CAA
KI OZNACZONE
1. Pojęcie całki oznaczonej Reimanna
Dana jest funkcja f(x) określona i ograniczona w przedziale domkniętym
)#a, b*#. Przedział )#a, b*# dzielimy na n podprzedziałów dowolnie wybranymi
punktami x1, x2, x3, ..., xn-1, przy czym
a = x0Otrzymujemy w ten sposób podprzedziały: )#a, x1*#, )#x1, x2*#, )#X2, X3*#, ...,
)#xn-1, b*#.
Długość podprzedziału )#xi-1, xi*# (i=1, 2, ..., n) oznaczamy przez "xi, czyli
(1.1) "xi=xi-xi-1.
Punkty x1, x2, x3, ..., xn-1 określają pewien podział przedziału )#a, b*# na n
podprzedziałów. Podział ten oznaczymy krótko przez "n. Największą z
liczb "xi (i = l, 2, 3, ..., n) oznaczamy przez �n, tj.
(1.2) �n = max "xi, 1 d" i d" n
i nazywamy średnicą podziału "n przedziału )#a, b*# na n podprzedziałów.
Ka\
dej liczbie naturalnej n odpowiada pewien podział "n przedziału )#a, b*#
na podprzedziały oraz pewna średnica podziału �n. Niech n rośnie nie-
ograniczenie. Ciąg podziałów { "n } przedziału )#a, b*# nazywamy ciągiem
normalnym podziałów przedziału )#a, b*#, je\
eli lim �n = 0.
n"
PRZYKA
AD 1.1 Ciąg podziałów { "n } przedziału )#a, b*# na n podprze-
działów (n = 2, 3, 4, ...) o jednakowych długościach jest normalny, po-
niewa\

93
b - a
�n =
n
oraz
b - a
lim �n = lim = 0.
n" n" n
Ciąg podziałów { "n } przedziału )#0, 2*#, który jest określony przez ciąg
punktówńł 2 �ł (Rys. .1) nie jest normalny, poniewa\

�ł żł
ół3n �ł
2 4
�n = 2 - =
3 3
oraz
lim �n = 4
n" 3
2
0 3
2
2
9
0
2
2
27
0
2
Rys. .1
W ka\
dym przedziale )#xi-1, xi*# wybierany dowolny punkt �i i tworzymy
sumę
n
(1.3) �n(f) = f(�i) "xi.
"
i=1
Sumę �n(f) nazywamy sumą całkową Riemanna. Niekiedy, je\
eli nie bę-
dzie to prowadziło do nieścisłości, sumę �n(f) oznaczać będziemy krótko
przez �n. Geometrycznie, w przypadku gdy funkcja przyjmuje war-
tości nieujemne (Rys. .2), ka\
dy składnik całkowej
94
sumy Riemanna jest równy polu prostokąta, którego podstawa ma dłu-
gość "xi, a wysokość f(�i). Suma całkowa jest równa sumie pól tych pro-
stokątów, tj. polu figury  schodkowej".
Wybieramy dowolny normalny dag podziałów { "n } przedziału )#a, b*# i
tworzymy dla ka\
dego podziału "n, odpowiednią sumę całkową Rieman-
na �n. Otrzymamy w ten sposób ciąg sum całkowych { �n }. Dla ka\
dego
ciągu podziałów { "n } przedziału )#a, b*# otrzymać mo\
na ró\
ne ciągi sum
całkowych { �n } w zale\
ności od wyboru punktów �i (i = l, 2, ..., n).
Obecnie mo\
emy ju\
podać określenie całki oznaczonej Riemanna.
Je\
eli dla ka\
dego ciągu normalnego { "n } podziałów przedziału )#a, b*#,
ka\
dy ciąg sum całkowych { �n } dą\
y do tej samej granicy skończonej,
która nie zale\
y od wyboru punktów �i (i = l, 2, 3, ..., n), to granicę tę na-
zywamy całką oznaczoną Riemanna funkcji f(x) w przedpole )#a ,b*# . Cał-
kę tę oznaczamy symbolem
b
f (x) dx.
+"
a
95
Całka oznaczona funkcji f(x) w przedziale )#a, b*#, je\
eli istnieje, to jest
liczbą. Powy\
szą definicję mo\
na zapisać w następujący sposób:
b
n
(1.4) f (x)dx = lim0 f (�i) "xi.
"
+"
�
n
i=1
a
Je\
eli całka oznaczona (1.4) funkcji f(x) istnieje, to mówimy, \
e funkcja ta
jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale )#a, b*#. Liczby a i b na-
zywamy granicami całkowania, przy czym a jest dolną, a b  górną
granicą całkowania. Funkcję f(x) nazywamy funkcją podcałkową, a wy-
ra\
enie f(x)dx  wyra\
eniem podcałkowym.
Mówiąc dalej całka oznaczona, będziemy mieli na myśli całkę oznaczoną
Riemanna. Całkę oznaczoną określiliśmy przyjmując a < b. Pojęcie całki
oznaczonej rozszerzymy na przypadek, gdy a = b. Je\
eli a = b, to
a
( 1.5) f (x) dx =0,
+"
a
a w przypadku gdy a > b,
b a
f (x) dx. = - f (x) dx.
+" +"
a b
PRZYKA
AD 1.2. Mamy
1
Ą
0 2 1 0
2
3 x
x3 dx, cos x dx =- x dx.
+"x dx =-+" +"e dx =0, +" +"cos
1
2 0 1 0
Ą
2
Zauwa\
my, \
e definicja całki oznaczonej Riemanna (1.4) mo\
e być sto-
sowana jedynie do funkcji ograniczonej. Istotnie, gdyby funkcja f(x) była
w przedziale )#a, b*# nieograniczona, to przy dowolnym podziale tego
przedziału istniałby przynajmniej jeden taki podprzedział, w którym funk-
cja byłaby nieograniczona. Mo\
na by wówczas w tym podprzedziale wy-
brać taki punkt �, \
e f(x), a więc i suma całkowa �n byłaby dowolnie du-
96
\
a. Oznacza to, \
e nie istnieje granica ciągu sum { �n }. Funkcja całko-
walna jest więc zawsze ograniczona.
Nie ka\
da jednak funkcja ograniczona jest całkowalna w sensie Rieman-
na.
Zachodzi następujące twierdzenie o całkowalności funkcji w sensie Rie-
manna.
TWIERDZENIE 1.1.
Funkcja f(x) jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale )#a, b*#,
je\
eli spełnia jeden z trzech następujących warunków:
l. funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym )#a, b*#,
2. funkcja f(x) jest ograniczona w przedziale )#a, b*# i ma w nim tylko skoń-
czoną liczbę punktów nieciągłości,
3. funkcja f(x) jest monotoniczna i ograniczona w przedziale )#a, b*#.
2. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej:
Gdybyśmy raz jeszcze prześledzili rozumowanie prowadzące do definicji
całki oznaczonej znalez
libyśmy interesującą interpretację geometryczną
tego pojęcia.
Niech f(x) będzie funkcją ciągłą i przyjmującą w przedziale )#a, b*# jedynie
"
nieujemne wartości, tj. f(x) e" 0. Poniewa\
spełniony jest warunek l)
x")#a,b*#
twierdzenia 1.1, przeto istnieje granica ciągu sum całkowych { �n }. Z ry-
sunku 2 widoczne jest, \
e wielkości "x1, "x2, ..., "xn, są długościami
podstaw prostokątów odpowiednio o wysokościach f(�1), f(�2), ..., f(�n).
Iloczyny
f(�1)"x1, f(�2)"x2, ..., f(�n)"xn
97
określają pola tych prostokątów. Granica
n
lim �n(f) = f(�i) "xi
"
n"
i=1
jest miarą pola obszaru ograniczonego wykresem funkcji f(x) w przedzia-
le )#a, b*#, prostymi x = a, x = b oraz osią OX.
Je\
eli zatem funkcja f(x) jest ciągła i dla ka\
dego x")#a, b*# przyjmuje war-
b
tości nieujemne, to całka oznaczona f (x) dx równa jest polu obszaru
+"
a
ograniczonego wykresem funkcji f(x), prostymi x = a, x = b oraz osią OX
(Rys. .3).
Rys. .4
Rys. .3
Je\
eli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale )#a, b*# i dla ka\
dego x")#a, b*#
jest f(x) d" 0, to pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji y = f(x),
prostymi x = a, x = b oraz osią OX równe jest Rys. .4):
b b
f (x)dx albo - f (x)dx.
+" +"
a a
98
3. Podstawowe własności całki oznaczonej Riemanna:
Podamy obecnie podstawowe własności całki Riemanna:
l. Je\
eli funkcja podcałkowa jest stałą i równa jedności, to
b
(3.1)
+"1�"dx =b-a.
a
2. Je\
eli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale )#a, b*#, to jest ona rów-
nie\
całkowalna w dowolnym przedziale )#a*, b**# zawartym w przedziale
)#a, b*#
6
3
PRZYKA
AD 3.1. Poniewa\
istnieje całka dx , zatem tak\
e istnieje ca-
+"x
2
4
3
ka dx .
+"x
2
3. Je\
eli a < c < b i funkcja jest całkowalna w przemiałach )#a, c*# i )#c, b*#,
to funkcja f(x) jest równie\
całkowalna w przedziale )#a, b*#, przy czym
b c b
(3.2) f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.
+" +" +"
a a c
99
Interpretację geometryczną powy\
szej własności przedstawiono na ry-
sunku 5.6.
Rys. .6
PRZYKA
AD 3.2. Mamy
1 3
Ą Ą
2Ą 2Ą
2 2
cos x dx + cox x dx + x dx .
+"cos x dx = +" +" +"cos
1 3
0 0
Ą Ą
2 2
4. Je\
eli funkcje f(x) i g(x) są całkowalne w przedziale )#a, b*#, to ich suma
f(x) + g(x) jest tak\
e całkowalna w przedziale )#a, b*# oraz
b b b
(3.3) f (x)+ g(x)]dx = f (x)dx +
+"[ +" +"g(x)dx.
a a a
5. Je\
eli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale )#a, b*# i k jest pewną
stalą, to równie\
całkowalna jest funkcja kf(x), przy czym
b b
(3.6) (x) dx = k f (x)dx.
+"kf +"
a a
Z własności 4 i 5 wynika, \
e je\
eli funkcje f(x) i g(x) są całkowalne w
przedziale )#a, b*#, to funkcja k1f(x) + k2g(x), gdzie k1 i k2, są dowolnymi
stałymi, jest tak\
e całkowalna w tym przedziale, przy czym
b b b b
(3.9) f (x)dx + k2 dx.
1 2
+"k f (x)dx ++"k g(x)dx = k1 +" +"g(x)
a a a a
100
W szczególności
b b b
(3.10) f (x)dx - g(x)dx.
+"[ f (x)- g(x)]dx =+" +"
a a a
6. Je\
eli funkcje f(x) i g(x) są całkowalne w przedziale )#a, b*#, to równie\

ich iloczyn jest całkowalny w tym przedziale.
7. Je\
eli funkcja f(x) jest ciągła i przyjmuje wartości nieujemne w prze-
dziale )#a, b*#, to
b
(3.11) f (x) dx e" 0.
+"
a
8. Je\
eli funkcje f(x) i g(x) są ciągłe w przedziale )#a, b*# i zachodzi nie-
równość
", f (x)e" g(x) ,
x" a b
to
b b
(3.12) f (x) dx e" g(x)dx.
+" +"
a a
Rozpatrzmy funkcję
h(x) = f(x) - g(x) e" 0.
Funkcja ta jako ró\
nica dwóch funkcji ciągłych jest tak\
e ciągła dla
wszystkich x " )#a, b*#, zatem zgodnie z twierdzeniem 1.1 jest ona w tym
przedziale całkowalna. Z własności 7 wynika, \
e
b
+"[ f (x)- g(x)]dx e" 0,
a
a wykorzystując wzór (3.10) otrzymujemy
b b
f (x) dx e" g(x)dx.
+" +"
a a
101
9. Je\
eli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale )#a, b*# oraz
(3.13) ", b m d" f (x)d" M ,
x" a
to
b
(3.14) m (b-a) d" f (x) dx d" M (b-a)
+"
a
Z warunku (3.13) i własności 8 wynika, \
e
b b b
(3.15) f (x)dxd" dx.
+"mdxd"+" +"M
a a a
Uwzględniając własności l i 5, otrzymujemy
b b
(3.16) =m =m(b-a) ,
+"mdx +"dx
a a
b b
dx = M = M (b-a) .
+"M +"dx
a a
Podstawiając te wartości do nierówności (3.15) otrzymujemy nierówność
(3.14). Interpretację geometryczną nierówności (3.14) przedstawiono na
rysunku 7.
Rys. .7
102
PRZYKA
AD 3.3. Poniewa\

1 1
d" cos x d"1 dla x" 0, Ą ,
2 3
zatem
1
Ą
3
1 1 1
( Ą -0) d" x dx d"1�"( Ą - 0) ,
+"cos
2 3 3
0
czyli
1
Ą
3
1 1
Ą d" x dxd" Ą .
+"cos 3
6
0
TWIERDZENIE 3.1. (twierdzenie o wartości średniej):
Je\
eli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale )#a, b*#, to istnieje taki punkt c
" (a, b), \
e
b
(3.17) f (c) (b -a) = f (x) dx .
+"
a
b
1
f (c) = f (x) dx ,
+"
b - a
a
Twierdzenie to mo\
na w prosty sposób zinterpretować graficznie (Rys.
.8).
103
Rys. .8
Je\
eli obie strony równości (3.17) traktować jako pola, to pole trapezu
krzywoliniowego AA' BB' równe jest polu prostokąta o tej samej długości
podstawy równej (b  a) i wysokości f(c).
Omówimy obecnie pojecie wartości średniej funkcji w danym przedziale.
Niech dana będzie funkcja f(x) całkowalna w przedziale )#a, b*#. Podzielmy
przedział )#a, b*# na n podprzedziałów o równej długości
b - a
"x = .
n
Je\
eli n jest dostatecznie du\
e, to mo\
na przyjąć, \
e funkcja f(x) w ka\
-
dym z podprzedziałów )#xi-1, xi*# jest stała i wynosi f(x). Wartość średnią
liczb f(x1), f(x2), ..., f(xn) określamy jako
n n n
1 1 1 1
yn = f (xi ) = f (x) (b-a) = f (xi )"xi .
" " "
n b - a n b - a
i = n i = 1 i = 1
Przez wartość średnią funkcji f(x) w przedziale )#a, b*# rozumiemy
b
n
1 1
yśr = lim yn = lim f (xi )"xi = f (x) dx .
"
+"
n"
b
n" - a b - a
i=1
a
Zatem wartością średnią funkcji f(x) całkowalnej w przedziale )#a, b*# jest
b
1
(3.18) yśr = f (x)dx .
+"
b - a
a
104
Z twierdzenia o wartości średniej wynika, \
e yśr = f(c), gdzie c " (a, b).
Z obliczaniem wartości średniej funkcji w przedziale spotykamy się czę-
sto w wielu praktycznych zagadnieniach ekonomicznych.
PRZYKA
AD 3.4. Wartością średnią funkcji f(X) = 3x2 + 4 w przedziale
)#2, 8*# jest
8
1
2
yśr =
+"(3x + 4) dx .
6
2
4. Związek całki oznaczonej z całką nieoznaczoną
TWIERDZENIE 4.l. Je\
eli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale )#a, b*# i F(x)
jest jakąkolwiek funkcja pierwotną funkcji f(x) w tym przedziale, to
b
(4.l) f (x) dx = F(b) - F(a) .
+"
a
b
Ró\
nicę F(b) - F(a) oznaczamy symbolem [F(x)]b lub F(x) .
a a
Nale\
y podkreślić, \
e je\
eli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale )#a, b*#, to
równość (4.1) mo\
na traktować jako definicję całki oznaczonej. Taką
równością zdefiniowana jest całka oznaczona w szkole średniej. Je\
eli
funkcja podcałkowa nie jest ciągła w przedziale )#a, b*#, to nie ma funkcji
pierwotnej, natomiast mo\
e istnieć całka oznaczona z tej funkcji w sen-
sie Riemanna. Mo\
na udowodnić, \
e całka oznaczona Riemanna i całka
oznaczona określona przez równość (4.l) są równe wtedy, gdy funk-
cja podcałkowa jest ciągła
105
w przedziale )#a, b*#. Z tego względu przy obliczaniu całek oznaczonych z
funkcji ciągłych w przedziałach całkowania nie będziemy rozró\
niać, czy
jest to całka oznaczona Riemanna, czy całka określona przez równość
(4.l).
1
2
PRZYKA
AD 4.1. Obliczmy całkę dx .
+"x
0
Mamy
x3
2
+"x dx = 3 +c ,
zatem
1
1
�ł łł
x3 1
2
�ł śł
+"x dx = �ł 3 �ł0 = 3 .
0
Ą
PRZYKA
AD 4.2. Obliczmy całkę x dx .
+"sin
0
Mamy
Ą
Ą
sin x dx =[- cos x] =-cosĄ + cos0 = 2 .
0
+"
0
PRZYKA
AD 4.3. Obliczmy pole S zawarte pomiędzy łukiem cosinusoidy
f(x) = cos x a osią OX w przedziale )#0, 2Ą*# (Rys. 9).
106
Rys. .9
Zgodnie z interpretacją geometryczną całki oznaczonej mamy
1 3
Ą Ą
2Ą
2 2
S = cos x dx + x dx + x dx .
+" +"cos +"cos
3
1
0
Ą
2
Ą
2
Z wykresu funkcji cos x wynika, \
e
1
Ą
1
2
Ą
2
S =4 cos x dx = 4[sin x] = 4(1-0) = 4.
0
+"
0
PRZYKA
AD 4.4. Obliczmy pole S zakreskowane na rysunku 10. Pole to
jest równe
S = S1  S2 ,
gdzie S1 to pole zawarte pomiędzy wykresem funkcji y = x a osią OX w
przedziale )#0, 1*#, a S2  pole zawarte pomiędzy wykresem funkcji y = x2
a osią OX w przedziale )#0, 1*#.
107
Rys. .10
Poniewa\

1 1
S1 = x dx , S2 = x2 dx,
+" +"
0 0
zatem
1
1 1 1
2 1 1
�ł
2
S = x dx - dx = x - x2 ) dx = x x - x3 łł = .
+" +"x +"( �ł3 3 śł
�ł �ł0 3
0 0 0
PRZYKA
AD 4.5. Obliczmy pole S wspólnego obszaru ograniczonego
1
parabolami y = x2, y = x2 i prostą y = 3x . Pole to przedstawiono na rysun-
2
ku 11.
Rys. .11
108
Czytelnik sprawdzi, \
e
3 3 3
1 1
2 2
S1 = x2 dx - dx = dx ,
+" +"x 2 +"x
2
0 0 0
6 6 6
1 1
2
S2 = 3 dx - dx = - x2 )dx ;
+"x 2 +"x +"(3x 2
3 3 3
3 6
1 1 27
2
S = S1 + S2 = dx + - x2 )dx = .
+"x +"(3x 2
2 2
0 3
5. CAA
KI NIEWA
AŚCIWE
Całkami niewłaściwymi nazywamy całki oznaczone, w których albo gra-
nice całkowania są nieskończone, albo funkcja podcałkowa jest nieogra-
niczona w skończonym przedziale całkowania.
5.1. CAA
KI NIEWA
AŚCIWE O NIESKOC
CZONYCH GRANICACH CAA
-
KOWANIA
Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w przedziale )#a, +"). Całką niewłaściwą
funkcji f(x) w przedziale nieograniczonym )#a, +") nazywamy granicę cał-
ki
t
(5.1.1) f (x) dx ,
+"
a
gdy t +". Piszemy wówczas
+" t
(5.1.2) f (x) dx = lim f (x)dx .
+" +"
t+"
a a
t
Je\
eli istnieje granica lim f (x)dx, to mówimy, \
e całka niewłaściwa
+"
t+"
a
(5.1.2) jest zbie\
na. Je\
eli natomiast granica ta nie istnieje, to mówimy,
\
e całka niewłaściwa (5.1.2) jest rozbie\
na.
109
b
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą f (x) dx w przedziale )#-", b*#,
+"
-"
mianowicie jako granicę (je\
eli istnieje)
b
(5.1.3) tlim f (x)dx
+"
-"
t
i piszemy
b b
(5.1.4) f (x) dx = lim f (x)dx .
+" +"
t-"
-" t
Często całkę niewłaściwą w przedziale nieograniczonym nazywa się cał-
ką niewłaściwą rodzaju pierwszego.
PRZYKA
AD 5.1.1. Całka niewłaściwa
+"
1
dx
+"
x2
1
jest zbie\
na. Istotnie, mamy
t
+" t
1 1 1
�ł- 1
łł
dx = lim dx = lim = lim�ł- +1�ł = 1 .
�ł �ł
+" +"
śł
x2 t+" 1 x2 t+"�ł x t
�ł �ł1 t+"�ł łł
1
PRZYKA
AD 5.1.2. Całka niewłaściwa
+"
1
dx
+"
x
1
jest rozbie\
na. Istotnie, mamy
+" t
1 1 t
dx = lim dx = lim [ln x] = lim [ln t]= + " .
+" +" 1
t+" t+" t+"
x x
1 1
110
+"
Określając całkę niewłaściwą f (x) dx w przedziale (-", +"), dzielimy ten
+"
-"
przedział na dwa dowolne podprzedziały (-", a*# i )#a, +") i rozpatrujemy
osobno całki
a +"
f (x) dx i f (x) dx.
+" +"
-" a
Je\
eli obie te całki istnieją (są zbie\
ne), mówimy, \
e istnieje (jest zbie\
-
+"
na) całka niewłaściwa f (x) dx, przy czym
+"
-"
+" a +"
(5.1.5) f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx
+" +" +"
-" -" a
lub dokładniej
+" a t
(5.1.6) f (x) dx = lim f (x) dx + lim f (x) dx .
+" +" +"
p-" t+"
-" p a
a +"
Je\
eli przynajmniej jedna z całek f (x) dx lub f (x) dx jest rozbie\
na,
+" +"
-" a
+"
mówimy, \
e całka niewłaściwa f (x) dx nic istnieje (lub \
e jest rozbie\
-
+"
-"
na).
PRZYKA
AD 5.1.3. Rozpatrzmy całkę
+"
dx
.
+"
1+ x2
a
Dzielimy przedział (-", +") na dwa podprzedziały (-",0*# i )#0, +"), a na-
stępnie rozpatrujemy całki
0 +"
dx dx
oraz .
+" +"
1+ x2 1+ x2
-" 0
111
Jak wiadomo
dx
+"1+ x2 = arctg x + c ,
zatem
0 o
dx dx 1
o
= lim
p
+" +"1+ = lim [arctg x] = lim (arctg 0 - arctg p)= 2Ą ,
p-"
1+ x2 p-" p x2 p-"
-"
1
bo arctg 0 = 0, a lim arctg p = - Ą .
p-"
2
Analogicznie obliczymy, \
e
+"
dx 1
= Ą ,
+"
1+ x2 2
0
zatem
+"
dx
= Ą .
+"
1+ x2
-"
5.2. CAA
KI NIEWA
AŚCIWE FUNKCJI NIEOGRANICZONYCH
Rozpatrzymy teraz całki niewłaściwe, w których funkcja podcałkowa nie
jest funkcją ograniczoną. Całki niewłaściwe tego typu zwane są całkami
niewłaściwymi rodzaju drugiego.
Przypuśćmy teraz, \
e funkcja f(x) jest określona i ciągła w przedziale
)#a, b*# z wyjątkiem jego końca a lub końca b, gdzie jest nieograniczona.
Załó\
my, \
e funkcja f(x) nie jest ciągła w punkcie x = a. Rozpatrzmy
całkę
b
f (x) dx .
+"
a�
Je\
eli istnieje granica prawostronna
112
b
lim f (x)dx .
+"
� 0+
a+�
to granicę tę nazywamy całka niewłaściwą funkcji f(x) w przedziale )#a, b*#
i oznaczamy symbolem
b
f (x) dx,
+"
a
zatem
b b
f (x) dx = lim f (x)dx .
+" +"
� 0+
a a+�
Je\
eli funkcja f(x) nie jest ciągła w punkcie x = b, to całką niewłaściwą
nazywamy granicę lewostronną
b-�
lim f (x)dx .
+"
� 0+
a
Piszemy wówczas
b b-�
f (x) dx = lim f (x)dx
+" +"
� 0+
a a
PRZYKA
AD 5.2.1. Obliczmy całkę (o ile istnieje)
1
dx
.
+"
x
0
Funkcja podcałkowa jest określona dla x > O i jest nieciągła w punkcie x
= 0. Mamy:
1
1
dx
=[2 x] = 2 - 2 �
;
�
+"
x
�
113
1
dx
lim = lim(2-2 � )=2 .
+"
� 0+ � 0+
x
�
Zatem
1
dx
=2.
+"
x
0
1
Całka niewłaściwa funkcji f (x) = w przedziale )#0,1*# istnieje i jest rów-
x
na 2.
PRZYKA
AD 5.2.2. Zbadamy czy istnieje całka niewłaściwa
1
dx
,
+"
x
0
Rozpatrzmy całkę
1
dx
,
+"
x
�
Mamy
1
dx 1
=[ln x] = -ln � ,
+" �
x
�
Poniewa\

1
dx
lim = lim(-ln�)= +" ,
+"
� 0+ � 0+
x
�
1
dx
zatem całka niewłaściwa jest rozbie\
na.
+"
x
0
114
Je\
eli funkcja f(x) nie jest ograniczona na obu końcach przedziału )#a, b*#,
to obieramy dowolną liczbę c le\
ącą wewnątrz tego przedziału i badamy
całki
c b
f (x)dx i f (x)dx.
+" +"
a c
W przypadku gdy te dwie całki niewłaściwe przyjmują skończone warto-
ści, wówczas sumę ich przyjmujemy jako wartość całki
b
f (x) dx,
+"
a
czyli
b-�2
b c
(5.2.1) f (x) dx = lim f (x) dx + lim f (x)dx .
+" +" +"
�10+ �20+
a a+�1 c
Równość (5.2.1) mo\
na tak\
e zapisać w postaci
t2
b c
(5.2.2) f (x) dx = lim f (x) dx + lim f (x)dx.
+" +" +"
t1a+ t2 b-
a t1 c
PRZYKA
AD 5.2.3. Obliczmy całkę
1
dx
.
+"
1- x2
-1
Funkcja podcałkowa jest nieograniczona w punktach x = -1 i x = 1. Dzie-
limy przedział )#-1, 1*# na dwa podprzedziały )#-l, 0*# i )#0, 1*#, a następnie
rozpatrujemy całkę
0 1
dx dx
oraz .
+" +"
1- x2 1- x2
-1 0
115
Jak wiadomo
dx
= arcsin x + c ,
+"
1- x2
zatem
1-�2
1 0
dx dx dx
= lim + lim .
+" +" +"
1- x2 �10+ -1+�1
1- x2 �2 0- 0
1- x2
-1
Mamy
0 0
dx dx 1
0
lim = lim = lim [arcsin x] = Ą ,
t1
+" +"
�10+
2
1- x2 t1-1+ 1- x2 t1-1+
-1+�1 t1
1-�2 t2
dx dx 1
t2
lim = lim = lim [arcsin x] = Ą .
0
+" +"
�2 0+
2
1- x2 t2 -1- 0
1- x2 t2 -1-
0
Ostatecznie
1
dx 1 1
= Ą + Ą = Ą .
+"
1- x2 2 2
-1
116