ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWI
ZNIA
oprac. I. Gorgol
1
Spis treści
1. Elementy logiki 3
2. Elementy rachunku zbiorów 4
3. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4
4. Funkcja złożona i odwrotna 6
5. Granica ciÄ…gu liczbowego 7
6. Granica funkcji 9
7. Ciągłość funkcji 11
8. Pochodna funkcji 12
9. Reguła de l Hospitala 13
10. Zastosowania rachunku różniczkowego 13
11. Liczby zespolone 16
2
1. ELEMENTY LOGIKI 3
1. Elementy logiki
Zadanie 1.1. Ustalić, które ze zdań są zdaniami w sensie logicznym. Podać wartość logiczną tych
zdań.
(1) Symbolem Lublina jest koziołek. w=1
(2) Obecnie w Lublinie mieszka dwa miliony osób. w=0
(3) Dwa plus dwa jest równe cztery. w=1
(4) Czy dwa plus dwa wynosi cztery?
(5) Czy jest to zdanie w sensie logicznym?
(6) Ucz siÄ™ pilnie!
(7) Jutro będzie padał deszcz.
(8) Krowa jest zwierzęciem parzystokopytnym. w=1
(9) Okrąg jest brzegiem koła. w=1
(10) Ä„ jest liczbÄ… wymiernÄ…. w=0
Zadanie 1.2. Sprawdzić, czy następujące formuły są prawami rachunku zdań:
(1) (p (" q) '" (<" p =Ò! q) N
(2) (p =Ò! q) =Ò! [(r'" <" q) =Ò! (r'" <" p)] T
(3) (p =Ò! q) =Ò! (<" q =Ò! r) N
(4) {[(p '" q) =Ò! r] '" [p (" (q =Ò!<" r)]} =Ò! (p '" q '" r) N
(5) [(p (" q) '" (p =Ò! q)] =Ò! (q =Ò! p) N
(6) [(p =Ò! q) '" (q =Ò! p)] =Ò! (p (" q) N
(7) [(p '" q) =Ò! r] =Ò! [(p'" <" r) =Ò! (<" q)] T
(8) [(p =Ò! q) (" (r =Ò! q)] =Ò! [(p '" r) =Ò! q] T
(9) [(p =Ò! q) '" p] =Ò! q T
(10) [(p Ð!Ò! q) '" (r =Ò! q)] Ð!Ò! [(p (" r) =Ò! q] N
Zadanie 1.3. Napisać zaprzeczenia następujących zdań lub form zdaniowych:
(1) x > 0 '" x < -2.
(2) x 0 (" x 2.
(3) Dziecko założyło lewą i prawą rękawiczkę.
(4) Tu możemy skręcić w lewo lub w prawo.
(5) 2 < 5 Ò! 3 < 5.
(6) Jeżeli pada deszcz, to idę pod parasolem.
(7) x2 - 3x + 2 = 0 Ò! (x = 1 (" x = 2).
(8) W = P = R = 0.
(9) Jeżeli liczba jest podzielna przez 9, to jest podzielna przez 3.
(10) Okrąg jest bryłą wtedy i tylko wtedy, gdy -1 jest kwadratem liczby rzeczywistej.
Zadanie 1.4. Sprawdzić, że formuÅ‚a (p Ô! q) Ô! (<" p Ô!<" q) jest tautologiÄ…. Zastosować tÄ™ formuÅ‚Ä™
do poniższych form zdaniowych.
(1) x2 - 3x + 2 = 0 Ô! (x = 1 (" x = 2).
(2) Liczba dzieli siÄ™ przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli siÄ™ przez 2 i dzieli siÄ™ przez 3.
x-1
(3) > 0 Ô! [(x > 1 '" x > 2) (" (x < 1 '" x < 2)]
x-2
Zadanie 1.5. Wskazać warunki konieczne oraz warunki dostateczne. Napisać implikację odwrotną,
przeciwnÄ… i przeciwstawnÄ… do danej:
(1) Jeżeli liczba dzieli się przez 4, to jest liczbą parzystą.
(2) Jeżeli koło ma promień o długości 2, to jego pole wynosi 4Ą.
(3) Jeżeli kąty wpisane są oparte na tym samym łuku, to mają równe miary.
(4) Jeżeli czworokąt jest kwadratem, to jest rombem.
(5) Jeżeli liczba pierwsza jest większa od 3, to 2 nie jest jej dzielnikiem.
3. FUNKCJE ZDANIOWE I KWANTYFIKATORY. 4
2. Elementy rachunku zbiorów
Zadanie 2.1. Dane sÄ… zbiory A = {x " R : |x - 2| 2} i B = {x " R : |x - 1| 1}. Znalez
ć zbiory
A *" B, A )" B oraz A \ B.
"
Zadanie 2.2. Dane są zbiory A = {x " R : x2 - 4x + 4 1} i B = {x " R : |x| > 1}. Zaznaczyć
zbiory (A *" B) , A )" B oraz A \ B .
x-1
Zadanie 2.3. Dane sÄ… zbiory A = {x " R : |x - 2| 2} i B = {x " R : > 2}. Znalez
ć zbiory
x+2
A *" B oraz A )" B .
2x
Zadanie 2.4. Dane sÄ… zbiory A = {x " R : |3 - x| 1} i B = {x " R : < 1}. Znalez
ć zbiory
x-2
A *" B oraz A )" B .
Zadanie 2.5. Dane sÄ… zbiory A = {(x, y) " R2 : y+1 |x-1|} i B = {(x, y) " R2 : 3y -3x2 +10x}.
W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów.
Zadanie 2.6. Dane sÄ… zbiory A = {(x, y) " R2 : xy 4} i B = {(x, y) " R2 : x 1 '" y 2}. W
prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów.
Zadanie 2.7. Dane sÄ… zbiory A = {(x, y) " R2 : y 2x - 1} i B = {(x, y) " R2 : x2 + y2 4}. W
prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów.
Zadanie 2.8. Dane sÄ… zbiory A = {(x, y) " R2 : y sin x} i B = {(x, y) " R2 : x > 0 '" y log3 x}.
W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów.
Zadanie 2.9. Wiadomo, że B = {x " R : x " (-2, 3)}. Podać przykład zbioru A spełniającego
równość:
A )" B = {x " R : x " (-", -4) *" (-4, -2 *" (4, ")}.
Zadanie 2.10. Wiadomo, że A = {x " R : x " (-4, -1 *" 0, 2)}. Podać przykład zbioru B, dla
którego prawdziwa jest równość:
A *" B = {x " R : x " (-", -3) *" (-3, -2 *" (-1, 0) *" (1, ")}.
3. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory.
Zadanie 3.1. Ocenić wartość logiczną zdań:

(1) (x > 0 '" sin x < 0), w = 0 (4) (z < z2 (" z2 + 1 > 0), w = 1
x"R z"R

"
1
(2) ( y " N), w = 1
(5) (a + 0), w = 1
a
y"N
a"R+


(3) (t2 + t = 0 '" t < t2), w = 0
(6) (x > 0 Ò! cos x > 0). w = 1
t"N
x"R
Napisać zaprzeczenia powyższych zdań.
Zadanie 3.2. Ocenić wartość logiczną zdań:

(1) (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy, w = 1 (4) (x + y > n (" xy < n), w = 1
x"R y"R x"R N n"N
"
y
"
"
(2) xy = 1, w = 0 (5) (y > x Ò! y > x). w = 1
x"R y"R x"R+ y"R+

(3) (m2 > n (" m n), w = 1
m"N n"N
Napisać zaprzeczenia powyższych zdań.
3. FUNKCJE ZDANIOWE I KWANTYFIKATORY. 5
Zadanie 3.3. Określić wartość logiczną poniższego zdania. Odpowiedz
uzasadnić.

(a - 3)x2 + (a + 1)x + 1 < 0.
a"R x"R
w = 0
Zadanie 3.4. Określić wartość logiczną poniższego zdania. Odpowiedz
uzasadnić.

(b + 1)x2 + (2b - 1)x + b > 0.
b"R x"R
w = 1
Zadanie 3.5. Przekształcając wyrażenie

<" (y = 0 =Ò! y3 - y = 0),

y
wprowadzić kwantyfikator o zasięgu ograniczonym oraz ocenić wartość logiczną otrzymanego zdania.
Zadanie 3.6. Zbadać dla jakich zbiorów A, X ‚" R prawdziwe jest zdanie

loga x < 0.
a"A x"X
(A = (1, +") '" X = (0, 1)) (" (A = (0, 1) '" X = (1, +"))
Zadanie 3.7. Zbadać dla jakich zbiorów A, X ‚" R prawdziwe jest zdanie

ax < 1.
a"A x"X
(A = (1, +") '" X = (-", 0)) (" (A = (0, 1) '" X = (0, +"))
Zadanie 3.8. Wyznaczyć zakres T zmienności zmiennej t tak, by prawdziwe było zdanie


1 3
sin x + < t2 + 2t - .
2 2
t"T x"R
T = (-", -3) *" (1, +")
Zadanie 3.9. Zapisać przy użyciu kwantyfikatorów oraz ocenić wartość logiczną poniższych zdań.
Odpowiedz
uzasadnić.
(1) Suma dowolnych dwóch liczb rzeczywistych jest większa od ich różnicy.
(2) Iloczyn pewnych dwóch liczb rzeczywistych jest mniejszy od ich ilorazu.
(3) Istnieją liczby nie będące kwadratem żadnej liczby rzeczywistej.
(4) Nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat byłby mniejszy od zera.
(5) Układ równań: x + y = 2, 2x + 2y = 3 nie ma rozwi azań.
(6) Liczby 5 i 17 nie mają wspólnego dzielnika.
Odpowiedzi:

(1) (x + y > x - y), w = 0, np. liczby -2 i -1
x"R y"R

x
1 1
(2) (xy < ), w = 1, np. liczby i
2 4
y
x"R y"R

(3) (x = y2), w = 1, np. liczba -1

x"R y"R

(4) <" (x2 < 0), w = 1
x"R

(5) <" (x + y = 2 '" 2x + 2x = 3), w = 0
x"R y"R

5 17
(6) <" ( " Z '" " Z). w = 0, wspólnym dzielnikiem tych liczb jest 1
x x
x"Z
4. FUNKCJA ZA
OŻONA I ODWROTNA 6
4. Funkcja złożona i odwrotna
1
Zadanie 4.1. Dana jest funkcja f określona warunkiem f(x) = . Wyznaczyć f ć% f oraz f ć% f ć% f.
1-x
Zadanie 4.2. Dane są funkcje f oraz g określone przy pomocy warunków f(x) = x2 - 4 oraz g(x) =
"
x + 4. W jakim zbiorze określone są funkcje: f ć% g oraz g ć% f.
"
Zadanie 4.3. Dane są funkcje f i g określone przy pomocy warunków f(x) = x2 oraz g(x) = 1 - 2x.
Wyznaczyć, o ile istnieją, następujące funkcje złożone: f ć% g, g ć% f, g ć% g, f ć% f ć% f.
"
Zadanie 4.4. Dane są funkcje f, g i h określone wzorami f(x) = log3 x, g(x) = x2 -1 oraz h(x) = x.
Dostosowując ewentualnie dziedziny, wykonać wszelkie możliwe złożenia wszystkich funkcji f, g i h.
Dokonać ponadto następujących złożeń: g ć% f ć% g, h ć% h ć% h, f ć% f ć% f.
Zadanie 4.5. Z jakich funkcji elementarnych złożone są funkcje określone wzorami:

(1) f(x) = log(x + 1),
(2) f(x) = cos3 3x,
1
(3) f(x) = " ,
x2 + 1
2
(4) f(x) = 5(3x+1) ?
Zadanie 4.6. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f określonej wzorem:.
-x+2
(1) f(x) = -3x + 2, f-1(x) =
3
"
5
(2) f(x) = x5, f-1(x) = x
2 2
(3) f(x) = , f-1(x) = - 2
x+2 x
x-2 4x+2
(4) f(x) = , f-1(x) =
3x+4 3x+1
(5) f(x) = 2x+1, f-1(x) = x - 1
log2
3
3
(6) f(x) = 2x +1, f-1(x) = log2 x - 1
"
x
(7) f(x) = log5(x2 + 5), dla x > 0, f-1(x) = - 5
"5
(8) f(x) = log5(x2 + 5), dla x < 0 f-1(x) = - 5x - 5
3x x
(9) f(x) = , f-1(x) = log3 1-x
3x+1
1
3 4
(10) f(x) = 4log (2x+4), dla x > -2, f-1(x) = · 3log x - 2
2
Ä„ Ä„ 1
(11) f(x) = sin 3x, dla x " - , , f-1(x) = arc sin x
6 6 3


Ä„ 3 1
(12) f(x) = cos3 2x, dla x " 0, . f-1(x) = arc cos x
2 2
Zadanie 4.7. Obliczyć:
1 Ä„
(1) arc cos ,
2 3
Ä„
(2) arc tg 1,
4

1 Ä„
(3) arc sin - , -
2 6
Ä„
(4) arc ctg (-1), -
4

" "
"
1 3 2
(5) - arc cos + arc tg - + arc tg 3 - 4 arc sin , -7 Ä„
3 2 6
2
"

3 Ä„ Ä„ 9
(6) 3 arc cos - + arc ctg tg - arc sin sin . Ä„
2 4 2 4
Zadanie 4.8. Wyrazić bez użycia funkcji trygonometrycznych:
"
1
"
(1) cos(arc sin x), 1 - x2 (4) cos(arc tg x),
1+x2
x
" 1
(2) tg(arc sin x),
"
(5) sin(arc ctg x),
1-x2
1+x2
x
"
(3) ctg(arc cos x), 1
(6) ctg(arc tg x).
1-x2
x
Zadanie 4.9. Niech f : R R oraz g : R R będą funkcjami określonymi wzorami:

x
x + 1 dla x < 1
(a) f(x) = oraz g(x) = ,
x2 + x dla x 1
x2 + 1
5. GRANICA CI
GU LICZBOWEGO 7

x2 dla x < 3 x dla x 0
(b) f(x) = oraz g(x) = ,
-x - 2 dla x 3 2x + 3 dla x > 0

-2x + 3 dla x 1 2x + 1 dla x < 0
(c) f(x) = oraz g(x) = .
x2 dla x > 1 x + 3 dla x 0
Utworzyć g ć% f.
5. Granica ciÄ…gu liczbowego
Zadanie 5.1. Korzystając z definicji granicy ciągu, wykazać, że
2n-1
(1) liczba -2 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym an = ,
2-n
1 7-2n
(2) liczba jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym an = ,
3 2-6n
n-1
(3) liczba 0 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym an = ,
2-5n2
"
8 n-1
4
"
(4) liczba jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym an = ,
7 3+14 n
8n3-3
(5) liczba -2 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym an = ,
3 1-12n3
1-5n2
(6) liczba -1 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym an = .
5n2+2
Zadanie 5.2. Wykazać, że ciągi o wyrazach ogólnych
1
(1) an = n2, (2) bn = 2n, (3) cn = log 1
n
2
są zbieżne do +".
Zadanie 5.3. Wykazać, że ciągi o wyrazach ogólnych
10
(1) an = -n3, (2) bn = 1 - 3n, (3) log
n
są zbieżne do -".
Zadanie 5.4. Wykazać rozbieżność ciągów o wyrazach ogólnych
n
Ä„
(1) an = (-1)3n+1, (2) bn = cos n , (3) cn = (cos Ä„)5n+2, (4) dn = n(-1) .
2
Zadanie 5.5. Obliczyć następujące granice:
10n - 31
(n2 - 1)99
(1) lim , 5
(5) lim , 0
n"
2n + 1
n" - n + 2)100
(n2
10 - 7n
7
(n2 - 1)50
(2) lim , -
3
(6) lim , 1
n" - 1
3n
n" - 1)51(n + 1)49
(n
2n2 + 6
(3) lim , 0 (n2 - 1)(n4 - 2)(n5 + 1)
n" - 4n2 + 1 (7) lim , 1
n3
n"
(n6 + 7)(n2 + 2)(n3 + 7)
n2 - 1
(4) lim , +"
(8) lim (-n2 + 6n + 12). -"
n" - 2
3n
n"
Zadanie 5.6. Obliczyć następujące granice:
"
"
(1) lim ( n + 4 - n), 0
n"

9
(2) lim ( n2 - n + 4 - n2 + 8n - 2), -
2
n"

5
(3) lim ( 4n2 - 5n + 4 - 2n), -
4
n"

3
(4) lim ( n3 - n - n), 0
n"

3
1
(5) lim ( n2 - n3 + n),
3
n"
1
(6) lim " , 4
4
4
n"
-
"n + n3 n"
3 3
n3 + 2n2 - n3 - 1
4
(7) lim " " ,
21
n"
n2 + 7n - n2 + 5
Zadanie 5.7. Obliczyć następujące granice:
5n - 100
1
(1) lim , -
5
n" - 5n+1
100
5. GRANICA CI
GU LICZBOWEGO 8
2n + 3n+1
(2) lim , 0
n"
3n + 4n-1
1 + 3 + 5 + · · · + (2n - 1)
(3) lim , 1
n"
(n + 1)2
1 1 1
1 + + + · · · +
2 4 2n 4
(4) lim ,
1 1 1 3
n"
1 + + + · · · +
3 9 3n
1 1 1
1 + + + · · · +
4 16 4n 8
(5) lim ,
5
(-1)n-1
1 1
n"
1 - + - · · · +
5 25 5n-1

(n + 1)! - n! n
(6) lim · . +"
n"
(n + 2)! + n! 2
Zadanie 5.8. Obliczyć następujące granice:
3n
2
2n -1
2
n2 + n + 1
(1) lim 1 + , e6
(5) lim , +"
n"
n
n" - n + 1
n2
n
3
4 -n +2
n2 + n + 1
(2) lim 1 - , 1
(6) lim , 0
n"
n2
n" - n + 1
n2
2n + 1 3n+2
2
n +n
(3) lim , e-3
5n2 + 7n + 13
n"
2n + 3
(7) lim , +"
2n-1
n"
n2 + n + 1 5n2 + n + 3
(4) lim , e4 n+5
n" - n + 1
n2
2n2 + 6n + 3 3
2
(8) lim . e
n"
2n2 + 3n + 6
Zadanie 5.9. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, obliczyć granice następujących ciągów:

n
(1) an = n3 + sin n, 1
"
n
(2) bn = 3n + 5n + 7n, 7
n + 1
(3) cn = sin(2n - 3), 0
n2 - 2
Ä„
n2 + 2n cos n
2
(4) dn = , -1
1 - n2
1 1 1
(5) en = " + " + · · · + " , 1
n2 + 1 n2 + 2 n2 + n
1 2 n
1
(6) fn = + + · · · + ,
2
n2 + 1 n2 + 2 n2 + n
Zadanie 5.10. Obliczyć (o ile istnieją) następujące granice:
log(2-n + 3-n + 6-n)
(1) lim , - log 2
n"
n
4
1
(2) lim n4 + 2n3 - n ,
2
n"
" "
n2 + 1 - n2 + n
(3) lim " , -"
n"
n4 + n - n2

3 3
7
(4) lim 8n3 - 5n2 - 8n3 + 2n2 - 4 , -
12
n"
2
2n +3
3n2 + 4
(5) lim , e2
n"
3n2 + 1

n
(6) lim n2 + n + 1, 1
n"

5n + 2 3n-1 12
(7) lim , e- 5
n"
5n + 6
" "
n2 + 2n + 3 - n2 - n
(8) lim " , 3
n"
n2 + n + 6 - n
" "
3n - 2 - 5n + 1
1
(9) lim " " ,
2
n"
12n + 1 - 20n - 2

n + 1
(10) lim n ln , 1
n"
n
6. GRANICA FUNKCJI 9
3n+1 - 2 · 5n-2
(11) lim , -"
n"
22n + 7 3n
"· "
n2 + n + 1 - n2 - n - 1
(12) lim " , 2
"
n"
n + 1 - n
1 + 2 - 3 + 4 + 5 - 6 + 7 + 8 - 9 + · · · - 3n
3
(13) lim ,
2
n"
n2 + n + 1

n nĄ
(14) lim 1 + cos , nie istnieje
n"
n + 1 2
" " "
4 2n
(15) lim 2 · 2 · · · · · 2, 2
n"

n(n+1)
2
(16) lim 2 + (-1)n-1 + 3 · (-1) , nie istnieje
n"
2n + (-2)n
(17) lim , 0
n"
5n
n2+2

3
n2 + n + 2 1
3
(18) lim , e
n"
n2 + n + 1

(-1)n
n
(19) lim 1 + , 1
n"
n
"
"
1 + 2 + 3 + · · · + n
2
(20) lim ,
2
n"
n
" n
2 n - 3
(21) lim " , 0
n"
2 n + 7
3n + (-3)n
(22) lim , nie istnieje
n"
3n
(23) lim n2 [ln(n + 3) - ln(n + 2)]. +"
n"
6. Granica funkcji
Zadanie 6.1. Naszkicować przykładowe wykresy funkcji spełniających warunek:
(1) lim f(x) = 7, (8) lim f(x) = 0,
x-1 x-"
(2) lim f(x) = 3, (9) lim f(x) = +",
x" x0
(3) lim f(x) = -2, (10) lim f(x) = -",
x-" x-1
(4) lim f(x) = +", (11) lim f(x) = +",
x1
x0+
(5) lim f(x) = -",
(12) lim f(x) = +",
x0-
x1-
(6) lim f(x) = +",
(13) lim f(x) = -",
x2+
x-1+
(7) lim f(x) = 4,
(14) lim f(x) = -".
x"
x+"
Zadanie 6.2. Obliczyć następujące granice:

x2 - 3 1 27
1
(1) lim , 0 (5) lim - ,
"
3
x3 - 3 x3 - 27
x4 + x2 + 2 x
x 3

"
1 3
(x - 1) 2 - x
1
(6) lim - , -1
(2) lim ,
2
x-1
x + 1 x3 + 1
x1 - 1
x2
8x3 - 1 x4 - 3x + 2
(3) lim , 6 (7) lim , 1
1
x1 - 4x + 3
6x2
x - 5x + 1 x5
2
x4 + 3x2 - 4
(x + 1)ex
(8) lim . -10
(4) lim , 1
x-1
x + 1
x0
cos x
Zadanie 6.3. Obliczyć następujące granice:
6. GRANICA FUNKCJI 10
" "
"
x - 5 9 + 2x - 5
1 12
(1) lim , (5) lim " ,
2 3 5
x8 - 2
x5 - 5 x
"x "
" "
" 4
2 + x - 2 - x
1 + x - 1 + x
2
1
(2) lim ,
(6) lim ,
6
4
x0
3x x0
x
"

"
3 - 1 + 2x
x x - 8
4
(3) lim " ,
(7) lim " . 12
3
4
x4 - x
2
x16 - 2
x
"
3

x - 1
1
5
(4) lim " ,
(8) lim x( 4x2 + 1 + 2x), +"
5 3
x1 - 1 x-"
x
2
Zadanie 6.4. Sprawdzić, czy istnieją następujące granice:
1
(1) lim , nie istnieje
x1 - 1
x
1
(2) lim , +"
x1 - 1)2
(x
1
(3) lim , nie istnieje
x1 - x2
1
1
(x-1)2
(4) lim 2 , +"
x1
1
1-x2
(5) lim 2 , nie istnieje
x1

1 1
(6) lim - , 1
x2 - 2 x2 - 3x + 2
x
1
x
(7) lim e- , nie istnieje
x0
|x|
x
(8) lim 2 , nie istnieje
x0

1 9
(9) lim - , nie istnieje
x3 - 3 x3 - 27
"x
cos x - 1
(10) lim , nie istnieje
x0
sin x
"
x3 - 3x2 + 4 - x + 2
(11) lim , nie istnieje
x2
x2 - 4
x
(12) lim , 0
1
x0
x
1 + e
cos x
(13) lim . 0
x0+ ln x
Zadanie 6.5. Obliczyć następujące granice:
Ä„x
2
2 sin2 x + sin x - 1
(6) lim (x - 1) tg ,
Ä„
(1) lim , -3
x1
2
Ä„
" "
"
x
2 sin2 x - 3 sin x + 1
6 1
(7) lim x · sin x + 1 - x ,
"
2
cos x - sin x
x+"
2
"
(2) lim ,
Ä„ 2
cos x - 1
x cos 2x
1
4
" " (8) lim , -
4
"
x0
x2
2 - 1 + cos x
2
Ä„
"
(3) lim ,
tg(x - )
8
3 3
x0
sin2 x
(9) lim ,
Ä„ 3
sin 7x x - 2 cos x
1
3
7
(4) lim ,
2
sin(1 - x)
x0
2x
(10) lim " . -2
tg 5x
5 x1 - 1
x
(5) lim ,
2
x0
tg 2x
Zadanie 6.6. Obliczyć następujące granice:
1
ln(1 + x)
x
(3) lim (1 - sin x) , e
(1) lim , 1
x0
x0
1
x x+1
sin x
(4) lim (cos x) , 1
2x + 3
x0
"
(2) lim , e
x
x+"
2x + 1 (5) lim 1 - 2x, e-2
x0
7. CI
GA
OŚĆ FUNKCJI 11
1
sin(sin x)
(6) lim x sin , 1
(8) lim , 1
x+"
x x0
x
1
sin x - sin Ä…
(7) lim x sin , 0
(9) lim . cos Ä…
x+0 xÄ… x - Ä…
x
Zadanie 6.7. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f określonej wzorem:
2x-1 x
"
(1) f(x) = , (4) f(x) = ,
(x-1)2
x+2
"
3x4+1
(5) f(x) = x - x + 2,
(2) f(x) = ,
x3
sin x
x2-3x (6) f(x) = ,
(3) f(x) = , x2
x2-4
(7) f(x) = |x| + sin x.
Naszkicować przykładowe wykresy funkcji mających takie asymptoty.
7. Ciągłość funkcji
Zadanie 7.1. Zbadać ciągłość funkcji określonych poniższymi wzorami:

Ä„x
x2 + 2x + 3 dla x 0 cos dla |x| 1
2
(1) f(x) = (7) f(x) =
x2 - 2x + 3 dla x > 0 |x - 1| dla |x| > 1
Å„Å‚
x-1 x
ôÅ‚ - 1 dla x 1
dla x " R \ {-2, 1}
òÅ‚2
x2+x-2
(2) f(x) =
1
(8) f(x) = log x + 1 dla 1 < x < 10
dla x " {-2, 1}
ôÅ‚
Å„Å‚3
ół
5
2
dla x 10
ôÅ‚
x
òÅ‚x + 1 dla x 0
Å„Å‚
x cos x
1
ôÅ‚ dla x 0
(3) f(x) = dla 0 < x 1
òÅ‚ ex+1
x
ôÅ‚
ółx - 1 dla x > 1 1
dla 0 < x 2
(9) f(x) = - "1
2x
2x
Å„Å‚ ôÅ‚
ół
sin(x-2)
dla x > 2
ôÅ‚
òÅ‚x dla x 0 4-x2
Å„Å‚
-25 sin(x+2)
x
(4) f(x) = dla 0 < x < 1 dla x < -2,
ôÅ‚
x-1 ôÅ‚ x2-x-6
ôÅ‚
ôÅ‚
ółx2 2 dla x 1
ôÅ‚-5
ôÅ‚
- dla x = -2,
ôÅ‚
òÅ‚ x

1
x+3
+ 1 dla - 2 < x 0,
dla x " R \ {-3, 2} (10) f(x) =
x2+x-6
ôÅ‚ 2 2
(5) f(x) =
ôÅ‚
1
ôÅ‚ log x + 1 dla 0 < x 3
- dla x " {-3, 2} 1 ,

ôÅ‚
2 2
5 ôÅ‚
2

ôÅ‚
ół
x 2x+1 3
dla x < 0 i x = -3 arc ctg dla x >

x2-9 4x-6 2
(6) f(x) =
x
dla x 0 lub x = -3
x2+1
Zadanie 7.2. Dla jakich wartości parametrów a, b, c poniższe funkcje są ciągłe na całym zbiorze liczb
rzeczywistych:

|x| dla x 1
(1) f(x) =
x2 - a dla x 1

sin ax
dla x = 0

3x
(2) f(x) =
a dla x = 0
Å„Å‚ "
x2+5-3
ôÅ‚
dla x " R \ {-2, 2}
òÅ‚
x2-4
1 1
(3) f(x) =
ln2 a - ln a dla x = 2
2 3
ôÅ‚
ół
1
sin b dla x = -2
3
Å„Å‚
sin ax
dla x < 0
ôÅ‚
x
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ x3-1
dla 0 x < 1
x2+x-2
(4) f(x) =
ôÅ‚
dla x = 1
ôÅ‚c
ôÅ‚
ół
x2+(b-1)x-b
dla x > 1
x-1
Zadanie 7.3. Wykazać, że poniższe równania mają rozwiązania:
8. POCHODNA FUNKCJI 12
(1) x3 + 2x - 2 = 0, (4) log(x + 1) = x - 1,
(2) x5 - 2x2 + 2 = 0, (5) sin x + 1 = x,
1
(3) x2x = 1,
(6) ex = ,
x
1
(7) arc tg + arc cos (2 - x) = 0.
(x-1)(x-3)
a b
Zadanie 7.4. Wykazać, że dla a > 0 i b > 0 równanie + = 0 ma przynajmniej jeden
x - 1 x - 3
pierwiastek w przedziale (1, 3).
1
Zadanie 7.5. Wykazać, że funkcja określona wzorem f(x) = x2 + ma miejsce zerowe w prze-
(3 - x)3
dziale (3, +").
Zadanie 7.6. Uzasadnić, że funkcja o równaniu f(x) = ln x + x2 - 1 w przedziale 1, e przyjmuje
wartość Ą.
Zadanie 7.7. Wykazać, że funkcje f oraz g określone przy pomocy równości f(x) = ex oraz g(x) =
x2 - 1 mają punkt wspólny.
Zadanie 7.8. Wykazać, że funkcje f oraz g określone przy pomocy równości f(x) = ln x oraz g(x) =
-x2 mają punkt wspólny.
8. Pochodna funkcji
Zadanie 8.1. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefi-
niowanej równością
"
1
(1) f(x) = sin 2x - x, (3) f(x) = - cos(3x - 1),
x
"
3
(2) f(x) = ln x + x3, (4) f(x) = 1 + x.
w dowolnym punkcie należącym do jej dziedziny.
Zadanie 8.2. Obliczyć f (x), jeśli
"
"
3
"x
(1) f(x) = , (12) f(x) = cos (3x + 1) - x + 1,
x x "
"
(13) f(x) = + 8 - ctg (2x + 1),
(2) f(x) = x arc cos x - 1 - x2, "x
x2 + 2 cos(2x + 1)
x3+2x
(3) f(x) = ,
(14) f(x) = ,
e2x
3x+1
"
(4) f(x) = arc tg2 1 ,
x
x arc tg(2x - 1)
(15) f(x) = ,
(5) f(x) = 3sin 2x,

ln
x
Ä„
(6) f(x) = tg x + x2 + ctg ,
3x + 2
4
"
(16) f(x) = arc cos4 " ,
(7) f(x) = cos2 1-"x
,
1+ x 4 x + 1
3 ln x + 2
e2x-1
(8) f(x) = ,
(17) f(x) = arc ctg3 ,
e2x+1
4x + 1
(9) f(x) = ln2 ex,
"
(18) f(x) = xsin x,
1
(10) f(x) = ln x - ,
x3
"
(19) f(x) = (sin x)cos x,
1
1
(11) f(x) = x + 4 - ln ,
x
x
(20) f(x) = (ln x) .
Zadanie 8.3. Napisać równania stycznych do wykresu funkcji f w punkcie x0, gdy
"
(1) f(x) = 2 - x2, x0 = 0, (5) f(x) = ln(1 + 4x2), x0 = 0,
"
(2) f(x) = x3 x - 1, x0 = 2, (6) f(x) = xe2x, x0 = 0,
1 Ä„
(3) f(x) = tg 2x, x0 = , (7) f(x) = arc tg(1 - x2), x0 = 1.
2 8
1
(4) f(x) = tg2 Ä„x, x0 = ,
2 2
10. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO 13
Zadanie 8.4. Zbadać różniczkowalność funkcji f określonej równością
Å„Å‚
x+1
ôÅ‚ - 1 dla x < -1,
òÅ‚e
(1) f(x) = x2 + x dla - 1 x < 0,
ôÅ‚
ół| sin x| dla 0 x < 2Ą.
Å„Å‚"
ôÅ‚
sin2 x dla - 2Ä„ < x < 0,
òÅ‚
(2) f(x) = - x dla 0 x < 1,
x2
ôÅ‚
ół2x-1 1 dla x 1.
-
Å„Å‚
x+1
ôÅ‚1 - 1
dla x -1,
ôÅ‚
3
òÅ‚
x3 - x dla - 1 < x 0,
(3) f(x) =
ôÅ‚

ôÅ‚
Ä„
ół
cos2 x + dla 0 < x < 2Ä„.
2
Zadanie 8.5. Dobrać wartości parametrów a oraz b tak, aby funkcja f : R R określona warunkiem
Å„Å‚
ôÅ‚ dla x < -2,
òÅ‚ax + 1
f(x) = - x dla - 2 x < 3,
3
ôÅ‚
ółx2 + x + b dla x 3
była ciągła w całym zbiorze R. Czy f może być różniczkowalna w R ?
9. Reguła de l Hospitala
Zadanie 9.1. Obliczyć następujące granice:

x 1
(8) lim (tg x)tg 2x, e-1
1
Ä„
(1) lim - ,
x
2
4
x1 - 1 ln x
x
Ä„
x-1
(9) lim (x - ) tg x, -1
(2) lim ctg Ä„x , 1 Ä„
x 2
2
x1+
1

1 1 x
(10) lim (ex + 2 sin x) , e3
(3) lim - , 0
x0
x0
x sin x
ex
Ä„x 4
2
(4) lim (3 - 2x)tg , e- Ä„ (11) lim , +"
x+"
x1 x2
"
(5) lim x ctg x, 1
(12) lim x ln x, 0
x0
x0+
(6) lim x ln x, 0
(13) lim ln(x - 1) ln(x - 2). 0
x0
x2+
arc tg x
(7) lim , 1
x0
tg x
Zadanie 9.2. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f określonej równością:

1
1
(x-1)2
(1) f(x) = (x - 1)e ,
(3) f(x) = x ln + e ,
2x x
(2) f(x) = x ln , 1
x-2
x - 2 (4) f(x) = xe .
10. Zastosowania rachunku różniczkowego
Zadanie 10.1. Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji f zdefiniowanej równością
1 9
(1) f(x) = x3 + na przedziale 1, 3 ,
3 x
Ä„ Ä„
(2) f(x) = sin (2x) - x na przedziale - , ,
2 2
Ä„
(3) f(x) = x + cos2 x na przedziale -Ä„, ,
2
1
1
x2(x+1)
(4) f(x) = e na przedziale -2, - ,
2

2x-1
x2-1
(5) f(x) =
e - 1 na przedziale (1, 2 ,
x
x2-1
(6) f(x) = e - 1 na przedziale (1, 2 ,
2
(7) f(x) = xx na przedziale 1, 2 ,
10. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO 14
(8) f(x) = xln x na przedziale 1, e ,
2x
1
(9) f(x) = na przedziale 1, 2 .
x
Zadanie 10.2. Wyznaczyć wartość największą i najmniejszą funkcji f określonej wzorem
Å„Å‚
òÅ‚ -x2 + 2x , x < 3,
f(x) = -1 , x = 3,
ół
x2 - 7x + 12 , x > 3
na przedziale 1, 4 .
Zadanie 10.3. Zbadać monotoniczność funkcji f zdefiniowanej równością:
1
(3) f(x) = log(2x +2x+1) 3,
2
(1) f(x) = ln (x + 2) - ,
x
(4) f(x) = log(3x -3x+1) 2.
2
(2) f(x) = 2 ln (x + 2) - ln (2x + 3),
Zadanie 10.4. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:
4x
(8) f(x) = x2 + 2|x| - 3,
(1) f(x) = ,
x2 + 1
(9) f(x) = x ln2 x,
3
(2) f(x) = (1 - x2)2,
(10) f(x) = xe-x,
"
(3) f(x) = x 1 - x,
(11) f(x) = ln(1 + x2),
x
(4) f(x) = x - 2 sin x,
1-x2
(12) f(x) = e ,
(5) f(x) = 2x(x - 1)2, ln x
(13) f(x) = ,
x
(6) f(x) = |4x - x2|,
(14) f(x) = ln2 x - 2 ln x.
(7) f(x) = |3 - 2x - x2|,
ax+b
Zadanie 10.5. Funkcja f określona wzorem f(x) = osiąga w punkcie o odciętej x = 2
(x-1)(x-4)
ekstremum lokalne równe -1. Wyznaczyć a i b oraz rozstrzygnąć, czy jest to minimum, czy maksimum
lokalne.
Zadanie 10.6. Wyznaczyć ekstrema funkcji f określonej wzorem f(x) = log(3x -3x+1) 2.
2
Zadanie 10.7. Napisać równanie stycznej do krzywej y = 2x3 - 3x2 + 5 wiedząc, że współczynnik
kierunkowy tej stycznej jest równy 12.
x2
Zadanie 10.8. W którym punkcie prosta styczna do paraboli y = jest równoległa do prostej
2
y = 2x + 3 ?
Zadanie 10.9. Pod jakim kątem przecinają się krzywe o równaniach f(x) = x2+x-2 oraz g(x) = x2-x
?
(x+1)2
Zadanie 10.10. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f danej wzorem f(x) = , dla
x-2
x " R \ {2}.
Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej x0 = 1.
Zadanie 10.11. Na wykresie funkcji (a) f(x) = x3, (b) f(x) = sin x wyznaczyć punkty, w których
styczna jest równoległa do prostej y = x.
Zadanie 10.12. Wyznaczyć, o ile istnieją, wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej
wzorem

x
3
(x - 1)2 dla x < 3,
3
f(x) =
(x - 2)x-2 dla x 3
na przedziale 0, 4 .
10. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO 15
Zadanie 10.13. Wyznaczyć, o ile istnieją, wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej
wzorem

x
ln dla x < -2,
x+2
f(x) =
3
(x2 - 2x)2 dla x -2
na przedziale -3, 3 .
Zadanie 10.14. Wyznaczyć, o ile istnieją, wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej
wzorem

x+1
ln dla x < -1,
x

f(x) =
3
(x2 - 4x)2 dla x -1
na przedziale -2, 4 .
Zadanie 10.15. Wyznaczyć, o ile istnieją, wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej
wzorem

3
(x2 + 4x)2 dla x 1,
f(x) =
(x - 1)x-1 dla x > 1
na przedziale -4, 3 .
Zadanie 10.16. Wyznaczyć, o ile istnieją, wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej
wzorem

3
(x2 + 3x)2 dla x 0,
f(x) =
xx dla x > 0
na przedziale -4, 2 .
Zadanie 10.17. Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji:
(x + 1)2 1 - x2
(1) f(x) = , (9) f(x) = ,
x2 + 1 x + 2
x
x2
(2) f(x) = " ,
(10) f(x) = ,
x2 - 4
|x| - 1
(3) f(x) = x 8 - x2,
(11) f(x) = x ln2 x,
x2 - 2x + 2
(12) f(x) = xe-x,
(4) f(x) = ,
x - 1
(13) f(x) = ln(1 + x2),
"
x
(5) f(x) = x - x + 2,
1-x2
" (14) f(x) = e ,
3
(6) f(x) = 2x - 3 x2,
ln x
2 2
(15) f(x) = ,
3 3
(7) f(x) = (x2 - 1) - (x2 + 1) ,
x

3 3
(16) f(x) = ln2 x - 2 ln x.
(8) f(x) = (x - 1)2 - (x + 1)2,
Zadanie 10.18. Walec o promieniu x i wysokości h oraz półkula o promieniu x złączone podstawami
tworzą bryłę o objętości V . Dla jakiego x pole powierzchni tej bryły jest najmniejsze?
Zadanie 10.19. Koszt eksploatacji statku pełnomorskiego w ciągu godziny pływania wyraża się wzo-
rem k(v) = a+bv3, gdzie a i b są pewnymi stałymi dodatnimi obliczonymi dla każdego statku oddzielnie,
natomiast v jest prędkością statku wyrażoną w kilometrach na godzinę. Dla jakiej prędkości v statek
przepłynie dowolną drogę s przy najmniejszych kosztach?
Zadanie 10.20. Znalez
ć wysokość stożka obrotowego o najmniejszej objętości, opisanego na kuli o
promieniu R.
Zadanie 10.21. Jaka powinna być wysokość stożka wpisanego w kulę o promieniu R, żeby jego po-
wierzchnia boczna była największa?
Zadanie 10.22. Należy wykonać ogrodzenie prostokątnego skweru o powierzchni 100 m2, którego jeden
bok przylega do granicy posiadłości. Koszt jednego metra bieżącego ogrodzenia na granicy posiadłości
wynosi 30 zł, a koszt jednego metra bieżącego ogrodzenia z pozostałych trzech boków jest równy 120
zł za metr bieżący. Jakie powinny być wymiary skweru, by koszt ogrodzenia był najmniejszy?
11. LICZBY ZESPOLONE 16
11. Liczby zespolone
Zadanie 11.1. Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych:
2 4 - 3i 2 - i 3 + i
z1 = (3 - 2i)(-2 + 3i) + (5 - i)(-1 - 2i), z2 = , z3 = , z4 = - .
2 - 5i 1 - 2i 3 + 2i 3 - 2i
Zadanie 11.2. Dla jakich liczb x, y " R zachodzą równości:
3 10
(1) (2 + yi)(x - 3i) = 13 - i; (x = '" y = ) (" (x = 5 '" y = 1)
2 3
1 + yi
(2) = 3i - 1 ? x = 5 '" y = 17
x - 2i
Zadanie 11.3. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania:
2 + i 1 - i
7 1
(1) = ; z = - i
6 2
z - 1 + 4i 2z + i
(2) z2 - 4z + 13 = 0; z = 2 - 3i (" z = 2 + 3i
" "
-1- 3i -1+ 3i
(3) z2 + z + 1 = 0; z = (" z =
2 2
(4) 4z = z2 + 4; z = 2
(5) zz + (1 - i)z = zi; z = -1 (" z = 0
(6) (1 + i)z + |z|2 = z + 1 + i. z = -1 (" z = -1 - i
11.1. Miejsca geometryczne.
Zadanie 11.4. Wyznaczyć miejsca geometryczne liczb zespolonych z spełniających warunki:
z - z z + z
Å» Å»
(9) |z + 1 - 2i| = 3;
(1) = 5 - 3;
2i 2
(10) 2 |z + i| < 4;

(2) Re (iz + 2) 0;

z + 3

(3) Im (z2) < 0; (11) 1;

z - 2i
(4) z - i = z - 1;
Ä„ 2Ä„
4
(12) < Arg z ;
(5) = z;
Å»
6 3
z
(13) Arg(z + 2 - i) = Ä„;
(6) zz + (5 + i)z + 1 = 0;
Å» Å»
Ä„
(14) Arg[(-1 + i)z] Ä„;
1 + iz
(7) Im = 1; 2

1 - iz
i 3Ä„
1 (15) Arg = ;
(8) Re > 1; z 4
"
z + zi
(16) Arg(- 3 + i) Arg z Arg(3 - i).
Zadanie 11.5. Na płaszczyz
nie zespolonej zaznaczyć zbiór

"
A = z " C : Arg z Arg (2 - 2i 3) '" Im[(1 - z)2] 2 .
Zadanie 11.6. Na płaszczyz
nie zespolonej zaznaczyć zbiór

"
A = z " C : Arg z Arg(2 3 - 2i) '" Im[(z + 1)2] 2 .
Zadanie 11.7. Przedstawić interpretację geometryczną zbioru:

A = z " C : Re(z2) = 2 '" [Im(z + i)]2 = 1 .
Zadanie 11.8. Przedstawić interpretację geometryczną zbioru:

Ä„
B = z " C : |z - 2i| 3 '" Arg(z + 3)
3
Zadanie 11.9. Na płaszczyz
nie zespolonej C zaznaczyć zbiór

Ä„
A = z " C : Re[(z + 1)(z - 1)] 8 '" |z - 1 - i| 1 '" Arg (2zi) Ä„ .
Å»
2
Zadanie 11.10. Podać interpretację geometryczną zbioru liczb zespolonych o module równym 1, dla
których z2 + (2 + 2i)z jest liczbą czysto urojoną.
z+3
Zadanie 11.11. Naszkicować zbiór A zÅ‚ożony z tych liczb zespolonych z, dla których liczba É =
z-4i
jest czysto urojona.
11. LICZBY ZESPOLONE 17
Zadanie 11.12. Podać interpretację geometryczną zbioru
B = {z " C : |z| + Re z < 1} .
Zadanie 11.13. Na płaszczyz
nie zespolonej C zaznaczyć zbiór

|z - 1 + i| Ä„ z
A = 1 '" Arg Ä„ .
|z + 2i| 2 i
Zadanie 11.14. Na płaszczyz
nie zespolonej C zaznaczyć zbiór

|z - 2i| z Ä„
B = 1 '" 0 Arg .
|z - 2 + i| -2 2
Zadanie 11.15. Na płaszczyz
nie zespolonej C zaznaczyć zbiór

Ä„
A = z " C : Im z [Re(z + 3)]2 '" Arg z + Arg(1 - i) .
4
11.2. Potęgowanie i pierwiastkowanie.
Zadanie 11.16. Obliczyć
-16 6
" "
Ä„ Ä„
2 2
(4) 1 + cos + i sin
(1) - - i
" 2 2
2 2
4
-11
"
(5) 3 + i

1 3
"
(2) - - i
2 2 6
3-i
(6)
"
i-1
(-1-i 3)15

"
(3)
(1+i)20 3 3-i
(7)
-2+2i
Zadanie 11.17.
(a) Obliczyć w = - 2i)10.
"(2
3
(b) Wyznaczyć w.
"
Zadanie 11.18. Liczba 1 - i 3 jest jednym z pierwiastków stopnia 3 z liczby zespolonej z. Znalez
ć
pozostałe pierwiastki i wyznaczyć z. Sporządzić rysunek.
11.3. Równania i wielomiany.
Zadanie 11.19. W zbiorze liczb zespolonych C rozłożyć na czynniki liniowe wielomian
(1) w(z) = z3 - 2z2 + 2z - 1
(2) w(z) = z8 - 1
(3) w(z) = z4 - 4z3 + 4z2 + 4z - 5
(4) w(z) = z4 + 16
(5) w(z) = z3 + 2z2 + 2z + 1
Zadanie 11.20. W zbiorze C rozwiązać równania:
(1) z4 + z2 + 1 = 0 (6) z2 - 5z + 4 + 10i = 0
(2) z4 - 2z2 + 4 = 0 (7) 2z3 + 3z2 + 2z - 2 = 0
(3) z4 - z2 + 1 = 0 (8) 3z3 + 2z2 + - 1 = 0
" "2z
(4) (z2 - 1 + i 3)(z3 + 27) = 0 (9) z4 + 8 - 8i 3 = 0
"
(5) z2 - (1 + i)z + 6 + 3i = 0
(10) z3 + 1 - i 3 = 0
Zadanie 11.21. W zbiorze liczb zespolonych C wyznaczyć pierwiastki wielomianu:
(1) w(z) = (z3 - 8)(z6 - 1)
(2) w(z) = (z3 - 27)(z6 + 1)
(3) w(z) = (z4 - 16)(z3 + 1)
(4) w(z) = 2z5 + z4 + 6z + 3
(5) w(z) = 2z5 - z4 + 4z - 2
Zadanie 11.22. W zbiorze C rozwiązać równanie:
11. LICZBY ZESPOLONE 18
(1) z4 - z3 + z - 1 = 0,
(2) z4 + z3 + z + 1 = 0,
(3) z6 - z3 + 1 = 0,
(4) z6 + z3 + 1 = 0,
a następnie każdy z pierwiastków tego równania przedstawić w postaci trygonometrycznej.
"
Zadanie 11.23. Dane jest równanie: (") : 3|z| - 2z = 2 + i 3.
a) Znalez
ć liczbę (z1)98, gdzie z1 jest pierwiastkiem równania (") takim, że Rez1 < 1.
"
b) KorzystajÄ…c z definicji pierwiastka, znalez
ć z2, gdzie z2 jest tym pierwiastkiem ("), że Rez2 > 1.
"
15
Zadanie 11.24. Znalez
ć liczbę z0 , gdy z0 jest pierwiastkiem równania: |z| - 2z = 1 + i 3.
11
"
a 3
Zadanie 11.25. Znalez
ć liczbę , gdzie a = -1 + i , zaś z0 jest tym z pierwiastków równania
z0 2 2
z3 + 27 = 0, którego argument główny jest najmniejszy.
Zadanie 11.26. Rozwiązać równanie:
1
(1) 2x3 - 3x2 - 3x + 2 = 0, x " {-1, , 2}
2
1 1
(2) 27x3 - 9x2 - 3x + 1 = 0, x " {- , }
3 3
4
(3) 5x3 - 19x2 - 38x + 40 = 0, x " {-2, , 5}
5
1
(4) 3x4 - 10x3 + 10x - 3 = 0, x " {-1, , 1, 3}
3
1 1
(5) 6x4 + 7x3 - 12x2 - 3x + 2 = 0, x " {-2, - , , 1}
2 3
(6) x4 - 3x3 - 8x2 + 12x + 16 = 0, x " {-2, -1, 2, 4}
(7) x5 - 2x4 - 13x3 + 26x2 + 36x - 72 = 0, x {-3, -2, 2, 3}
"
1 2 3
(8) 12x5 - 8x4 - 45x3 + 45x2 + 8x - 12 = 0, x " -2, - , , 1,
2 3 2
(9) x5 - x4 - 3x3 + 5x2 - 2x = 0, x " {-2, 0, 1}
" "
(10) x6 - 2x4 + 4x2 - 8 = 0, x " 2, - 2, 1 + i, 1 - i, -1 + i, -1 - i
(11) x4 - x3 - 2x2 + 6x - 4 = 0, x " {1, -2, 1 + i, 1 - i}

1
(12) 2x3 - 5x2 + 12x - 5 = 0, x " , 1 - 2i, 1 + 2i
2
Zadanie 11.27. Wiedząc, że z1 jest pierwiastkiem wielomianu w(z), obliczyć pozostałe pierwiastki
tego wielomianu:
(1) w(z) = z4 + 2z3 + 9z2 + 8z + 20, z1 = -1 - 2i,
(2) w(z) = z4 - z3 + z2 + 9z - 10, z1 = 1 + 2i,
(3) w(z) = z4 + z3 + 2z2 + z + 1, z1 = i,
(4) w(z) = z4 - 5z3 + 10z2 - 10z + 4, z1 = 1 + i,
(5) w(z) = z4 - 6z3 + 15z2 - 18z + 10, z1 = 2 i,
"+
(6) w(z) = z4 - 2z3 + 8z2 - 6z + 15, z1 = - 3i.
Zadanie 11.28. Obliczyć pierwiastki wielomianu w(z):
(1) w(z) = z3 + 7z2 + 7z + 6,
(2) w(z) = z3 + 9z2 + 9z - 10,
(3) w(z) = z6 + z4 + 2z2 - 4,
(4) w(z) = z4 - 6z3 + 15z2 - 18z + 10,
(5) w(z) = z3 - z + 6,
(6) w(z) = z5 - z4 + z3 - z2 + z - 1.
Powyższe wielomiany rozłożyć na:
(a) nierozkładalne czynniki rzeczywiste,
(b) czynniki liniowe.