Wydział: WiLiŚ, Budownictwo, sem.3
dr Jolanta Dymkowska
dr Józef Kamiński
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEC
STWA - POJ
CIA WST
PNE
MATERIAA
Y POMOCNICZE - TEORIA
Przestrzeń probabilistyczna
Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym, abstrakcyjnym) realnego doswiadczenia losowego
(eksperymentu losowego) jest tzw. przestrzeń probabilistyczna (skrót p.p.).
P.p. eksperymentu losowego stanowi układ 3 pojęć oznaczany przez (&!, S, P ) , gdzie
1* &! - przestrzeń zdarzeń elementarnych,
2* S - ciało zdarzeń (pewna rodzina podzbiorów przestrzeni &! ),
3* P - rozkład p-stwa (miara probabilistyczna).
Ad 1* W rachunku p-stwa zdarzenie elementarne jest pojęciem pierwotnym (zatem nie definiuje się go). Dla każdego
doświadczenia losowego oddzielnie ustala się zbiór (przestrzeń) zdarzeń elementarnych &! . &! - przestrzeń
zdarzeń elementarnych może być:
" zbiorem skoÅ„czonym: &! = { É1, É2, . . . , Én } ;
" zbiorem przeliczalnym: &! = { É1, É2, . . . , Én, . . . } ;
" zbiorem nieprzeliczalnym: np. &! = [0, 1] .
Ad 2* Niech &! ‚" Rn tj. &! jest n-wymiarowÄ… przestrzeniÄ… kartezjaÅ„skÄ… lub jej podzbiorem. Niech S" oznacza
dowolną rodzinę podzbiorów przestrzeni &! , spełniającą warunki:
(S1) &! ‚" S" ,
def
(S2) jeżeli A " S" , to A = &! - A " S" ,
"

ozn.
(S3) jeżeli A1, A2, · · · " S" , to A1 *" A2 *" . . . = Ai " S" .
i=1
KlasÄ™ zbiorów S" nazywamy Ã-ciaÅ‚em lub przeliczalnie addytywnym ciaÅ‚em zdarzeÅ„.
Najmniejsze takie ciało zawierające wszystkie zbiory otwarte z Rn nazywamy ciałem zbiorów borelowskich
i oznaczamy przez S . Zatem realnym zdarzeniom losowym w modelu abstrakcyjnym odpowiadajÄ… elementy
rodziny S , czyli zdarzeniom losowym odpowiadają pewne podzbiory przestrzeni &! . Z aksjomatów (S1)-(S3)
wynika miÄ™dzy innymi, że operacje na zdarzeniach prowadzÄ… także do zdarzeÅ„: np. A, B " S =Ò! A *" B "
S, A - B " S, (A )" B) " S , itp. Jeżeli &! jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, to za zdarzenie losowe
można uważać dowolny podzbiór przestrzeni &! .
1
Przypomnienie
" Zdarzenie &! " S nazywamy zdarzeniem pewnym.
" Zdarzenie " " S nazywamy zdarzeniem niemożliwym.
" Mówimy, że zachodzi zdarzenie A , jeżeli zachodzi jedno ze zdarzeÅ„ elementarnych É należących do A.
" Zawieranie się zdarzeń:
A ‚" B Ð!Ò! É " A Ò! É " B.
" Suma zdarzeń:
É " A *" B Ð!Ò! É " A lub É " B.
Ogólniej:
n

É " Ai Ð!Ò! "i=1,2,...,n É " Ai,
i=1
"

É " Ai Ð!Ò! "i"N É " Ai.
i=1
" Iloczyn zdarzeń:
É " A )" B Ð!Ò! É " A i É " B.
Ogólniej:
n

É " Ai Ð!Ò! "i=1,2,...,n É " Ai,
i=1
"

É " Ai Ð!Ò! "i"N É " Ai.
i=1
" Mówimy, że zdarzenia A i B są rozłączne jeżeli ich łączna realizacja jest niemożliwa, tj. A )" B = ".
" Różnica zdarzeń:
É " A - B Ð!Ò! É " A i É " B.
/
" Zdarzenie przeciwne A:
É " A Ð!Ò! É " &! - A.
" Prawa d Morgana:
( A *" B ) = A )" B
( A )" B ) = A *" B
Ad 3* (Aksjomatyczna definicja miary probabilistycznej)
Rozkładem p-stwa lub miarą prbabilistyczną nazywamy każdą funkcję P : S [0, 1] , która zdarzeniom
losowym A " S przyporządowuje liczbę rzeczywistą P (A) tak, że spełnione są postulaty:
(P1) P (&!) = 1
(P2) Jeżeli A1, A2, . . . jest dowolnym ciągiem (skończonym lub nieskończonym) elementów rodziny S parami
rozłącznych: Ai )" Aj = " dla każdych i = j , to

"

P (A1 *" A2 *" . . . ) = P (An).
n=1
2
Uwagi
" Dla A " S liczba P (A) nazywa się prawdopodobieństwem zdarzenia A.
" P-stwo zdarzenia niemożliwego P (") = 0.
" P-stwo zdarzenia przeciwnego: P (A) = 1 - P (A).
" P-stwo sumy zdarzeń (niekoniecznie rozłącznych): P (A *" B) = P (A) + P (B) - P (A )" B).
" A ‚" B to P (A) P (B).
"

" Gdy A1, A2, . . . jest nieskończonym ciągiem zdarzeń, to P (An) oznacza sumę zbieżnego szeregu
n=1
liczbowego o wyrazach nieujemnych.
" Załóżmy, że dla eksperymentu losowego została zbudowana p.p. (&!, S, P ) . Interpretując P (&!) jako
masę jednostkową, można powiedzieć, że zadanie funkcji P : S [0, 1] określa sposób rozkładu masy
jednostkowej na wszystkie zdarzenia losowe.
" Zauważmy, że aksjomaty p-stwa nie okreslają jednoznacznie funkcji P , lecz stanowią konieczne warunki,
które funkcja P musi spełniać.
" Z drugiej strony przy konstrukcji P należy uwzględnić następujący postulat empiryczny: dla długiego
ciągu powtórzeń danego doświadczenia losowego:
ilość realizacji zdarzenia A
P (A) = częstość zdarzenia A = .
ilość powtórzeń doświadczenia
Przykład 1 (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
Jeżeli p.p. &! skÅ‚ada siÄ™ n zdarzeÅ„ elementarnych, tj. &! = { É1, É2, . . . , Én } oraz wszystkie zdarzenia
jednoelementowe { Éi } gdzie i = 1, 2, . . . , n sÄ… jednakowo prawdopodobne, a wiÄ™c
1
P ( { É1 } ) = P ( { É2 } ) = . . . = P ( { Én } ) = ,
n
to p-stwo dowolnego zdarzenia A składającego się z k zdarzeń elementarnych wyraża się wzorem
k liczba zd.elem. sprzyjajacych zd. A
P (A) = = .
n liczba wszystkich zd.elem. przestrzeni &!
Przykład 2 (konstrukcji p.p. o przeliczalnej ilości zdarzeń elementarnych - rozkład dyskretny)
&! = { É1, É2, . . . , Én } lub &! = { É1, É2, . . . , Én, . . . },
S - rodzina wszystkich podzbiorów przestrzeni &!.
Warto zauażyć, że jeżeli &! = { É1, É2, . . . , Én } jest skoÅ„czona, to S = { ", {É1} , . . . , {Én} , {É1, É2} , . . . , &! } .
Mamy wówczas 2n zdarzeń losowych.
Rozkład p-stwa P : S [0, 1] okreslamy wzorami:
P ( {É1} ) = pi 0 , i = 1, 2, . . . ,

gdzie pi = 1.
i
Tak wprowadzona funkcja p-stwa spełnia wszystkie aksjomaty p-stwa.
Przykład 3 Esperyment losowy: poród, w którym obserwujemy płeć dziecka. Model matematyczny (&!, S, P ) :
&! = { É1, É2 } , gdzie É1 - urodzenie dziewczynki, É2 - urodzenie chÅ‚opca.
S = { ", {É1} , {É2} , {É1, É2} } (mamy 22 = 4 podzbiory 2-elementowej przetrzeni zdarzeÅ„ losowych).
3
P ( {É1} ) = p1 = 0, 5 i P ( {É2} ) = p2 = 0, 5 ( p1 + p2 = 1 ).
Powyższy model matematyczny jest poprawny, jednak jest mało adekwatny do sytuacji demograficznej, np. w
roku 1966 częstość urodzeń dziewczynek wynosiła 0,484. Zatem dokładniejszy model otrzymamy określając
funkcjÄ™ p-stwa w sposób nastÄ™pujÄ…cy: P ( {É1} ) = p1 = 0, 484 i P ( {É2} ) = p2 = 0, 516 .
Niezależność zdarzeń losowych
Zdarzenia A, B w p.p. (&!, S, P ) nazywamy niezależnymi, jeżeli
P (A )" B) = P (A) · P (B).
W przeciwnym przypadku zdarzenia A, B nazywamy zależnymi.
Zdarzenia A1, A2, . . . , An (n 2) lub zdarzenia A1, A2, . . . , An, . . . nazywamy wzajemnie niezależnymi w p.p.
(&!, S, P ) , gdy dla dowolnego skończonego podzbioru Ai , Ai , . . . , Ai zachodzi:
1 2 k
P (Ai )" Ai )" · · · )" Ai ) = P (Ai ) · P (Ai ) · · · · · P (Ai ).
1 2 k 1 2 k
Przykład 4 Eksperyment losowy: losowanie jednej liczby z { 1, 2, 3, 4 } . Model matematyczny:
&! = { É1, É2, É3, É4 } , Éi - wylosowanie liczby i
S - rodzina wszystkich podzbiorów &!
1
P ( {Éi} ) = pi = , i = 1, 2, 3, 4.
4
Rozważmy zdarzenia: A = {É1, É2} , B = {É1, É3} , C = {É1, É4} . Wówczas
1
P (A) = P (B) = P (C) = .
2
1
Ponieważ A )" B = A )" C = B )" C = {É1} , to P (A )" B) = P (A )" C) = P (B )" C) = . Zatem zdarzenia:
4
A i B są niezależne,
A i C są niezależne,
B i C są niezależne.
1
JednoczeÅ›nie A )" B )" C = {É1} , zatem P (A )" B )" C) = . Czyli
4
1
P (A )" B )" C) = P (A) · P (B) · P (C) = ,

8
tzn. zdarzenia A , B i C są zależne.
Przykład 5 Zbadać, który z następujących układów ma większą niezawodność, przy założeniu, że przekaz
niki
działają niezależnie i niezawodność każdego z nich jest równa p (0 < p < 1).
4
Niezawodność elementu rozumiemy jako p-stwo tego, że działa poprawnie w ciągu określonego czasu.
Określamy zdarzenia losowe:
Ai - i-ty przekaz
nik będzie pracował niezawodnie w czasie T, i = 1, 2, 3, 4, P (Ai) = p,
A - układ 1 będzie pracował niezawodnie w czasie T,
B - układ 2 będzie pracował niezawodnie w czasie T.
Z treści zadania wynika, że zdarzenia A1, A2, A3, A4 są niezależne.
Ponieważ A = (A1 )" A2 )" A3) *" A4 i B = (A1 )" A2) *" (A3 )" A4) , to
P (A) = P ( (A1 )" A2 )" A3) *" A4 ) = P ( A1 )" A2 )" A3 ) + P (A4) - P ( A1 )" A2 )" A3 )" A4 ) = p3 + p - p4
P (B) = P ( (A1 )" A2) *" (A3 )" A4) ) = P ( A1 )" A2 ) + P ( A3 )" A4 ) - P ( A1 )" A2 )" A3 )" A4 ) = 2p2 - p4.
Ażeby stwierdzić, który z układów jest bardziej niezawodny ustalamy znak różnicy:
P (A) - P (B) = p3 + p - p4 - (2p2 - p4) = p3 - 2p2 + p = p(p - 1)2 > 0.
Zatem P (A) > P (B) , a to oznacza, że większą niezawodność posiada układ pierwszy.
Uwaga Materiały te należy traktować jako wstep do wykładów z Rachunku Prawdopodobieństwa. Jednocześnie,
można wykorzystać materiały te, przygotowując się do sprawdzianu, należy je jednak uzupełnić o wiedzę z tematów:
" P-stwo warunkowe: W. Krysicki ... (poz.lit 10) - str.22, paragraf 1.3
" P-stwo zupełne, wzór Bayesa: W. Krysicki ... (poz.lit 10) - str.28, paragraf 1.4
" Elementy kombinatoryki: W. Krysicki ... (poz.lit 10) - str.32, paragraf 1.5
5