Całki podwójne
Przykłady do zadania 3.1:
Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach

Ą Ą Ą
(a) sin(x + y) dxdy, R = - , � 0,
4 4 4
R
Ą Ą
4 4
" sin(x + y) dxdy = dx sin(x + y)dy =
Ą
R - 0
4
Ą Ą
y= Ą
4 4
4
Ą
" = (- cos(x + y) dx = (- cos(x + ) + cos x)dx =

4

Ą y=0 Ą
- -
4 4
x= Ą
4
"
Ą Ą Ą
" = (- sin(x + ) + sin x = - sin + sin + sin 0 - sin -Ą = 2 - 1

4 2 4 4

Ą
x=-
4

(b) (x2 + y2x) dxdy, R = [-1, 1] � [2, 4]
R
4 1
" (x2 + y2x) dxdy = dy (x2 + y2x)dx =
R 2 -1
x=1
4 4

x3 x2 2

" = + y2 � dy = + 0 dy =

3 2 3
x=-1
2 2
2 4
" = � 2 =
3 3

(c) ex+y dxdy, R = [0, 1] � [0, 1]
R

" ex+y dxdy = exey dxdy =
R R
�ł �ł �ł �ł �ł �ł2
1 1 1
�ł �ł �ł
" = exdxłł � eydyłł = exdxłł =
0 0 0
�ł
x=1�ł2

�ł
" = ex łł = (e - 1)2


x=0

(d) xy(x + y) dxdy, R = [-1, 1] � [-1, 1]
R

" xy(x + y) dxdy = x2y dxdy + xy2 dxdy =
R R R
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 1 1 1 1 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
" = x2dxłł � ydyłł + xdxłł � y2dyłł = 2 x2dxłł � ydyłł = 0,
-1 -1 -1 -1 -1 -1
bo druga całka w iloczynie równa jest 0 jako całka z funkcji nieparzystej po przedziale
symetrycznym względem 0.
1
Przykłady do zadania 3.2:
Podane całki podwójne zamienić na całki iterowane i obliczyć. Narysować obszar całkowania.


1
x
(a) dxdy, gdzie D = (x, y) : 0 x 2, y 2x
2
(1 + x + y)2
D
4.5
" rysunek
y
4
3.5
3
2.5
y=2x
2
1.5
1
0.5
y=x/2
0
0
2 x
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
�ł
y=2x�ł
2x
2 2

1 dy 1

�ł łł
" dxdy = dx = - dx =

(1 + x + y)2 (1 + x + y)2 1 + x + y
x
x y=
D 0 0
2
2
�ł
x=2

2


1 1 1 2 3 1 2
�ł
= - + dx = - ln |1 + 3x| + ln 1 + x = - ln 7 + ln 4


3

1 + 3x 1 + x 3 3 2 3 3
2 x=0
0

1
(b) exydxdy, gdzie D = (x, y) : 1 x e, 0 y
x
D
1.5
" rysunek
y
1
y=1/x
0.5
0
e
x
1 y=0
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
1
�ł �ł
e x e y= 1 e
x
1 1 1
�ł
" exydxdy = dx exydy = exy łł dx = e - dx =


x x x
y=0
D 1 0 1 1
x=e

= (e - 1) ln |x| = e - 1


x=1
2


"
(c) x dxdy, gdzie D = (x, y) : 0 x 1, 0 y 1 - x2 .
D
1.5
" rysunek
y
1
y=(1-x2)1/2
0.5
0
0
1 x
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5
�ł łł
"
y = 1 - x2
�ł �ł
1-x2
1 1 y="1-x2 1
�ł śł
"
dy = -2xdx
�ł śł
�ł łł
" x dxdy = dx xdy = xy dx = x 1 - x2dx = �ł śł =

�ł �ł
x 0 1
y=0
D 0 0 0 0
y 1 0
�ł
y=0
0

1 " 1 y3/2 1

�ł
= - ydy = - � =

2 2 3/2 3
y=1
1
Przykłady do zadania 3.3:

Obszar D ograniczony jest krzywymi o podanych równaniach. Całke podwójną f(x, y) dxdy
D
(gdzie f(x, y) jest ciągła na D) zamienić na dwa rodzaje całek iterowanych.
(a) x = 0, y = 1, y = x
1.5
y
" rysunek
y=1
1 1
x=0
0.5
y=x
0
0 x
1
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5
" D to obszar normalny względem osi 0x, bo
D = {(x, y) : 0 x 1, x y 1}
1 1
" Stąd f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy
x
D 0
" D to także obszar normalny względem osi 0y, bo
D = {(x, y) : 0 y 1, 0 x y}
1 y
" Stąd f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
D 0 0
3
"
2.5
(b) y = x2, y = x
y
2
" rysunek
1.5
1 1
y=x1/2
0.5
y=x2
0
0 1 x
-0.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
" szukamy punktów wspólnych podanych krzywych:
"
x2 = x
x4 = x2, x 0
,
x2(x2 - 1) = 0, x 0
x = 0 (" x = 1
dla x = 0 mamy y = 02 = 0, dla x = 1 mamy y = 12 = 1
" D to obszar normalny względem osi 0x, bo
"
D = {(x, y) : 0 x 1, x2 y x}
"
x
1
" Stąd f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy
D 0
x2
2.5
" rysunek
y
2
1.5
1 1
x=y2
0.5
x=y1/2
0
0 1 x
-0.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
" D to także obszar normalny względem osi 0y, bo
"
D = {(x, y) : 0 y 1, y2 x y}
"
y
1
" Stąd f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
D 0
y2
4
(c) (x - 1)2 + (y + 2)2 = 4
" krzywa to okrąg o środku (1, -2) i promieniu 2
" wyznaczenie dolnej i górnej funkcji:
(x - 1)2 + (y + 2)2 = 4

y + 2 = ą 4 - (x - 1)2

y = -2 ą 4 - (x - 1)2, -1 x 3

d(x) = -2 - 4 - (x - 1)2, g(x) = -2 + 4 - (x - 1)2, -1 x 3
0.5
y
" rysunek
y=-2+(4-(x-1)2)1/2
0
-1 0 3 x
-0.5
-1
-1.5
-2
(1,-2)
-2.5
-3
-3.5
-4
y=-2-(4-(x-1)2)1/2
-4.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
" D to obszar normalny względem osi 0x, bo

D = (x, y) : -1 x 3, -2 - 4 - (x - 1)2 y -2 + 4 - (x - 1)2
"
4-(x-1)2
3 -2+
" Stąd f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy
"
D -1
-2- 4-(x-1)2
" wyznaczenie lewej i prawej funkcji:
(x - 1)2 + (y + 2)2 = 4

x - 1 = ą 4 - (y + 2)2

x = 1 ą 4 - (y + 2)2, -4 y 0

l(y) = 1 - 4 - (y + 2)2, p(y) = 1 + 4 - (y + 2)2, -4 y 0
0.5
" rysunek
y
0
x
-0.5
-1.5
(1,-2)
-2.5
x=1-(4-(y+2)2)1/2
-3.5
x=1+(4-(y+2)2)1/2
-4
-4.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
" D to także obszar normalny względem osi 0y, bo

D = (x, y) : -4 y 0, 1 - 4 - (y + 2)2 x 1 + 4 - (y + 2)2
"
0 1+ 4-(y+2)2

" Stąd f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
"
D -4
1- 4-(y+2)2
5
" "
(d) y = -1, y = 1, x = 2 - 1 - y2, x = -1 + 1 - y2
" dwie ostatnie krzywe to półokręgi:
"
x = 2 - 1 y2
"-
x - 2 = - 1 - y2
(x - 2)2 = 1 - y2
(x - 2)2 + y2 = 1, x 2
lewy półokrąg o środku (2, 0) i promieniu 1
"
x = -1 + 1 - y2
"
x + 1 = 1 - y2
(x + 1)2 = 1 - y2
(x + 1)2 + y2 = 1, x 1
prawy półokrąg o środku (-1, 0) i promieniu 1
2
y
" rysunek
1.5
1
1
0.5
x=2-(1-y2)1/2
x=-1+(1-y2)1/2
0
x
(-1,0) (2,0)
-0.5
-1
-1
-1.5
-2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
" D to obszar normalny względem osi 0y, bo

" "
D = (x, y) : -1 y 1, -1 + 1 - y2 x 2 - 1 - y2
"
1-y2
1 2-
" Stąd f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
"
D -1
-1+ 1-y2
6
" D nie jest obszarem normalnym względem osi 0x, ale jest sumą takich obszarów o roz-
łącznych wnętrzach
D = D1 *" D2 *" D3 *" D4 *" D5

gdzie D1 = (x, y) : -1 x 0, -1 y - 1 - (x + 1)2

D2 = (x, y) : -1 x 0, 1 - (x + 1)2 y 1
D3 = [0, 1] � [-1, 1]

D4 = (x, y) : 1 x 2, -1 y - 1 - (x - 2)2

D5 = (x, y) : 1 x 2, 1 - (x - 2)2 y 1
2
" rysunek y
1.5
y=1
1
0.5
y=(1-(x-2)2)1/2
y=(1-(x+2)2)1/2
0
2
-1 0 1 x
-0.5
y=-(1-(x+2)2)1/2
y=-(1-(x-2)2)1/2
-1
y=-1
-1.5
-2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
"
0 - 1-(x+1)2 0 1

" Stąd f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy+
"
D -1 -1 -1
1-(x+1)2
"
1 1 2 - 1-(x-2)2 2 1

+ dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy
"
0 -1 1 -1 1
1-(x-2)2
7
(e) x = y2, y = x - 2
" D to obszar między parabolą x = y2 a prostą x = y + 2
2.5
y
" rysunek
2
1.5
x=y2
0.5
x=y+2
x
-0.5
-1
-1.5
-2.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
" szukamy punktów wspólnych tych krzywych:
y2 = y + 2
y2 - y - 2 = 0
" = 9
1-3 1+3
y1 = = -1, y2 = = 2
2 2
" D to obszar normalny względem osi 0y, bo
D = {(x, y) : -1 y 2, y2 x y + 2 }
2 y+2

" Stąd f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
D -1
y2
" D jest też obszarem normalnym względem osi 0x, wygodniej przedstawić go jako sumę
takich obszarów o rozłącznych wnętrzach
D = D1 *" D2
" "
gdzie D1 = {(x, y) : 0 x 1, - x y x }
"
D2 = {(x, y) : 1 x 4, x - 2 y x }
2.5
y
" rysunek
1.5
y=x1/2
0.5
y=x-2
4
0 1
x
-0.5
y=-x1/2
-1.5
-2.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
" "
x x
1 4
" Stąd f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy
"
D 0 1 x-2
- x
8
(f) x = 0, y = e2, y = ex
8
y y=e2
" rysunek
e2
7
6
5
x=0
4
3
x=ln(y)
y=ex
2
1 1
0
x
0 2
-1
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
" D to obszar normalny względem osi 0x, bo
D = {(x, y) : 1 y e2, 0 x ln y}
ln y
e2
" Stąd f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
D 1 0
" x = ln y �!�! y = ex
" Zatem D to także obszar normalny względem osi 0y, bo
D = {(x, y) : 0 x 2, ex y e2}
2 e2
" Stąd f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy
D 0 ex
9
(g) y = 0, y = sin x, przy czym 0 x Ą
1.5
" rysunek
y
y=sin(x)
1
0.5
0
0 Ą x
y=0
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
" D to obszar normalny względem osi 0x, bo
D = {(x, y) : 0 x Ą, 0 y sin x}
Ą sin x

" Stąd f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy
D 0 0
Ą
" y = sin x, 0 x �!�! x = arc sin y, 0 y 1
2
Ą
y = sin x, x Ą �!�! x = Ą - arc sin y, 0 y 1
2
1.5
" rysunek y
1
1
x=arcsin(x) x=Ą-arcsin(x)
0.5
0
x
0
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
" Zatem D to także obszar normalny względem osi 0y, bo
D = {(x, y) : 0 y 1, arc sin y x Ą - arc sin y}
1 Ą-arc sin y

" Stąd f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
D 0 arc sin y
10
Przykłady do zadania 3.4:
Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:

2
(a) e-(x +y2) dxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywą x2 + y2 = 2
D
"
" D = {(x, y) : x2 + y2 2} - koło o środku (0, 0) i promieniu 2
2
y
1.5
1
0.5
21/2
0
x
-0.5
-1
-1.5
-2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
"
" D we współrzędnych biegunowych odpowiada " = {(�, �) : 0 � 2Ą, 0 � 2}
�ł �ł
" "
�ł �ł
2Ą 2 2Ą 2

2 2 2 2
�ł
�ł
" e-(x +y2) dxdy = e-� � d�d� = d� e-� � d� = d�łł � e-� � d��ł =
�ł łł
D " 0 0 0 0
�ł
"2

1 2
�ł
= 2Ą � - e-� = Ą(1 - e-2)


2
0

dxdy
(b) , gdzie D to obszar ograniczony krzywymi x2 + y2 = 9 i x2 + y2 = 25
x2 + y2 - 1
D
" D = {(x, y) : 9 x2+y2 25} - pierścień kołowy o środku (0, 0) i promieniu wewnętrznym
3, zewnętrznym 5
6
y
4
2
3
5
0
x
-2
-4
-6
-6 -4 -2 0 2 4 6
" D we współrzędnych biegunowych odpowiada " = {(�, �) : 0 � 2Ą, 3 � 5}
�ł �ł �ł �ł
2Ą 2Ą
5 5
dxdy 1 � �
�ł �ł
" = � d�d� = d� d� = d�łł � d�łł =
x2 + y2 - 1 �2 - 1 �2 - 1 �2 - 1
D " 0 3 0 3
�ł
5

1
�ł
= 2Ą � ln |�2 - 1| = Ą(ln 24 - ln 8) = Ą ln 3


2
3
11

(c) y dxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = x, y = 0,
D
(x, y 0)
" D = {(x, y) : 1 x2 + y2 4, 0 y x} - wycinek pierścienia kołowego o środku (0, 0) i
promieniu wewnętrznym 1, zewnętrznym 2
3
y
2
y=x
1
1 2
0
y=0
x
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3

Ą
" D we współrzędnych biegunowych odpowiada " = (�, �) : 0 � , 1 � 2
4
�ł �ł
Ą Ą
�ł �ł
4 2 4 2
�ł
�ł
" y dxdy = (� sin �) � d�d� = d� �2 sin � d� = sin � d��ł � �2 d�łł =
�ł łł
D " 0 1 0 1
�ł �ł �ł
�= Ą �=2�ł " "


4
�3 2 8 1 7(2 - 2)

�ł �ł łł
= - cos � łł � = - + 1 � - =


3 2 3 3 3
�=0 �=1

(d) x dxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi x2 + (y - 1)2 = 1, y = x, (x y)
D
" D = {(x, y) : x2 + (y - 1)2 1, 0 y x} - fragment koła o środku (0, 1) i promieniu 1
leżący poniżej prostej y = x
3
y
2.5
2
1.5
1
1
y=x
0.5
0
x
-0.5
-1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
" x2 + (y - 1)2 1 �!�! x2 + y2 2y �!�! �2 2� sin � �!�! � 2 sin �

Ą
Zatem D we współrzędnych biegunowych odpowiada " = (�, �) : 0 � , 0 � 2 sin �
4
Ą Ą
�ł �ł
sin �
4 2 4 �=2

�3 sin �

�ł łł
" x dxdy = (� cos �) � d�d� = d� �2 cos � d� = cos � d� =

3
�=0
D " 0 0 0
Ą
�ł
Ą 4
"
4
4
2 2 2 2 1
�ł
= 4 sin3 � cos � d� = sin4 � = =


3 3 3 2 6
0
0
12