8-elementowego.
8
�# ś#
2 8! 6!�"7 �"8
� = {{w1; w2}: w1, w2 "{1;...;8}}�! � = = ś# = =
C
ź#
8 ś#2ź# 2!�"6! 2 �" 6! = 7 �" 4 = 28.
�# #
Niech F oznacza zdarzenie, że wyznaczony odcinek łączący dwa wylosowane wierzchołki
sześcianu jest dłuższy od przekątnej ściany. Są to więc przekątne sześcianu.
F 4 1
F = {AC'; BD';CA'; DB'}�! F = 4, P(F) = �! P(F) = = .
28 7
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowane dwa wierzchołki sześcianu utworzą odcinek
1
dłuższy od przekątnej ściany tego sześcianu jest równe P(F) = .
7
3.50 (R)
3 6 3
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
7 7 7
4 1 4
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
7 7 7
Rozwiązanie
f) Z wierzchołków sześcianu o krawędzi a = 1 losujemy dwa. Oblicz
prawdopodobieństwo, że wylosowane wierzchołki utworzą odcinek o długości
d > 1,4 .
Sześcian ma: 8 wierzchołków, 12 krawędzi o długości a = 1, 12 przekątnych ścian o długości
c = 2 , 4 przekątne sześcianu o długości p = 3 .
Zdarzeniami elementarnymi są 2-elementowe podzbiory zbioru
8-elementowego.
� = {{w1; w2}: w1, w2 "{1;...;8}}.
8
�# ś#
2 8! 6!�"7 �"8
� = = ś# = =
C
ź#
8 ś#2ź# 2!�"6! 2 �" 6! = 7 �" 4 = 28.
�# #
Niech F oznacza zdarzenie, że utworzony z wylosowanych
wierzchołków odcinek ma długość d > 1,4 .
Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu F są te
dwójki punktów, które tworzą przekątne ściany ( 2 > 1,4) i przekątne sześcianu ( 3 > 1,4).
Wszystkich takich dwójek sprzyjających zdarzeniu F jest 12 + 4 = 16 (tyle ile wynosi suma
przekątnych ścian i przekątnych sześcianu).
Prawdopodobieństwo zdarzenia F obliczam z definicji klasycznej prawdopodobieństwa.
F 16 4
P(F) = �! P(F) = = .
28 7
�
www.DobryeBook.pl strona 58 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
59
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo, że wylosowane dwa wierzchołki sześcianu o krawędzi długości a = 1
4
utworzą odcinek o długości d > 1,4 wynosi P(F) = .
7
3.51 (R)
1 6 4
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
7 7 7
3 3 1
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
7 7 7
Rozwiązanie
f) Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że trzy losowo wybrane wierzchołki
sześcianu o krawędzi a = 1 są wierzchołkami trójkąta o polu większym o 75%
pola jednej ze ścian tego sześcianu.
Zdarzeniami elementarnymi są trzyelementowe podzbiory zbioru 8-elementowego.
8
�# ś#
3 8! 5!�"6 �" 7 �"8
� = {{w1; w2; w3}: w1, w2 , w3 "{1;...;8}}�! � = = ś# = =
C
ź#
8 ś#3ź# 3!�"5! 2 �" 3�" 5! = 56 .
�# #
Wybierając trzy wierzchołki sześcianu można otrzymać 56 różnych
trójkątów.
Są trzy typy trójkątów:
Trójkąty I typu
Są to trójkąty prostokątne
równoramienne, których
wierzchołkami są trzy
wierzchołki leżące na jednej z sześciu ścian sześcianu. Na każdej ze
ścian jest 4 takie trójkąty (kąt prosty w każdym z wierzchołków
sześcianu na danej ścianie).Trójkątów I typu jest więc 6 �" 4 = 24 .
1
Pole tych trójkątów jest równe PI = .
2
Trójkąty II typu
Są to trójkąty prostokątne różnoboczne o bokach 1  krawędz

sześcianu, 2  przekątna ściany i 3  przekątna sześcianu.
Każda przekątna ściany sześcianu jest bokiem dwóch takich
trójkątów. Liczba trójkątów jest więc równa 6 �" 2 �" 2 = 24 .
2
Pole tego trójkąta jest równe PII = .
2
www.DobryeBook.pl strona 59 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
60
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Trójkąty III typu
To trójkąty, których bokami są przekątne ścian sześcianu. Są to
trójkąty równoboczne o boku 2 . Każdy z wierzchołków sześcianu
jest wierzchołkiem trzech takich trójkątów.
8�"3
Trójkątów typu III jest więc = 8 .
3
2
( 3) �" 3 3 3
Pole tego trójkąta jest równe PIII = = .
4 4
Pole ściany sześcianu jest równe S = 1.
3
Warunek na pole trójkąta mogę zapisać: P > 0,75 �! P > .
4
Sprawdzam, które z trójkątów spełniają dany warunek na pole:
3 1 3
PI < �! <
4 2 4
3 2 3
PII < �! < (2 2 < 3 �! 8 < 9)
4 2 4
3 3 3 3
PIII > �! > ( 3 > 1)
4 4 4
Jedynie trójkąty III typu spełniają wymagany warunek.
Niech F oznacza zdarzenie, że pole utworzonego trójkąta jest większe od 75% pola jednej ze ścian
sześcianu.
Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu F są te trójki wierzchołków sześcianu, które
tworzą trójkąt typu III. Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających F jest równa liczbie trójkątów
typu III.
F 8 1
F = 8 �! P(F) = �! P(F) = = .
56 7
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że trzy losowo wybrane wierzchołki sześcianu tworzą trójkąt
1
o polu większym od 75% pola jednej ze ścian jest równe P(F) = .
7
3.52
1 3 3
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
8 8 8
1 7 3
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
8 8 4
www.DobryeBook.pl strona 60 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
61
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Rozwiązanie
f) Drewniany sześcian, którego wszystkie ściany pomalowano na czerwono, został
rozcięty na 64 przystające sześciany. Spośród otrzymanych sześcianów
wylosowano jeden. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrany sześcian
ma jedną lub dwie ściany czerwone.
Zdarzeniami elementarnymi są jednoelementowe podzbiory zbioru 64-elementowego.
� = {{a}: a "{1;...;64}}�! � = 64.
Po rozcięciu sześcianu na 64 przystające sześciany otrzymamy:
8 sześcianów z trzema ścianami czerwonymi (po jednym w każdym narożu sześcianu),
12 �" 2 = 24 sześcianów z dwiema ścianami czerwonymi (przy każdej z 12 krawędzi po 2 sześciany),
6 �" 4 = 24 sześcianów z jedną ścianą czerwoną (na każdej z sześciu ścian po 4 sześcienny),
8 sześcianów, które nie mają żadnej ze ścian czerwonych. (Sześcian rozcinamy równolegle do
każdej ze ścian dzieląc krawędzie prostopadłe do tej ściany na 4 równe części. Po zdjęciu warstw
zewnętrznych, które mają ściany pomalowane otrzymujemy sześcian o krawędzi 2 razy dłużej od
krawędzi każdego z otrzymanych po rozcięciu sześcianów 23 = 8).
Niech F oznacza zdarzenie, że wybrany sześcian ma jedną lub dwie ściany czerwone.
Takich sześcianów jest 24 + 24 = 48 .
F 48 3
F = 48 �! P(F) = �! P(F) = = .
64 4
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybrany sześcian ma jedną lub dwie
3
ściany czerwone wynosi P(F) = .
4
3.53 (R)
85 15 85 15 85 85 15
�# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś#
ś# ź# �" ś# ź# ś# ź# �" ś# ź# + ś# ś# ź# �" ś# ź#
ź#
ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś#10ź# ś# ź# ś# ź#
8 2 9 1 5 5
�# # �# # �# # �# # �# # �# # �# #
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
100 100 100
�# ś# �# ś# �# ś#
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
10 10 10
�# # �# # �# #
85 15 85 15 85 15 85 15 15 85
�# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś#
ś# ź# �" ś# ź# + ś# ź# �" ś# ź# + ś# ź# �" ś# ź# + ś# ź# �" ś# ź# + ś# ś#
ź# ź#
ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś#10ź# ś#10ź#
4 6 3 7 2 8 1 9
�# # �# # �# # �# # �# # �# # �# # �# # �# # �# #
( )
d) P D = , e) P(E) = ,
100 100
�# ś# �# ś#
ś# ź# ś# ź#
ś# ź# ś# ź#
10 10
�# # �# #
85 15 85 15 85 15 85 15 85
�# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś#
ś# ź#
ś# ź# �" ś# ź# + ś# ź# �" ś# ź# + ś# ź# �" ś# ź# + �" ś# ź# + ś#
ź#
ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś#10ź#
6 4 7 3 8 2 9 1
�# # �# # �# # �# # �# # �# # �# # �# # �# #
( )
f) P F = .
100
�# ś#
ś# ź#
ś# ź#
10
�# #
www.DobryeBook.pl strona 61 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
62
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
Rozwiązanie
f) Średnio 85% nasion kiełkuje. Z partii 100 nasion wybieramy 10. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że z wybranych nasion wykiełkuje więcej niż połowa.
Zdarzeniami elementarnymi są 10-elementowe podzbiory zbioru 100-elementowego.
� = {{x1;...; x10}, x1;...; x10 "{1;...;100}}.
100
�# ś#
10
� = = ś# ź# .
C
100 ś# ź#
10
�# #
Oznaczam F  zdarzenie polegające na tym, że z wybranych 10 nasion wykiełkuje więcej niż
połowa czyli 6 lub 7 lub 8 lub 9 lub 10.
Zakładając, że wszystkie zdarzenia są jednakowo prawdopodobne w partii 100 nasion 85 jest
takich, które wykiełkuje i 15 nie wykiełkuje
F = F6 *" F7 *" F8 *" F9 *" F10 .
Fi oznacza, że wśród 10 nasion wybranych z partii 100, wykiełkuje i.
Wszystkie zdarzenia F6 do F10 są parami rozłączne.
Ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych otrzymuję:
P(F) = P(F6 )+ P(F7 )+ P(F8 )+ P(F9 )+ P(F10 )
85 15
�# ś# �# ś#
6 4
F6 = �" = ś# ź# �" ś# ź# ,
C C
85 15 ś# ź# ś# ź#
6 4
�# # �# #
85 15
�# ś# �# ś#
7 3
F7 = �" = ś# ź# �" ś# ź# ,
C C
85 15 ś# ź# ś# ź#
7 3
�# # �# #
85 15
�# ś# �# ś#
8 2
F8 = �" = ś# ź# �" ś# ź# ,
C C
85 15 ś# ź# ś# ź#
8 2
�# # �# #
85 15
�# ś# �# ś#
9 1
ś# ź#
F9 = �" = ś# ź# �" ,
C C
85 15 ś# ź# ś# ź#
9 1
�# # �# #
85
�# ś#
10 0
F10 = �" = ś#
C C
ź#
85 15 ś#10ź#.
�# #
F6 + F7 + F8 + F9 + F10
P(F) = .
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo, że z wybranych 10 nasion z partii 100 wykiełkuje więcej niż połowa wynosi
85 15 85 15 85 15 85 15 85
�# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś#
ś# ź#
ś# ź# �" ś# ź# + ś# ź# �" ś# ź# + ś# ź# �" ś# ź# + �" ś# ź# + ś#
ź#
ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś#10ź#
6 4 7 3 8 2 9 1
�# # �# # �# # �# # �# # �# # �# # �# # �# #
( )
P F = .
100
�# ś#
ś# ź#
ś# ź#
10
�# #
www.DobryeBook.pl strona 62 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
63
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
3.54 (R)
3243 3243 9729 141
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = , d) P(D) = .
3920 19600 9800 1960
Rozwiązanie
d) W kartonie znajduje się 50 żarówek, w tym cztery są wadliwe. Wybieramy
losowo trzy żarówki. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wybranych żarówek,
dokładnie dwie są wadliwe.
Zdarzeniami elementarnymi są trzyelementowe podzbiory zbioru 50-elementowego.
� = {{ż1; ż2; ż3}: ż1, ż2 , ż3 "{1;...;50}} �!
50
�# ś#
3 50! 48 �" 49 �" 50
� = = ś# ź# = = = 8 �" 49 �" 50 = 19600
C
50 ś# ź#
3 3!�"47! 2 �" 3
�# #
D  zdarzenie losowe polegające na tym, że wśród wylosowanych żarówek, dokładnie dwie są
wadliwe co oznacza, że wylosowano 1 żarówkę dobrą z 47 i dwie wadliwe z 3.
47 3
�# ś# �# ś#
1 2
D = �" = ś# ź# �" ś# = 47 �" 3 = 141.
C C
ź#
47 3 ś# ź# ś#2ź#
1
�# # �# #
Z definicji klasycznej prawdopodobieństwa:
D 141
P(D) = �! P(D) = .
19600
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród wylosowanych trzech żarówek dokładnie dwie są
141
wadliwe jest równe P(D) = .
19600
3.55 (R)
2 2 2
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
19 23 15
2 2 2
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
29 17 39
Rozwiązanie
f) W szafie jest 20 par butów. Losowo wybierzemy 2 buty. Oblicz
prawdopodobieństwo, że wylosowano buty z jednej pary.
Losujemy 2 buty z 40. Zdarzeniami elementarnymi są dwuelementowe podzbiory zbioru
40-elementowego:
� = {{b1;b2}, b1,b2 "{1;...;40}}.
Liczba zdarzeń elementarnych jest równa:
www.DobryeBook.pl strona 63 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
64
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
40
�# ś#
2 40! 38!�"39 �" 40
� = = ś# ź# = = = 39 �" 20 = 780 .
C
40 ś# ź#
2 2!�"38! 2
�# #
Aby wylosować dwa buty z jednej pary, pierwszy losujemy z 40 butów, zaś drugi but dobieramy do
pierwszego (na jeden sposób).
Niech F oznacza zdarzenie, że wylosowane dwa buty są z jednej pary.
40 1
�# ś# �# ś#
1 1
F = {{b1;b2}, b1 "{1;...;40}'" b2 "{b1}}�! F = �" = ś# ź# �" ś# = 40 .
C C
ź#
40 1 ś# ź# ś#1ź#
1
�# # �# #
Z definicji klasycznej prawdopodobieństwa:
F 40 2
P(F) = �! P(F) = = .
20 �" 39 39
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losując 2 buty z szafy gdzie jest 20 par
2
butów wylosujemy 2 buty z jednej pary wynosi P(F) = .
39
3.56 (R)
59 101 826
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
969 961 4845
48 9 406
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
323 323 4845
Rozwiązanie
f) W kasetce znajduje się 500 zł w banknotach o nominałach 50 zł, 20 zł, 10 zł.
A
ączna liczba banknotów znajdujących się w kasecie jest 20. Liczba banknotów
dziesięciozłotowych jest o 2 większa od liczby banknotów dwudziestozłotowych.
Z kasetki wybrano w sposób losowy cztery banknoty. Oblicz
prawdopodobieństwo, że suma wartości wybranych banknotów będzie nie
większa od 50 zł.
Wyznaczam liczby banknotów o poszczególnych nominałach.
Oznaczam: x  liczba banknotów 50 zł,
y  liczba banknotów 20 zł,
y + 2  liczba banknotów 10 zł.
Z treści zadania otrzymuję układ równań:
x �"50 + y �" 20 + (y + 2)�"10 = 500 50x + 20y +10y + 20 = 500
ż# ż#
�!
�#x + y + y + 2 = 20 �#x + 2y = 20 - 2
�# �#
5x + 2y + y + 2 = 50 5x + 3y = 48 5(18 - 2y)+ 3y = 48 90 -10y + 3y = 48
ż# ż# ż# ż#
�! �! �! �!
�# �# �# �#
�#x + 2y = 18 �#x = 18 - 2y �#x = 18 - 2y �#x = 18 - 2y
42 = 7 y x = 18
ż# ż# -12 x = 6
ż#
�! �!
�# �# �#
�#x = 18 - 2y �#y = 6 �#y = 6
www.DobryeBook.pl strona 64 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
65
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
W kasecie jest 6 banknotów po 50 zł, 6 banknotów po 20 zł i 8 banknotów po 10 zł.
Zdarzeniami elementarnymi są czteroelementowe podzbiory zbioru 20-elementowego.
� = {{b1;b2;b3;b4}, b1;...;b4 "{1;...;20}}.
20
�# ś#
4 20! 16!�"17 �"18 �"19 �" 20
� = = ś# ź# = = = 17 �" 3�"19 �" 5 �! � = 15 �"17 �"19 = 4845.
C
20 ś# ź#
4 4!�"16! 2 �" 3�" 4 �"16!
�# #
Przez F oznaczam zdarzenie polegające na tym, że łączna wartość wyjętych z kasety czterech
banknotów nie jest większa od 50 zł.
4 �"10zł d" 50zł lub 1�" 20zł + 3 �"10zł d" 50zł
Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu F są te zdarzenia, w których wylosowano
4 banknoty o nominałach 10 zł lub 3 banknoty dziesięciozłotowe i 1 dwudziestozłotowy.
F = {{b1;b2;b3;b4}, b1;...;b4 "{1;...;8}(" b1 "{1;...;6}'" b2;...;b4 "{1;...;8}}.
8 6 8
�# ś# �# ś# �# ś#
4 1 3 8! 6! 8! 8 �" 7 �" 6 �" 5 6 �" 7 �"8
F = + �" = ś# + ś# �" ś# = + �" = = 70 + 336 = 406 .
C C C
ź# ź# ź#
8 6 8 ś#4ź# ś#1ź# ś#3ź# 4!�"4! 1!�"5! 3!�"5! 2 �" 3�" 4 + 6 �"
2 �" 3
�# # �# # �# #
F 406
P(F) = �! P(F) = .
4845
�
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo, że suma wartości czterech wybranych z kasetki banknotów będzie nie
406
większa od 50 zł wynosi P(F) = .
4845
3.57 (R)
3 8 19
a) P(A) = , b) P(B) = , c) P(C) = ,
7 21 42
13 1 37
d) P(D) = , e) P(E) = , f) P(F) = .
14 14 42
Rozwiązanie
f) 96% wyrobów pewnego zakładu nie zawiera wad, z tego 62,5% jest
pierwszego gatunku. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród losowo wybranych
czterech wyrobów z partii 10 co najmniej dwa są pierwszego gatunku.
Zakładając, że wszystkie rozmieszczenia są jednakowo prawdopodobne w partii 10 wyrobów 6 jest
I gatunku ( 0,96 �" 0,625�"10 = 6 ).
Zdarzeniami elementarnymi są czteroelementowe podzbiory zbioru 10-elementowego.
10
�# ś#
4 10! 6!�"7 �"8 �" 9 �"10
� = {{w1;...; w4}, w1,..., w4 "{1;...;10}}�! � = = ś# ź# = = = 210 .
C
10 ś# ź#
4 4!�"6! 2 �" 3�" 4 �" 6!
�# #
Niech F oznacza zdarzenie, że co najmniej dwa z czterech wylosowanych wyrobów są pierwszego
gatunku.
F = F2 *" F3 *" F4 ,
F2 oznacza, że dwa z wylosowanych wyrobów są pierwszego gatunku i dwa nie są pierwszego.
www.DobryeBook.pl strona 65 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
66
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
'
F  zdarzenie przeciwne do F,
'
F oznacza, że co najwyżej jeden z wyrobów jest pierwszego gatunku (4 nie są pierwszego gatunku
lub 1 jest I gatunku i 3 nie są I gat.).
'
F = {{w1;...; w4}, w1,..., w4 "{1;...;4}(" (w1 "{1;...;6}'" w2 , w3, w4 "{1;...;4})}�!
4 6 4
�# ś# �# ś# �# ś#
'
F = ś# + ś# �" ś# = 1+ 6 �" 4 = 25,
ś#4ź# ś#1ź# ś#3ź#
ź# ź# ź#
�# # �# # �# #
'
F 25 5
' '
P(F )= �! P(F )= = .
210 42
�
Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:
5 37
'
P(F) = 1- P(F )�! P(F) = 1- = .
42 42
Odpowiedz

Prawdopodobieństwo, że co najmniej dwa z czterech wylosowanych wyrobów są pierwszego
37
gatunku wynosi P(F) = .
42
3.58
1 1
a) P(A) = , k = -4, x2 = -1, x3 = 1, b) P(A) = , k = 0, x2 = 0, x3 = -2,
4 2
3 1
c) P(A) = , k = -3, x2 = -2, x3 = 2, d) P(A) = , k = 6, x2 = -1, x3 = 1,
4 6
1 1
e) P(A) = , k = 9, x2 = -3, x3 = 3, f) P(F) = , k = 25, x2 = -5, x3 = 5.
3 6
Rozwiązanie
f) Dany jest wielomian W(x) = 6x3 - x2 -150x + k . Jeden z pierwiastków tego
wielomianu jest równy prawdopodobieństwu zajścia zdarzenia A polegającego na
tym, że w dwukrotnym rzucie kostką do gry w pierwszym rzucie wypadła
jedynka. Oblicz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
Wyznaczam prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A.
Zdarzeniami elementarnymi są dwuwyrazowe ciągi o wyrazach ze zbioru 6-elementowego.
� = {(k1;k2 ), k1, k2 "{1;...;6}} (dwuelementowe wariacje z powtórzeniami zbioru 6-elementowego).
2
� = = 62 = 36 (wynik pierwszego rzutu może przyjąć 6 wartości i drugiego 6).
W
6
Wyznaczam zdarzenie A:
A = {(1;k2 ), k2 "{1;...;6}} �! A = {(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6)} �! A = 6 .
Z definicji klasycznej prawdopodobieństwa:
A 6 1
P(A) = �! P(A) = = .
36 6
�
www.DobryeBook.pl strona 66 z 67
IX.3. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń&
67
IX.3. Odpowiedzi z przykładowymi rozwiązaniami  poziom podstawowy i rozszerzony
1
x1 = P(A)�! x1 = .
6
Z warunku W(x1) = 0 wyznaczam wartość k.
1 1 1 1 1 1
�# ś#
W = 6 �" - -150 �" + k = - - 25 + k = k - 25
ś# ź#
6 216 36 6 36 36
�# #
1
�# ś#
W = 0 �! k - 25 = 0 �! k = 25
ś# ź#
6
�# #
Wielomian W(x) ma więc postać:W(x) = 6x3 - x2 -150x + 25.
Wyznaczam pierwiastki wielomianu W(x) rozwiązując równanie W(x) = 0 .
6x3 - x2 -150x + 25 = 0 .
Rozkładam lewą stronę równania na czynniki metodą grupowania wyrazów i wyłączania
wspólnego czynnika przed nawias:
x2(6x -1)- 25(6x -1) = 0
(6x -1)(x2 - 25)= 0
1
ś#
(x + 5)(x - 5) = 0
6�# x - ź#
ś#
6
�# #
1
x1 = (" x2 = -5 (" x3 = 5 .
6
Odpowiedz

1
Prawdopodobieństwo, że zaszło zdarzenie A jest równe x1 = P(A) = .
6
Parametr k ma wartość k = 25 , a pozostałe pierwiastki wielomianu są równe x2 = -5 (" x3 = 5 .
www.DobryeBook.pl strona 67 z 67