CAA
KA OZNACZONA
+"
b
Całka oznaczona na przedziale [a, b] : f(x)dx = F (b)-F (a)
a
b [ ]b

Oznaczenie: F (x) lub F (x)
a a
Własności:
+"
a
f(x)dx = 0
a
+" +"
b a
f(x)dx = - f(x)dx
a b
+" +" +"
b c b
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx, gdy c " [a, b]
a a c
CAA
KA OZNACZONA - ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE
1. Pole obszaru płaskiego.
Jeżeli dla każdego x " [a, b] f(x) 0,
to pole obszaru ograniczonego przez krzywą y = f(x) oraz proste y = 0, x = a, x = b wyraża się wzorem:
+"
b
P = f(x)dx
a
Jeżeli dla każdego x " [a, b] f(x) 0,
to pole obszaru ograniczonego przez krzywą y = f(x) oraz proste y = 0, x = a, x = b wyraża się wzorem:
+"
b
P = - f(x)dx
a
Jeżeli dla każdego x " [a, b] f(x) g(x),
to pole obszaru ograniczonego przez krzywe y = f(x), y = g(x) oraz proste x = a, x = b wyraża się wzorem:
+"
b
[ ]
P = f(x) - g(x) dx
a
2.Objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu wokół osi OX wykresu funkcji y = f(x) na przedziale [a, b].
+"
b
V = Ą f2(x)dx
a
3.Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej powstałej z obrotu wokół osi OX wykresu funkcji y = f(x) na przedziale [a, b].
+"
b
"
Pb = 2Ą |f(x)| 1 + [f2 (x)]2dx
a
4. Długość łuku krzywej y = f(x) na przedziale [a, b].
+"
b
"
L = 1 + [f2 (x)]2dx
a
mgr Dorota Grott CNMiKnO PG
CAA
KA OZNACZONA - zadania
Zad 1 Obliczyć całki oznaczone:
e+1
+" +" +"
4 1
2
1
1.1. (2x-1)dx = 1.2. (ex+e-x)dx = 1.3. dx =
2x - 1
2 -1 1
+" +" +" Ą
1 2
2
2
1.4. x2e2xdx = 1.5. xe-x dx = 1.6. esin x sin 2xdx =
0 1 0
+" +" +"
Ą 4 4
cos x dx 1
1.7. " dx = 1.8. " = 1.9. " dx =
Ą x(1 + x) x(x + 1)
1 + sin x
1 1
2
Zad 2 Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:
Ł' �'
3
2.1. y = ln x, y = 0, x = e, x = e2 2.2. y = sin x, y = 0, x " 0, Ą
2
2.3. y = x2-2x, y = 0, x " Ł'-1, 1�' 2.4. y = x2+1, y = -x+3
2.5. y = ex, y = e-x, x = 1 2.6. y = ex, y = e-x, y = e2
Ł' �'
2.7. y = sin x, y = sin 2x, x " 0, Ą 2.8. y = x2, y2 = x
"
"
2.9. y = 2 x, y = x 2.10. y = 6 x - 1, y = 6(x-1)2
2.11. y = e-x(x2+2x), y = 0 2.12. y = ln x, y = ln2 x
2.13 y = ln(x+1), x = 2 oraz styczna do wykresu funkcji y = ln(x+1) w P (0, 0)
Zad 3 Obliczyć dlugość łuku krzywej:
Ł' �'
"
"
1
3.1. y = x - x2+arcsin x 3.2. y = ln(1-x2) dla x " 0,
2
Ł' �' Ł' �'
Ą Ą 2Ą
3.3. y = ln(sin x) dla x " 0, 3.4. y = 2-ln(sin x) dla x " ,
4 3 3
Ł' �'
ex + 1 2" 3
3.5. y = ln dla x " Ł'1, 2�' 3.6. y = (x2 + 1)3 dla x " 0,
ex - 1 3 4
Zad 4 Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu:
Ł' �'
2 Ą Ą
4.1. krzywej y = tg x wokół osi OX dla x " ,
4 3
"
x
2
4.2. krzywej y = xe wokół osi OX dla x " Ł'0, 4�'
"
4.3. krzywej y = 2 x wokół osi OY dla x " Ł'0, 1�'
4.4. obszaru ograniczonego krzywymi y = x2 + 1, y = 2x + 1 wokół osi OX
Zad 5 Obliczyć pole powierzchni bocznej bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi OX:
" "
5.1. y = 4 - x2 dla x " Ł'-1, 1�' 5.2. y = 2x dla x " Ł'0, 4�'
mgr Dorota Grott CNMiKnO PG