Wydział: WiLiŚ, Budownictwo, sem.3
dr Jolanta Dymkowska
dr Józef Kamiński
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEC
STWA - POJ
CIA WST
PNE
MATERIAA
Y POMOCNICZE
Literatura
" A. Plucińska, E. Pluciński, Elementy probabilistyki, PWN Warszawa 1981
" A. Plucińska, E. Pluciński, Zadania z probabilistyki, PWN Warszawa 1983
" W. Krysicki ..., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, PWN Warszawa 2005
" R. Leitner, J. Zacharski, Zarys matematki wyższej, część III, WNT Warszawa 2005
Zdarzenia losowe. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Elementy kombinatoryki.
Zad.1 Wiedząc, że
P (A *" B) = P (A) + P (B) - P (A )" B),
wyprowadz
wzór na P (A *" B *" C) . Jak wygladałby wyprowadzony wzór, jeżeli założylibyśmy, że zdarzenia
losowe A, B, C są parami rozłączne.
Zad.2 Wiedząc, że P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 4 i P (A )" B) = 0, 1 , oblicz P (A *" B).
Zad.3 Wykazać, że jeżeli P (A) = 1, P (B) = 1 , to P (A )" B) = 1 .
Zad.4 Wiedząc, że P (A) = 0, 5 i P (A )" B) = 0, 2 , oblicz P (A )" B), gdzie B oznacza zdarzenie przeciwne do
zdarzenia B.
WSKAZÓWKA: A = (A )" B) *" (A )" B)
Zad.5 Na loterii jest 100 losów, z których 5 wygrywa. Oblicz prawdopodobienstwo, że wśród kupionych losów jest
dokładnie 1 los wygrywający, jeżeli kupiłeś: a) 1 los, b) 2 losy, c) 5 losów.
Zad.6 Partia towaru składa się ze 100 elementów. Wśród nich są 4 wadliwe. Poddajemy kontroli 50 elementów. Partię
przyjmujemy, jeżeli wśród kontrolowanych elementów jest nie więcej niż 1 wadliwy. Oblicz prawdopodobieństwo
przyjęcia partii.
1
Zad.7 W dziesięciopietrowym domu jedzie w windzie 6 mieszkańców. Zakładając, że wszystkie możliwe rozkłady
wysiadania mieszkańców na piętrach są jednakowo prawdopodobne, oblicz prawdopodobieństwo tego, że każdy
mieszkaniec wysiądzie na innym piętrze.
Zad.8 Losowo wybieramy 7-cyfrowy numer telefonu. Zakładamy, że wybór kazdej z cyfr 0, 1, . . . , 9 jest jednakowo
prawdopodobny. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybierzemy numer o niepowtarzających sie cyfrach.
Zad.9 Praca na ćwiczeniach z matematyki jest pracą w zespołach. Pracujemy odpowiednio w zespołach 3 osobowych
albo 4 osobowych. Wszystkich studentów w grupie jest 24. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwaj przyjaciele
trafią do tego samego zespołu w przypadku zespołów 3 i 4 osobowych.
Zad.10 W urnie znajduje się dziesięć kul: 4 czarne i 6 białych. Wbieramy losowo bez zwracania 4 kule. Oblicz
prawdopodobieństwo tego, że a) wybrano 2 kule białe i 2 czarne, b) wybrano co najmniej jedną kulę białą.
Niezależność zdarzeń losowych
Zad.11 Załóżmy, że zdarzenia A i B są niezależe. Wykaż, że wówczas zdarzenia A i B są też niezależne.
1
Zad.12 Prawdopodobieństwo zestrzelenia kaczki przy jednym strzale wynosi . Pięciu myśliwych strzela niezależnie
3
do jednej kaczki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zestrzelą kaczkę.
Zad.13 Strzelcy A i B trafiają do celu z prawdopodobieństwami 0,83 i 0,87. Strzelcy trafiają niezależnie. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony: a) co najmniej raz, b) dokładnie dwa razy.
Zad.14 Po mieście jez
dzi 1000 samochodów. Prawdopodobieństwo wezwania pogotowia technicznego przez 1 samochód
wynosi 0,002. Obliczyć prawdopodobieństwo wezwania pogotowia technicznego przez jakikolwiek samochód,
przyjmując, że wezwania sa zdarzeniami niezależnymi.
Zad.15 Proces technologiczny jest kontrolowany przez 3 działajace niezależnie od siebie komptery. Prawdopodobieństwo
awarii w czasie T odpowiednich komputerów wynoszą p1 i p2 = p3 , gdzie 0 < pi < 1 dla i = 1, 2, 3. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że w czasie T ulegną uszkodzeniu dwa komputery. Podac niezbędne wzory i uzasadnienia.
Zad.16 Oblicz niezawodność danego układu przekaz
ników działających niezależnie, jeżeli niezawodność pojedyńczego
przekaz
nika wynosi p , gdzie 0 < p < 1. Który z układów ma większą niezawodność?
a)
b)
c)
d)
Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Wzór Bayesa.
Zad.17 Niech P (A) = 0, 3 , P (B) = 0, 4 i P (A )" B) = 0, 1 . Obliczyć
P (A )" B | A *" B).
2
Zad.18 Wiadomo, że P (A) = 0, 9 i P (B) = 0, 8 . Wykazać, że P (A|B) 0, 875.
WSKAZÓWKA: P (A )" B) = P (A) + P (B) - P (A *" B) P (A) + P (B) - 1
Zad.19 W pewnym przedsiębiorstwie 96% wyrobów jest dobrych. Na 100 dobrych wyrobów 75 jest I-ego gatunku. Oblicz
prawdopodobieństwo, że losowo wybrana sztuka dobrego wyrobu jest I-ego gatunku.
Zad.20 Każda praca pisemna z egzaminu jest sprawdzana dwukrotnie. Prawdopodobieństwo niezauważenia błędu przez
pierwszą osobę wynosi 0,08, przez drugą - 0,05. Oblicz prawdopodobieństwo, że błąd popełniony w racy pisemnej
nie zostanie zauważony.
Zad.21 Liczebność grup 1,2,3 wynosi odpowiednio 50, 40, 30 studentów. Wiadomo, że prawdopodobieństwo zaliczenia
3-ego semestru dla studentów z odpowiednich grup wynosi 0,6, 0,7, 0,8. Z rozważanego zespołu 120 studentów
wybrano losowo jednego. Okazało się, że należy on do grupy tych szczęśiwców, którzy zaliczyli 3-ci semestr.
Oblicz prawdopodobieństwo, że student ten jest z grupy 2-ej.
Zad.22 Koparka pracuje w warunkach trudnych albo normalnych odpowiednio z prawdopodobieństwami 0,2 i 0,8. Praw-
dopodobieństwo awarii koparki w czasie T wynosi 0,25 w warnkach trudnych i 0,05 w warunkach normalnych.
W czasie T koparka uległa uszkodzeniu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że pracowała wtedy w warunkach nor-
malnych.
Zad.23 Do zasiewu przygotowano ziarna 1-ej klasy z domieszką 2,3-ej i 4-ej klasy w stosunku 96:2:1:1. Prawdopodobieństwo
wykiełkowania ziarna wynosi: 0,6 dla klasy 1-ej, 0,2 dla klasy 2-ej, 0,15 dla klasy i 0,05 dla klasy 4-ej. Obliczyć
a) prawdopodoienstwo wykiełkowania losowo wybranego ziarna,
b) prawdopodoieństwo tego, że ziarno było 1-ej klasy, jeżeli wiemy, że ziarno wykiełkowało.
Zad.24 Fabryka wyrabia śruby na trzech maszynach M1, M2 i M3 , których produkcja wynosi odpowiednio 25%, 35%
i 40% całej produkcji. Maszyny dają odpowiednio 5%, 3% i 2% braków. W sposób przypadkowy wybrano jedną
śrubę. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a) wyprodukowała ją maszyna M1,
b) jest ona brakiem,
c) nie jest ona brakiem,
d) wyprodukowała ją maszyna M1, jeżeli wiadomo, że jest ona brakiem.
Zad.25 W sklepie znajduje się 600 sztuk żarówek produkcji I-ej fabryki, 300 sztuk II-ej i 100 sztuk III-ej. Określonym
normom odpowiada 90% żarówek I-ej fabryki, 80% II-ej, 60% III-ej. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że losowo
wybrana i zgodna z normami żarówka została wyprodukowana w III-ej fabryce.
3