Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
TEST 1
Problem 1.
Oszacować metodą najmniejszych kwadratów parametry modelu:
ą1 3 t
0
Yt = eą X e� v3t eu
t
gdzie:
Yt - wydatki na wypoczynek [zł. na osobę],
Xt - dochód netto [zł. na osobę],
v3t - zmienna sezonowa dla trzecich kwartałów każdego roku,
ą0, ą1, �3 - parametry strukturalne modelu.
1.1 Przedstawić postać analityczną modelu (po oszacowaniu)
2
Ću Ću
1.2 Obliczyć wariancję reszt modelu � , średni błąd reszt � , współczynniki R2, �2.
1.3 Oszacować średnie błędy ocen parametrów modelu.
Dane do zadania podane są w poniższej tabeli (puste komórki można wykorzystać do potrzebnych obliczeń)
Okres Wydatki Dochód Zm. sez.
Yt Xt v3t
1 kw 93 80 600 0
2 kw 93 65 800 0
3 kw 93 320 1000 1
4 kw 93 140 1200 -1
1 kw 94 100 1400 0
2 kw 94 110 1550 0
3 kw 94 550 1650 1
4 kw 94 250 1900 -1
Problem 2.
Wyniki oszacowań pewnego modelu przedstawiają się następująco:
CĆ t = 250 + 0 ,86 �" Y + 0 , 25 �" I
t t
( ą 50 , 5 )
( ą 0 ,15 ) ( ą 0 ,1 )
gdzie: Ct - wydatki konsumpcyjne ludności [mld zł], Yt - dochód całkowity w gospodarce [mld zł]
It - wydatki inwestycyjne w gospodarce [mld zł]
2
Ću
gdzie: R2 = 0,91 � = 220 DW = 2,4 ilość obserw. = 35 poziom istotności ą = 0,05
Uzupełnij następujące zdania:
2.1 Współczynnik determinacji wskazuje, że .........................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
1
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
2.2 Współczynnik zbieżności �2 wynosi ................ i oznacza, że ...........................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Ću
2.3 Średni błąd reszt � = .............. oznacza, że .......................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
2.4 Jeżeli Yt wzrośnie o 3 mld zł to ...........................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
2.5 Jeżeli It spadnie o 2 mld zł to ...............................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
2.6 Chcąc zweryfikować statystyczną istotność oddziaływania zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą weryfikuję
następujące hipotezy zerowe .............................................. wobec hipotez alternatywnych .......................................................
2.7 Zmienna Yt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ........................., ponieważ .......................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
2.8 Zmienna It (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną .........................., ponieważ .......................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
2.9 W omawianym przypadku statystykę DW wykorzystuję do zweryfikowania następującej hipotezy zerowej ..........................
wobec hipotezy alternatywnej .......................... Z uwagi na fakt, że ........................... w przypadku omawianego modelu
przychylam się w kierunku hipotezy ..........................., co oznacza, że ......................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
"
2.10 Na podstawie DW obliczyć możemy przybliżoną wartość autokorelacji reszt pierwszego rzędu �1 E" ..........., co oznacza
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
Problem 3.
Na podstawie danych miesięcznych oszacowano funkcję:
ln St = 3,1 + 0,85�"ln DNt - 0,34�" lnCt + 0,02�"t + �t
(ą1,19) (ą0,21) (ą0,45) (ą0,01)
gdzie: St - wielkość sprzedaży dobra, DNt - dochody netto na 1 os., Ct - cena dobra, t - czas (miesiące)
3.1 Postać pierwotna (niezlogarytmowana) modelu wygląda następująco:
..................................................................................................................................................................................................
3.2 Zinterpretuj elastyczność sprzedaży S ze względu na dochody DN:. .....................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
2
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
3.3 Określ i zinterpretuj elastyczność sprzedaży S ze względu na cenę C: ..................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
3.4 Określ wpływ czasu na zmienność sprzedaży S ....................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
Problem 4
Oszacowana postać modelu tendencji rozwojowej dla danych miesięcznych przedstawia się następująco:
Yt = 10 + 0,2 �"t - 0,25�" vt6 +1,05�"vt8 +1,0 �" vt10 + �t
gdzie: t = 1,2,3,....,24 - numer obserwacji,
vti - zmienna sezonowa dla danego okresu (i = 1,2,3,& ,11- numer okresu w cyklu),
Yt - przewozy ładunków w tys. ton w t-tym okresie.
4.1 Zinterpretuj tendencję zmian (wpływ czasu t na zmienną Y): ..............................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
4.2 Zinterpretuj efekty sezonowe ...............................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
Problem 5.
Rozważ następujący model:
ln pt = 0,8 + 0,4 �" ln pt-1 + 0,45�" ln PEN t + �t
gdzie: pt - cena dobra, PENt - cena dostaw energii w okresie t.
5.1 Określ krótkookresowy efekt wpływu ceny energii na cenę danego dobra: ...........................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
5.2 Określ długookresowy efekt oddziaływania ceny energii na cenę danego dobra: ..................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
3
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
TEST 2
Problem 1.
Oszacować metodą najmniejszych kwadratów parametry modelu:
0 t
Yt = eb +b1t �" eu
gdzie: Yt - udział wydatków na żywność w wydatkach ogółem [%], t - czas mierzony w latach.
1.1 Przedstawić postać analityczną modelu (po oszacowaniu).
2
Ću Ću
1.2 Obliczyć wariancję reszt modelu � , średni błąd reszt � , współczynniki R2, �2.
1.3 Oszacować średnie błędy ocen parametrów modelu.
1.4 Zweryfikować istotność statystyczną parametrów modelu na poziomie ą = 0,05.
1.5 Oszacować przedziały ufności dla parametrów modelu na poziomie ufności p = 0,95
1.6 Zweryfikować istotność autokorelacji składnika losowego testem DW.
Niezbędne dane podane są w poniższej tabeli. Puste komórki można wykorzystać na obliczenia.
Rok Yt
1 41
2 38
3 36
4 30
5 28
Problem 2.
Oszacowano funkcję produkcji, a wynik oszacowania przedstawiono poniżej.
0,18 0,31 0,03 �"t
( ą0,03) ą0,12 ą0, 009
Ć
Qt = 1,25 �" Kt �" L( ) �" e( )
t
gdzie: Qt - wielkość produkcji dobra w kwartale t, Kt - wartość majątku trwałego brutto w kwartale t,
Lt - ilość pracy żywej w roboczogodzinach w kwartale t, t - czas mierzony w kwartałach.
2
Ću
gdzie: R2 = 0,85 � = 0,008 DW = 1,65 ilość obserw. = 20 poziom istotności ą = 0,1
Uzupełnij następujące zdania:
2.1 Wartość współczynnika determinacji wskazuje, że ...........................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.2 Współczynnik zbieżności �2 wynosi ................ i oznacza, że ...........................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Ću
2.3 Średni błąd reszt � = .............. oznacza, że .....................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
4
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
2.4 Jeżeli Kt wzrośnie o 1 % to .................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
2.5 Jeżeli Lt spadnie o 2 % to ....................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
2.6 W każdym kolejnym kwartale t wielkość produkcji Q ..........................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
2.7 Zmienna Kt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ........................., ponieważ .......................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
2.8 Zmienna Lt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ......................., ponieważ ..........................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
2.9 W omawianym przypadku statystykę DW wykorzystuję do zweryfikowania następującej hipotezy zerowej ..........................
wobec hipotezy alternatywnej .......................... Z uwagi na fakt, że ........................... w przypadku omawianego modelu
przychylam się w kierunku hipotezy ........................., co oznacza, że ........................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
"
2.10 Na podstawie DW obliczyć możemy przybliżoną wartość autokorelacji reszt pierwszego rzędu �1 E" ............ Na jej podstawie
powiemy, że ..............................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
Problem 3.
Na podstawie danych miesięcznych oszacowano funkcję
lnYt = -0,425 + 0,271�"ln M + 0,233�"ln Zt - 0,02 �"t + �t
t
gdzie: Yt - produkcja w mln zł, Mt - majątek trwały w mln zł, Zt - zatrudnienie w osobach, t - czas w miesiącach
3.1 Zinterpretuj elastyczność produkcji Y ze względu na majątek trwały M: .............................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
3.2 Zinterpretuj elastyczność produkcji Y ze względu na zatrudnienie Z: .................................................................................
.................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................
5
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
Problem 4.
Oszacowana postać modelu tendencji rozwojowej (dla danych miesięcznych) przedstawia się następująco:
3t t
Yt = e2,3+0,05�"t �" e0,15�"v -0,26�"v4t +0,11�"v8t �" e�
vti - zmienne sezonowe dla okresów jednoimiennych i (i = 1,2,3,& ,11 - numer okresu w cyklu)
Yt - sprzedaż telewizorów w okresie t
4.1 Zinterpretuj tendencję zmian (wpływ czasu t na zmienną Y): ..............................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
4.2 Zinterpretuj wszystkie efekty cykliczne ...............................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
6
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
TEST 3
Problem 1.
Oszacować klasyczną metodą najmniejszych kwadratów (KMNK) parametry modelu:
Yt = b0 + b1 �" t + ut
gdzie: Yt - udział wydatków na mieszkanie w wydatkach ogółem [%], t - czas mierzony w latach.
1.1 Przedstawić postać modelu po oszacowaniu.
1.2 Obliczyć wariancję reszt modelu Se2, średni błąd reszt Se, współczynniki R2, �2.
1.3 Oszacować średnie błędy ocen parametrów modelu.
1.4 Zweryfikować istotność statystyczną parametrów modelu dla poziomu ą = 0,05.
1.5 Oszacować 95% przedziały ufności dla parametrów modelu.
1.6 Zweryfikować istotność autokorelacji reszt testem DW.
Niezbędne dane podane są w poniższej tabeli
Rok Yt
1 19
2 20
3 13
4 22
5 25
Problem 2.
Oszacowano następujący model liniowy
Yt = a0 + a1*Xt + a2*P1t + a3*P2t + ut (t = 1, 2, 3, ......, 20)
gdzie: Yt - sprzedaż herbaty w kg na mieszkańca, Xt - dochód realny na mieszkańca w tys. zł,
P1t - cena realna herbaty za 1 kg, P2t - cena realna kawy za 1 kg.
Wyniki oszacowań przedstawiają się następująco:
"
Yt = 025+ 030�" Xt - 005 �" P1t + 002 �" P2t
, , , ,
( ą0,28 ) ( ą0,01) ( ą0,004 ) ( ą0,003)
gdzie: R2 = 0,986 Se2 = 0,04 DW = 2,24 ilość obserw. = 20 poziom istotności ą = 0,05
Uzupełnij następujące zdania:
2.1 Wartość współczynnika determinacji wskazuje, że ...........................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.2 Współczynnik zbieżności �2 wynosi ................ i oznacza, że ...........................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.3 Średni błąd reszt Se = .............. oznacza, że .....................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
7
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
2.4 Jeżeli Xt wzrośnie o 1 tys. zł to ........................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.5 Jeżeli P2t wzrośnie o 2 to ..................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.6 Chcąc zweryfikować statystyczną istotność oddziaływania zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą weryfikuję
następującą hipotezę zerową ............................................ wobec hipotezy alternatywnej .......................................................
2.7 Zmienna Xt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ........................., ponieważ ....................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.8 Zmienna P1t (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ......................., ponieważ .....................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.9 W omawianym przypadku statystykę DW wykorzystuję do zweryfikowania następującej hipotezy zerowej .......................
wobec hipotezy alternatywnej ....................... Z uwagi na fakt, że ......................... w przypadku omawianego modelu przychylam
się w kierunku hipotezy ....................., co oznacza, że .............................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................
"
2.10 Na podstawie DW obliczyć możemy przybliżoną wartość autokorelacji reszt pierwszego rzędu �1 E" ............ Na jej podstawie
powiemy, że ............................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................
Problem 3.
Korzystając z danych zawartych w poniższej tabeli uzupełnij puste komórki oraz poniższe zdania.
Przeciętne Indeks cen Jednopodstawowy Jednopodstawowy Jednopodstawowy
okres dochody na 1 os. towarów i usług indeks dochodów indeks cen tow. i indeks realnych
w gosp. domow. konsumpcyjnych na 1 os. usług konsump. dochodów na 1 os.
[zł / miesiąc] [kw. poprz. = 100] [1 kw 99 = 100] [1 kw 99 = 100] [1 kw 99 = 100]
1 kw 99 720 105,2
2 kw 99 760 103,4
3 kw 99 830 98,1
4 kw 99 950 106,5
3.1 Powiemy, że dochody nominalne w 4 kwartale 1999 roku były ....................... o ................... procent niż w 1 kwartale tego
samego roku.
3.2 Powiemy, że wskaz
nik cen dóbr i usług konsumpcyjnych w 3 kwartale 1999 roku był .................... o ................. procent, niż w
1 kwartale tego samego roku.
3.3 Powiemy, że dochody realne w 4 kwartale 1999 roku były ......................... o ................... procent niż w 1 kwartale tego samego
roku.
8
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
Problem 4.
Na podstawie danych miesięcznych oszacowano funkcję
lnYt = -0,425 + 0,271�"ln M + 0,233�"ln Zt - 0,02 �"t + �t
t
gdzie: Yt - produkcja w mln zł, Mt - majątek trwały w mln zł, Zt - zatrudnienie w osobach, t - czas w miesiącach
4.1 Postać pierwotna (zdelogarytmowana) modelu wygląda następująco:
...............................................................................................................................................................................................
4.2 Określ i zinterpretuj elastyczność produkcji Y ze względu na majątek trwały M: ..............................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
4.3 Określ i zinterpretuj elastyczność produkcji Y ze względu na zatrudnienie Z: ..................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Problem 5.
Oszacowana postać modelu tendencji rozwojowej (dla danych miesięcznych) przedstawia się następująco:
3t t
Yt = e2,3+0,05�"t �" e0,15�"v -0,26�"v4t +0,11�"v8t �" e�
vti = sti - st12, i = 1,2,3,& ,12 - numer okresu w cyklu
Yt - sprzedaż odkurzaczy w t-tym okresie
6.1 Zinterpretuj tendencję zmian (wpływ czasu t na zmienną Y): ..........................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
6.2 Zinterpretuj wszystkie efekty cykliczne ............................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Problem 7.
Podaj założenia dotyczące modelu regresji liniowej funkcji wielu zmiennych (estymacji KMNK)
9
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
TEST 4
Problem 1.
Oszacować klasyczną metodą najmniejszych kwadratów parametry modelu:
b1 b2 t
0
Yt = eb �" X1t �" X �" eu
2t
gdzie: Yt - roczne wydatki na kino w zł. na osobę, X1t - średni roczny dochód netto w tys. zł. na osobę.
X2t - jednopodstawowy wskaz
nik cen biletów do kina [rok 1 = 100]
1.1 Przedstawić postać modelu po oszacowaniu.
2
Ću Ću
1.2 Obliczyć wariancję reszt modelu � , średni błąd reszt � , współczynniki R2, �2.
1.3 Oszacować średnie błędy ocen parametrów modelu.
1.4 Zweryfikować istotność statystyczną zmiennych objaśniających modelu dla poziomu ą = 0,1.
Niezbędne dane podane są w poniższej tabeli
Rok Wydatki Dochód Ceny
Yt X1t X2t
1 70 6 100,0
2 95 8 103,0
3 110 10 107,0
4 125 12 109,0
5 145 14 111,0
Problem 2.
Oszacowano następujący model liniowy:
Yt = a0 + a1*Pt + a2*Kt + ut (t = 1, 2, 3, ......, 16)
gdzie: Yt - import [mld zł], Pt - produkcja całkowita [mld zł], Kt - konsumpcja [mld zł]
Wyniki oszacowań przedstawiają się następująco:
v
t = - 4,231- 0,144 �" Pt + 0,422 �" Kt
(ą2,305)
(ą0,166) (ą0,209)
2
Ću
gdzie: R2 = 0,97 � = 0,36 DW = 1,766 ilość obserw. n = 16 ą = 0,1
Uzupełnij następujące zdania:
2.1 Wartość współczynnika determinacji wskazuje, że ...........................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.2 Współczynnik zbieżności wynosi ................ i oznacza, że ................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.3 Średni błąd reszt = .............. oznacza, że .........................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
10
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
2.4 Jeżeli Pt wzrośnie o 1 mld zł to ........................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.5 Jeżeli Kt spadnie o 2 mld zł to ..........................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.6 Chcąc zweryfikować statystyczną istotność oddziaływania zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą weryfikuję
następującą hipotezę zerową ......................................... wobec hipotezy alternatywnej ..........................................................
2.7 Zmienna Pt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ........................., ponieważ ....................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.8 Zmienna Kt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ......................., ponieważ ......................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.9 W omawianym przypadku statystykę DW wykorzystuję do zweryfikowania następującej hipotezy zerowej .......................
wobec hipotezy alternatywnej ............................. Z uwagi na fakt, że ..................................... w przypadku omawianego modelu
przychylam się w kierunku hipotezy ..............................., co oznacza, że ..............................................................................
..............................................................................................................................................................................................
"
2.10 Na podstawie DW obliczyć możemy przybliżoną wartość współczynnika autokorelacji reszt pierwszego rzędu �1 E" ....,
co oznacza .............................................................................................................................................................................
Problem 3.
Na podstawie danych miesięcznych oszacowano funkcję
lnYt = 3,095+ 0,50 �"ln EFt + 1,2 �" ln It + 0,015�"t + �t
(ą1,197) (ą0,215) (ą0,445) (ą0,011)
gdzie: Yt - wielkość produkcji, EHt - ilość efektywnie przeprac. godzin, It - nakłady inwestycyjne, t - czas (kwartały)
3.1 Postać pierwotna (zdelogarytmowana) modelu wygląda następująco:
...............................................................................................................................................................................................
3.2 Określ i zinterpretuj elastyczność produkcji Y ze względu na pracę efektywną EH: .........................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
3.3 Określ i zinterpretuj elastyczność produkcji Y ze względu na inwestycje I: ......................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
11
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
Problem 5.
Rozważ następujący model:
1,5 0,65 1,8
t
Yt = e �"Yt-1 �" DRt �" e�
gdzie: Yt - sprzedaż pralek automatycznych w tys. szt. w miesiącu t,
Wt - dochody realne konsumentów w mies. t.
5.1 Określ krótkookresowy efekt wpływu zmian dochodów na sprzedaż pralek: .....................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
5.2 Określ długookresowy efekt wpływu zmian dochodów na sprzedaż pralek: ......................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Problem 6.
Oszacowana postać modelu (dla danych kwartalnych) tendencji rozwojowej przedstawia się następująco:
Yt = 10 + 0,2 �"t - 0,25�" vt1 +1,1�"vt 2 +1,0 �" vt3 + �t
vti = sti - st4, i = 1,2,3,4 - numer okresu w cyklu
Yt - przewozy ładunków w tys. ton w t-tym kwartale
6.1 Zinterpretuj tendencję zmian (wpływ czasu t na zmienną Y): ..........................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
6.2 Zinterpretuj wszystkie efekty cykliczne (sezonowe) .........................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Problem 7.
Podaj znane przyczyny występowania autokorelacji składnika losowego.
12
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
TEST 5
Problem 1.
Oszacować klasyczną metodą najmniejszych kwadratów parametry modelu:
1
t
Yt = ą0 �" Xtą �"eu
gdzie: Yt - wydatki na odzież w zł. na osobę, Xt - dochód netto w zł. na osobę.
1.1 Przedstawić postać analityczną modelu po oszacowaniu.
1.2 Obliczyć wariancję reszt modelu Se2, średni błąd reszt Se, współczynniki R2, �2.
1.3 Oszacować średnie błędy ocen parametrów modelu.
1.4 Zweryfikować istotność statystyczną parametrów modelu dla poziomu ą = 0,05.
1.5 Oszacować 95% przedziały ufności dla parametrów modelu.
1.6 Zweryfikować istotność autokorelacji składnika losowego testem DW.
Niezbędne dane podane są w poniższej tabeli
Okres Wydatki Dochód
Yt Xt
1 100 600
2 250 800
3 320 1000
4 370 1200
5 600 1400
Problem 2.
Oszacowano następujący model liniowy
Yt = a0 + a1*Xt + a2*C1t + a3*C2t + ut (t = 1, 2, 3, ......, 36)
gdzie: Yt - sprzedaż słodyczy w kg na mieszkańca, Xt - dochód realny na mieszkańca w tys. zł,
C1t - średnia cena realna słodyczy w zł za kg, C2t - średnia cena realna pieczywa cukierniczego w zł za kg.
Wyniki oszacowań przedstawiają się następująco:
YĆt = 0,27 + 1,46 �" X - 0,53 �" C1t + 0,72 �" C2t
t
( ą0,6) ( ą0,45 ) ( ą0,42 ) ( ą0,29 )
gdzie: R2 = 0,93 Se2 = 0,094 DW = 2,32 ilość obserw. = 36, poziom istotności ą = 0,1
Uzupełnij następujące zdania:
2.1 Wartość współczynnika determinacji wskazuje, że ...........................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.2 Współczynnik zbieżności wynosi ................ i oznacza, że ...............................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.3 Średni błąd reszt Se = .............. oznacza, że .....................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
13
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
2.4 Jeżeli Xt wzrośnie o 2 tys. zł to ........................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.5 Jeżeli C1t spadnie o 4 zł to ................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.6 Chcąc zweryfikować statystyczną istotność oddziaływania zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą weryfikuję
następującą hipotezę zerową ........................................... wobec hipotezy alternatywnej .......................................................
2.7 Zmienna Xt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ........................., ponieważ ....................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.8 Zmienna C2t (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ......................., ponieważ .....................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.9 Zmienna C1t (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ......................., ponieważ .....................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
2.10 W omawianym przypadku statystykę DW wykorzystuję do zweryfikowania następującej hipotezy zerowej .......................
wobec hipotezy alternatywnej ....................... Z uwagi na fakt, że ......................... w przypadku omawianego modelu przychylam
się w kierunku hipotezy ....................., co oznacza, że ...........................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
"
2.11 Na podstawie DW obliczyć możemy przybliżoną wartość autokorelacji reszt pierwszego rzędu �1 E" ..........., co oznacza
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Problem 3.
Na podstawie danych miesięcznych oszacowano funkcję
ln St = 3,095+ 0,663�"ln DNt - 0,779�"lnCt + 0,03 �"t + �t
(ą1,197) (ą0,215) (ą0,445) (ą0,011)
gdzie: St - wielkość sprzedaży dobra, DNt - dochody netto na 1 os., Ct - cena dobra, t - czas (miesiące)
3.1 Postać pierwotna (zdelogarytmowana) modelu wygląda następująco:
...............................................................................................................................................................................................
3.2 Określ i zinterpretuj elastyczność sprzedaży S ze względu na dochody DN:. ....................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
3.3 Określ i zinterpretuj elastyczność sprzedaży S ze względu na cenę C: ..............................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
14
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
Problem 4.
Oszacowana postać modelu tendencji rozwojowej dla danych miesięcznych przedstawia się następująco:
Yt = 10 + 0,2 �"t - 0,25�" vt6 +1,1�" vt8 +1,0�" vt10 + �t
gdzie: t = 1,2,3,....,24 - numer obserwacji,
vti = sti - st12, i = 1,2,3,& ,12 - numer okresu w cyklu
Yt - przewozy ładunków w tys. ton w t-tym okresie
4.1 Zinterpretuj tendencję zmian (wpływ czasu t na zmienną Y): ..........................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
4.2 Zinterpretuj wszystkie efekty cykliczne ...........................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Problem 5.
Podaj i objaśnij własności estymatora KMNK.
Problem 6.
Jakie skutki powoduje występowanie autokorelacji składnika losowego w modelu szacowanym KMNK?
15
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
TEST 6
Problem 1.
Oszacować metodą najmniejszych kwadratów parametry modelu:
Yt = b0 + b1 �" t + ut
gdzie: Yt - średni udział wydatków na żywność w wydatkach ogółem [%], t - czas mierzony w latach.
1.1 Przedstawić postać modelu po oszacowaniu.
1.2 Obliczyć wariancję reszt modelu, średni błąd reszt, współczynniki determinacji i zbieżności.
1.3 Oszacować średnie błędy ocen parametrów modelu.
1.4 Zweryfikować istotność autokorelacji reszt testem DW.
Niezbędne dane podane są w poniższej tabeli. Puste komórki można wykorzystać na obliczenia.
Rok Yt
1 18
2 17
3 15,5
4 13
5 11
6 7
Problem 2.
Oszacowano model nieliniowy, a wynik oszacowania przedstawiono poniżej:
0,19 0,3
( ą0,05) ą0,09
Ć
Qt = 0,8�" Kt �" L( )
t
gdzie: Qt - wielkość produkcji dobra w kwartale t, Kt - wartość majątku trwałego brutto w kwartale t,
Lt - ilość pracy żywej w roboczogodzinach w kwartale t
2
Ću
gdzie: R2 = 0,96 � = 0,006 DW = 1,5 ilość obserw. = 30 poziom istotności ą = 0,05
Uzupełnij następujące zdania:
2.1 Współczynnik zbieżności �2 wynosi ................ i oznacza, że ................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
Ću
2.2 Średni błąd reszt � = .............. oznacza, że .......................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
2.3 Jeżeli Kt zmaleje o 1 % to .....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
16
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
2.4 Jeżeli Lt wzrośnie o 1 % to ....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
2.5 Zmienna Kt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ........................., ponieważ .........................................
....................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
2.6 Zmienna Lt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ......................., ponieważ ............................................
....................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
2.7 W omawianym przypadku statystykę DW wykorzystuję do zweryfikowania następującej hipotezy zerowej .............................
wobec hipotezy alternatywnej .......................... Z uwagi na fakt, że ........................... w przypadku omawianego modelu
przychylam się w kierunku hipotezy ........................., co oznacza, że ..........................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
"
2.8 Na podstawie DW obliczyć możemy przybliżoną wartość autokorelacji reszt pierwszego rzędu �1 E" ............ Na jej podstawie
powiemy, że .................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
Problem 3.
Oszacowana postać modelu tendencji rozwojowej (dla danych miesięcznych) przedstawia się następująco:
3t t
Yt = e2,3+0,05�"t �" e0,15�"v -0,26�"v4t +0,11�"v8t �" e�
vti - zmienne sezonowe dla okresów jednoimiennych i (i = 1,2,3,& ,11 - numer okresu w cyklu)
Yt - sprzedaż pralek w okresie t
3.1 Zinterpretuj tendencję zmian (wpływ czasu t na zmienną Y): ................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
3.2 Zinterpretuj wszystkie efekty cykliczne .................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
17
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
TEST 7
Problem 1.
Oszacować klasyczną metodą najmniejszych kwadratów (KMNK) parametry modelu:
1
t
Yt = ą0 �" Xtą �"eu
gdzie: Yt - wydatki na odzież w zł. na osobę, Xt - dochód netto w zł. na osobę.
1.1 Przedstawić postać modelu po oszacowaniu.
1.2 Obliczyć wariancję reszt modelu, średni błąd reszt, współczynniki determinacji, zbieżności i współczynnik zmienności
losowej.
1.3 Oszacować średnie błędy ocen parametrów modelu.
Niezbędne dane podane są w poniższej tabeli
Okres Wydatki Dochód
Yt Xt
1 100 600
2 250 800
3 320 1000
4 370 1200
Problem 2.
Oszacowano następujący model liniowy
Yt = a0 + a1*Xt + a2*C1t + a3*C2t + ut (t = 1, 2, 3, ......, 24)
gdzie: Yt - sprzedaż słodyczy w kg na mieszkańca, Xt - dochód realny na mieszkańca w tys. zł,
C1t - średnia cena realna słodyczy w zł za kg, C2t - średnia cena realna pieczywa cukierniczego w zł za kg.
Wyniki oszacowań przedstawiają się następująco:
v
t = 0,27+ 1,46 �" Xt - 0,53�"C1t + 0,72�"C2t
(ą0,6) (ą0,45) (ą0,42) (ą0,29)
2
Ću
gdzie: R2 = 0,87 � = 0,094 DW = 1.55 ilość obserw. = 24, poziom istotności ą = 0,1
Uzupełnij następujące zdania:
2.1 Wartość współczynnika determinacji wskazuje, że ...........................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.2 Współczynnik zbieżności wynosi ................ i oznacza, że ................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Ću
2.3 Średni błąd reszt � = .............. oznacza, że ..................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.4 Jeżeli Xt wzrośnie o 1 tys. zł to ........................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
18
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
2.5 Jeżeli C1t wzrośnie o 2 zł to .................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
2.6 Chcąc zweryfikować statystyczną istotność oddziaływania zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą weryfikuję
następującą hipotezę zerową ........................................... wobec hipotezy alternatywnej .........................................................
2.7 Zmienna C1t (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ........................., ponieważ ....................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
2.8 Zmienna C2t (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ......................., ponieważ ......................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
2.9 W omawianym przypadku statystykę DW wykorzystuję do zweryfikowania następującej hipotezy zerowej .......................
wobec hipotezy alternatywnej ....................... Z uwagi na fakt, że ......................... w przypadku omawianego modelu przychylam
się w kierunku hipotezy ....................., co oznacza, że .............................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
"
2.10 Na podstawie DW obliczyć możemy przybliżoną wartość autokorelacji reszt pierwszego rzędu �1 E" ..........., co oznacza
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Problem 3.
Na podstawie danych miesięcznych oszacowano funkcję
lnQt = 2,095+ 0,9 �"ln M 1 1,1 �"ln Pt + 0,015�"t + �t
t
(ą1,197) (ą0,215) (ą0,445) (ą0,011)
gdzie: Qt - wielkość sprzedaży dobra, Mt - dochody netto na 1 os., Pt - cena dobra, t - czas (miesiące)
3.1 Postać pierwotna (zdelogarytmowana) modelu wygląda następująco:
...............................................................................................................................................................................................
3.2 Określ i zinterpretuj elastyczność sprzedaży Q ze względu na dochody M:. ......................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
3.3 Określ i zinterpretuj elastyczność sprzedaży Q ze względu na cenę P: ..............................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
19
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
TEST 8
Problem 1.
Oszacować klasyczną metodą najmniejszych kwadratów parametry modelu (obliczenia wykonać z dokładnością do 5 miejsc
po przecinku):
0 1 t
Wt = eą �" Dtą �" eu
gdzie: Wt - miesięczne wydatki na rozrywki w zł. na osobę, Dt - miesięczny dochód netto w tys. zł. na osobę.
1.1 Przedstawić postać modelu po oszacowaniu (bez interpretacji)
"2
Ću
1.2 Obliczyć wariancję reszt modelu � , średni błąd reszt � , współczynniki R2, �2.
u
1.3 Oszacować średnie błędy ocen parametrów modelu.
1.4 Obliczyć reszty modelu i statystykę DW.
Niezbędne dane podane są w poniższej tabeli
Miesiąc Wydatki Dochód
Wt Dt
1 75 2
2 90 4
3 115 5
4 120 6
5 150 8
Problem 2.
Oszacowano model liniowy w układzie miesięcznym i otrzymano następującą postać:
v
t = - 7,25- 0,20 �" Pt + 0,55�" Kt
(ą2,305)
(ą0,166) (ą0,209)
gdzie: Yt - import [mld zł], Pt - produkcja całkowita [mld zł], Kt - konsumpcja [mld zł]
"2
gdzie: R2 = 0,89 � = 0,36 DW = 3,32 ilość obserw. = 39 ą = 0,05
u
Uzupełnij następujące zdania:
2.1 Współczynnik zbieżności �2 wynosi ................ i oznacza, że ...........................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Ću
2.2 Średni błąd reszt � = .............. oznacza, że ..................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.3 Jeżeli Pt spadnie o 2 mld zł to ..........................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.4 Zmienna Pt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ......................., ponieważ ......................................
...............................................................................................................................................................................................
20
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
2.5 W omawianym przypadku statystykę DW wykorzystuję do zweryfikowania następującej hipotezy zerowej .......................
wobec hipotezy alternatywnej ....................... W przypadku omawianego modelu przychylam się w kierunku hipotezy
....................., ponieważ ...................................... Oznacza to, że autokorelacja ....................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Problem 3.
Na podstawie danych miesięcznych oszacowano funkcję:
lnYt = 3,095+ 0,50 �" ln X1t + 1,2 �"ln X + 0,015�"t + �t
2t
(ą1,197) (ą0,215) (ą0,445) (ą0,011)
gdzie: Yt - wielkość produkcji, X1t - ilość efektywnie przeprac. godzin, X2t- nakłady inwestycyjne, t - czas (miesiące)
3.1 Postać pierwotna (zdelogarytmowana) modelu wygląda następująco:
...............................................................................................................................................................................................
3.2 Określ i zinterpretuj elastyczność produkcji ze względu na inwestycje: ............................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
3.3 Określ wpływ czasu na wielkość produkcji: .....................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Problem 4.
Dokonano oszacowania wykładniczego modelu trendu i otrzymano następującą postać:
"t
yt = e9,3437+0,0936�"t �" eu
Wiedząc, że model oszacowano na podstawie n = 12 obserwacji oraz mając dane:
0,37878 - 0,04545
-1 �ł łł
T
(X X ) =
"ln yt2 = 1192,14623 "ln yt = 119,5377 "ln yt �" t = 790,6452
�ł śł
�ł- 0,04545 0,00699 �ł
4.1 Wyznacz średni błąd prognozy V dla okresu t=13: ..........................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
4.2 Wyznacz prognozę przedziałową na poziomie ufności 0,95: ............................................................................................
Problem 5.
Jest dany model o następującej postaci:
0 1 t
Yt = eb +b1�"t �"ea �"v1t +a3�"v3t +a11�"v11t �"eu
Podaj postacie macierzy XTX oraz Xty
21
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
Problem 6.
Oszacowana postać modelu tendencji rozwojowej (dla danych miesięcznych) przedstawia się następująco:
7t t
Yt = e2,3-0,06�"t �" e0,15�"v -0,26�"v9t +0,11�"v10t �" e�
vti - zmienne sezonowe dla okresów jednoimiennych i (i = 1,2,3,& ,11 - numer okresu w cyklu)
Yt - sprzedaż dobra w okresie t
6.1 Zinterpretuj tendencję zmian (wpływ czasu t na zmienną Y): ..........................................................................................
.............................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................
6.2 Zinterpretuj efekt cykliczny dla grudnia .........................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
22
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
TEST 9
Problem 1.
Oszacować klasyczną metodą najmniejszych kwadratów parametry modelu (dokładność obliczeń do 5 miejsc po przec.):
Yt = b0 + b1X + ut
t
gdzie: Yt - wydatki na żywność w tys. zł. na osobę, Xt - dochód netto w tys. zł. na osobę.
1.1 Przedstawić postać analityczną modelu po oszacowaniu (bez interpretacji parametrów).
"2
Ću
1.2 Obliczyć wariancję reszt modelu � , średni błąd reszt � , współczynniki R2, �2 i współczynnik zmienności v.
u
1.3 Oszacować średnie błędy ocen parametrów modelu.
1.4 Zweryfikować istotność statystyczną parametrów modelu dla poziomu istotności ą = 0,1.
1.5 Ocenić istotność autokorelacji reszt, oszacować współczynnik autokorelacji �1.
Niezbędne dane podane są w poniższej tabeli
Okres Wydatki Dochód
Yt Xt
1 0,1 0,35
2 0,15 0,45
3 0,18 0,6
4 0,24 0,95
5 0,28 1,2
6 0,31 1,4
7 0,30 1,4
Problem 2.
Oszacowano następujący model liniowy
DGDt = b0 + b1*DRt + b2*SPt + ut (t = 1, 2, 3, ......, 30)
gdzie: DGDt - depozyty gospod. domowych [mln. zł], DRt - dochód realny na mieszkańca w tys. zł,
SPt - realna stopa procentowa [%].
Wyniki oszacowań przedstawiają się następująco:
DGDt = 60,5+ 0,85�" DRt + 3,55�" SPt + �t
(ą10,5) (ą0,23) (ą2,11)
"2
gdzie: R2 = 0,80 � = 24,5 DW = 0,85 ilość obserw. = 30 poziom istotności ą = 0,1
u
Uzupełnij następujące zdania:
2.1 Wartość współczynnika determinacji wskazuje, że ...........................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Ću
2.2 Średni błąd reszt � = .............. oznacza, że ..................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
23
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
2.3 Jeżeli SPt spadnie o 2 pkt procentowe to ..........................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.4 Zmienna DRt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ........................., ponieważ .................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.5 W omawianym przypadku statystykę DW wykorzystuję do zweryfikowania następującej hipotezy zerowej .......................
wobec hipotezy alternatywnej ....................... W przypadku omawianego modelu przychylam się w kierunku hipotezy
....................., ponieważ ...................................... Oznacza to, że autokorelacja ....................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Problem 3.
Na podstawie danych miesięcznych oszacowano funkcję
t
St = e3,1 �" DNt0,85 �" Ct-0,34 �" e0,02�"t �" e�
gdzie: St - wielkość sprzedaży dobra, DNt - dochody netto na 1 os., Ct - cena dobra, t - czas (miesiące)
3.1 Postać zlogarytmowana modelu wygląda następująco: .....................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
3.2 Określ i zinterpretuj elastyczność sprzedaży S ze względu na dochody DN:. ....................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
3.3 Określ i zinterpretuj wpływ czasu t na sprzedaż S: ...........................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Problem 4.
Dokonano oszacowania wykładniczego modelu trendu i otrzymano następującą postać:
"t
yt = e9,3437+0,0936�"t �" eu
Wiedząc, że model oszacowano na podstawie n = 12 obserwacji oraz majac dane:
�ł
0,37878 - 0,04545
-1 �ł łł �ł łł
"ln yt łł 119,5377
T T
(X X ) = =
�ł
"ln yt2 = 1192,14623 X ln y =
�ł śł
�ł- 0,04545 0,00699 �ł "ln yt �" tśł �ł790,6452śł
�ł �ł
�ł �ł
4.1 Wyznacz prognozę punktową dla okresu t = 14 ...............................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
4.2 Wyznacz średni błąd prognozy V: ...................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
4.3 Wyznacz prognozę przedziałową na poziomie ufności 0,95: ............................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
24
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
Problem 5.
Czy podany model można oszacować Klasyczną Metodą Najmniejszych Kwadratów. Jeśli tak, to przedstaw odpowiednią
postać modelu, a jeśli nie to napisz dlaczego.
1
yt = b1 �" x1t +
b2 �" x2t + b0
25
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
TEST 11
Problem 2.
Oszacowano następujący model liniowy:
ln DGDt = 2,5 + 0,085�" ln DRt + 0,15�" ln SPt + �t
(ą10,5) (ą0,023) (ą0,11)
gdzie: DGDt - depozyty gospod. domowych [mln. zł], DRt - dochód realny na mieszkańca w tys. zł,
SPt - realna stopa procentowa [%].
"2
gdzie: R2 = 0,85 � = 0,036 DW = 2,08 ilość obserw. = 33 poziom istotności ą = 0,1
u
Uzupełnij następujące zdania:
2.1 Wartość współczynnika determinacji wskazuje, że ...........................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.2 Współczynnik zbieżności �2 wynosi ................ i oznacza, że ...........................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.3 Średni błąd reszt jest równy ................ i oznacza, że .......................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.4 Jeżeli DRt zmaleje o 1% to ..............................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
2.5 Chcąc zweryfikować statystyczną istotność oddziaływania zmiennej DR na zmienną objaśnianą weryfikuję następującą
hipotezę zerową ........................................... wobec hipotezy alternatywnej ..........................................................................
2.6 Zmienna DRt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ........................., ponieważ .................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.7 W omawianym przypadku statystykę DW wykorzystuję do zweryfikowania następującej hipotezy zerowej .......................
wobec hipotezy alternatywnej ....................... Z uwagi na fakt, że ......................... w przypadku omawianego modelu przychylam
się w kierunku hipotezy ....................., co oznacza, że ........................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
"
2.8 Na podstawie DW obliczyć możemy przybliżoną wartość autokorelacji reszt pierwszego rzędu �1 E" ..........., co oznacza
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
2.9. Na podstawie statystyki F możemy powiedzieć, że ..........................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
ponieważ ...............................................................................................................................................................................
26
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
TEST 12
Problem 1.
Oszacować klasyczną metodą najmniejszych kwadratów (KMNK) parametry modelu:
b2 t
0 1
Yt = eb �" eb X1t �" X �" eu
2t
gdzie: Yt - miesięczne wydatki na odzież w zł. na osobę, X1t - średni roczny dochód netto w tys. zł. na osobę.
X2t - jednopodstawowy wskaz
nik cen odzieży [1 miesiąc = 100]
1.1 Przedstawić postać modelu po oszacowaniu: .........................................................................................................
1.2 Wariancja reszt modelu Se2 = ..................., średni błąd reszt Se = .................., współczynniki R2 = ....................,
�2 = ...................
Niezbędne dane podane są w poniższej tabeli (można ją wykorzystać do obliczeń)
Miesiąc Wydatki Dochód Ceny
Yt X1t X2t
1 70 6 100,0
2 95 8 102,1
3 110 10 103,5
4 125 12 109,7
5 145 14 112,7
Problem 2.
Wyniki oszacowań przedstawiają się następująco:
v
t = - 7,25- 0,20 �" Pt + 0,55�" Kt
(ą2,305)
(ą0,166) (ą0,209)
gdzie: Yt - import [mld zł], Pt - produkcja całkowita [mld zł], Kt - konsumpcja [mld zł]
R2 = 0,88 Se2 = 0,4 DW = 1,55 ilość obserwacji = 20 ą = 0,1
Uzupełnij następujące zdania:
2.1 Wartość współczynnika determinacji wskazuje, że ...........................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.2 Współczynnik zbieżności wynosi .................... i oznacza, że ...........................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.3 Średni błąd reszt = ............... oznacza, że ........................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.4 Jeżeli Pt spadnie o 1 mld zł to ..........................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.5 Jeżeli Kt spadnie o 2 mld zł to .........................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
27
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
2.6 Chcąc zweryfikować statystyczną istotność oddziaływania zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą weryfikuję
następującą hipotezę zerową ......................................... wobec hipotezy alternatywnej .........................................................
2.7 Zmienna Pt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ........................., ponieważ ....................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.8 Zmienna Kt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ......................., ponieważ ......................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
2.9 W omawianym przypadku statystykę DW wykorzystuję do zweryfikowania następującej hipotezy zerowej .......................
wobec hipotezy alternatywnej ............................. Ponieważ ..................................... to w przypadku omawianego modelu
przychylam się w kierunku hipotezy ........................., co oznacza, że ...................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
"
2.10 Na podstawie DW obliczyć możemy przybliżoną wartość współczynnika autokorelacji reszt pierwszego rzędu �1 E" ....,
co oznacza, że .......................................................................................................................................................................
Problem 3.
Na podstawie danych miesięcznych oszacowano funkcję
lnYt = 3,095+ 0,50 �"ln EFt + 1,2 �" ln It + 0,015�"t + �t
(ą1,197) (ą0,215) (ą0,445) (ą0,011)
gdzie: Yt - wielkość produkcji, EFt - ilość efektywnie przeprac. godzin, It - nakłady inwestycyjne, t - czas (kwartały)
3.1 Postać pierwotna (przed zlogarytmowaniem) modelu wygląda następująco:
..............................................................................................................................................................................................
3.2 Elastyczność produkcji Y ze względu na pracę efektywną EF wynosi: ............................, co oznacza, że .......................
.............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
3.3 Elastyczność produkcji Y ze względu na inwestycje I wynosi: ............................., co oznacza, że ....................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
3.4 Zinterpretuj wpływ czasu t na wielkość produkcji Y: .......................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
28
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
TEST 13
Problem 1.
Oszacować metodą najmniejszych kwadratów parametry modelu:
1
t
Yt = ą0 �" Xtą �"eu
gdzie: Yt - wydatki na odzież w zł. na osobę, Xt - dochód netto w zł. na osobę.
1.1 Przedstawić postać analityczną modelu (po oszacowaniu): ..............................................................................
1.2 Wariancja reszt modelu Se2 = ........................., średni błąd reszt Se = ........................, współczynniki R2 = ....................,
�2 = .................................
1.3 Średnie błędy ocen parametrów modelu ..........................................................................................................................
1.4 Zweryfikować istotność statystyczną parametru ą1 na poziomie istotności ą = 0,05.
Zmienna Xt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ........................., ponieważ .................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
1.5 Oszacować 95% przedziały ufności dla parametrów strukturalnych modelu:
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
1.6 Wartość statystyki DW = ......................., co oznacza, że sprawdzamy występowanie ......................................................
Wartości krytyczne rozkładu DW wynoszą ......................................................, a wobec tego powiemy, że w modelu............
.............................................................................................................................................................................................,
ponieważ ..............................................................................................................................................................................
1.7 Stosując test t-Studenta w celu sprawdzenia istotności autokorelacji reszt modelu wyznaczamy wartość empirycznej statystyki t
= ....................... Ze względu na to, że (na poziomie ą = 0,05) ................................................, stwierdzamy na podstawie tego
testu, że .................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
Niezbędne dane podane są w poniższej tabeli (możną ją wykorzystać do obliczeń)
Okres Wydatki Dochód
Yt Xt
1 100 600
2 250 800
3 320 1000
4 370 1200
5 600 1400
29
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
Problem 2.
Na podstawie danych miesięcznych oszacowano funkcję:
t
Yt = e-0,425 �" Mt0,31 �" Pt0,68 �" e0,02�"t+�
gdzie: Yt - produkcja w mln zł, Mt - majątek trwały w mln zł, Pt - ilość pracy, t - kolejny miesiąc
2.1 Postać zlinearyzowana modelu wygląda następująco:
..............................................................................................................................................................................................
2.2 Elastyczność produkcji ze względu na majątek trwały wynosi: ............................, co oznacza, że ...................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
2.3 Elastyczność produkcji ze względu na pracę wynosi: .............................., co oznacza, że ................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
2.4 Zinterpretuj wpływ czasu t na produkcję: ........................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
Problem 3.
Podaj własności składnika losowego w warunkach autokorelacji:
Problem 4.
Wyprowadz
zależność pomiędzy statystyką Durbina-Watsona a współczynnikiem autokorelacji I-ego rzędu.
30
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
TEST 14
Problem 1.
Wyniki oszacowań modelu przedstawiają się następująco:
lnv
t = -1,25+ 0,02�"ln Pt + 0,055�" ln Kt
(ą2,305)
(ą0,016) (ą0,015)
gdzie: Yt - import [mld zł], Pt - produkcja całkowita [mld zł], Kt - konsumpcja [mld zł]
"2
gdzie: R2 = 0,965 � = 0,021 DW = 1,90 ilość obserw. = 44 poziom ist. ą = 0,1
u
Uzupełnij następujące zdania:
1.1 Współczynnik zbieżności wynosi ................ i oznacza, że ...................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
1.2 Średni błąd reszt jest równy .............. i oznacza, że .............................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
1.3 Ceteris paribus jeżeli Kt spadnie o 1 % to ............................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
1.4 Ceteris paribus jeżeli Pt wzrośnie o 1 % to ...........................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
1.5 Zmienna Pt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ........................., ponieważ ........................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
1.6 Zmienna Kt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ........................., ponieważ .......................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
1.7 Współczynnik determinacji wskazuje, że .............................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
1.8 W modelu statystykę DW wykorzystuję do zweryfikowania następującej hipotezy zerowej ....................... wobec hipotezy
alternatywnej .......................... W przypadku omawianego modelu możemy powiedzieć, iż .....................................................
............................... ponieważ wartość ......................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
"
1.9 Na podstawie DW obliczyć możemy przybliżoną wartość autokorelacji reszt pierwszego rzędu �1 E" ..........., co oznacza, że
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
1.10. Na podstawie statystyki F możemy powiedzieć, że ............................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
ponieważ ...................................................................................................................................................................................
31
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
Problem 2.
Dokonano oszacowania wykładniczego modelu trendu i otrzymano następującą postać:
"t
yt = e9,3437+0,0936�"t �" eu
Wiedząc, że model oszacowano na podstawie n = 12 obserwacji oraz majac dane:
0,37878 - 0,04545
-1 �ł łł
T
(X X ) =
"ln yt2 = 1192,14623 "ln yt = 119,5377 "ln yt �" t = 790,6452
�ł śł
�ł- 0,04545 0,00699 �ł
2.1. Wyznacz prognozę punktową zmiennej y na okres t=14: ....................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
2.2 Wyznacz średni błąd prognozy dla okresu t=14: ..................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
2.3 Wyznacz prognozę przedziałową na poziomie ufności 0,9: ..................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
Problem 3.
Rozważ następujący model:
pt = 10 + 0,65�" pt-1 + 0,25 �" PEN t + �t
gdzie: pt - cena analizowanego dobra, PENt - cena dostaw energii.
3.1 Określ krótkookresowy efekt wpływu ceny energii na cenę danego dobra: ........................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
3.2 Określ długookresowy efekt oddziaływania ceny energii na cenę danego dobra: ...............................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Problem 5.
Jest dany model w układzie kwartalnym:
1
0 3 t
Yt = eą �" Xtą �" e� �"v3t �" eu
gdzie: Yt - wydatki na turystykę [zł. na osobę], Xt - dochód netto [zł. na osobę], v3t - zmienna sezonowa dla trzecich
kwartałów każdego roku, ą0, ą1, �3 - parametry strukturalne modelu.
Przedstawić postacie macierzy XTX oraz XTy dla tego modelu.
32
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
TEST 15
Problem 1.
Oszacowano model liniowy w układzie miesięcznym i otrzymano jego następującą postać:
�t = 4,25+ 0,06 �" Pt + 0,185�"Ct - 0,02 �"v11t
(ą2,35)
(ą0,12) (ą0,09) (ą0,011)
gdzie: Zt - import [mld zł], Pt - produkcja całkowita [mld zł], Ct - konsumpcja [mld zł], v11t  zm. sezonowa
"2
gdzie: R2 = 0,92 � = 2,24 DW = 2,16 ilość obserw. = 48 ą = 0,1
u
Uzupełnij następujące zdania:
1.1 Współczynnik zbieżności �2 wynosi ................ co oznacza, że ........................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
1.2 Współczynnik determinacji R2 wynosi .............. co oznacza, że .......................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
Ću
1.3 Średni błąd reszt � = .............. co oznacza, że ..............................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
1.4 Ceteris paribus, jeżeli Pt wzrośnie o 1 mld zł to ...............................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
1.5 Ceteris paribus, jeżeli Ct zmaleje o 1 mld zł to .................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
1.6 Zmienna Ct (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ......................., ponieważ ......................................
...............................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................
1.7 Zmienna Pt (wpływa / nie wpływa) statystycznie istotnie na zmienną ......................., ponieważ ......................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
1.8 W omawianym przypadku statystykę DW wykorzystuję do zweryfikowania następującej hipotezy zerowej .......................
wobec hipotezy alternatywnej ....................... W przypadku omawianego modelu przychylam się w kierunku hipotezy
....................., ponieważ ...................................... Oznacza to, że współczynnik autokorelacji ................................................
.................................................................................................................................................................................................
Ć
1.9. Ocena współczynnika autokorelacji pierwszego rzędu �1 = ................, można zatem powiedzieć, że ..............................
..................................................................................................................................................................................................
1.10. Na podstawie statystyki F możemy powiedzieć, że ............................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
ponieważ ...................................................................................................................................................................................
33
Przykładowe zadania za zaliczenie i egzamin z ekonometrii  Krzysztof Świetlik
Problem 2.
Na podstawie danych miesięcznych oszacowano funkcję:
lnYt = 0,75�"ln X1t + 0,45�" ln X - 0,01 �"t + �t
2t
(ą0,35) (ą0,10) (ą0,011)
gdzie: Yt - wielkość produkcji, X1t - ilość efektywnie przeprac. godzin, X2t- nakłady inwestycyjne, t - czas (miesiące)
2.1 Określ i zinterpretuj elastyczność produkcji ze względu na nakłady inwestycyjne : ..............................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
2.2 Określ wpływ czasu na wielkość produkcji: ..........................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
Problem 3.
Podaj warunki stosowania testu DW do oceny istotności autokorelacji.
34