CAAKI OZNACZONE
Definicja
Podziałem odcinka [a,b] na n części, gdzie n N , nazywamy zbiór
P ={x0, x1,..., xn}
przy czym a = x0 < x1 < ... < xn = b .
Definicja
Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale [a,b] oraz niech P będzie podziałem tego
przedziału. Sumą całkową funkcji f odpowiadającą podziałowi P oraz punktom pośrednim
*
xk , gdzie 1Ł k Ł n , tego podziału nazywamy liczbę
n
def
*
Rf ,P = f (xk)Dxk
k=1
gdzie Dxk = xk - xk-1 oznacza długość k tego odcinka podziału P.
Definicja
Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale [a,b]. Całkę oznaczoną Riemanna
z funkcji f na przedziale [a,b] definiujemy wzorem:
b
n
def
*
f (x)dx = lim0 f (xk)Dxk
d (P)
k=1
a
o ile po prawej stronie znaku równości granica jest właściwa oraz nie zależy od sposobu
*
podziałów P przedziału [a,b] ani od sposobów wyboru punktów pośrednich xk , gdzie
1Ł k Ł n .
a b a
def def
Przyjmujemy f (x)dx = 0 oraz f (x)dx = - f (x)dx dla a
a a b
Twierdzenie (warunek wystarczający całkowalności funkcji)
Funkcja ograniczona na przedziale domkniętym oraz ciągła w nim z wyjątkiem co najwyżej
skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, jest całkowalna.
WAASNOŚCI CAAKI OZNACZONEJ
1. Addytywność całek oznaczonych względem przedziału całkowania: jeżeli a Ł b Ł c , to
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx
a a c
2. Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki oznaczonej:
b b
f (x)dx
k f (x)dx = k
a a
3. Addytywność całki względem sumy podcałkowej:
b b b
f (x)dx + g(x)dx
(f (x)+ g(x))dx =
a a a
1
Twierdzenie Newtona-Leibnitza
Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f, ciągłej na przedziale [a,b], to zachodzi wzór:
b
f (x)dx = F(b)- F(a)
a
Twierdzenie (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłe pochodne na przedziale [a,b], to
b b
b
a
u(x)vó(x)dx = [u(x)v(x)] - uó(x)v(x)dx
a a
Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli g'(x) jest funkcją ciągłą a g(x) funkcją rosnącą w przedziale [a,b], oraz f(u) jest
funkcją ciągłą w przedziale [g(a), g(b)], to zachodzi następujący wzór :
b g(b)
ó
f (g(x))g (x)dx = f (u)du
a g(a)
CAAKI FUNKCJI NIEOGRANICZONYCH
Jeżeli funkcja f jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale [a,c - h], h > 0 oraz
w każdym przedziale [c + k,b], k > 0 i jeżeli istnieją granice:
c-h b
lim f (x)dx oraz lim f (x)dx
h0 k0
a c+k
to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale [a,b] i oznaczamy
symbolem
b
f (x)dx
a
Jeżeli któraś z powyższych granic nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest
rozbieżna.
CAAKI OZNACZONE W PRZEDZIALE NIESKOCCZONYM
Jeżeli funkcja f jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale skończonym [a,v],
(a ustalone, v dowolne) oraz istnieje granica
v
lim f (x)dx
v+Ą
a
to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale [a,+Ą] i oznaczamy
symbolem
+Ą
f (x)dx
a
Analogicznie
b b
f (x)dx lim f (x)dx
u-Ą
-Ą u
2
DAUGOŚĆ AUKU KRZYWEJ
Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci y=f(x), przy czym funkcja f ma
w przedziale [a,b] ciągłą pochodną, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem:
2
b
dy
ć
L = 1+ dx
dx
Ł ł
a
POLE OBSZARU OGRANICZONEGO KRZYWYMI
Jeżeli krzywe wyznaczone są równaniami y=f(x), y=g(x) przy czym funkcje f, g mają
w przedziale [a,b] ciągłe pochodne oraz g(x)Ł f (x), to pole trapezu krzywoliniowego
ograniczonego wykresami tych funkcji oraz prostymi x=a, x=b wyraża się wzorem:
b
P = f (x)- g(x))dx
(
a
OBJTOŚĆ BRYAY OBROTOWEJ
Niech dany będzie łuk AB krzywej o równaniu y=f(x) gdzie f jest funkcją ciągłą i nieujemną
w przedziale [a,b]. Wówczas objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią powstałą
w wyniku obrotu łuku AB dookoła osi Ox wyraża się wzorem:
b
V = p y2dx
a
POLE POWIERZCHNI BRYAY OBROTOWEJ
Niech dany będzie łuk AB krzywej o równaniu y=f(x) gdzie f jest funkcją ciągłą i nieujemną
w przedziale [a,b]. Wówczas pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót łuku AB
wokół osi Ox obliczamy według wzoru:
2
b
dy
ć
S = 2p y 1+ dx
dx
Ł ł
a
Literatura
1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
2. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania.
3. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część I.
3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Calki oznaczone i niewlasciwe grupa 3
CAŁKI OZNACZONE I NIEWŁAŚCIWE
Calki oznacz teori zad
Calka oznaczona teoria
080 Całki oznaczone
5 3 Całki oznaczone w sensie Newtona Leibniza
calki oznaczone zadania
RACHUNEK CAŁKOWY 5 3 Dalsze własności całki oznaczonej funkcji ciągłej
więcej podobnych podstron