Podstawy rachunku całkowego
Przykro mi, że nie znam szeregu Fouriera. Lð Brak roz-
wiązań: 73,74,75
58.
Całka oznaczona w geometrycznej interpretacji to pole obszaru płaskiego
y = f (x) e" 0
zawartego miedzy między linią i osią OX
b
+"f (x)dx = F(b) - F(a)
a
F'(x) = f (x)
Gdzie
Całkę oznaczoną stosuje się np. w obliczaniu geometrycznych właściwości
krzywych.
59.
Z definicji całki mamy:
b
b
= F(b) - F(a)
+"f (x)dx = F(x) |a
a
Warunki:
b
f (x) e" 0 => (x)dx e" 0
-
+"f
a
b
f (x) < 0 => (x)dx < 0
-
+"f
a
b b
f (x) d" g(x) => (x)dx d"
-
+"f +"g(x)dx
a a
c b c
-
+"f (x)dx = +"f (x)dx + +"f (x)dx
a a b
a b
-
+"f (x)dx = -+"f (x)dx
b a
Całka sumy równa się sumie całek:
b b b
(
+"f (x) + g(x))dx = +"f (x)dx + +"g(x)dx
a a a
Powyższy wzór jest to tzw. addytywność całki względem funkcji pod-
całkowej. Całka oznaczona posiada własność liniowości. wzór ten należy
rozumieć w ten sposób, że z istnienia całek po prawej stronie wynika
istnienie całki po lewej stronie oraz podana równość.
Prawdziwy jest również wzór:
b
+"f (x)dx = K (b - a)
a
m
Gdzie K jest liczbą spełniającą nierówność m d" K d" M , przy czym
f (x)
< a,b >
oznacza kres dolny, a M kres górny funkcji w przedziale
Na podstawie własności Darboux, która mówi, że funkcja ciągła przybiera
wszystkie wartości pośrednie pomiędzy swoimi kresami górnym i dolnym,
wzór powyższy można zapisać w postaci:
b
+"f (x)dx = f (c)(b - a)
a
c
Gdzie jest liczbą spełniającą nierówność a d" c d" b , jeżeli funkcja pod-
f (x) < a,b >
całkowa , jest ciągła w przedziale .
Całka jako funkcja górnej granicy.
f (t)
< a,b >
Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale , to funkcja:
b
h(x) = (t)dt
+"f
a
x < a,b >
Jest ciągła i różniczkowalna względem zmiennej w przedziale i
h'(x) = f (x)
w każdym punkcie tego przedziału zachodzi związek
60.
f (x) w przedziale (a,b) skończonym lub
F jest funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji
F(x) F'(x) = f (x)
nie nazywamy każdą funkcję różniczkowalną , taką że
x " (a,b) F(x) f (x), to
dla każdego . Jeżeli jest funkcją pierwotną funkcji
f (x) jest równa F(x) + C
każda inna funkcja pierwotna funkcji gdzie
C " R jest pewną stałą. Nie każda funkcja ma funkcję pierwotną. Te, które
mają nazywamy funkcjami całkowalnymi
61.
f (x) to rodzina wszystkich funkcji pierwot-
Całka nieoznaczona funkcji
nych.
+"f (x)dx
+"f (x)dx = F(x) + C , gdy F'(x) = f (x)
gdzie:
- symbol całkowania
+"
f - funkcja podcałkowa
C - stała całkowania
x - zmienna całkowania
f(x)dx - wyrażenie podcałkowe
62.
(tu mam dylemat, bo w moich z
ródłach podawano zerowe, pierwsze i dru-
gie, co prawda drugie było oznaczone jako twierdzenie Newtona-Leibniza),
no, więc podam obydwa. I tak:
Zerowe twierdzenie podstawowe rachunku całkowego:
f
< a,b > Ä…
Jeżeli jest funkcją całkowalna w przedziale , zaś dowolnie
ustaloną liczbą w tym przedziale, to funkcja górnej granicy całkowania F
dana wzorem:
x
F(x) = (t)dt
+"f
Ä…
jest ciągła w przedziale
Pierwsze twierdzenie główne rachunku całkowego:
F :< a,b > R
Jeżeli funkcja jest ciągła, to funkcja dana
f :< a,b > R
x
F(x) = (t)dt
wzorem:
+"f (funkcja górnej granicy całkowania) ma pochodną
Ä…
F'(x) = f (x)
x "< a,b >
w każdym punkcie
63.
f < a,b >
Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale , F zaś jest jakąkolwiek
jej funkcjÄ… pierwotnÄ… w tym przedziale, to:
b
+"f (x)dx = F(b) - F(a)
a
64.
Metoda całkowania przez części ma jedną generalną zasadę, którą można
opisać następującym wzorem przy całce typu:
+"f (x)g(x)dx
Jeśli potrafimy znalez
ć takie h(x), że h'(x) = f(x), to możemy przekształcić
tę całkę do postaci:
h'(x)g(x)dx = h(x)g(x) - h(x)g'(x)dx
+"f (x)g(x)dx = +" +"
1
+"x cos xdx = x sin x - +"sin xdx = x sin x + cos x + C
65.
1
ln xdx = x ln x - xdx = x ln x - x + C
+" +"x
66.
2
1 ln(1 + x )
arctgxdx = xarctgx -
+" +"x1 + x dx = xarctgx - 2
2
67.
Jeżeli dla ad" xd" b funkcja g(x) = u jest ciągła i ma ciągłą pochodną oraz Ad" g(x)
d" B, zaś funkcja f (u) jest ciągła w przedziale [A, B], to całkowanie przez pod-
stawienie opiera siÄ™ na wzorze:
+"f (g(x))g'(x)dx = +"f (u)du
u = g(x)
Przy czym po scałkowaniu należy zamienić
4
sin x
sin3 x cos xdx =
+"
4
68.
2
ln x (ln x)
dx =
+"
x 2
69.
x
e
x
+"e + 1dx = arctg (e )
2 x
70.
Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste:
2x + 7
Załóżmy, że mamy funkcję: , oczywiście w takim przypadku
2
x + 8x +15
warto, aby funkcja w mianowniku posiadaÅ‚a dwa pierwiastki Jð ta posiada
Jð
Tak więc mamy:
2x + 7 A B A(x + 5) + B(x + 3) (A + B)x + 5A + 3B
= + = =
no i
(x + 3)(x + 5) x + 3 x + 5 (x + 3)(x + 5) (x + 3)(x + 5)
właśnie te A i B to są współczynniki nieoznaczone ;)
Wystarczy je oznaczyć:
A + B = 2
5A + 3B = 7
Wyznaczamy metodÄ… Gaussa Jð:
- 5A - 5B = -10
5A + 3B = 7
- 2B = -3
1
B = 1
2
A +11 = 2
2
1
A =
2
I stÄ…d:
1 1
1
2x + 7
2 2
= +
2
x + 8x +15 x + 3 x + 5
Dlaczego ważne to jest przy całkach? Bo Z wyrażenia dość zawiłego robią
nam siÄ™ dwa uÅ‚amki proste Jð które można Å›miaÅ‚o caÅ‚kować. TÄ… metodÄ…
należy rozwiązać dwa kolejne zadania.
71.
2x +1
2
+"x + x - 6 dx = ln(x + x - 6)
2
72.
4x + 18 6(x + 3)
2
+"x + 6x +15 dx = 6arctg ( 6 ) + 2ln(x + 6x + 15)
2
73.
Chodzi tu o narysowanie byle jakiego wykresu i policzenie powierzchni pod
wykresem za pomocą kwadratów. Wykonać należy dwa razy z większą do-
kładnością przy drugim liczeniu.