Przekształcenie Laplace a
Przykłady do zadania 2.1:
Korzystając z definicji wyznaczyć transformatę Laplace a podanej
funkcji f(t), t 0:
(a) f(t) a" 1
t=T
"
e-st 1 - e-sT 1

Dla s > 0 mamy e-stdt = lim = lim =
t=0
T " -s s s
T "
0
1
Zatem L(1)(s) = , s > 0
s
(b) f(t) = et, f(t) = e-t
t=T
" "
e-(s-1)t 1 - e-(s-1)T 1

Dla s > 1 mamy ete-stdt = e-(s-1)tdt = lim = lim =
t=0
T " -(s - 1) s
T " - 1 s - 1
0 0
1
Zatem L(et)(s) = , s > 1
s - 1
1
Podobnie L(e-t)(s) = , s > -1
s + 1
(c) f(t) = sin t, f(t) = cos t
Dla s > 0 mamy
"
e-st(- cos t - s sin t) e-sT (- cos T - s sin T ) + 1 1
t=T
e-st sin tdt = lim = lim =
t=0
T " T "
1 + s2 1 + s2 1 + s2
0
oraz
"
e-st(-s cos t + sin t) e-sT (-s cos T + sin T ) + s s
t=T
e-st cos tdt = lim = lim =
t=0
T " T "
1 + s2 1 + s2 1 + s2
0
Granice obliczamy korzystając z tego, że dla s > 0 mamy e-sT 0 przy T ", a to, co w
nawiasie, jest ograniczone.
1 s
Zatem otrzymaliśmy: L(sin t)(s) = , s > 0, L(cos t)(s) = , s > 0
1 + s2 1 + s2
Obl.pomocnicze:



f(t) = e-st g (t) = sin t
e-st sin tdt = = -e-st cos t - s e-st cos tdt =
f (t) = -se-st g(t) = - cos t



f = e-st g = cos t
= = -e-st cos t - s (e-st sin t + s e-st sin tdt)
f = -se-st g = sin t
e-st(- cos t - s sin t)
Zatem e-st sin tdt = + C, C " R
1 + s2
e-st(-s cos t + sin t)
oraz e-st cos tdt = + C, C " R
1 + s2
1

1 - t dla 0 t 1
(d) f(t) =
0 dla t > 1
Dla s = 0 mamy



t=1 1
" 1
e-st 1
f(t) = 1 - t g (t) = e-st

f(t)e-stdt = (1-t)e-stdt = -st -(1-t) - e-stdt =
=

t=0
f (t) = -1 g(t) = -e s s
0 0
s
0

t=1
1 1 e-st 1 e-s - 1

= - - = +
t=0
s s s s s2
s - 1 + e-s
Zatem L(f(t))(s) = , s = 0

s2
Przykłady do zadania 2.2:
Korzystając z własności przekształcenia Laplace a wyznaczyć L(g(t))(s) dla podanej funkcji g(t),
t 0:
(a) g(t) = eÄ…t, g(t) = e-Ä…t, Ä… > 0

1 s 1 1 1
Mamy L(eÄ…t)(s) = L(et) = = , s > Ä…
s
Ä… Ä… Ä… - 1 s - Ä…
Ä…
1
Podobnie L(e-Ä…t)(s) = , s > -Ä…
s + Ä…
(b) g(t) = sh(Ä…t), g(t) = ch(Ä…t), Ä… > 0

1
Mamy sh(Ä…t) = eÄ…t - e-Ä…t ,
2


1 1 1 1 Ä…
zatem L(sh(Ä…t))(s) = L(eÄ…t) - L(e-Ä…t) (s) = - =
2 2 s - Ä… s + Ä… s2 - Ä…2

1
Podobnie ch(Ä…t) = eÄ…t + e-Ä…t ,
2


1 1 1 1 s
zatem L(ch(Ä…t))(s) = L(eÄ…t) + L(e-Ä…t) (s) = + =
2 2 s - Ä… s + Ä… s2 - Ä…2
dla s > Ä…
(c) g(t) = sin(Ä…t), g(t) = cos(Ä…t)

1 s Ä…
Mamy L(sin(Ä…t))(s) = L(sin t) =
Ä… Ä… s2 + Ä…2

1 s s
oraz L(cos(Ä…t))(s) = L(cos t) = , s > 0
Ä… Ä… s2 + Ä…2
(d) g(t) = tn, n " N
dnL(1) dn 1 n!
Mamy L(tn · 1)(s) = (-1)n (s) = (-1)n = , s > 0
ds ds s sn+1
(e) g(t) = tneÄ…t, n " N
n!
Mamy L(tneÄ…t)(s) = L(tn)(s - Ä…) = , s > Ä…
(s - Ä…)n+1
2
(f) g(t) = eÄ…t sin(²t), g(t) = eÄ…t cos(²t)
²
Mamy L(eÄ…t sin(²t))(s) = L(sin(²t))(s - Ä…) =
(s - Ä…)2 + ²2
s - Ä…
Podobnie L(eÄ…t cos(²t))(s) = L(cos(²t))(s - Ä…) =
(s - Ä…)2 + ²2
(g) g(t) = Ç(t - 2)sh(t - 2)
1
Mamy L(Ç(t - 2)sh(t - 2))(s) = e-2sL(sht)(s) = e-2s
s2 - 1
Przykłady do zadania 2.3:
Podać ciągłą funkcję f(t), jeśli jej transformata Laplace a ma postać L(f(t))(s):
s + 3
(a) L(f(t))(s) =
s2 + 6s + 10
s + 3 s + 3
= = L(e-3t cos t)(s)
s2 + 6s + 10 (s + 3)2 + 1
Zatem f(t) = e-3t cos t, t 0
s - 2
(b) L(f(t))(s) =
s2 + 4
s - 2 s 2
= - = L(cos(2t))(s) - L(sin(2t))(s) = L(cos(2t) - sin(2t))(s)
s2 + 4 s2 + 22 s2 + 22
Zatem f(t) = cos(2t) - sin(2t), t 0
5
(c) L(f(t))(s) =
s2 + 5s
5 5 1 1
= = - = L(1)(s) - L(e-5t)(s) = L(1 - e-5t)(s)
s2 + 5s s(s + 5) s s + 5
Zatem f(t) = 1 - e-5t, t 0
6
(d) L(f(t))(s) =
s2 - 4s + 3
6 6
= = 6L(e2tsht)(s)
s2 - 4s + 3 (s - 2)2 - 12
Zatem f(t) = 6e2tsht, t 0
se-3s
(e) L(f(t))(s) =
s2 - 2
" "
se-3s s
"
= e-3s = e-3sL(ch( 2t))(s) = L(Ç(t - 3)ch( 2(t - 3)))(s)
s2 - 2
s2 - ( 2)2
"
Zatem f(t) = Ç(t - 3)ch( 2(t - 3)), t 0
3
Przykłady do zadania 2.4:
StosujÄ…c rachunek operatorowy znalez
ć rozwiązanie szczególne podanego równania różniczkowego
spełniające podany warunek początkowy:

(a) y - y - 1 = -t, y(0) = 2

L(y - y - 1) = L(-t)
1 1
sL(y) - y(0) - L(y) - = -
s s2
1 1
(s - 1)L(y) = 2 + -
s s2
2s2 + s - 1 1 2
L(y) = = +
(s - 1)s2 s2 s - 1
StÄ…d y(t) = t + 2et

(b) y + y = 1, y(0) = y (0) = 0

L(y + y) = L(1)
1

s2L(y) - sy(0) - y (0) + L(y) =
s
1
(s2 + 1)L(y) =
s
1 1 s
L(y) = = -
(s2 + 1)s s s2 + 1
StÄ…d y(t) = 1 - cos t

(c) y - y = sin t, y(0) = 2, y (0) = 0, y (0) = 1

L(y - y ) = L(sin t)
1

s3L(y) - s2y(0) - sy (0) - y (0) - (sL(y) - y(0)) =
s2 + 1
1
(s3 - s)L(y) = + 2s2 + 1 - 2
s2 + 1
1 2s2 - 1 2s3 + s 3/4 3/4 s/2
L(y) = + = = + +
(s2 + 1)(s3 - s) s3 - s (s + 1)(s - 1)(s2 + 1) s - 1 s + 1 s2 + 1
3 3 1
StÄ…d y(t) = et + e-t + cos t
4 4 2
4