Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Całki oznaczone. 1
Chemia - Zestaw 8. Całki oznaczone.
Równanie krzywej y = f(x), a x b x = x(t), y = y(t), t " ą, �
b �
Pole figury płaskiej ograni- S = f(x) dx S = |y(t)x (t)| dt
czonej krzywą i odpowied-
a ą
nimi odcinkami
b �

Długość łuku krzywej l = 1 + [f (x)]2 dx l = [x (t)]2 + [y (t)]2dt
a ą
b �
Objętość bryły obrotowej, V = Ą f2(x) dx V = Ą y2(t)|x (t)|dt
powstałej przez obrót krzy-
a ą
wej dookoła osi Ox
b �

Pole powierzchni bocznej P = 2Ą |f(x)| 1 + [f (x)]2 dx P = 2Ą |y(t)| [x (t)]2 + [y (t)]2 dt
bryły obrotowej, powstałej
a ą
przez obrót krzywej dookoła
osi Ox
Uwaga. Jeżeli w przedziale a; b (gdzie oczywiście a < b) określone są funkcje �, � takie, że �(x) d" �(x)
dla każdego x " a; b , to pole obszaru ograniczonego od dołu krzywą y = �(x), od góry krzywą y = �(x)
(a d" x d" b) oraz odcinkami prostych x = a (z lewej strony) i x = b (z prawej) (przy czym jeden z tych
odcinków lub oba mogą redukować się do punktu, gdy zachodzi jedna z równości �(a) = �(a) względnie
b
�(b) = �(b))  wyraża się wzorem S = (�(x)-�(x))dx. Wzór ten jest prawdziwy zupełnie niezależnie
a
od tego jakie znaki przyjmują funkcje � i �, tzn. jak wspomniane krzywe są położone w stosunku do
osi Ox  i pozwala nie rozbijać niepotrzebnie obszaru którego pole liczymy na obszary położone pod i
nad osią Ox. (Inaczej mówiąc, istotny jest tylko znak różnicy �(x) - �(x) w rozważanym przedziale.)
1. Policzyć całki:
1/2
2Ą e
1 ln2 x
a) x |cos x| dx; b) " dx; c) dx.
x
1 - x2
0 0 1
2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego:

x(t) = r(t - sin t)
a) krzywą y2 = x2 - x4; b) cykloidą , t " 0, 2Ą .
y(t) = r(1 - cos t)
3. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:
1
a) y = 4 - x2 i y = x2 - 2x; b) y = x2 - 2x + 2 i y = x + 2.
5
4. Obliczyć pole figury, ograniczonej krzywą y = -x2 + 4x - 3 i stycznymi do niej w punktach A(0, -3)
i B(3, 0).
Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Całki oznaczone. 2
5. Obliczyć długość łuku krzywej:
ńł
�łx(t) = et sin t
"
a) y = 2ex/2, 0 x ln 2; b) y = x x, 0 x 4; c) , 0 t Ą/2;
óły(t) = et cos t
" "
1
d) y = ln x, 3 d" x d" 8; e) cykloidy z zad. 2b.; f) y = tg x, 0 d" x d" Ą.
4
6. Obliczyć objętość bryły, powstałej przez obrót wokół osi Ox krzywej:
1
a) y = tg x, 0 d" x d" Ą; b) y = ln x, 1 x e;
4
c) y = arc sin x, 0 x 1; d) cykloidy z zad. 2b.
7. Policzyć pole powierzchni, powstałej przez obrót wokół osi Ox krzywej:
"
1
a) y x + 2, 0 x 4; b) y = tg x, 0 d" x d" Ą;
4
ńł=
�łx(t) = 2 cos t - cos 2t
c) , 0 t Ą; d) cykloidy z zad. 2b.
óły(t) = 2 sin t - sin 2t