RACHUNEK PRAWDOPODOBIEC
STWA
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWI
ZANIA
Irena Fidytek
1. Grupa sześciu chłopców i trzech dziewcząt wybrała się do kina. Ponieważ nie mieli biletów,
więc ustawili się w pojedynczej kolejce do kasy, przy czym ustawienie miało charakter
losowy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że między dwoma
ustalonymi chłopcami stanęły w kolejce wszystkie dziewczęta i tylko one.
2. Drużyna siatkówki składa się z sześciu zawodników. Do kontroli antydopingowej wybiera
się dwóch zawodników. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kontroli poddany zostanie kapitan
drużyny?
3. Wśród 12 żarówek 4 są wadliwe. Wybrano losowo 3 żarówki. Jakie jest
prawdopodobieństwo tego, że co najmniej jedna z nich jest dobra?
4. Z 5 prętów, których długości są odpowiednio równe 1, 2, 3,4, 5 jednostek długości,
wybieramy losowo trzy. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że można z nich zbudować
trójkąt prostokątny.
5. Z szuflady, w której znajdują się dwa batony Marsowe, trzy batony Słoneczne i pięć
batonów Nieziemskich, mama na chybił trafił wyciąga trzy razy po jednym batonie i obdziela
nimi po kolei Basię, Krzysia i Zosię. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że każde dziecko
otrzyma baton innego rodzaju?
6. Na dwóch prostych równoległych obrano 9 punktów: na jednej z nich 4 punkty a na drugiej
5 punktów. Ze zbioru tych punktów losujemy jednocześnie trzy punkty. Oblicz
prawdopodobieństwo, że są one wierzchołkami pewnego trójkąta.
7. W sposób losowy z wierzchołków sześcianu wybieramy dwa. Oblicz prawdopodobieństwo,
że wyznaczony w ten sposób odcinek będzie krótszy od przekątnej sześcianu.
8. Spośród wszystkich ścian ostrosłupa sześciokątnego wybieramy losowo trzy. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że wśród wybranych ścian znajdzie się podstawa tego wielościanu?
9. Ze zbioru {1,..., 11} losujemy jednocześnie trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo
otrzymania co najmniej jednej liczby parzystej.
10. Ze zbioru cyfr {1,2,3,5,7} układamy wszystkie możliwe liczby 3-cyfrowe o różnych
cyfrach. Z liczb tych wybieramy losowo jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie ona
wielokrotnością liczby 65?
11. Ze zbioru cyfr {1, 4, 5, 9} wybieramy trzy razy kolejno po jednej cyfrze bez zwracania i
tworzymy z niej liczbę trzycyfrową rozpoczynając od setek. Oblicz prawdopodobieństwo, że
uzyskana w ten sposób liczba będzie:
a) parzysta,
b) większa od 333,
c) podzielna przez 9.
12. Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania asa lub
karty koloru czarnego.
13. KrzyÅ› rzuca dwa razy symetrycznÄ… kostkÄ… do gry i oblicza iloczyn wyrzuconych oczek.
Jeśli iloczyn oczek należy do przedziału domkniętego [12,16], to Krzyś wygrywa. W
pozostałych przypadkach przegrywa. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej Krzysia?
- 1 -
 14. Urna zawiera pięć karteczek ponumerowanych liczbami:1, 2, 3, 4, 5. Losujemy trzy razy
karteczkę, za każdym razem zwracając ją do urny. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że
dokładnie dwa razy wylosujemy karteczkę z nieparzystym numerem?. Określić przestrzeń
probabilistyczną modelującą to zdarzenie i opisać to zdarzenie w tej przestrzeni.
15. Rzucono jednocześnie dziesięcioma symetrycznymi monetami . Określić przestrzeń
probabilistyczną dla tego doświadczenia. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że
wypadnie reszka na co najmniej dwóch monetach
16. Ze zbioru wszystkich ciągów n- wyrazowych (nΠĄ) złożonych z cyfr: 0, 1, 2 wybrano
losowo jeden. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia:
a) A polegającego na tym, że wylosowany ciąg zaczyna się od 0;
b) B polegającego na tym, że wylosowany ciąg zawiera dokładnie m+2 (m Π0,..., n - 2 )
{ }
zera, przy czym dwa z nich znajdują się na obu końcach ciągu;
c) C polegającego na tym, że wylosowany ciąg zawiera dokładnie m (m Π0,...,n )
{ }
jedynek;
d) D polegającego na tym, że w wylosowanym ciągu występuje dokładnie m0 zer, m1
jedynek i m2 dwójek m0 + m1 + m2 n, m0, m=, m2 Π0,1,..., n .
( { }
)
1
17. Tenisista musi wygrać dwa kolejne mecze z trzech. Może grać
a) z mistrzem, potem z kolegą klubowym i znów z mistrzem, albo
b) z kolegÄ…, z mistrzem, z kolegÄ….
Którą możliwość powinien wybrać, jeśli wyniki kolejnych meczów są niezależne, a
prawdopodobieństwo wygrania meczu z mistrzem jest równa p (0r > p?
18. Grupa studentów składa się z 20 osób . Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadnych
dwóch studentów nie obchodzi urodzin w tum samym dniu ( przyjmujemy, że rok ma 365
dni).
19. Wykazać, że jeżeli zdarzenia A i B są niezależne, to również zdarzenia przeciwne A' i B'
są niezależne .
20. Sprawdzić niezależność zespołu zdarzeń A , B , C w przypadku , gdy choć dwa z nich
wykluczajÄ… siÄ™.
21. Michał i Jarek grają w następującą grę. Każdy z nich rzuca raz swoją kostką. Jeżeli suma
oczek na obu kostkach jest większa od 3 i mniejsza od 8, to wygrywa Michał, w przeciwnym
wypadku wygrywa Jarek. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że:
a) wygra Michał,
b) wygra Michał, pod warunkiem że Jarek wyrzucił 5.
22. Dwaj strzelcy równocześnie strzelają jeden raz do tarczy. Jeden z nich trafia zwykle do
celu 7 razy na 10 strzałów , a drugi trafia 8 razy na 10 strzałów. Jakie jest
prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej jeden z nich trafi do celu?
- 2 -
23. W urnie znajdują się kule białe i czarne, razem jest ich 10. Losujemy bez zwracania dwie
kule. Prawdopodobieństwo wylosowania za drugim razem kuli białej, pod warunkiem że za
pierwszym razem wylosujemy kulę czarną, jest równe 1/3.. Ile kul białych jest w urnie?
24. Mamy partię wyrobów składającą się z n sztuk dobrych i k sztuk wadliwych n,k ΠĄ .
( )
Pierwszy kontroler wybiera na chybił trafił jedną sztukę. Jeśli okaże się, że jest wadliwa, wyrzuca ją,
a jeśli nie jest wadliwa, dołącza ją z powrotem do pozostałych wyrobów. Oblicz
prawdopodobieństwo tego, że drugi kontroler wylosuje z tej partii wyrób wadliwy.
25. Strzelec trafia do tarczy z prawdopodobieństwem 0, 9. Na każde 10 strzałów trafiających
w tarczę dwa trafiają w dziesiątkę. Oblicz prawdopodobieństwo, że strzelając jeden raz
strzelec trafi w  dziesiÄ…tkÄ™ .
26. Z papierowej torby zawierającej 5 cukierków miętowych i 7 owocowych wybieramy
losowo, bez zwracania trzy razy po jednym cukierku. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że
za pierwszym i drugim razem wybierzemy cukierek owocowy, a za trzecim razem - miętowy?
27. W komisie sprzętu RTV znajduje się 10 telewizorów dla których prawdopodobieństwo
bezawaryjnej pracy w ciągu miesiąca wynosi 0,9 i 5 telewizorów dla których to
prawdopodobieństwo wynosi 0,95. Wybieramy losowo dwa telewizory (bez zwracania).
Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą one bezawaryjnie pracowały w ciągu miesiąca?
28. Grupa studentów składa się z 16 studentek i 12 studentów. Prawdopodobieństwo pójścia
studentki na organizowaną imprezę równe jest 0.8 , natomiast studenta 0.5. Oblicz
a) prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba pójdzie na imprezę,
b) prawdopodobieństwo, że pójdzie co najmniej jedna osoba zakładając, że osoby podejmują
decyzję niezależnie od innych.
29. Koparka może pracować w warunkach normalnych albo trudnych odpowiednio z
prawdopodobieństwami p1 = 0,8 i p2 = 0, 2 . Prawdopodobieństwo awarii koparki w czasie t
wynosi 0,05 przy pracy w warunkach normalnych i 0,25 w warunkach trudnych. W ciÄ…gu
czasu t koparka uległa uszkodzeniu. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, ze pracowała
wtedy w warunkach normalnych?
30. Każdą pracę pisemną z egzaminu sprawdza jeden z dwóch egzaminatorów. Pierwszy
egzaminator sprawdza 25% prac, a drugi sprawdza pozostałe prace. Prawdopodobieństwo
niezauważenia błędu przez pierwszego egzaminatora wynosi 0,08. Dla drugiego
egzaminatora to prawdopodobieństwo wynosi 0,06.Obliczyć prawdopodobieństwo, że błąd
popełniony w pracy pisemnej nie zostanie zauważony.
.
31. Wśród 300 zdających egzamin z matematyki na informatykę było 200 absolwentów, którzy
zdali matematykÄ™ na maturze na poziomie rozszerzonym, 75 na poziomie podstawowym i 25,
którzy nie zdawali matematyki na maturze. Prawdopodobieństwo zdania egzaminu przez
absolwenta jest następujące: dla tego, który zdał maturę na poziomie rozszerzonym równa się
0,9, na poziomie podstawowym 0,25, a dla tego, który nie zdawał matematyki na maturze
równa się 0,1.
a) Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany kandydat wśród 300 zdających, zdał
pomyślnie egzamin.
- 3 -
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany kandydat zdał maturę z matematyki na
poziomie rozszerzonym, jeśli wiadomo, że zdał on egzamin wstępny.
32. Samolot ma 4 silniki. Prawdopodobieństwo awarii każdego silnika podczas lotu z Paryża
do Nowego Yorku wynosi p = 0,001 i jest niezależne od stanu pozostałych silników. Oblicz
prawdopodobieństwo tego, że samolot doleci do Nowego Yorku , jeśli może kontynuować lot
majÄ…c co najmniej dwa sprawne silniki.
33. Przy jednokrotnym strzale strzelec trafia do celu z prawdopodobieństwem 0,8. Jaka jest
najbardziej prawdopodobna liczba trafień, gdy strzelec oddaje pięć strzałów
Literatura
[1] A. Kiełbasa, P. A
ukaszewicz, "Matematyka Matura 2009 Matura 2010. Część II",
Wydawnictwo 2000, Warszawa 2008.
[2] W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, "Rachunek
prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach Część I Rachunek
prawdopodobieństwa", Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000.
.
- 4 -