Szkice do wykładu z Teorii miary i całki dla III roku matematyki
(wykład monograficzny)1
dr Jarosław Kotowicz
23 czerwca 2003 roku
1
© Copyright J.Kotowicz
Spis treści
1 2003.10.01 / 2h 7
1.1 Przestrzeń topologiczna i metryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Klasy podzbiorów danego zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 2003.10.08 / 2h 11
2.1 Klasy podzbiorów generowane przez rodziny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Funkcje zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 2003.10.15 / 2h 14
3.1 Uzupełnienie poprzedniego wykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Funkcje zbiorów miary dodatnie i znakowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 2003.10.22 / 2h 16
4.1 Przedłużanie miar dodatniej z półpierścienia na pierścień . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Miara zewnętrzna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 2003.10.29 / 2h 18
5.1 Miara zewnętrzna c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 2003.11.05 / 2h 20
6.1 Przedłużanie miary na à - pierścień . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.2 Miara Lebesgue a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7 2003.11.12 / 2h 22
7.1 Miara Lebesgue a c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.2 Miara Lebesgue a - Stieltjesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.3 Odwzorowania mierzalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8 2003.11.19 / 2h 26
8.1 Działania na funkcjach mierzalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.2 Pojęcie funkcji prostej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2
9 2003.11.26 / 2h 28
9.1 Funkcje proste twierdzenie o aproksymacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.2 Funkcje równoważne. Zbieżność prawie wszędzie (względem miary) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10 2003.12.03 / 2h 30
10.1 Zbieżność prawie wszędzie (względem miary) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
10.2 Zbieżność względem miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
10.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
11 2003.12.10 / 2h 32
11.1 Zbieżność względem miary c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
11.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
12 2003.12.17 / 2h 33
12.1 Zbieżność względem miary c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
12.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
13 2003.01.14 / 2h 34
13.1 Całka Lebesgue a definicja i własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
13.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
14 2003.01.21 / 2h 36
14.1 Całka Lebesgue a własności c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
14.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
15 Egzamin 37
15.1 Zagadnienia na egzamin część teoretyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
15.2 Zadania z egzaminu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
15.3 Zadania z egzaminu poprawkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1 2003.02.18 /2h 40
1.1 Abstrakcyjna całka Lebesgue a własności c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2 2003.02.25 /2h 41
2.1 Abstrakcyjna całka Lebesgue a własności c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Całka Lebesgue a zależna od parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 2003.03.04 /2h 43
3.1 Formalna zamiana zmiennych w całce Lebesgue a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Przestrzenie produktowe i miary produktowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 2003.03.11 /2h 45
4.1 Twierdzenie Fubiniego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 2003.03.18 /2h 46
5.1 Funkcje wypukłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 NierównoÅ›ci Höldera, Minkowskiego, Markowa, Jensena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3
6 2003.03.25 /2h 48
6.1 Przestrzenie Lp(X, H, µ) dla p " (0, + "] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7 2003.04.01 /2h 50
7.1 Zbieżność w przestrzeniach Lp(X, H, µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.2 Zbiory gÄ™ste w przestrzeniach Lp(X, H, µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8 2003.04.08 /2h 51
8.1 Przestrzenie Banacha, Hilberta i Frécheta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.2 Przestrzenie Lp(X, H, µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9 2003.04.15 /2h 54
9.1 Przestrzenie Lp(X, H, µ) c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.2 Funkcje zbioru. Rozkład Hahna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10 2003.05.06 /2h 56
10.1 Rozkład Jordana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
10.2 Absolutna ciągłość miar. Miary i funkcje zbioru wzajemnie osobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
10.3 Twierdzenie Radona - Nikodyma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
10.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
11 2003.05.12 /2h (za 20.05.2003) 58
11.1 Wnioski z twierdzenia Radona - Nikodyma. Pochodna Radona - Nikodyma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
11.2 Twierdzenie Lebesgue a o rozkładzie kanonicznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
11.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
12 2003.05.13 /2h 59
12.1 Topologia raz jeszcze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
12.2 Twierdzenie Riesza o reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
12.3 Schemat dowodu twierdzenia Riesza o reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
12.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
13 2003.05.27 /2h 62
13.1 Dowód twierdzenia Riesza o reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
13.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
14 2003.06.03 /2h 63
14.1 Dokończenie dowodu twierdzenia Riesza o reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
14.2 Miary borelowskie. Regularność miar borelowskich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
14.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
15 2003.06.10 /2h 64
15.1 Regularność miar borelowskich c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
15.2 Twierdzenie Auzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
15.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
16 Egzamin semestr letni 65
16.1 Lista zagadnień na egzamin ustny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
16.2 Zadania z egzaminu pisemnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4
Program wykładu
Plan wykładu monograficznego Teoria miary i całki w roku akademickim 2002/2003
III rok matematyka ogólna - studia dzienne
60 godzin wykładów prowadzący dr J. Kotowicz
Zagadnienia wykładu1
1. Przypomnienie wiadomości z topologii i teorii przestrzeni metrycznych. 1 godz.
2. Klasy pozbiorów danego niepustego zbioru: półpierścienie, pierścienie, à - pierścienie, ciała i à - ciała zbiorów oraz
rodziny monotoniczne. 1 godz.
3. Klasy generowane przez rodziny zbiorów. 1 godz.
4. Funkcje zbiorów i ich własności 2 godz.
5. Miary dodatnie i znakowe własności. Przykłady miar. 1 godz.
6. Miara zewnętrzna. 2 godz.
7. Twierdzenie o rozszerzaniu miary z pierścienia. Zbiory mierzalne względem miary. 4 godz.
8. Miara zewnętrzna. Twierdzenie Caratheodory ego. 3 godz.
9. Funkcje mierzalne i działania na nich. Przestrzenie mierzalne i przestrzenie z miarą. 4 godz.
10. Twierdzenie o aproksymacji funkcjami prostymi. 2 godz.
11. Zbieżność prawie wszędzie i zbieżności według miary i ich analiza. Twierdzenie Riesza, Jegorowa, Auzina itp. 3 godz.
12. Konstrukcja całki i jej własności. 6 godz.
13. Lemat Fatou. Twierdzenie Lebesgue a zbieżności monotonicznej i zbieżności ograniczonej. 3 godz.
14. Całka Lebesgue a w Rn. 1 godz.
15. NierównoÅ›ci typu Höldera, Minkowskiego itp. NierównoÅ›ci spotykane w rachunku prawdopodobieÅ„stwa. 3 godz.
16. Miary produktowe. Twierdzenie Fubiniego. 4 godz.
17. Podstawowe wiadomoÅ›ci o przestrzeniach Banacha, Hilberta i Frécheta. 2 godz.
18. Przestrzenie Lp, p 1 Lebesgue a jako przestrzenie Banacha. Przestrzeń Lp, 0 < p < 1 Lebesgue a jako przestrzenie
Frécheta. PrzestrzeÅ„ L2 jako przestrzeÅ„ Hilberta. 3 godz.
19. Zbiory gęste w przestrzeniach Lp. 2 godz.
20. Funkcjonały i twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału liniowego ciągłego. 2 godz.
21. Różniczkowanie (prawie wszędzie). Twierdzenia Lebesgue a o różniczkowaniu całki i Rademachera itp. 4 godz.
1
MogÄ… ulec zmianie
5
22. Analiza miar.
(a) Twierdzenia Hahna o rozbiciu à - addytywnej funkcji zbioru. 4 godz.
(b) Twierdzenie Lebesgue a o rozkładzie miary. 3 godz.
(c) Twierdzenie Radona - Nikodyma. 3 godz.
23. Miary borelowskie.
24. Miary zespolone.
Literatura podstawowa:
1. A. Dorogowcew, Elementy teorii miary i całki, Państwowe Wyd. Wyż. Szk., Kijów 1989 (ros.)
2. S. Hartman, J. Mikusiński, Teoria miary i całki Lebesgue a, PWN, Warszawa 1957
3. S. Aojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1973
4. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976
5. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982
6. K. Yosida, Functional analysis, Springer, Berlin 1965
Literatura uzupełniająca:
1. P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987
2. W. Mlak, Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta, PWN, Warszawa 1987
3. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszaw 1986
6
Wykład 1
2003.10.01 / 2h
1.1 Przestrzeń topologiczna i metryczna
Definicja 1.1 Niepusty zbiór X wraz z niepustÄ… rodzinÄ… Ä jego podzbiorów nazywamy przestrzeniÄ… topologicznÄ… wtedy i tylko
wtedy, gdy
", X " Ä (1.1)
"A,B"Ä A )" B " Ä (1.2)
"{A AÄ… " Ä (1.3)
Ä…:Ä…"I}‚"Ä
Ä…"I
Definicja 1.2 ParÄ™ (X, d), gdzie X = " i d : X × X X nazywamy przestrzeniÄ… metrycznÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy d
spełnia następujące warunki
"x,y"Xd(x, y) = 0 Ô! x = y (1.4)
"x,y"Xd(x, y) = d(y, x) (1.5)
"x,y,z"Xd(x, z) d(x, y) + d(y, z) (1.6)
d nazywamy wówczas metryką.
Twierdzenie 1.1 Jeżeli (X, d) jest przestrzenią metryczną, to istnieje topologia zgodna z metryką.
1.2 R
Definicja 1.3
def
R = R *" {- "} *" {+ "} (1.7)
Uwaga 1.1 Zauważmy,że gdy pominiemy założenie w definicji kresu o niepustości zbioru i będziemy rozważać zbiory w
rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych, to inf " = + " oraz sup " = - ".
Uwaga 1.2 Przyjmujemy konwencjÄ™
"a"R - " < a '" a < + " (1.8)
oraz dla obu symboli nieskończonych i dowolnej liczby rzeczywistej a określone są następujące działania
def
a + (+ ") = + " (1.9)
def
a - (- ") = + " (1.10)
1
def
= 0 (1.11)
Ä… "
Å„Å‚
+ " dla a > 0
òÅ‚
def
a · (+ ") = 0 dla a = 0 (1.12)
ół
- " dla a < 0
7
Å„Å‚
- " dla a > 0
òÅ‚
def
a · (- ") = 0 dla a = 0 (1.13)
ół
+ " dla a < 0
Twierdzenie 1.2 Niech d : R × R R okreÅ›lonÄ… wzorem
" d(x, y) = |arctg x - arctg y| . (1.14)
x,y"R
Wówczas (R, d) jest przestrzenią metryczną zupełną zwartą.
1.3 Klasy podzbiorów danego zbioru
Niech X = ".
Definicja 1.4
2X def{Y : Y Ä…" X}. (1.15)
=
Niech ponadto H ‚" 2X.
Definicja 1.5 Rodzinę zbiorów H nazywamy półpierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy
H = " (1.16)
"A,B"HA )" B " H (1.17)
n
"A,B"H"n"C ,...,Cn‚"H ("1 i
to jest ona półpierścieniem.
Fakt 1.1 Jeżeli H półpierścieniem, to " " H.
Definicja 1.6 Rodzinę zbiorów H nazywamy pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy
H = " (1.19)
"A,B"HA *" B " H (1.20)
"A,B"HA \ B " H (1.21)
Definicja 1.7 Rodzinę zbiorów H nazywamy ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona pierścieniem oraz X " H.
Fakt 1.2 Jeżeli H jest pierścieniem, to H jest półpierścieniem.
Fakt 1.3 Niech H będzie pierścieniem. Wtedy
" " H (1.22)
"A,B"HA )" B " H (1.23)
n n
"{A ,...,An}‚"H Ò! Ai " H '" Ai " H (1.24)
1
i=1 i=1
Fakt 1.4 Niech H będzie ciałem, wtedy dla dowolnego A " H zachodzi A " H.
Lemat 1.1 H jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy
H = " (1.25)
"A,B"HA *" B " H (1.26)
"A"HA " H (1.27)
8
Uwaga 1.3 Warunek (1.26) można zastąpić przez
"A,B"HA )" B " H.
Definicja 1.8 Rodzinę zbiorów H nazywamy à - pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy
" " H (1.28)
"
"{A :n"N}‚"H Ai " H (1.29)
n
i=1
"A,B"HA \ B " H (1.30)
Definicja 1.9 Rodzinę zbiorów H nazywamy à - ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy H jest à - pierścieniem i X " H.
Fakt 1.5 Każdy à - pierścieniem jest pierścieniem
Udowodnić następujący lemat:
"
Lemat 1.2 Jeżeli H jest à - pierÅ›cieniem, to dla dowolnego {An : n " N} ‚" H zachodzi Ai " H.
i=1
Definicja 1.10 Ciąg {An : n 1} nazywamy wstępującym ciągiem zbiorów wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego n " N
"
zachodzi An Ä…" An+1. Oznaczamy przy tym lim An = An
n "
n=1
Ciąg {An : n 1} nazywamy zstępującym ciągiem zbiorów wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego n " N zachodzi
"
An ‡" An+1. Oznaczamy przy tym lim An = An
n "
n=1
Ciąg {An : n 1} zbiorów nazywamy monotonicznym ciągiem zbiorów jest on ciągiem zbiorów wstępującym lub zstępu-
jÄ…cym.
Definicja 1.11 RodzinÄ™ H nazywa my rodzinÄ… monotonicznÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy
H = " (1.31)
"{A :n 1}‚"H{An : n 1} - monotoniczny Ò! lim An " H (1.32)
n
n "
Twierdzenie 1.3 Monotoniczny pierścień jest à - pierścieniem.
Twierdzenie 1.4 Każdy à - pierścień jest rodziną monotoniczną.
Wniosek 1.1 Rodzina H jest à - pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy H jest pierścień monotoniczny.
1.4 Zadania
Zadanie 1.1 Udowodnić własności 1.24.
Zadanie 1.2 Udowodnić, że H jest pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy H jest półpierścieniem i "A,B"HA *" B " H
Zadanie 1.3 Niech X zbiór nieskończony, M rodzina zbiorów złożona ze wszystkich skończonych podzbiorów X oraz ich
dopełnień. Pokazać, że jest ona ciałem zbiorów, ale nie jest à - ciałem.
Zadanie 1.4 Niech X zbiór nieprzeliczalny, M rodzina zbiorów złożona ze wszystkich przeliczalnych podzbiorów X oraz ich
dopełnień. Pokazać, że jest on à - ciałem podzbiorów.
Zadanie 1.5 Udowodnić, że jeśli X jest skończony i H ą" 2X, to
(i) H - ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy H jest à - ciałem
(ii) H - pierścień wtedy i tylko wtedy, gdy H jest à - pierścień
Zadanie 1.6 Niech S będzie à - ciałem podzbiorów X, E ą" X. Pokazać, że rodzina SE = {A )" E : A " S} jest à - ciałem
podzbiorów E.
9
Zadanie 1.7 Niech S będzie à - ciałem podzbiorów X oraz E " S. Pokazać, że rodzina SE = {A " S : A ą" E} jest à - ciałem
podzbiorów E.
Zadanie 1.8 Zbiór A ą" R2 nazywamy symetrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy
"(x,y)(x, y) " A Ò! (-x, -y) " A. (1.33)
Pokazać, że rodzina H podzbiorów symetrycznych jest à - ciałem podzbiorów R2.
Zadanie 1.9 Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Określmy
def
H = {A Ä…" X : card(A) 5!0 (" "BÄ…"X card(B) 5!0 '" A = X \ B}. (1.34)
Udowodnić, że H jest à - ciałem podzbiorów X.
Zadanie 1.10 Niech X będzie zbiorem nieskończonym
def
H = {A Ä…" X : "n"N card(A) = n (" "n"N"BÄ…"X card(B) = n '" A = X \ B}. (1.35)
Sprawdzić czy H jest à - ciałem podzbiorów X.
Zadanie 1.11 Niech
def
H = {A Ä…" X : card A < 5!0 (" card(X \ A) < 5!0}. (1.36)
Udowodnić, że H jest à - ciałem podzbiorów X wtedy i tylko wtedy, gdy X skończony.
Zadanie 1.12 Niech H będzie rodziną podzbiorów R określoną następująco
def
H = {A : A = " '" "r"Qr " A}. (1.37)
Czy rodzina H jest à - ciałem podzbiorów R?
Zadanie 1.13 Niech H będzie rodziną wszystkich otwartych podzbiorów R. Czy rodzina H jest à - ciałem podzbiorów R?
10
Wykład 2
2003.10.08 / 2h
2.1 Klasy podzbiorów generowane przez rodziny
Niech X = " oraz H ‚" 2X.
Twierdzenie 2.1 Przekrój dowolnej ilości pierścieni (odpowiednio ciał, à - pierścieni, à - ciał, rodzin monotonicznych) jest
pierścieniem (odpowiednio ciałem, à - pierścieniem, à - ciałem, rodziną monotoniczną)
Definicja 2.1 Pierścieniem generowanym przez rodzinę H nazywamy przekrój wszystkich pierścieni zawierających H i ozna-
czamy p(H) tzn.
def
p(H) = PÄ… (2.1)
Pą-pierścień
PÄ…ƒ"H
Definicja 2.2 à - pierścieniem generowanym przez rodzinę H nazywamy przekrój wszystkich à - pierścieni zawierających
H i oznaczamy Ãp(H) tzn.
def
Ãp(H) = PÄ… (2.2)
PÄ…- Ã-pierÅ›cieÅ„
PÄ…ƒ"H
Definicja 2.3 Ciałem generowanym przez rodzinę H nazywamy przekrój wszystkich ciał zawierających H i oznaczamy a(H)
tzn.
def
a(H) = PÄ… (2.3)
Pą-ciało
PÄ…ƒ"H
Definicja 2.4 à - ciałem generowanym przez rodzinę H nazywamy przekrój wszystkich à - ciał zawierających H i oznaczamy
Ãa(H) tzn.
def
Ãa(H) = PÄ… (2.4)
PÄ…-Ã-ciaÅ‚o
PÄ…ƒ"H
Definicja 2.5 Rodziną monotoniczną generowaną przez rodzinę H nazywamy przekrój wszystkich rodzin monotonicznych
zawierajÄ…cych H i oznaczamy m(H) tzn.
def
m(H) = PÄ… (2.5)
PÄ…-Ã-rodzina monotoniczna
PÄ…ƒ"H
Uwaga 2.1 Zauważmy, że jeżeli H jest rodzinÄ… pustÄ… tzn. H = ", to p(H) = Ãp(H) = m(H) = {"} oraz a(H) = Ãa(H) =
{", X}
11
Twierdzenie 2.2 Niech H1 ‚" H2 bÄ™dÄ… dowolnymi rodzinami, wówczas zachodzÄ… nastÄ™pujÄ…ce inkluzje
p(H1) ‚" p(H2) '" Ãp(H1) ‚" Ãp(H2) '" a(H1) ‚" a(H2) '" Ãa(H1) ‚" Ãa(H2) '" m(H1) ‚" m(H2) (2.6)
Twierdzenie 2.3 Niech H będzie dowlną rodziną, wówczas zachodzą następujące równości
p(p(H)) = p(H) '" Ãp(Ãp(H)) = Ãp(H) '" a(a(H)) = a(H) '" Ãa(Ãa(H)) = Ãa(H) '" m(m(H)) = m(H) (2.7)
Twierdzenie 2.4 Jeżeli H1 ‚" H2 ‚" p(H1), to p(H1) = p(H2).
Twierdzenie 2.5 Niech H będzie półpierścieniem. Wtedy
n
p(H) = Ai : n " N '" {A1, . . . , An} ‚" H . (2.8)
i=1
Twierdzenie 2.6 Jeżeli H jest pierścieniem podzbiorów zbioru X, to
Ãp(H) = m(H). (2.9)
2.2 Funkcje zbiorów
Niech " = H ‚" 2X.
Definicja 2.6 KażdÄ… funkcjÄ™ µ: H R bÄ™dziemy nazywać funkcjÄ… zbioru okreÅ›lonÄ… na H wtedy i tylko wtedy, gdy speÅ‚niony
jest warunek card (µ(H) )" {- ", + "}) 1.
Uwaga 2.2 Dość czÄ™sto rozważa siÄ™ wyÅ‚Ä…cznie funkcje postaci µ : H R *" {+ "}.
Definicja 2.7 Mówimy, że funkcja µ jest
nieujemna Ô! "A"Hµ(A) 0 (2.10)
n n n
póładdytywna Ô! "n"N"{A ,...,An}‚"H Ak " H Ò! µ( Ak) µ(Ak) (2.11)
1
k=1 k=1 k=1
n n n
addytywna Ô! "n"N"{A ,...,An}‚"H Ak " H '" ("1 i
à - póładdytywna Ô! "{A :n 1}‚"H An " H Ò! µ( An) µ(An) (2.13)
n
n=1 n=1 n=1
" " "
à - addytywna Ô! "{A :n 1}‚"H An " H '" ("i,j"N'"i =jAi )" Aj = ") Ò! µ( An) = µ(An) (2.14)
n
n=1 n=1 n=1
monotoniczna Ô! "{A,B}‚"HA ‚" B Ò! µ(A) µ(B) (2.15)
skoÅ„czona Ô! "A"H|µ(A)| < + " (2.16)
"
à - skoÅ„czona Ô! "{A ,...,An}‚"H An = X '" "n"N|µ(An)| < + ". (2.17)
1
n=1
Twierdzenie 2.7 Jeżeli " " H oraz µ jest addytywna i "A"H|µ(A)| < + ", to µ(") = 0.
2.3 Zadania
Zadanie 2.1 Rodzinę H nazywamy Ą - układem wtedy i tylko wtedy, gdy
"A,B"HA )" B " H (2.18)
12
Rodzinę H nazywamy - układem wtedy i tylko wtedy, gdy
&! " H (2.19)
"A,B"HA ‚" B Ò! B \ A " H (2.20)
"
"{A :n 1}‚"H{An : n 1}- wstÄ™pujÄ…cy Ò! An " H (2.21)
n
n=1
Udowodnić, że rodzina H będąca jednocześnie Ą - układem i - układem jest à - ciałem.
Zadanie 2.2 (Lemat o - i Ą - układach)
Jeżeli rodzina H bÄ™dÄ…ca - ukÅ‚adem zawiera Ä„ - ukÅ‚ad F, to zawiera Ãa(F) (à - ciaÅ‚o generowane przez F).
Zadanie 2.3 Udowodnić twierdzenie 2.1 dla ciał, à - pierścieni, à - ciał, rodzin monotonicznych.
Zadanie 2.4 Dowieść pozostałe inkluzje z twierdzenia 2.2.
Zadanie 2.5 Dowieść pozostałe równości z twierdzenia 2.3.
Zadanie 2.6 Jeżeli H1 ‚" H2 ‚" a(H1), to a(H1) = a(H2).
Jeżeli H1 ‚" H2 ‚" Ãp(H1), to Ãp(H1) = Ãp(H2).
Jeżeli H1 ‚" H2 ‚" Ãa(H1), to Ãa(H1) = Ãa(H2).
Jeżeli H1 ‚" H2 ‚" m(H1), to m(H1) = m(H2).
Zadanie 2.7 Udowodnić, że jeżeli H jest ciaÅ‚em podzbiorów zbioru X, to Ãa(H) = m(H).
Zadanie 2.8 Niech H = {A1, . . . , An} ‚" 2X. Udowodnić, że a(H) = Ãa(H)
Zadanie 2.9 Niech X = {1, 2}. Znalezć à - ciała podzbiorów X generowana przez następujące rodziny zbiorów
(i) {X, {1}}.
(ii) {X, ", {2}}.
(iii) {{1}, {2}}.
13
Wykład 3
2003.10.15 / 2h
3.1 Uzupełnienie poprzedniego wykłady
Definicja 3.1 Niech (X, Ä) bÄ™dzie przestrzeniÄ… topologicznÄ…. RodzinÄ… zbiorów borelowskich tej przestrzeni nazywamy à - ciaÅ‚o
generowane przez topologiÄ™ Ä. Oznaczamy jÄ… B(X).
3.2 Funkcje zbiorów miary dodatnie i znakowe
Twierdzenie 3.1 Jeżeli " " H oraz µ jest à - addytywna i µ(") = 0, to µ jest addytywna.
Uwaga 3.1 Od tego momentu rozważać bÄ™dziemy i formuÅ‚ować twierdzenia wyÅ‚Ä…cznie dla funkcji zbioru takich, że µ a" + ".
Twierdzenie 3.2 Niech H bÄ™dzie pierÅ›cieniem, a µ nieujemnÄ… i addytywna funkcjÄ… zbioru na H. Wówczas
µ jest monotoniczna na H (3.1)
"{A,B}‚"HA ‚" B '" µ(A) < + " Ò! µ(A \ B) = µ(A) - µ(B) (3.2)
"{A,B}‚"H(µ(A) < + " (" µ(B) < + ") Ò! µ(A *" B) = µ(A) + µ(B) - µ(A )" B) (3.3)
n n
"{B,A ,...,An}‚"HB ‚" Ak Ò! µ(B) µ(Ak). (3.4)
1
k=1 k=1
Definicja 3.2 Miarą dodatnią nazywamy nieujemną i à - addytywną funkcję zbioru określona na półpierścieniu.
Definicja 3.3 Miarą znakową nazywamy à - addytywną funkcję zbioru o przeciwdziedzinie w R*"{+ "} określoną na à - ciele
taką, że jej wartość na zbiorze pustym jest zerowa.
Twierdzenie 3.3 Dla dowolnej miary dodatniej µ zachodzi µ(") = 0.
Twierdzenie 3.4 Miara dodatnia jest funkcjÄ… addytywnÄ….
Wniosek 3.1 Miara dodatnia spełnia warunki (3.1) (3.4) twierdzenia 3.2.
Twierdzenie 3.5 Nieujemna, addytywna i à - póładdytywna funkcja zbioru na pierścieniu jest miarą dodatnią.
Definicja 3.4 Niech µ bÄ™dzie funkcjÄ… zbioru na rodzinie H.
Mówimy, że µ jest ciÄ…gÅ‚a z doÅ‚u wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego wstÄ™pujÄ…cego ciÄ…gu {An : n 1} ‚" H takiego, że
" "
An " H zachodzi µ( An) = lim µ(An).
n "
n=1 n=1
Mówimy, że µ jest ciÄ…gÅ‚a z góry wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zstÄ™pujÄ…cego ciÄ…gu {An : n 1} ‚" H takiego, że
" "
|µ(A1)| < + " i An " H zachodzi µ( An) = lim µ(An).
n "
n=1 n=1
Uwaga 3.2 W definicji ciÄ…gÅ‚oÅ›ci miary z góry można zaÅ‚ożyć, że istnieje liczba naturalna n0 taka, że µ(An ) jest skoÅ„czona.
0
Wtedy również będzie prawdziwe twierdzenie o ciągłości miary dodatniej z góry.
14
Twierdzenie 3.6 (Ciągłość miary dodatniej.)
Niech µ bÄ™dzie miarÄ… dodatniÄ… na pierÅ›cieniu H. Wówczas µ jest ciÄ…gÅ‚a z doÅ‚u.
Niech µ bÄ™dzie miarÄ… dodatniÄ… na pierÅ›cieniu H. Wówczas µ jest ciÄ…gÅ‚a z góry.
Twierdzenie 3.7 (Ciągłość miary znakowej.)
Niech µ bÄ™dzie miarÄ… znakowÄ… na à - ciele H. Wówczas µ jest ciÄ…gÅ‚a z doÅ‚u.
Niech µ bÄ™dzie miarÄ… znakowÄ… na à - ciele H. Wówczas µ jest ciÄ…gÅ‚a z góry.
3.3 Przykłady
Przykład 3.1 Niech X = R. Określmy rodzinę
HL def {]a, b] : - " < a < b < + "} *" {"} (3.5)
=
Stwierdzenie 3.1 Rodzina HL określona równaniem (3.5) jest półpierścieniem.
Przykład 3.2 Niech dany będzie półpierścień HL z przykładu (3.1). Określmy funkcję zbiorów na HL następująco
def def
µ(") = 0 i µ(]a, b]) = b - a dla ]a, b] " H (3.6)
Stwierdzenie 3.2 Funkcja zbiorów µ zdefiniowana równaniem (3.6) na półpierÅ›cieniu HL jest miara.
Przykład 3.3 Niech dany będzie półpierścień HL z przykładu (3.1). Niech ponadto F : R R będzie funkcja niemalejącą i
prawostronnie ciągłą. Określmy funkcję zbiorów na HL następująco
def def
µF (") = 0 i µF (]a, b]) = F (b) - F (a) dla ]a, b] " H (3.7)
Stwierdzenie 3.3 Funkcja zbiorów µF zdefiniowana równaniem (3.7) na półpierÅ›cieniu HL jest miara.
3.4 Zadania
Zadanie 3.1 Udowodnić warunek (3.4) twierdzenia 3.2.
Zadanie 3.2 Niech µ bÄ™dzie miara dodatniÄ… na à - pierÅ›cieniu H. Niech ponadto {An : n 1} ‚" H oraz µ(An) = 0 dla
"
dowolnego n " N. Udowodnić, że µ( An) = 0
n=1
Zadanie 3.3 Niech µ bÄ™dzie miara dodatniÄ… na à - ciele H. Niech ponadto µ(X) = 1 i {An : n 1} ‚" H oraz µ(An) = 1
"
dla dowolnego n " N. Udowodnić, że µ( An) = 1.
n=1
Zadanie 3.4 Niech µ bÄ™dzie addytywna i skoÅ„czonÄ… funkcjÄ… zbioru na pierÅ›cieniu H. Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów
A1, A2, A3 " H zachodzi
µ(A1 *" A2 *" A3) = µ(A1) + µ(A2) + µ(A3) - µ(A1 )" A2) - µ(A1 )" A3) - µ(A1 )" A3) + µ(A1 )" A2 )" A3). (3.8)
Zadanie 3.5 Udowodnić ciągłość maiary dodatniej z góry.
Wsk. Wykorzystać ciągłość z dołu i prawa de Morgana.
Zadanie 3.6 Udowodnić twierdzenie 3.7.
Zadanie 3.7 Udowodnić, że każda nieujemna, addytywna i ciągła z dołu funkcja zbioru na pierścieniu H jest miarą.
Zadanie 3.8 Udowodnić, że każda nieujemna, addytywna, skończona i ciągła z góry funkcja zbioru na pierścieniu H jest
miarÄ….
Zadanie 3.9 Udowodnić stwierdzenie 3.3.
15
Wykład 4
2003.10.22 / 2h
4.1 Przedłużanie miar dodatniej z półpierścienia na pierścień
Niech X = " oraz H1, H2 ‚" 2X i µ1, µ2 bÄ™dÄ… funkcjami zbiorów okreÅ›lonymi odpowiednio na rodzinach H1, H2.
Definicja 4.1 Mówimy, że funkcja zbioru µ2 jest przedÅ‚użeniem funkcji zbioru µ1 (µ1 jest zawężeniem µ2)wtedy i tylko
wtedy, gdy
H1 ‚" H2 (4.1)
"A"H µ1(A) = µ2(A) (4.2)
1
Twierdzenie 4.1 Niech µ bÄ™dzie miarÄ… dodatniÄ… na półpierÅ›cieniu H. Wówczas µ jednoznacznie przedÅ‚uża siÄ™ do miary
dodatniej na p(H). Ponadto otrzymana miara dodtania jest skoÅ„czona (à - skoÅ„czona), jeÅ›li µ byÅ‚a skoÅ„czona (à - skoÅ„czona).
4.2 Miara zewnętrzna
Definicja 4.2 Funkcję : 2X R *" {+ "} nazywamy miarą zewnętrzną wtedy i tylko wtedy, gdy
- nieujemna '" (") = 0 (4.3)
" "
"{A :n 1}‚"2X "A‚"2X A ‚" An Ò! (A) (An) (4.4)
n
n=1 n=1
Wniosek 4.1 Miara zewnetrzna jest à - subaddytytwna.
Twierdzenie 4.2 Miara zewnętrzna jest monotoniczna i póładdytywna na 2X.
Definicja 4.3 Niech µ bÄ™dzie miarÄ… na pierÅ›cieniu H podzbiorów X. OkreÅ›lamy funkcjÄ™ µ : 2X R *" {+ "}
Å„Å‚
0 dla A = "
ôÅ‚
òÅ‚
" "
def
µ (A) = inf µ(an) : "{A :n 1}‚"H, An ƒ" A jeżeli {An : n 1} istnieje (4.5)
n
ôÅ‚
n=1 n=1
ół
+ " jeżeli ciąg zbiorów nie istnieje
FunkcjÄ™ µ nazywamy miarÄ… zewnÄ™trznÄ…1 generowanÄ… przez miarÄ™ µ.
Twierdzenie 4.3 Funkcja określono wzorem (4.5) jest miarą zewnętrzną.
4.3 Zadania
Zadanie 4.1 Podać przykÅ‚ad miary zewnÄ™trznej na 2X dla której klasa wszystkich zbiorów µ mierzalnych skÅ‚ada siÄ™ z caÅ‚ej
przestrzeni i zbioru pustego.
1
Tak możemy mówić, gdy udowodnimy twierdzenie poniższe
16
Zadanie 4.2 Znalezć miarę zewnętrzną i określić à - ciało zbiorów mierzalnych względem tej miary jeśli X = {a, b, c}, H =
{", {a}}, µ(") = 0, µ({a}) = 1.
Zadanie 4.3 Niech X = R, H = {(k, k + 1] : k " Z} *" {"}, µ(") = 0, µ((k, k + 1]) = 1, k " Z, gdzie H półpierÅ›cieÅ„. Skonstru-
ować przedłużenie miary na pierścień, a następnie miarę zewnętrzną indukowaną przez przedłużenie miary z półpierścienia.
Policzyć
1
(i) µ ({ })
2
1 3
(ii) µ (( , ))
2 2
(iii) µ (N)
Zadanie 4.4 Dany jest ciÄ…g miar µn, n 1 okreÅ›lony na à - ciele H podzbiorów X. OkreÅ›lmy funkcjÄ™ µ nastÄ™pujÄ…co µ(A) =
"
µi(A) dla A " H. Czy µ jest miarÄ… ? Odpowiedz uzasadnij.
i=1
17
Wykład 5
2003.10.29 / 2h
5.1 Miara zewnętrzna c.d.
Definicja 5.1 Niech bÄ™dzie miarÄ… zewnÄ™trznÄ… i niech A ‚" X. Mówimy, że A jest zbiorem - mierzalnym wtedy i tylko
wtedy, gdy
"B‚"X (B) = (B )" A) + (B \ A) (5.1)
Uwaga 5.1 Ponieważ miara jest póładdytywna, więc warunek definicji zbioru mierzalnego może być zapisany następująco
"B‚"X (B) (B )" A) + (B \ A) (5.2)
Uwaga 5.2 Jeżeli miara zewnÄ™trzna bedzie ustalaona to zbiór µ - mierzalny bÄ™dziemy nazywali zbiórem miarzalny.
Lemat 5.1 Jeżeli A jest mierzalny, to A jest również mierzalny.
Lemat 5.2 Dla dowolnej miary zewnetrznej mierzalne sÄ… zbiory " oraz X
Twierdzenie 5.1 (Caratheodory ego.) Niech będzie miarą zewnętrzną na 2X i nich S będzie rodziną zbirów -
mierzalnych. Wówczas rodzina S jest à - ciałem oraz obcięta do S jest miarą.
Definicja 5.2 Mówimy, że miara µ na à - ciele F jest zupeÅ‚na wtedy i tylko wtedy, gdy
"A"F "B‚"Aµ(A) = 0 Ò! B " F (5.3)
Twierdzenie 5.2 Miara z twierdzenia (5.1) jest zupełna.
Uwaga 5.3 Oznaczmy miarÄ™ na à - ciele S przez µ.
Definicja 5.3 Mówimy, że miara µ na à - ciele S jest przedÅ‚użeniem miar z pierÅ›cienia H wtedy i tylko wtedy, gdy
H ‚" S (5.4)
Twierdzenie 5.3 Jeżeli S jest à - ciaÅ‚em podzbiorów mierzalnych generowanym przez miarÄ™ z pierÅ›cienia H, to H ‚" S
Lemat 5.3 Niech µ bÄ™dzie miarÄ… à - skoÅ„czonÄ… na pierÅ›cieniu H. Wtedy miara zewnÄ™trzna µ generowana przez miarÄ™ µ
jest na 2X jest à - skoÅ„czona oraz miara µ na S jest również à - skoÅ„czona.
Uwaga 5.4 Od tej pory uważamy, że miara zewnętrzna była generowana z miary na pierścieniu.
18
5.2 Zadania
Zadanie 5.1 Udowodnić, że zbiór A jest mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy
"U‚"A"V ‚"A (U *" V ) = (U) + (V ) (5.5)
Zadanie 5.2 Udowodnić, że jeżeli S jest à - ciałem podzbiorów mierzalnych generowanym przez miarę z pierścienia H, to
Ãp(H) ‚" Ãa(H) ‚" S (5.6)
Zadanie 5.3 Dla A " 2X określamy
" "
µ def inf µ(An) : {An : n 1} ‚" S '" An ƒ" A . (5.7)
=
n=1 n=1
Udowodnić, że µ = µ .
Zadanie 5.4
ńłWyznaczyć à - ciało zbiorów mierzalnych względem miar zewnętrznych:
0 A = "
òÅ‚
(i) µ (A) = 1 A = {a}
ół
Å„Å‚+ " A = " '" A = {a}
0 A = "
òÅ‚
(ii) µ (A) = n card A = n
ół
+ " card A 5!0
0 A = "
(iii)] µ (A) =
1 A = "
Zadanie 5.5 Dana jest przestrzeÅ„ z miarÄ… à - skoÅ„czonÄ… (X, H, µ). Udowodnić, że istnieje przeliczalna rodzina podzbiorów
rozłącznych X taka, że każdy z nich ma miarę skończoną oraz w sumie dają całą przestrzeń X.
19
Wykład 6
2003.11.05 / 2h
6.1 Przedłużanie miary na à - pierścień
Twierdzenie 6.1 PrzedÅ‚użenie à - skoÅ„czonej miary µ z pierÅ›cienia H na Ãp(H) jest jednoznaczne i à - skoÅ„czone.
Twierdzenie 6.2 Niech µ bÄ™dzie à - skoÅ„czonÄ… miara na pierÅ›cieniu H, µ jej przedÅ‚użenie na Ãp(H). Wtedy
"A"Ãp(H)"µ>0"C"Hµ(A) < + " Ò! µ((A \ C) *" (C \ A)) < µ (6.1)
6.2 Miara Lebesgue a
Rozważmy półpierÅ›cieÅ„ H z przykÅ‚adu (3.1) okreÅ›lony wzorem (3.5). Niech µ a" µL bÄ™dzie miara z przykÅ‚adu (3.2). Wówczas
mamy
Lemat 6.1 µL jest à - skoÅ„czonÄ… miara.
Na podstawie twierdzenia o przedÅ‚użaniu miary z półpierÅ›cienia na pierÅ›cieÅ„ (twierdzenie 4.1) miara indukowana µ na
pierścieniu p(H) jest wyznaczona jednoznacznie i jest à - skończona.
Niech µ bÄ™dzie miarÄ… zewnÄ™trznÄ… generowana przez miarÄ™ µL z pierÅ›cienia p(H) oraz niech SL bÄ™dzie rodzinÄ… podzbiorów
L
mierzalnych. Wówczas zgodnie z twierdzeniem Caratheodorego (twierdzenie 5.1) SL jest à - ciaÅ‚em oraz µ jest miarÄ… na
L
SL.
Definicja 6.1 Zbiory z à - ciaÅ‚a SL nazywamy zbiorami mierzalnymi Lebesgue a, natomiast miarÄ™ µ na SL nazywamy
L
jednowymiarowÄ… miara Lebesgue a i oznaczamy m1 a" m.
Ponadto zachodzą następujące zawierania
H ‚" p(H) ‚" B(R) ‚" SL (6.2)
Uwaga 6.1 Wykorzystaliśmy następujące twierdzenie
Ãa({] - ", a] : a " R}) = B(R) (6.3)
Uwaga 6.2 Oznaczamy jednowymiarowÄ… miarÄ™ Lebesgue a przez m a" m1 a" µL
Miara Lebesgue a w Rd (d " N).
Przykład 6.1 Niech X = Rd. Określmy rodzinę
d
Hd def ]an, bn] : - " < an < bn < + " '" 1 n d *" {"} (6.4)
=
n=1
Stwierdzenie 6.1 Rodzina Hd określona równaniem (6.4) jest półpierścieniem.
20
Przykład 6.2 Niech dany będzie półpierścień Hd z przykładu (6.1). Określmy funkcję zbiorów na Hd następująco
d d
def def
µL,d(") = 0 i µL,d( ]an, bn]) = (bn - an) dla ]a, b] " Hd (6.5)
n=1 n=1
Stwierdzenie 6.2 Funkcja zbiorów µL,d zdefiniowana równaniem (6.5) na półpierÅ›cieniu Hd jest miara.
Lemat 6.2 µL,d jest à - skoÅ„czonÄ… miarÄ….
Powtarzają cały ciąg rozumowania, jak dla jednowymiarowej miary Lebesgue a otrzymujemy następującą definicję:
Definicja 6.2 Zbiory z à - ciaÅ‚a SL,d nazywamy zbiorami mierzalnymi Lebesgue a, natomiast miarÄ™ µ na SL,d nazywamy
L,d
d - wymiarowÄ… miara Lebesgue a i oznaczamy md.
Ponadto zachodzą następujące zawierania
Hd ‚" p(Hd) ‚" B(Rd) ‚" SL,d (6.6)
Twierdzenie 6.3
"x"Rµ({x}) = 0 (6.7)
µ(Q) = 0 (6.8)
"A‚"R card(A) 5!0 Ò! µ(A) = 0 (6.9)
"a,b"a < b Ò! µ([a, b]) = b - a (6.10)
Przykład 6.3 (Konstrukcja zbioru Cantora.)
Niech I0 = [0, 1]. Określamy indukcyjnie dla n " N zbiory In następująco
1 2 1
In = In-1 + + In-1 . (6.11)
3 3 3
Niech
"
def
C = In (6.12)
n=0
Zbiór C nazywamy zbiorem Cantora. Jest on nieprzeliczalny1. Ponadto m(C) = 0.
6.3 Zadania
Zadanie 6.1 Niech µ miara à - skoÅ„czona na à - ciele podzbiorów borelowskich Rn speÅ‚nia warunki:
µ({x : 0 < xi 1, i = 1, . . . , n}) = 1, (6.13)
n
"E"B(Rn "a"R µ(E) = µ(E + a), (6.14)
)
Udowodnić, że µ pokrywa siÄ™ z miarÄ… Lebesgue a na Rn.
Zadanie 6.2 Policzyć miarę Lebesgue a w R2 następujących zbiorów:
" prosta;
" odcinek.
1
Porównaj wykłady ze Wstepu do matematyki i/lub Topologii
21
Wykład 7
2003.11.12 / 2h
7.1 Miara Lebesgue a c.d.
Przykład 7.1 (Konstrukcja zbioru niemierzalnego Lebesgue a.)
Niech I = [0, 1[.Rozważmy relacjÄ™ R ‚" I × I okreÅ›lonÄ… nastepujÄ…co
"x,y"IxRy Ô! x - y " Q. (7.1)
def
Wtedy R jest relacją równoważności. Niech A = I/R będzie przestrzenia ilorazową. Niech B będzie zbiorem reprezentantów
klas abstrakcji tej relacji (istnieje na mocy pewnika wyboru). B jest ustalone. definiujemy zbiory Ar dla r " Q)"I nastepujÄ…co:
Ar def {x + r(mod1) : x " B} a" {x + r : x " B '" x + r " I} *" {x + r - 1 : x " B '" x + r > 1} . (7.2)
=
Wówczas
I = Ar (7.3)
r""Q)"I
"r,q"Q)"Ir = q Ò! Ar )" Aq = " (7.4)
m(Ar) = m(I) = 1 (7.5)
7.2 Miara Lebesgue a - Stieltjesa
Rozumowanie dla jednowymiarowej miary Lebesgue a można powtórzyć dla miary z przykłady (3.3). Otrzymamy wtedy
Definicja 7.1 Zbiory z à - ciaÅ‚a SF nazywamy zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue a - Stieltjesa, natomiast miarÄ™ µ
F
na SF nazywamy jednowymiarowÄ… miarÄ… Lebesgue a - Stieltjesa i oznaczamy µF .
Ponadto zachodzą następujące zawierania
HL ‚" p(HL) ‚" B(R) ‚" SF (7.6)
Definicja 7.2
def
F (x-) = lim F (x) (7.7)
0
xx-
0
Twierdzenie 7.1
"x"RµF ({x}) = F (x) - F (x-) (7.8)
Twierdzenie 7.2 Jeżeli F a" Id, to miara Lebesgue a - Stieltjesa pokrywa się z miarą Lebesgue a.
Lemat 7.1 Funkcja rzeczywista niemalejąca na co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości.
Twierdzenie 7.3 Istnieje co najwyżej przeliczalny zbiór F ‚" R taki, że
"x"FµF ({x}) > 0 (7.9)
22
7.3 Odwzorowania mierzalne
Definicja 7.3 Niech X = ", a H i à - ciało jego podzbiorów. Parę (X, H) nazywamy przestrzenią mierzalną, zaś zbiory z H
nazywamy mierzalnymi.
Jeżeli dodatkowo okreÅ›lona jest miara µ na H to trójkÄ™ (X, H, µ) nazywamy przestrzeniÄ… z miarÄ….
Jeżeli w przestrzeni z miarÄ… mamy µ(X) = 1, to takÄ… przestrzeÅ„ nazywamy przestrzeniÄ… probabilistycznÄ….
Definicja 7.4 Niech dane będą dwie przestrzenie mierzalne (X1, H1) i (X2, H2) oraz odwzorowanie T : X1 X2. Mówimy,
że jest ono H1 - H2 mierzalne wtedy i tylko wtedy, gdy
-1
"B"H T (B) " H1. (7.10)
2
Jeżeli X2 = R, zaś H2 = B(R) i T jest H1 - H2, to mówimy, że T jest H1 - mierzalne.
Rozważamy dwie przestrzenie mierzalne (X, H1) i (Y, H2) oraz odwzorowanie T : X1 X2.
Stwierdzenie 7.1 Jeżeli H1 = 2X, to dowolne odwzorowanie jest H1 - H2 mierzalne.
Twierdzenie 7.4 Niech H2 = Ãa(F), gdzie F Ä…" 2Y . Wówczas odwzorowanie T jest H1 - H2 mierzalne wtedy i tylko wtedy,
gdy
-1
"B"F T (B) " H1. (7.11)
Twierdzenie 7.5 Niech (X, H) będzie przestrzenią mierzalną oraz f : X R następujące warunki są równoważne
f jest H - mierzalna (7.12)
"a"Rf-1(] - ", a[) = {x " X : f(x) < a} " H (7.13)
"a"Rf-1(] - ", a]) = {x " X : f(x) a} " H (7.14)
"a"Rf-1(]a, - ", [) = {x " X : f(x) > a} " H (7.15)
"a"Rf-1([a, - ", [) = {x " X : f(x) a} " H (7.16)
Stwierdzenie 7.2 Niech f będzie H - mierzalna. Wówczas
"a"Rf-1({a}) " H (7.17)
Uwaga 7.1 Jeżeli rozważamy funkcje ze zbioru mierzalnego X w rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych tzn. f : X R.
Wówczas rodzina
def
H = ]a1, b1[, ]a2, b2], [a3, b3[, [a4, b4] : ai, bi " R '" ai bi '" i = 1, 2, 3, 4 (7.18)
jest półalgebrą (półciałem), zaś rodzina zbiorów borelowskich określona jest następująco
def
B(R) = {A, A *" {+ "} , A *" {- "} , A *" {+ ", - "} : A " B(R)} (7.19)
Wtedy funkcja f jest H-B(R) jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z warunków (7.13 7.16) twierdzenia
7.5 dla dowolnej liczby a " R
Uwaga 7.2 Często będziemy mówili zamiast funkcja H - B(R) - mierzalna, funkcja H - mierzalna.
Definicja 7.5 Niech X będzie przestrzenią metryczną, zaś H = B(X). B(X) - mierzalną funkcję f : Y R nazywamy
borelowskÄ….
Definicja 7.6 Niech d " N. Niech SL,d będzie à - ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue a w Rd. Niech ponadto
X " SL,d. SL,d - mierzalnÄ… funkcjÄ™ f: X R nazywamy funkcjÄ… mierzalnÄ… w sensie Lebesgue a.
Twierdzenie 7.6 Niech d " N. Wówczas C(Rd) jest podzbiorem funkcji borelowskich.
Twierdzenie 7.7 Niech d " N. Niech X " B(Rd) oraz f : X R będzie funkcją borelowską. Wówczas mierzalna w sensie
Lebesgue a.
23
Twierdzenie 7.8 Dane sÄ… przestrzenie mierzalne (Xi, Hi) dla i = 1, 2, 3 oraz odwzorowanie H1 H2 mierzalne T : X1 X2
i H2 H3 mierzalne S : X2 X3. Wówczas s odwzorowanie S ć% T : X1 X3 jest H1 H3 mierzalne.
Wniosek 7.1 Niech dana będzie przestrzeń mierzalna (X, H) oraz funkcje fi : X R H - mierzalne dla i = 1, . . . , d, zbiór
A " B(Rd) będzie taki, że
"x"X(f1(x), . . . , fd(x)) " A, (7.20)
a funkcja F : A R będzie borelowską. Wtedy złożenie odwzorowań F ć% (f1, . . . , fd) jest odwzorowaniem H B(R) - mierzalną
Wniosek 7.2 Niech f, g : R R będą funkcjami borelowskimi. Wówczas g ć% f jest funkcją borelowską.
7.4 Zadania
Zadanie 7.1 Udowodnić, że miara Lebesgue a jest niezmiennicza na przesunięcia tzn. jeżeli A " SL, to dla dowolnego r " R
zachodzi r + A " SL oraz m(r + A) = m(A).
Zadanie 7.2 Niech HY będzie à - ciałem podzbiorów Y. Udowodnić, że
def
-1 -1
T (HY ) = T (B) : B " HY (7.21)
jest à - ciałem podzbiorów X.
Przyjmijmy następujące definicje
Definicja 7.7 Niech X, Y będą zbiorami, zaś T : X Y . Niech A ą" X. Wówczas
{T (x) : x " A} dla A = "
def
T (A) = , (7.22)
" dla A = "
nazywamy obrazem zbioru A przy odwzorowaniu T .
Niech B ą" Y . Wówczas
{x : T (x) " B} dla B = "
def
-1
T (B) = , (7.23)
" dla B = "
nazywamy przeciwobrazem zbioru B przy odwzorowaniu T .
Zadanie 7.3 Niech T : X Y . Udowodnić, że dla dowolnych {A1, A2, A1 : 1 " I} ą" 2X oraz {B1, B2, B1 : 1 " I} ą" 2Y
zachodzi
T (A1) \ T (A2) Ä…" T (A1 \ A2) (7.24)
T ( A1) = T (A1) (7.25)
1"I 1"I
T ( A1) Ä…" T (A1) (7.26)
1"I 1"I
-1 -1 -1
T (B1 \ B2) = T (B1) \ T (B2) (7.27)
-1 -1
T ( B1) = T (B1) (7.28)
1"I 1"I
-1 -1
T ( B1) = T (B1) (7.29)
1"I 1"I
Zadanie 7.4 Niech H1 = {", X}. Wyznaczyć wszystkie odwzorowania H1 - H2 mierzalne.
Zadanie 7.5 X = ", H = {", X}. Opisać wszystkie funkcje H - mierzalne.
Zadanie 7.6 X = {a, b, c, d}, H = {", {a}, {b, c, d}, {a, b, c, d}}. Opisać wszystkie funkcje H - mierzalne.
Zadanie 7.7 X = ", H = {", A, A , X}. Opisać wszystkie funkcje H - mierzalne.
Zadanie 7.8 X = R, H = {A *" (-A)}. Opisać wszystkie funkcje H - mierzalne.
24
Zadanie 7.9 Niech a, b " R oraz a < b. Pokazać, że H - mierzalną jest funkcja
Å„Å‚
b gdy f(x) > b
òÅ‚
fa,b(x) = f(x) gdy a f(x) b , (7.30)
ół
a gdy f(x) < a
o ile H - mierzalną była funkcja f.
Zadanie 7.10 Pokazać, że istnieje nieprzeliczalna rodzina funkcji mierzalnych taka, że g(x) = sup fą(x) jest funkcją nie-
Ä…"I
mierzalnÄ….
Zadanie 7.11 Niech X = {1, 2, 3} oraz niech H = {X, ", {1}, {2, 3}} będzie à - ciałem. Zdefiniujmy funkcję f następująco
1 3
f(1) = 1, f(2) = , f(3) = . Czy jest ona H - mierzalna?
2 2
Zadanie 7.12 Niech X = " oraz H = 2X. Opisać klasę wszystkich funkcji H - mierzalnych.
Zadanie 7.13 Opisać klasę funkcji H - mierzalnych dla à - ciała H = {A ą" R : A ą 1 = A}, gdzie, X = R.
25
Wykład 8
2003.11.19 / 2h
8.1 Działania na funkcjach mierzalnych
Niech dana będzie przestrzeń mierzalna (X, H).
Twierdzenie 8.1 Niech dane będą H - mierzalne odwzorowania fi : X R dla i = 1, 2 oraz liczba rzeczywista c. Wówczas
H - mierzalne są następujące odwzorowania:
(i) c · f1
(ii) f1 + f2;
(iii) f1 - f2;
(iv) f1 · f2;
(v) min(f1, f2);
(vi) max(f1, f2);
(vii) |f1|;
1
(viii) o ile 0 " f1(X).
/
f1
Wniosek 8.1 Niech dane będzie H - mierzalne odwzorowanie f : X R. Wówczas H - mierzalne są następujące odwzoro-
wania:
(i) f+ def max(f, 0);
=
(ii) f- def max(-f, 0).
=
Uwaga 8.1 f+ i f- nazywamy częścią nieujemną i niedodatnią funkcji f. Zachodzą pondato wzór
f- = - min(f, 0) '" |f| = f+ + f- (8.1)
Wniosek 8.2 Każda H - mierzalna funkcja może być przedstawiona jednoznacznie w postaci różnicy dwóch nieujemnych i
H - mierzalnych funkcji.
Twierdzenie 8.2 Niech dany będzie ciąg fi : X R : i " N odwzorowań H - mierzalnych. Wówczas H - mierzalne są
następujące funkcje:
(i) sup fn(x)
n"N
(ii) inf fn(x)
n"N
(iii) lim sup fn(x)
n "
(iv) lim inf fn(x).
n "
W szczególności funkcja f(x) = lim fn(x) jest H - mierzalna o ile istnieje granica. A ponadto zbiór
n "
{x " X: ciąg {fn: n 1} jest zbieżny w R} (8.2)
jest elementem H.
Uwaga 8.2 W twierdzeniu mowa jest dokładnie o funkcjach H - B(R) - mierzalnych
26
Zadanie 8.1 Istnieje rodzina funckji {fą: X R : ą " I} H - mierzalnych, taka że sup fą(x) nie jest H - mierzalna.
Ä…"I
Stwierdzenie 8.1 Niech dany będzie ciąg {fn : X R : n " N} odwzorowań H - mierzalnych i przyjmujących wartości
"
rzeczywiste takich, że szereg fn(x) jest zbieżny punktowo. Wtedy jest on H - mierzalny i przyjmuje wartości rzeczywiste.
n=1
Stwierdzenie 8.2 Niech dany będzie ciąg {fn : X R : n " N} odwzorowań H - mierzalnych i nieujemnych. Wtedy szereg
"
fn(x) jest H - mierzalny (dokładniej H - B(R) - mierzalny) i przyjmuje wartości z R.
n=1
8.2 Pojęcie funkcji prostej
Niech dana będzie przestrzeń mierzalna (X, H).
Definicja 8.1 FunkcjÄ™ f : X R nazywamy prostÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy
card f(X) < 5!0. (8.3)
Inaczej to można zapisać
n n
"n"N"{A ,...,An}‚"2X "{a ,...,an}‚"R ("1 i
1 1 k
k=1 k=1
Stwierdzenie 8.3 Jeżeli {An : n 1} ‚" H, to funkcja f wystÄ™pujÄ…ca w definicji 8.1 jest H - mierzalna.
8.3 Zadania
Zadanie 8.2 Niech dany będzie ciąg odwzorowań {fn : R R : n " N} borelowskich oraz funkcja f będąca granicą punktową
tego ciÄ…gu. Wtedy f jest borelowska.
Zadanie 8.3 Niech f = ÇA. Udowodnić, że f jest H - mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy A " H
27
Wykład 9
2003.11.26 / 2h
9.1 Funkcje proste twierdzenie o aproksymacji
Niech dana będzie przestrzeń mierzalna (X, H).
Twierdzenie 9.1 (Twierdzenie o aproksymacji funkcjami prostymi.) Jeżeli f jest nieujemną funkcją o wartościach
w R określoną na X. Wówczas istnieje niemalejący ciąg nieujemnych funkcji prostych zbieżnych punktowo do f.
Wniosek 9.1 Jeżeli f jest funkcją rzeczywistą określoną na X. Wówczas istnieje ciąg funkcji prostych zbieżnych punktowo
do f.
Wniosek 9.2 (Charakteryzacja nieujemnych funkcji H - mierzalnych za pomoc funkcji prostych.)
Niech f : X R nieujemna funkcja. Wówczas f jest H - mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niemalejący ciąg
nieujemnych funkcji prostych H - mierzalnych zbieżnych punktowo do funkcji f.
Stwierdzenie 9.1 Załóżmy, że dla funkcja f z wniosku 9.2 zachodzi sup f(x) < + ". Wówczas
x"X
sup |f(x) - fn(x)| 0 dla n ", (9.1)
x"X
gdzie fn jest ciągiem występującym we wniosku 9.2.
Wniosek 9.3 (Charakteryzacja funkcji H - mierzalnych za pomoc funkcji prostych.) Niech f : X R funkcja.
Wówczas f jest H - mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg funkcji prostych H - mierzalnych zbieżnych punktowo do
funkcji f.
9.2 Funkcje równoważne. Zbieżność prawie wszędzie (względem miary)
Niech dana bÄ™dzie przestrzeÅ„ (X, H, µ) z miarÄ… dodatniÄ…. Niech P bÄ™dzie pewnÄ… wÅ‚asnoÅ›ciÄ… okreÅ›lonÄ… dla elementów zbioru
X.
Definicja 9.1 Mówimy, że wÅ‚asność P zachodzi prawie wszÄ™dzie wzglÄ™dem miary µ wtedy i tylko wtedy, gdy
{x " X : P(x) nie zachodzi} " H (9.2)
µ({x " X : P(x) nie zachodzi}) = 0. (9.3)
Zapisujemy P(x) p.w. (modµ) na X.
Uwaga 9.1 Jeżeli przestrzeń z miarą jest określona jednoznacznie, to będziemy zapisywać P(x) p.w.
28
Definicja 9.2 Niech A " H oraz f, g: A R mówimy, że funkcje f i g sÄ… równoważne wzglÄ™dem miary µ na zbiorze A
wtedy i tylko wtedy, gdy
{x " A : f(x) = g(x)} " H (9.4)
µ({x " A : f(x) = g(x)}) = 0. (9.5)
Oznaczamy f = g p.w. wzglÄ™dem µ na A lub f = g(modµ) albo f <" g.
Uwaga 9.2 Jeżeli przestrzeń z miarą jest określona jednoznacznie, to będziemy zapisywać f = g p.w.
Twierdzenie 9.2 Niech (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z miarÄ… zupeÅ‚nÄ…. Niech A " H. Załóżmy, że funkcja f : A R jest
H - mierzalna oraz niech funkcja g : A R będzie taka, że f = g p.w. Wówczas funkcja g jest H - mierzalna
Stwierdzenie 9.2 Niech {f, g} ‚" C(R) oraz f = g p.w. wzglÄ™dem miary Lebesgue a. Wtedy f = g wszÄ™dzie na R.
Definicja 9.3 Niech f, fn : X R : n " N . Mówimy, że ciąg funkcji {fn : n " N} jest zbieżny prawie wszędzie względem
miary µ na X do funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy
"A"Hµ(A) = 0 '" "x"X\A lim fn(x) = f(x) (9.6)
n "
Oznaczamy fn f p.w. wzglÄ™dem µ na X lub fn f(modµ).
Stwierdzenie 9.3 Jeżeli fn f(modµ) i fn g(modµ), to f = g(modµ).
Twierdzenie 9.3 Niech (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeÅ„ z miarÄ… zupeÅ‚nÄ…. Niech ponadto fn : X R : n " N dany bÄ™dzie ciÄ…g
funkcji H - mierzalnych oraz funkcja f: X R taki, że fn f(modµ). Wtedy funkcja f jest H - mierzalna.
9.3 Zadania
Zadanie 9.1 Udowodnić stwierdzenie 9.1.
Zadanie 9.2 Niech (R, SL, m). Udowodnić, że ciąg {fn : n 1} funkcji mierzalnych określonych wzorem
def
" fn(x) = sinn(x3 - nx),
def
" fn(x) = = exp(-n sin2 Ä„x)
jest p.w. zbieżny. Policzyć granicę punktową.
Zadanie 9.3 Niech (R, SL, m). Udowodnić, że jeśli ciąg {fn, f : n 1} funkcji mierzalnych spełnia warunek fn f(mod
m), to
"µ>0"a>0 lim m({x " [-a, a] : |fn(x) - f(x)| µ}) 0. (9.7)
n "
29
Wykład 10
2003.12.03 / 2h
10.1 Zbieżność prawie wszędzie (względem miary)
Niech dana bÄ™dzie przestrzeÅ„ (X, H, µ) z miarÄ… dodatniÄ….
Definicja 10.1 Mówimy, że ciÄ…g {fn : X R : n " N} jest prawie wszÄ™dzie wzglÄ™dem µ ciÄ…giem Cauchy ego wtedy i tylko
wtedy, gdy
"A"Hµ(A) = 0 Ò! "x"A "µ>0"n "N"N m,n n |fm(x) - fn(x)| < µ (10.1)
0 0
Twierdzenie 10.1 Niech fn : X R : n " N oraz f : X R. Wówczas fn f(modµ) wtedy i tylko wtedy, gdy ciÄ…g
{fn : n " N} jest prawie wszędzie ciągiem Cauchy ego
Twierdzenie 10.2 (Twierdzenie Jegorowa.) Niech (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeÅ„ z miarÄ… skoÅ„czonÄ…. Niech bÄ™dzie dany ciÄ…g
{f, fn : X R : n " N} funkcji H - mierzalnych taki, że fn f(modµ). Wtedy
"µ>0"A "Hµ(Aµ) < µ '" lim sup |fn(x) - f(x)| = 0 (10.2)
µ
n "
x"A
µ
Stwierdzenie 10.1 Jeżeli f jest H - mierzalna funkcjÄ… takÄ…, że "a>0µ({x " X : |f(x)| a}) = 0, to f = 0(modµ)
Lemat 10.1 Niech µ(X) < + " oraz {f, fn : X R : n " N} bÄ™dzie ciÄ…giem funkcji H - mierzalnych. Wówczas
"
fn f(modµ) Ô! "µ>0 lim µ( {x " X : |fk(x) - f(x)| µ}) = 0 (10.3)
n "
k=n
Lemat 10.2 Niech µ(X) < + " oraz {f, fn : X R : n " N} bÄ™dzie ciÄ…giem funkcji H - mierzalnych. Wówczas
"
"µ>0 µ({x " X : |fk(x) - f(x)| µ}) < + " Ò! fn f(modµ) (10.4)
n=1
10.2 Zbieżność względem miary
Niech dana bÄ™dzie przestrzeÅ„ (X, H, µ) z miarÄ… dodatniÄ….
Definicja 10.2 Niech {f, fn : X R : n " N}. Mówimy, że ciąg {fn : n " N} funkcji H - mierzalnych jest zbieżny według
miary µ na X do funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy
"µ>0 lim µ({x " X : |fn(x) - f(x)| µ}) = 0 (10.5)
n "
µ
Oznaczamy fn f lub µ- lim fn = f.
n "
µ µ
Twierdzenie 10.3 Jeżeli fn f i fn g, to f = g(modµ).
30
PrzykÅ‚ad 10.1 Niech X = [0, 1], H - à - ciaÅ‚o podzbiorów [0, 1] mierzalnych w sensie Lebesgue a, µ miara Lebesgue a na
X. Określamy ciąg funkcji:
f1 = Ç[0,1],
f2 = Ç[0,2-1 , f3 = Ç[2-1 ,
] ,1]
. . . . . .
f2k = Ç[0,2-k , f2k = Ç[2-k , . . ., f2k+1 = Ç[(2k ,
] +1 ,2·2-k] -1 -1)2-k,1]
f(x) = 0 dla x " [0, 1].
µ
Wówczas fn f, ale ciąg fn nie ma granicy w żadnym punkcie.
10.3 Zadania
" " "
1
Zadanie 10.1 Udowodnić lemat 10.1. Skorzystać z zależności x " X: |fj(x) - f(x)| .
k
n=1
k=1 j=n
Zadanie 10.2 Udowodnić lemat 10.2.
Zadanie 10.3 Udowodnić, że twierdzenie Jegorowa (twierdzenie 10.2) jest prawdziwe, dla funkcji p.w. skończonych.
Zadanie 10.4 Udowodnić, że nie istnieje granica punktowa ciągu funkcji z przykładu 10.1.
31
Wykład 11
2003.12.10 / 2h
11.1 Zbieżność względem miary c.d.
Niech dana bÄ™dzie przestrzeÅ„ (X, H, µ) z miarÄ… dodatniÄ….
Wniosek 11.1 Ze zbieżności według miary nie wynika zbieżność prawie wszędzie. Co więcej nie wynika zbieżność choćby w
jednym punkcie.
PrzykÅ‚ad 11.1 Niech X = R, H - à - ciaÅ‚o podzbiorów R mierzalnych w sensie Lebesgue a, µ miara Lebesgue a na X.
OkreÅ›lamy ciÄ…g funkcji fn = Ç[n,+ "[ oraz f = 0. Wtedy dla dowolnego x " R mamy lim fn(x) = 0 oraz dla dowolnego
n "
1 > µ > 0 i n " N jest µ({x " R : |fn(x) - f(x)| µ}) = + ".
Wniosek 11.2 Ze zbieżności prawie wszędzie nie wynika zbieżność według miary.
Twierdzenie 11.1 (Lebesgue a.) Niech {f, fn : X R : n " N} bÄ™dzie ciÄ…giem funkcji H - mierzalnych oraz µ(X) < + ".
Wtedy
µ
fn f(modµ) Ò! fn f. (11.1)
Definicja 11.1 H - mierzalny ciÄ…g funkcji {fn : X R : n " N} nazywamy ciÄ…giem Cauchy ego (fundamentalnym) wzglÄ™-
dem miary wtedy i tylko wtedy, gdy
"µ>0"´>0"n "N"m,n n µ({x " X|fm(x) - fn(x)| µ}) < ´ (11.2)
0 0
µ
Twierdzenie 11.2 Jeżeli fn f, to ciąg {fn : n " N} jest ciągiem Cauchy ego względem miary.
Uwaga 11.1 We wszystkich twierdzeniach będziemy rozważać funkcje H - mierzalne.
Twierdzenie 11.3 Niech {fn : X R : n " N} będzie ciągiem Cauchy ego względem miary. Istnieje wówczas H - mierzalna
µ
funkcja f : X R oraz podciÄ…g {fn : k " N} takie, że fn f(modµ) oraz fn f.
k k k
11.2 Zadania
Zadanie 11.1 Udowodnić twierdzenie 11.1 dla ciÄ…gu funkcji fn : X Ò! R, które sÄ… prawie wszÄ™dzie skoÅ„czone.
µ µ
Zadanie 11.2 Niech fn f oraz gn g. Udowodnić, że wtedy
µ
|fn| |f| (11.3)
µ
fn Ä… gn f Ä… g (11.4)
µ
(fn)+ f+ (11.5)
32
Wykład 12
2003.12.17 / 2h
12.1 Zbieżność względem miary c.d.
µ
Wniosek 12.1 (Twierzenie Riesza.) Niech fn f. Wtedy istnieje podciÄ…g {fn : k " N} taki, że fn f(modµ)
k k
µ
Stwierdzenie 12.1 Jeżeli fn f oraz fn g(modµ), to f = g(modµ).
µ µ
Stwierdzenie 12.2 Niech miara µ bÄ™dzie skoÅ„czona oraz fn f. Jeżeli g : X R jest H - mierzalna, to gfn gf
µ µ µ µ
2
Stwierdzenie 12.3 Niech miara µ bÄ™dzie skoÅ„czona oraz fn f i gn g. Wtedy fn f2 oraz gnfn gf
Twierdzenie 12.1 (Warunek konieczny i dostateczny zbieżności według miary.) Niech {fn : X R : n " N} będzie
ciągiem funkcji H - mierzalnych. Wówczas ciąg {fn : n " N} jest zbieżny według miary wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem
Cauchy ego względem miary.
12.2 Zadania
Zadanie 12.1 Niech dana bÄ™dzie przestrzeÅ„ z miarÄ… skoÅ„czona (X, H, µ). Udowodnić, analogicznie jak to byÅ‚o robione na
wykładzie z Rachunku prawdopodobieństwa, że ciąg funkcji jest zbieżny według miary wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego
podciąg zawiera podciąg zbieżny prawie wszędzie.
Zadanie 12.2 Powtórzyć lub ewentualnie nauczyć się materiału z topologii, o którym mówiłem na wykładzie.
Zadanie 12.3 Udowodnić stwierdzenie 12.1.
Zadanie 12.4 Udowodnić stwierdzenie 12.2.
Zadanie 12.5 Udowodnić stwierdzenie 12.3.
33
Wykład 13
2003.01.14 / 2h
13.1 Całka Lebesgue a definicja i własności
Niech (X = ") oraz (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z dodatniÄ… miarÄ….
Uwaga 13.1 Zbiór wszystkich H - mierzalnych funkcji prostych będziemy oznaczać SF, natomiast zbiór wszystkich nieujem-
nych i H - mierzalnych funkcji prostych symbolem SF+
Definicja 13.1 (Część I) Niech f: X R będzie nieujemna, H - mierzalną funkcją prostą tj. f spełnia warunek (8.4)
definicji 8.1 tzn.
n n
"{A ,...,An}‚"2X "{a ,...,an}‚"R+*"{0} ("1 i
1 1 k
k=1 k=1
Niech A " H. CaÅ‚kÄ… Lebesgue a z funkcji f po zbiorze A wzglÄ™dem miary µ nazywamy wielkość
n
def
fdµ a" f(x)dµ(x) = akµ(Ak )" A) (13.1)
k=1
A A
Definicja 13.2 (Część II) Niech f: X R będzie nieujemną funkcją H - mierzalną. Niech A " H. Całką Lebesgue a z
funkcji f po zbiorze A wzglÄ™dem miary µ nazywamy wielkość
def
fdµ a" f(x)dµ(x) = sup f(x)dµ(x) (13.2)
p"SF+:p f
A
A A
ozn
Uwaga 13.2 Bedziemu oznaczać dla nieujemnej i H - mierzalnej funkcji f K(f) = {p " SF+ : p f}.
Definicja 13.3 (Część III) Niech f: X R będzie funkcją H - mierzalną. Niech A " H. Jeżeli przynajmniej jedna z całek
f-dµ f+dµ (13.3)
A A
jest skoÅ„czona, to caÅ‚kÄ… Lebesgue a z funkcji f po zbiorze A wzglÄ™dem miary µ nazywamy wielkość
def
fdµ a" f(x)dµ(x) = f+dµ - f-dµ. (13.4)
A A A A
Jeżeli obie całki w (13.3) są skończone, to funkcje f nazywamy całkowalną w sensie Lebesgue a po zbiorze A względem miar
µ.
Uwaga 13.3 Zbiór wszystkich H - mierzalnych funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue a po zbiorze A (A " H) wzglę-
dem miary µ oznaczamy przez L(A, H, µ) bÄ…dz L(A, µ). W przypadku, gdy zarówno à - ciaÅ‚o zbiorów H jest wyznaczone
jednoznacznie, jak i miara µ wtedy oznaczamy przez L(A).
34
Lemat 13.1 fdµ = 0.
"
Lemat 13.2 Jeżeli µ(A) = 0, to fdµ = 0
A
Lemat 13.3 Jeżeli µ(A) < + " oraz f(x) = c dla wszystkich x " A i pewnego c " R, to fdµ = cµ(A).
A
Lemat 13.4 Jeżeli 0 f(x) g(x) dla wszystkich x " A i g " L(A, µ), to f " L(A, µ) oraz fdµ gdµ.
A A
Lemat 13.5 Jeżeli A = " i µ(A) < + " oraz f: A R jest ograniczona na A, to f " L(A, µ) oraz µ(A) inf {f(x)}
x"A
fdµ µ(A) sup{f(x)}.
x"A
A
13.2 Zadania
Zadanie 13.1 Udowodnić następujące własności cłki Lebesgue a
"f"SF 0 fdµ + " (13.5)
+
A
dµ = µ(A) (13.6)
A
ÇAdµ = µ(A) (13.7)
A
ÇBdµ = µ(A )" B) (13.8)
A
"f ,f2SF+"A"H"x"Xf1(x) f2(x) Ò! f1dµ f2dµ (13.9)
1
A A
f 0 Ò! 0 fdµ + " (13.10)
A
35
Wykład 14
2003.01.21 / 2h
14.1 Całka Lebesgue a własności c.d.
Niech (X = ") oraz (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z miarÄ… dodatniÄ…. Niech A " H oraz f, g: A R bÄ™dÄ… funkcjami H -
mierzalnymi.
Lemat 14.1 Jeżeli f " L(A, µ) i c " R, to c · f " L(A, µ) oraz (c · f)dµ = c fdµ.
A A
Lemat 14.2 Jeżeli H B ‚" A i f nieujemna na A, to fdµ fdµ.
B A
Lemat 14.3 Jeżeli f " L(A, µ) i H B ‚" A, to f " L(B, µ).
def
Twierdzenie 14.1 Niech f: X R bÄ™dzie funkcjÄ… nieujemnÄ… i mierzalnÄ…. Wówczas funkcja µf (A) = fdµ jest miarÄ….
Ć
A
def
Wniosek 14.1 Niech f " L(X, µ) wtedy funkcja µf (A) = fdµ jest à - addytywnÄ… funkcjÄ… zbioru.
Ć
A
Wniosek 14.2 Niech f " L(X, µ) oraz {A, B} ‚" H bÄ™dÄ… takie, że A )" B = ". Wtedy fdµ = fdµ + fdµ.
A*"B A B
Lemat 14.4 Niech f " L(X, µ) oraz {An: n " N} ‚" H bÄ™dzie rodzinÄ… monotonicznÄ…, zaÅ› A jego granicÄ…. Wtedy fdµ =
A
lim fdµ.
n "A
n
Lemat 14.5 Całka Lebesgue a nie zależy od wartości całkowanej funkcji na zbiorze miary zero tzn.
"f:AR"B"Hf " L(A, µ) '" µ(B) = 0 Ò! fdµ = fdµ.
A A\B
14.2 Zadania
36
Wykład 15
Egzamin
15.1 Zagadnienia na egzamin część teoretyczna
1. Klasy zbiorów.
(a) Półpierścień, pierścień zbiorów i ich własności.
(b) Półciało, ciało zbiorów i ich własności.
(c) à - pierścień, à - ciało, rodzina monotoniczna i ich własności.
(d) Klasy zbiorów generowane przez rodziny zbiorów i ich własności.
2. Funkcje zbiorów. Miary.
(a) Typy funkcji zbiorów i ich własności.
(b) Miara i jej własności na pewnych klasach zbiorów.
(c) Ciągłość miary.
(d) Przedłużanie miar z półpierścienia na pierścień.
(e) Miara zewnętrzna. Konstrukcja.
(f) Zbiory mierzalne względem miary zewnętrznej. Twierdzenie Caratheodory ego.
(g) Zupełność miary generowanej przez miarę zewnętrzną na à - ciele zbiorów mierzalnych.
(h) Miara Lebesgue a na prostej i jej własności.
(i) Miara Lebesgue a - Stieltjesa na prostej i jej własności.
(j) Zbiór Cantora i jego własności dla miary Lebesgue a.
(k) Konstrukcja zbioru niemierzalnego w sensie Lebesgue a.
(l) Niezmiennniczość miary Lebesgue a na przesunięcia.
3. Odwzorowania mierzalne.
(a) Własności obrazu i przeciwobrazu.
(b) Pojęcie odwzorowania H1-H2 - mierzalnego. Warunki równoważne H - mierzalności odwzorowania.
(c) Funkcje borelowskie. Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue a. Własności.
(d) Działania na funkcjach H - mierzalnych.
4. Funkcje proste.
(a) Pojęcie funkcji prostej.
(b) Funkcje proste i ich H - mierzalność.
(c) Twierdzenie o aproksymacji funkcjami prostymi.
37
5. Zbieżność ciągów funkcyjnych.
(a) Funkcje równoważne.
(b) Zbieżność prawie wszędzie.
(c) p.w. ciąg Cauchy ego, a zbieżność prawie wszędzie.
(d) Działania na ciągach zbieżnych prawie wszędzie.
(e) Twierdzenie Jegorowa.
(f) Zbieżność względem miary, a zbieżność prawie wszędzie.
(g) Ciąg Cauchy ego względem miary, a zbieżność względem miary.
(h) Działania na ciągach zbieżnych względem miary.
(i) Twierdzenie Riesza.
6. Abstrakcyjna całka Lebesgue a.
(a) Definicja całki Lebesgue a.
(b) Własności całki Lebesgue a I (Lematy 1 3).
(c) Własności całki Lebesgue a II (Lematy 4 6).
(d) Własności całki Lebesgue a II (Lematy 7 9).
(e) Twierdzenie of µf i wnioski z niego.
Ć
38
15.2 Zadania z egzaminu
1. Zbiór A ą" R2 nazywamy symetrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy z (x, y) " A, wynika (-x, -y) " A. Udowodnić, że
klasa wszystkich podzbiorów symetrycznych w R2 jest à - ciałem. Wyznaczyć rodzinę funkcji mierzalnych względem
tego à - ciała. 5pkt/25pkt
2. Udowodnić, że funkcja µ : 2X [0, + "] zadana wzorem
Å„Å‚
0 dla A = "
òÅ‚
X ‡" A µ (A) = n dla n = card A
ół
+ " dla card A 5!0
definiuje miarÄ™ zewnÄ™trznÄ… na X. Wyznaczyć à - ciaÅ‚o H zbiorów µ - mierzalnych. Jakie sÄ… funkcje H - mierzalne ?
5pkt/25pkt
1
3. Niech H = 2R. Udowodnić, że funkcja R ‡" A µ(A) = (sumowanie po liczbach naturalnych ze zbioru A).
2n
n"A
Wyznaczyć µ(R). Jakie zbiory sÄ… zbiorami miary zero ? Czy istniejÄ… dwa różne podzbiory R o równej niezerowej mierze ?
5pkt/25pkt
4. Udowodnić, że ciąg funkcji (fn) zadany wzorem fn(x) = exp(cosn(Ąx)) jest prawie wszędzie zbieżny w przestrzeni
(R, SL, m). Wyznaczyć jego granicę punktową. 5pkt/25pkt
µ µ
5. Udowodnić, że jeżeli fn f, to |fn| |f|. 5pkt/25pkt
15.3 Zadania z egzaminu poprawkowego
µ µ µ
1. Udowodnić, że jeżeli fn f oraz gn g, to fn - gn f - g. 5pkt/25pkt
2. Udowodnić, że ciąg funkcji (fn) zadany wzorem fn(x) = sinn(x3 - nx) jest prawie wszędzie zbieżny w przestrzeni
(R, SL, m). Wyznaczyć jego granicę punktową. 5pkt/25pkt
3. Czy istnieje à - ciało złożone dokładnie z 5 elementów ? Odpowidz uzasadnij. 5pkt/25pkt
4. Niech X będzie zbiorem nieskończonym oraz
H = {A Ä…" X : card A < 5!0 '" card(X \ A) < 5!0} .
Czy H jest à - ciałem ? 5pkt/25pkt
5. Niech X = {1, 2, 3} oraz H = {X, ", {1}, {2, 3}} będzie à - ciałem oraz
Å„Å‚
1 dla x = 1
òÅ‚
1
dla x = 2
f(x) = .
2
ół
3
dla x = 3
2
Czy funkja f jest H - mierzalna ? 5pkt/25pkt
39
Wykład 1
2003.02.18 /2h
1.1 Abstrakcyjna całka Lebesgue a własności c.d.
Niech (X = ") oraz (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z miarÄ… dodatniÄ…. Niech A " H oraz f, g: A R bÄ™dÄ… funkcjami H -
mierzalnymi.
Wniosek 1.1 Niech f " L(A, µ) oraz f = g(modµ) na A. Wtedy g " L(A, µ) oraz fdµ = gdµ.
A A
Lemat 1.1
f " L(A, µ) Ô! |f| " L(A, µ) (1.1)
Lemat 1.2 Niech f " L(A, µ) oraz dla dowolnego x " A zachodzi |g(x)| f(x). Wtedy g " L(A, µ).
Lemat 1.3 Jeżeli f " L(A, µ), to f jest prawie wszÄ™dzie skoÅ„czona na A.
Lemat 1.4 Niech f " L(A, µ) oraz f jest nieujemna na A i fdµ = 0. Wtedy f = 0 prawie wszÄ™dzie na A.
A
Twierdzenie 1.1 (Lebesgue a - Beppo Leviego/Lebesgue a o zbieżności monotonicznej) Niech A " H oraz niech
fn: X R : n 1 będzie ciągiem funkcji H - mierzalnych taki, że
"n 1"x"X0 fn(x) fn+1(x).
Wówczas
lim fndµ = ( lim fn)dµ (1.2)
n " n "
A A
Twierdzenie 1.2 Jeżeli {f, g} ‚" L(A, µ), to f + g " L(A, µ) oraz
(f + g)dµ = fdµ + gdµ (1.3)
A A A
1.2 Zadania
Zadanie 1.1 Niech f " L(X, µ) i niech fdµ = 0 dla dowolnego A Ä…" X. Udowodnić, że wtedy f = 0 prawie wszÄ™dzie na A.
A
Zadanie 1.2 Dokończyć dowód twierdzenia 1.2.
40
Wykład 2
2003.02.25 /2h
2.1 Abstrakcyjna całka Lebesgue a własności c.d.
Niech (X = ") oraz (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z miarÄ… dodatniÄ…. Niech A " H oraz f, g: A R bÄ™dÄ… funkcjami H -
mierzalnymi.
Twierdzenie 2.1 Niech ciąg fn: A R : n " N funkcji H - mierzalnych spełnia warunki
(i) fn " L(A, µ) dla dowolnego n 1
(ii) fn(x) fn+1(x) dla dowolnych n " N i x " A
(iii) sup fndµ < + "
n 1
A
Wtedy lim fn " L(A, µ) oraz
n "
lim fndµ = ( lim fn)dµ (2.1)
n " n "
A A
Twierdzenie 2.2 (Lemat Fatou) Niech ciąg fn: A R : n " N będzie ciągiem funkcji H - mierzalnych i nieujemnych
na zbiorze A " H. Wówczas
lim inf fndµ lim inf fndµ (2.2)
n " n "
A A
Wniosek 2.1 Niech ciąg fn: A R : n " N spełnia warunki
(i) fn jest H - mierzalna i nieujemna na A dla dowolnego n 1
(ii) fn f(modµ) na A
(iii) sup fndµ < + "
n 1
A
Wtedy f " L(A, µ).
Twierdzenie 2.3 (Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej) Niech A " H oraz niech fn: X R : n 1 będzie
ciągiem funkcji H - mierzalnych taki, że
(i) fn f(modµ) na A
(ii) istnieje g " L(A, µ) taka, że |fn(x)| g(x) dla dowolnych n " N oraz x " A.
Wówczas f jest funkcjÄ… H - mierzalnÄ… i {f, fn: n " N} ‚" L(A, µ) oraz
lim fndµ = fdµ (2.3)
n "
A A
2.2 Całka Lebesgue a zależna od parametru
Niech X = " i (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z miarÄ… i A " H. Niech (Y, d) bÄ™dzie przestrzeniÄ… metrycznÄ…, zaÅ› G zbiorem
otwartym w tej przestrzeni. Niech f: A × G R.
41
Twierdzenie 2.4 Jeżeli funkcja f spełnia warunki
(i) "t"Gf(·, t) " L(A, µ)
(ii) "Åš "Hµ(Åš1) = 0 '" "x"A\Åš f(x, ·) " C(G)
1 1
(iii) "Åš "H"g"L(A,µ)g jest H - mierzalna µ(Åš2) = 0 '" "(x,t)"(A\Åš )×G|f(x, t)| g(x).
2 2
def
Wtedy funkcja G t F (t) = f(x, t)dµ(x) jest ciÄ…gÅ‚a na G.
A
Twierdzenie 2.5 (Różniczkowanie względem parametru) Niech przy przyjętych oznaczeniach (Y, d) będzie jednowy-
miarową przestrzenią euklidesową. Jeżeli funkcja f spełnia warunki
(i) "t"Gf(·, t) " L(A, µ)
"f(x,·)
(ii) "Åš"Hµ(Åš) = 0 '" "x"A\Åš istnieje na G '" "g"L(A,µ)g jest H - mierzalna "(x,t)"(A\Åš)×G "f(x,t) g(x).
"t "t
def
Wtedy funkcja G t F (t) = f(x, t)dµ(x) jest różniczkowalna na G oraz
A
"f(x, t)
F (t) = dµ(x). (2.4)
"t
A
2.3 Zadania
42
Wykład 3
2003.03.04 /2h
3.1 Formalna zamiana zmiennych w całce Lebesgue a
Niech (X1, H1, µ1) i (X2, H2) bÄ™dÄ… odpowiednia przestrzeniÄ… z miarÄ… i przestrzeniÄ… mierzalna, zaÅ› T : X1 X2 bÄ™dzie
odwzorowaniem H1 - H2 - mierzalnym.
Definicja 3.1 MiarÄ… na H2 generowanÄ… przez miarÄ™ µ1 i odwzorowanie T nazywamy miarÄ™ µµ ,T okreÅ›lonÄ… wzorem
1
-1
"A"H µµ ,T (A) = µ1(T (A)). (3.1)
2 1
Twierdzenie 3.1 Jeżeli funkcja f: X2 R jest H2 - mierzalna, to o ile chociaż jedna z poniższych całek jest skończona, to
zachodzi równość
f(x2)dµµ ,T (x2) = f(T (x))dµ1(x) (3.2)
1
X2 X1
3.2 Przestrzenie produktowe i miary produktowe
Niech (X1, H1) i (X2, H2) będą przestrzeniami mierzalnymi.
Przyjmijmy następujące oznaczenia
ozn
X = X1 × X2
ozn
H = H1 × H2 a" {A1 × A2 : Ai " Hi '" i = 1, 2}
ozn
H = Ãa(H)
Uwaga 3.1 Para (X, H) jest przestrzeniÄ… mierzalnÄ….
Definicja 3.2 Niech A ‚" X.
Dla dowolnego x1 " X1 x1 - przekrojem zbioru E nazywamy podzbiór X2 zdefiniowany następująco
Ex def {x2 " X2 : (x1, x2) " E} . (3.3)
=
1
Dla dowolnego x2 " X2 x2 - przekrojem zbioru E nazywamy podzbiór X1 zdefiniowany następująco
2
Ex def {x1 " X1 : (x1, x2) " E} . (3.4)
=
2
Lemat 3.1 Dla dowolnych x1 " X1 oraz x2 " X2 mamy "x = " oraz "x = ".
1
Twierdzenie 3.2 Niech A " H. Wtedy
(i) "x "X1Ax " H2
1 1
2
(ii) "x "X2Ax " H1.
2
Niech f: X R.
43
Definicja 3.3 Dla dowolnego x1 " X1 x1 - przekrojem funkcji f nazywamy funkcję fx : X2 R określoną wzorem
1
"x "X2fx (x2) = f(x1, x2) (3.5)
2 1
2
Dla dowolnego x2 " X2 x2 - przekrojem funkcji f nazywamy funkcję fx : X1 R określoną wzorem
2
"x "X1fx (x1) = f(x1, x2) (3.6)
1
Twierdzenie 3.3 Jeżeli funkcja f jest H - mierzalna, to dla dowolnego x1 " X1 x1 - przekrój funkcji f jest funkcją H2 -
mierzalną oraz dla dowolnego x2 " X2 x2 - przekrój funkcji f jest funkcją H1 - mierzalną.
Niech (Xi, Hi, µi) dla i = 1, 2 bÄ™dÄ… przestrzeniami z miarami.
Lemat 3.2 Niech (Xi, Hi, µi) dla i = 1, 2 bÄ™dÄ… przestrzeniami z miarami à - skoÅ„czonymi. Istnieje wtedy dokÅ‚adnie jedna
à - skoÅ„czona miara µ na H taka, że
2
"A"Hµ(A) = µ2(Ex )dµ1(x1) = µ(A) = µ1(Ex )dµ2(x2). (3.7)
1
X1 X2
W szczególnoÅ›ci dla A = A1 × A2, gdzie Ai " Hi, µi(Ai) < + " dla i = 1, 2 mamy
µ(A1 × A2) = µ1(A1)µ2(A2). (3.8)
ozn
MiarÄ™ µ nazywamy miarÄ… produktowÄ… miar µ1 i µ2 i oznaczamy µ = µ1 × µ2 a" µ1 " µ2.
3.3 Zadania
44
Wykład 4
2003.03.11 /2h
4.1 Twierdzenie Fubiniego
Niech (Xi, Hi, µi) dla i = 1, 2 bÄ™dÄ… przestrzeniami z miarami à - skoÅ„czonymi, a (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… produktowÄ…
z miarą produktową. Niech f: X R będzie funkcją H - mierzalną.
Całki postaci
ëÅ‚ öÅ‚
íÅ‚
fx dµ2Å‚Å‚ dµ1 (4.1)
1
X1 X2
ëÅ‚ öÅ‚
2
íÅ‚
fx dµ1Å‚Å‚ dµ2 (4.2)
X2 X1
nazywamy całkami iterowanymi funkcji f, a całkę
fdµ (4.3)
X
całka podwójną.
Twierdzenie 4.1 (Fubiniego I) Niech f będzie funkcją nieujemną. Wówczas
(i) X1 x1 fx dµ2 jest H1 - mierzalne,
1
X2
2
(ii) X2 x2 fx dµ1 jest H2 - mierzalne oraz
X1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2
íÅ‚ íÅ‚
fx dµ2Å‚Å‚ dµ1 = fdµ = fx dµ1Å‚Å‚ dµ2 (4.4)
1
X1 X2 X X2 X1
Twierdzenie 4.2 (Fubiniego II) Niech f " L(X, µ). Wówczas
(i) dla prawie wszystkich x1 wzglÄ™dem miary µ1 na X1 fx jest H2 - mierzalna oraz fx " L(X2, µ2) odwzorowanie X1
1 1
x1 fx dµ2 jest klasy L(X1, µ1),
1
X2
2 2
(ii) dla prawie wszystkich x2 wzglÄ™dem miary µ2 na X2 fx jest H1 - mierzalna oraz fx " L(X1, µ1) odwzorowanie X2
2
x2 fx dµ1 jest klasy L(X2, µ2)
X1
oraz
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2
íÅ‚ íÅ‚
fx dµ2Å‚Å‚ dµ1 = fdµ = fx dµ1Å‚Å‚ dµ2 (4.5)
1
X1 X2 X X2 X1
Wniosek 4.1 Jeżeli jedna z caÅ‚ek iterowanych dla funkcji |f| jest skoÅ„czona, to funkcja f " L(X, µ), a wiÄ™c można zmieniać
kolejność całkowania w całkach iterowanych i są one równe całce podwójnej.
4.2 Zadania
45
Wykład 5
2003.03.18 /2h
5.1 Funkcje wypukłe
Materiał w paragrafie obejmuje wiadomości, które powinny być znane z Analizy Matematycznej I i II materiał I roku. Dla
przypomnienia zebrano w paragrafie definicje i twierdzenia.1
Niech P będzie niezdegenerowanym przedziałem, f: P R.
Definicja 5.1 Funkcję f nazywamy wypukłą na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy
"x,y"P "Ä…,²"R *"{0}Ä… + ² = 1 Ò! f(Ä…x + ²y) Ä…f(x) + ²f(y) (5.1)
+
Funkcję f nazywamy wklęsłą na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy -f jest wypukła.
Twierdzenie 5.1 Następujące warunki są równoważne
f jest wypukła na P (5.2)
n n n
"n"N"x ,...,xn"P "Ä… ,...,Ä…n"R+*"{0} Ä…k = 1 Ò! f( Ä…kxk) Ä…kf(xk) (5.3)
1 1
k=1 k=1 k=1
x2 - x x - x1
"x ,x2,x"P x1 < x < x2 Ò! f(x) f(x1) + f(x2) (5.4)
1
x2 - x1 x2 - x1
f(x) - f(x1) f(x2) - f(x)
"x ,x2,x"P x1 < x < x2 Ò! (5.5)
1
x2 - x x - x1
Twierdzenie 5.2 Jeżeli f jest wypukła na przedziale P, to jest ciągła na przedziale P.
Twierdzenie 5.3 Niech f " D1(P ).2 Wtedy f jest wypukła na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy f jest niemalejąca na
przedziale P.
Wniosek 5.1 Niech f " D2(P ). Wtedy f jest wypukła na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy f(2)(x) 0 dla dowolnego
punktu x z przedziału P.
Twierdzenie 5.4 Niech f " D1(P ). Wtedy f jest wypukła na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy
"x ,x"P f(x) f (x0)(x - x0) + f(x0). (5.6)
0
Twierdzenie 5.5 Niech f będzie wypukła na przedziale P, to
"x "P "(x )"R"x"P f(x) (x0)(x - x0) + f(x0). (5.7)
0 0
1
Dla zainteresowanych przypomnieniem tych wiadomości polecam podręczniki:
1. W. Rudnin Analiza rzeczywista i zespolona, PWN Warszawa
2. A. Birkholc Analiza matematyczna dla nauczycieli PWN Warszawa
2
Przez Dk(P ), gdzie k " N oznaczamy zbiór funkcji k - krotnie różniczkowalnych
46
5.2 NierównoÅ›ci Höldera, Minkowskiego, Markowa, Jensena
Niech p, q " R+.
Lemat 5.1 (Nierówność Younga) Niech p, q będą takie, że p > 1 oraz p-1 + q-1 = 1. Wtedy dla dowolnych nieujemnych
liczb a i b zachodzi nierówność
ap bq
ab + (5.8)
p q
Uwaga 5.1 Liczby p i q nazywamy wykładnikami sprzężonymi.
Uwaga 5.2 Dla p = 1 przyjmujemy, że wykładnik q = + ".
Lemat 5.2 Niech p " R+ *" {0} i {a, b} ‚" R. Wtedy
|a + b|p 2p(|a|p + |b|p) (5.9)
Jeżeli ponadto p 1, to
|a + b|p 2p-1(|a|p + |b|p) (5.10)
Niech (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z miarÄ…, f, g: X R bÄ™dÄ… funkcjami H - mierzalnymi.
Twierdzenie 5.6 (Nierówność Höldera)3 Niech p i q bÄ™dÄ… takie, że p > 1 oraz p-1 + q-1 = 1, a funkcje f i g takie, że
|f|p, |g|q " L(X, µ). Wtedy fg " L(X, µ) oraz
1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
p q
íÅ‚
|fg|dµ |f|pdµÅ‚Å‚ íÅ‚ |g|qdµÅ‚Å‚ (5.11)
X X X
Uwaga 5.3 Jeżeli p = 2 = q, to nierówność Höldera nazywamy nierównoÅ›ciÄ… Cauchy ego - Schwarza - Bunikowskiego.4
Twierdzenie 5.7 (Nierówność Minkowskiego) Niech p będzie takie, że p 1, a funkcje f i g takie, że |f|p, |g|p "
L(X, µ). Wtedy |f + g|p " L(X, µ) oraz
1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
p p p
íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚
|f + g|pdµÅ‚Å‚ |f|pdµÅ‚Å‚ + |g|pdµÅ‚Å‚ (5.12)
X X X
Twierdzenie 5.8 (Nierówność Markowa)5 Niech p bÄ™dzie takie, że p " R+ *" {0}, a funkcja f taka, że |f|p " L(X, µ).
Wtedy
1
"R a>0µ({x " X : |f(x)| a}) |f|pdµ. (5.13)
ap
X
Twierdzenie 5.9 (Nierówność Jensena) Niech µ bÄ™dzie miarÄ… unormowanÄ… probabilistycznÄ…. Niech f " L(X, µ) oraz
dla dowolnego x " X zachodzi f(x) "]a, b[, (a, b " R). Jeżeli funkcja Õ jest funkcjÄ… wypukÅ‚a na przedziale ]a, b[, to
ëÅ‚ öÅ‚
íÅ‚
Õ fdµÅ‚Å‚ Õ Ä‡% fdµ (5.14)
X X
Wniosek 5.2 Niech µ bÄ™dzie miarÄ… skoÅ„czonÄ…. Niech f " L(X, µ) oraz dla dowolnego x " X zachodzi f(x) "]a, b[, (a, b " R).
a b
Jeżeli funkcja Õ jest funkcjÄ… wypukÅ‚a na przedziale ] min{a, }, max{b, }[, to
µ(X) µ(X)
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
íÅ‚
Õ fdµÅ‚Å‚ Õ Ä‡% fdµ (5.15)
µ(X) µ(X)
X X
5.3 Zadania
3
Pokażemy pózniej, że nierówność Höldera jest sÅ‚uszna również dla p = 1 i q = + " modyfikujÄ…c zaÅ‚ożenia i samÄ… nierówność.
4
W literaturze angielskiej nazywana jest nierównością Schwarza.
5
W Rachunku prawdopodobieństwa był to wniosek z nierówność Czebyszewa.
47
Wykład 6
2003.03.25 /2h
6.1 Przestrzenie Lp(X, H, µ) dla p " (0, + "]
Niech p " R+ *" {+ "}. Niech (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z miarÄ…, f, g: X R bÄ™dÄ… funkcjami H - mierzalnymi.
Uwaga 6.1 Mamy1
inf " = + " '" sup " = - " (6.1)
Definicja 6.1 Niech f: X [0, + "]. Kresem istotnym H - mierzalnej funkcji f oznaczanym esssup f nazywamy liczbÄ™
zdefiniowanÄ… wzorem
def
esssup f = inf a " R+ : µ(f-1(]a, + "]) = 0 (6.2)
Definicja 6.2
def
L "(X, H, µ) = f: X R : f jest H - mierzalna '" esssup |f| < + " (6.3)
def
Lp(X, H, µ) = f: X R : f jest H - mierzalna '" |f|p " L(X, µ) (p > 0) (6.4)
Definicja 6.3
Å„Å‚
1
p
òÅ‚
f p def |f|pdµ dla p "]0, + "[ (6.5)
=
X
ół
esssup |f| dla p = + "
Twierdzenie 6.1 (Nierówność Höldera II) Niech p, q " [1, + "] bÄ™dÄ… takie, że p-1 + q-1 = 1, a funkcje f i g takie, że
f " Lp(X, H, µ) i g " Lq(X, H, µ). Wtedy fg " L1(X, H, µ) oraz
fg 1 f p g q (6.6)
Uwaga 6.2 Jeżeli nie bÄ™dzie to wyraznie zaznaczone, to piszÄ…c Lp(X, H, µ) bÄ™dziemy od tej pory mieli na myÅ›li, iż p "
[0, + "].
Uwaga 6.3 Zauważmy, że L(X, µ) a" L1(X, H, µ).
Twierdzenie 6.2 Zachodzą następujące własności
"f"Lp "a"Ra · f " Lp(X, H, µ) (6.7)
(X,H,µ)
"{f,g}‚"Lp f + g " Lp(X, H, µ) (6.8)
(X,H,µ)
f a" 0 Ò! f p = 0 (6.9)
"f"Lp f p 0 (6.10)
(X,H,µ)
"p"[1,+ "]"{f,g}‚"Lp f + g p f p + g p (6.11)
(X,H,µ)
"p"]0,1["{f,g}‚"Lp f + g p f p + g p (6.12)
(X,H,µ)
p p p
"f"Lp "a"R a · f p = |a| f p (6.13)
(X,H,µ)
1
Jeżeli kres dolny (górny) jest to największe (najmniejsze) ograniczenie dolne (górne) zbioru to powyższe stwierdzenie mają sens.
48
Uwaga 6.4 Jeżeli dla p "]0, 1[ funkcjÄ™ · p okreÅ›limy wzorem
f p def |f|pdµ, (6.14)
=
X
wówczas będą spełnione następujące nierówności (odpowiedniki nierówności 6.12, 6.13)
"{f,g}‚"Lp f + g p f p + g p (6.15)
(X,H,µ)
"f"Lp "a"R|a| = 1 Ò! a · f p = f p (6.16)
(X,H,µ)
Twierdzenie 6.3 Niech µ bÄ™dzie miarÄ… skoÅ„czonÄ…. Niech 1 p < r < + ". Wtedy
Lr(X, H, µ) ‚" Lp(X, H, µ) (6.17)
6.2 Zadania
Zadanie 6.1 Udowodnić nierówność (6.12).
Zadanie 6.2 Sprawdzić, czy prawdziwe jest nastÄ™pujÄ…ce twierdzenie bÄ™dÄ…ce modyfikacjÄ… nierównoÅ›ci Höldera
Niech p, q, r " [1, + "] bÄ™dÄ… takie, że p-1 + q-1 = r-1, a funkcje f i g takie, że f " Lp(X, H, µ) i g " Lq(X, H, µ). Wtedy
fg " Lr(X, H, µ) oraz
fg r f p g q (6.18)
Zadanie 6.3 Niech 1 p < r < + " oraz s " [p, r]. Udowodnić, że f s max{ f p, f r}.
Zadanie 6.4 Niech 1 p < r < + " oraz s " [p, r]. Udowodnić, że
Lr(X, H, µ) )" Lp(X, H, µ) ‚" Ls(X, H, µ) (6.19)
49
Wykład 7
2003.04.01 /2h
7.1 Zbieżność w przestrzeniach Lp(X, H, µ)
Niech p " R+ *" {+ "}. Niech (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z miarÄ…, f, g: X R bÄ™dÄ… funkcjami H - mierzalnymi.
Definicja 7.1 CiÄ…g {fn: X R : n 1} ‚" Lp(X, H, µ) funkcji H - mierzalnych jest zbieżny w Lp(X, H, µ) (wedÅ‚ug p - tej
potÄ™gi) do funkcji f " Lp(X, H, µ) wtedy i tylko wtedy, gdy
lim fn - f p = 0 (7.1)
n "
Definicja 7.2 CiÄ…g {fn: X R : n 1} ‚" Lp(X, H, µ) funkcji H - mierzalnych jest ciÄ…giem Cauchy ego wtedy i tylko
wtedy, gdy
"µ>0"n "N"N n,m n fn - fm p < µ. (7.2)
0 0
Twierdzenie 7.1 Niech p " [1, + "]. Każdy ciÄ…g Cauchy ego {fn: X R : n 1} ‚" Lp(X, H, µ) funkcji H - mierzalnych
jest zbieżny w Lp(X, H, µ) do pewnej funkcji f " Lp(X, H, µ).
W dowodzie twierdzenia 7.1 otrzymaliśmy następujący wynik
Twierdzenie 7.2 Niech p " [1, + "] oraz dany bÄ™dzie ciÄ…g Cauchy ego {fn: X R : n 1} ‚" Lp(X, H, µ) funkcji H -
mierzalnych zbieżny do funkcji f H - mierzalnej z Lp(X, H, µ). Wtedy zawiera on podciÄ…g zbieżny prawie wszÄ™dzie do funkcji
f.
7.2 Zbiory gÄ™ste w przestrzeniach Lp(X, H, µ)
Uwaga 7.1 Przez SP (SP+) będziemy oznaczać funkcje proste (nieujemne) H - mierzalne.
Twierdzenie 7.3 Niech p " [1, + "[. Wówczas
"f"Lp "µ>0"h"SPh " Lp(X, H, µ) '" f - h p < µ (7.3)
(X,H,µ)
Uwaga 7.2 Funkcja prosta występując w twierdzeniu 7.3 może być tak wybrana, aby
µ({x " X : h(x) = 0}) < + ". (7.4)
Twierdzenie 7.4 Niech (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z miarÄ… à - skoÅ„czonÄ…, H półpierÅ›cieniem generujÄ…cym à - ciaÅ‚o H.
(tzn. Ãa(H) = H). Wtedy
"f"Lp "µ>0"h"SP(H)h " Lp(X, H, µ) '" f - h p < µ, (7.5)
(X,H,µ)
gdzie SP(H) jest przestrzenią liniową funkcji prostych na rodzinie H (tzn. każda funkcja z tego zbioru jest skończoną kom-
binacją liniową funkcji charakterystycznych zbiorów z H).
7.3 Zadania
Zadanie 7.1 Udowodnić twierdzenie 7.1 dla p = + ".
50
Wykład 8
2003.04.08 /2h
8.1 Przestrzenie Banacha, Hilberta i Frécheta
Niech X = ", K będzie ciałem liczbowym1. Niech ponadto (X, K) będzie przestrzenia wektorową nad ciałem K.
Definicja 8.1 Odwzorowanie · : X R+ *" {0} nazywamy pseudonormÄ… (quasi - normÄ…) wtedy i tylko wtedy, gdy
"x,y"X x + y x + y (8.1)
"x"X"a"K ax = |a| x . (8.2)
Jeżeli ponadto zachodzi
"x"X x = 0 Ò! x = 0, (8.3)
to takie odwzorowanie nazywamy normÄ…, a parÄ™ (X, · ) przestrzeniÄ… unormowanÄ….
Wniosek 8.1 Jeżeli x = 0, to x = 0.
Twierdzenie 8.1 Niech (X, · ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… unormowanÄ…. Wówczas odwzorowanie
def
"x,y"Xd(x, y) = x - y (8.4)
jest metrykÄ… w X. Nazywamy jÄ… metrykÄ… generowanÄ… (indukowanÄ…) przez normÄ™.
Definicja 8.2 Przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń metryczną z
metryką generowaną przez normę jest przestrzenią metryczną zupełną.
Przypomnijmy definicje przestrzeni metrycznej zupełnej
Definicja 8.3 Przestrzeń metryczną nazywamy zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciąg Cauchy ego elementów tej prze-
strzeni jest zbieżny do elementu w tej przestrzeni.
Definicja 8.4 Odwzorowanie | · |F : X R+ *" {0} nazywamy F - normÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy
"x"X|x|F = 0 Ô! x = 0 (8.5)
"x,y"X|x + y|F |x|F + |y|F (8.6)
"x"X"a"K|a| = 1 Ò! |ax|F = |x|F (8.7)
"(a )‚"K"a"K"(x )‚"X"x"X lim an = a '" lim |xn - x|F = 0 Ò! lim |anxn - ax|F = 0, (8.8)
n n
n " n " n "
a parÄ™ (X, | · |F ) F - przestrzeniÄ….
1
K = R lub K = C
51
Twierdzenie 8.2 Niech (X, | · |F ) bÄ™dzie F - przestrzeniÄ…. Wówczas odwzorowanie
def
"x,y"Xd(x, y) = |x - y|F (8.9)
jest metrykÄ…. Nazywamy jÄ… metrykÄ… generowanÄ… (indukowanÄ…) przez F - normÄ™.
Definicja 8.5 F - przestrzeÅ„ nazywamy przestrzeniÄ… Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeÅ„ metrycznÄ… z metrykÄ…
generowaną przez F - normę jest przestrzenią metryczną zupełną.
Definicja 8.6 Odwzorowanie2 (·|·): X × X K nazywamy iloczynem skalarnym wtedy i tylko wtedy, gdy
"x,y,z"X(x + y|z) = (x|z) + (y|z) (8.10)
"x,y"X"a"K(ax|y) = a(x|y) (8.11)
"x,y"X(x|y) = (y|x) (8.12)
"x"Xx = 0 Ò! (x|x) > 0 (8.13)
a parÄ™ (X, (·|·)) nazywamy przestrzeniÄ… unitarnÄ….
Twierdzenie 8.3 Niech (X, (·|·)) bÄ™dzie przestrzeniÄ… unitarnÄ…. Wówczas odwzorowanie
def
"x"X x = (x|x) (8.14)
jest normÄ… (generowanÄ… przez iloczyn skalarny), natomiast
def
"x,y"Xd(x, y) a" x - y = (x - y|x - y) (8.15)
jest metrykÄ…. Nazywamy jÄ… metrykÄ… generowanÄ… (indukowanÄ…) przez iloczyn skalarny.
Definicja 8.7 Przestrzeń unitarną nazywamy przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń metryczną z metryką
generowaną przez iloczyn skalarny jest przestrzenią metryczną zupełną.
Przykład 8.1 Niech X = R2. Określmy
def
"(x ,y1),(x2,y2)"R2((x1, y1)|(x2, y2)) = x1x2 + y1y2. (8.16)
1
Wówczas jest to iloczyn skalarny, generujący metrykę euklidesową. Nie indukuje on jednak metryki miasto3, chociaż obie
metryki są równoważne.
Twierdzenie 8.4 PrzestrzeÅ„ Banacha (unormowana) jest przestrzeniÄ… Frécheta (F - przestrzeniÄ…)
Twierdzenie 8.5 Przestrzeń Hilberta (unitarna) jest przestrzenią Banacha (unormowaną).
8.2 Przestrzenie Lp(X, H, µ)
Niech p " R+ *" {+ "}. Niech (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z miarÄ…, f, g: X R bÄ™dÄ… funkcjami H - mierzalnymi.
Uwaga 8.1 Przyjmujemy nastÄ™pujÄ…cÄ… zmodyfikowanÄ… definicjÄ™ · p
Å„Å‚
ôÅ‚ |f|pdµ dla p "]0, 1[
ôÅ‚
ôÅ‚X
ôÅ‚
òÅ‚
1
p
f p def (8.17)
=
|f|pdµ dla p " [1, + "[
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ X
ół
esssup |f| dla p = + "
def
H = f: X R : f jest H - mierzalna (8.18)
2
W tym przypadku milcząco zakładamy, że K = C. Można jednak mówić o iloczynie skalarnym jako o odwzorowaniu wyłącznie w R.
def
3
Metryka miasto określona jest następująco dm((x1, y1), (x2, y2) = |x1 - x2| + |y1 - y2|.
52
Definicja 8.8 OkreÅ›lamy relacjÄ™ w H × H wzorem
"f,g"Hf <" g Ô! f = g(modµ). (8.19)
Lemat 8.1 Relacja <"‚" H × H jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci.
Lemat 8.2 Niech f, f1, g, g1 " H oraz a " R. Wtedy
(i) f <" f1 '" g <" g1 Ò! f + g <" f1 + g1;
(ii) f <" f1 Ò! a · f <" a · f1;
(iii) f <" f1 Ò! f p = f1 p.
8.3 Zadania
Zadanie 8.1 Udowodnić twierdzenie 8.1.
Zadanie 8.2 Udowodnić twierdzenie 8.2.
Zadanie 8.3 Udowodnić twierdzenie 8.3.
Zadanie 8.4 Udowodnić twierdzenie 8.4.
Zadanie 8.5 Udowodnić twierdzenie 8.5.
Zadanie 8.6 Dokończyć dowód lematu 8.2.
53
Wykład 9
2003.04.15 /2h
9.1 Przestrzenie Lp(X, H, µ) c.d.
Definicja 9.1
def
Lp(X, H, µ) = Lp(X, H, µ)/ <" (9.1)
Uwaga 9.1 Zauważmy, że f " Lp(X, H, µ) jest klasÄ… abstrakcji wyznaczonÄ… przez relacjÄ™ <". W zwiÄ…zku z tym nie można
dla ustalonego x " X przypisać konkretnej wartoÅ›ci temu elementowi. Tak wiÄ™c elementy z przestrzeni Lp(X, H, µ) nie sÄ…
funkcjami.
W tradycji analizy przyjęło się jednak pisać f(x) i mówić jak o funkcji, a o samej przestrzeni mówić jako o przestrzeni
funkcji.
Uwaga 9.2 DziaÅ‚ania dodawanie, odejmowanie, mnożenie, mnożenie przez staÅ‚Ä… itd. oraz · p okreÅ›lamy przez dziaÅ‚ania
na reprezentantach klas abstrakcji.
Uwaga 9.3 Na wykładzie została przyjęta odwrotna konwencja na zapis przestrzeni wektorowej i jej prze-
strzeni ilorazowej.
Twierdzenie 9.1 DziaÅ‚ania oraz · p sÄ… dobrze okreÅ›lone, tzn. nie zależą od wyboru reprezentanta.
Twierdzenie 9.2
"f"Lp "a"Ra · f " Lp(X, H, µ) (9.2)
(X,H,µ)
"{f,g}‚"Lp f + g " Lp(X, H, µ) (9.3)
(X,H,µ)
"f"Lp f = 0 Ô! f p = 0 (9.4)
(X,H,µ)
"f"Lp f p 0 (9.5)
(X,H,µ)
"{f,g}‚"Lp f + g p f p + g p (9.6)
(X,H,µ)
"p"[1,+ "]"f"Lp "a"R a · f p = |a| f p (9.7)
(X,H,µ)
"(a )‚"R"a"R"(f )‚"Lp(X,H,µ)"f"Lp lim an = a '" lim fn - f p = 0
(X,H,µ)
n n
n " n "
Ò! lim anfn - af p = 0. (9.8)
n "
Wniosek 9.1 Lp(X, H, µ) jest przestrzeniÄ… wektorowÄ….
Wniosek 9.2 (i) Dla p "]0, 1[ przestrzeÅ„ (Lp(X, H, µ), · p) jest przestrzeniÄ… Frécheta.
(ii) Dla p " [1, + "] przestrzeÅ„ (Lp(X, H, µ), · p) jest przestrzeniÄ… Banacha.
1
Definicja 9.2 Niech f, g " L2(X, H, µ).
def
(f|g) = fgdµ. (9.9)
X
Wniosek 9.3 (L2(X, H, µ), (·|·)) jest przestrzeniÄ… Hilberta.
1
Używamy tutaj sprzężenia zespolonego, chociaż funkcje są rzeczywiste. W pózniejszej części wykładu zostanie omówione mierzalność i całko-
wanie funkcji o wartościach zespolonych oraz ich własności.
54
9.2 Funkcje zbioru. Rozkład Hahna
Niech X = ", zaś (X, H) będzie przestrzenią mierzalną.
Uwaga 9.4 Ta część wykłady jest przypomnieniem jednego z pierwszych wykładów. Zebrano w niej fakty już
dowodzone wniosek 9.4 oraz twierdzenie 9.4.
Definicja 9.3 FunkcjÄ™ ½: H R *" {+ "} nazywamy funkcjÄ… zbioru (rzeczywistÄ… miarÄ… uogólnionÄ…) wtedy i tylko wtedy, gdy
(i) ½(") = 0,
(ii) ½ jest funkcjÄ… Ã - addytywnÄ… na H.
Niech ½ bÄ™dzie funkcjÄ… zbioru na H.
Wniosek 9.4 ½ jest addytywny na H.
Twierdzenie 9.3 Funkcja zbioru ½ speÅ‚nia warunek
"A"H½(A) < + " Ò! "H B‚"A½(B) < + " (9.10)
Twierdzenie 9.4 Funkcja zbioru ½ jest ciÄ…gÅ‚a z doÅ‚u i góry.
Definicja 9.4 Zbiór D " H nazywamy nieujemnym wtedy i tylko wtedy, gdy
"H A‚"D½(A) 0. (9.11)
Definicja 9.5 Zbiór U " H nazywamy niedodatnim wtedy i tylko wtedy, gdy
"H A‚"U ½(A) 0. (9.12)
Lemat 9.1
"A"H½(A) < + " Ò! "µ>0"H A ‚"A½(Aµ) ½(A) '" "H B‚"A ½(B) µ (9.13)
µ µ
Wniosek 9.5
"A"H½(A) < + " Ò! "H U‚"AU- niedodatni '" ½(U) ½(A) (9.14)
Twierdzenie 9.5 (RozkÅ‚ad Hahna) Niech (X, H) bÄ™dzie przestrzeniÄ… mierzalnÄ…, zaÅ› ½ bÄ™dzie funkcjÄ… zbioru na H. Wów-
czas
"X "H"A"H½(X+ )" A) 0 '" ½(X- )" A) 0, (9.15)
+
gdzie X- = X \ X+.
Definicja 9.6 RozkÅ‚adem Hahna przestrzeni X wzglÄ™dem funkcji zbioru ½ nazywamy przedstawienie zbioru X = X+ *" X-
z twierdzenia 9.5
9.3 Zadania
Zadanie 9.1 Udowodnić twierdzenie 9.1.
Zadanie 9.2 Opirając się na faktach udowodninych dla przestrzeni wektorowej Lp udowodnić twierdzenie 9.2.
Zadanie 9.3 Doprecyzować dowód wniosku 9.2.
Zadanie 9.4 Niech dane bÄ™dÄ… miary µ i na przestrzeni mierzalnej (X, H), przy czym miara jest skoÅ„czona. Udowodnić,
że ½ = µ - jest funkcjÄ… zbioru na (X, H).
1 2
Zadanie 9.5 Niech dane będą dwa rozkłady Hahna X = X+ *" X1 i X = X+ *" X2 przestrzeni X względem funkcji zbioru
- -
½. Udowodnić, że
1 2
"A"H½(X+ )" A) = ½(X+ )" A) '" ½(X1 )" A) = ½(X2 )" A). (9.16)
- -
55
Wykład 10
2003.05.06 /2h
10.1 Rozkład Jordana
Twierdzenie 10.1 (RozkÅ‚ad Jordana) Niech (X, H) bÄ™dzie przestrzeniÄ… mierzalnÄ…, zaÅ› ½ bÄ™dzie funkcjÄ… zbioru na H.
Wówczas istniejÄ… skoÅ„czone miara ½-, nazywamy wariancjÄ… ujemnÄ… funkcji zbiory ½, i miara ½+, nazywamy wariancjÄ…
dodatniÄ… funkcji zbiory ½, na H takie, że
"A"H½(A) = ½+(A) - ½-(A). (10.1)
Ponadto ½+ jest skoÅ„czona (à - skoÅ„czona) wtedy i tylko wtedy, gdy ½ jest skoÅ„czony (à - skoÅ„czony).
RozkÅ‚ad taki nazywamy rozkÅ‚adem Jordana funkcji zbioru ½.
Definicja 10.1 Niech dla funkcji zbioru ½ bÄ™dÄ… dane miary z ½+, ½- z rozkÅ‚adu Jordana. WariancjÄ… caÅ‚kowitÄ… funkcji zbioru
½, oznaczanÄ… |½|, nazywamy miarÄ™ zdefiniowanÄ… równoÅ›ciÄ…
def
|½| = ½+ + ½- (10.2)
10.2 Absolutna ciągłość miar. Miary i funkcje zbioru wzajemnie osobliwe
Niech X = ", zaÅ› (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… mierzalnÄ… z miara nieujemnÄ… µ, zaÅ› ½ funkcjÄ… zbioru na H.
Definicja 10.2 Funkcja zbioru ½ jest absolutnie ciÄ…gÅ‚a wzglÄ™dem miary µ wtedy i tylko wtedy, gdy
"A"Hµ(A) = 0 Ò! ½(A) = 0. (10.3)
Oznaczamy wtedy, ½ µ.
Uwaga 10.1 Można zdefiniować aboslutnÄ… ciÄ…gÅ‚ość dwóch funkcji zbioru. Mówimy, że funkcja zbioru ½1 jest absolutnie ciÄ…gÅ‚a
wzgledem funkcji zbioru ½2 wtedy i tylko wtedy, gdy ½1 |½2|.
Lemat 10.1 Niech f " L1(X, H, µ). Definiujemy funkcjÄ™ zbiory
"A"H½(A) = fdµ. (10.4)
A
Wówczas ½ µ.
Definicja 10.3 FunkcjÄ™ zbioru ½ nazywamy osobliwÄ… (singularÄ…) wzglÄ™dem miary µ wtedy i tylko wtedy, gdy
"A"Hµ(A) = 0 '" "H B‚"X\A½(B) = 0. (10.5)
Miary i µ nazywamy wzajemnie osobliwe (singulare)wtedy i tylko wtedy, gdy
"A"Hµ(A) = 0 '" (X \ A) = 0. (10.6)
W obu wypadkach piszemy ½ Ä„" µ (µ Ä„" ).
56
10.3 Twierdzenie Radona - Nikodyma
Niech X = ", zaÅ› (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… mierzalnÄ… z miara nieujemnÄ… µ, zaÅ› ½ funkcjÄ… zbioru na H.
Definicja 10.4 Mówimy, że funkcja zbioru ½ jest skupiona na zbiorze A " H wtedy i tylko wtedy, gdy
"B"HB )" A = " Ò! ½(B) = 0. (10.7)
Wniosek 10.1 Funkcja zbioru ½ jest skupiona na zbiorze A " H wtedy i tylko wtedy, gdy
"B"H½(B) = ½(B )" A). (10.8)
Twierdzenie 10.2 Niech dla funkcji zbioru ½ bÄ™dzie dany rozkÅ‚ad Jordana ½ = ½+-½-. NastÄ™pujÄ…ce warunki sÄ… równoważne.
½ µ (10.9)
½+ µ '" ½- µ (10.10)
|½| µ. (10.11)
Twierdzenie 10.3 (Radona - Nikodyma) Niech (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… mierzalnÄ… z à - skoÅ„czonÄ… miarÄ… µ, zaÅ› ½
à - skoÅ„czonÄ… funkcjÄ… zbioru na H takie, że ½ µ. Wówczas istnieje H - mierzalna funkcja f: X R taka, że
"A"H½(A) = fdµ. (10.12)
A
Ponadto, jeżeli funkcje f1 i f2 speÅ‚niajÄ… warunek (10.12) to f1 = f2(modµ).
10.4 Zadania
Zadanie 10.1 Niech dla funkcji zbioru ½ bÄ™dzie dany rozkÅ‚ad Jordana ½ = ½+ - ½-. Udowodnić, że
½-(A) = - inf{½(B) : B " H '" B ‚" A} (10.13)
½+(A) = sup{½(B) : B " H '" B ‚" A} (10.14)
Zadanie 10.2 Niech bÄ™dÄ… dane miary µ i na przestrzeni mierzalnej (X, H) przy czym µ jest miarÄ… skoÅ„czonÄ…. Udowodnić,
że
µ Ô! "µ>0"´>0"A"H(A) < ´ Ò! µ(A) < µ. (10.15)
Zadanie 10.3 Niech (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… mierzalnÄ… z miara µ, zaÅ› ½, ½1, ½2 funkcjami zbioru na H. Udowodnić, że
(i) Jeżeli ½ jest skupiona na zbiorze A, to |½| jest także skupiona na A.
(ii) Jeżeli ½ Ä„" µ, to |½1| Ä„" µ.
(iii) Jeżeli ½1 Ä„" µ i ½2 Ä„" µ, to ½1 + ½2 Ä„" µ.
(iii) Jeżeli ½1 µ i ½2 µ, to ½1 + ½2 µ.
(iv) Jeżeli ½ µ, to |½| µ.
(v) Jeżeli ½1 µ i ½2 Ä„" µ, to ½1 Ä„" |½2|.
(vi) Jeżeli ½ µ i ½ Ä„" µ, to ½ = 0.
Zadanie 10.4 Niech dla funkcji zbioru ½ bÄ™dzie dany rozkÅ‚ad Jordana ½ = ½+ - ½-. Udowodnić, że ½+ Ä„" ½-.
57
Wykład 11
2003.05.12 /2h (za 20.05.2003)
11.1 Wnioski z twierdzenia Radona - Nikodyma. Pochodna Radona - Niko-
dyma
Wniosek 11.1 Niech bÄ™dÄ… speÅ‚niona zaÅ‚ożenia twierdzenia Radona - Nikodyma. Jeżeli ½ jest skoÅ„czonÄ… funkcjÄ… zbioru, to
funkcja f z twierdzenia Radona - Nikodyma (twierdzenie 10.3) jest caÅ‚kowalna wzglÄ™dem miary µ.
Definicja 11.1 Niech (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… mierzalnÄ… z miara µ, zaÅ› ½ funkcjÄ… zbioru na H. PochodnÄ… Radona -
d½
Nikodyma funkcji zbioru ½ wzglÄ™dem miary µ, oznaczanÄ… nazywamy H - mierzalnÄ… funkcjÄ™ f: X R takÄ…, że
dµ
"A"H½(A) = fdµ, (11.1)
A
o ile taka funkcja istnieje.
11.2 Twierdzenie Lebesgue a o rozkładzie kanonicznym
Twierdzenie 11.1 (Lebesgue a o rozkÅ‚adzie kanonicznym) Niech (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… mierzalnÄ… z à - skoÅ„-
czonÄ… miarÄ… µ, zaÅ› ½ à - skoÅ„czonÄ… funkcjÄ… zbioru na H. Istnieje wtedy dokÅ‚adnie jedna para funkcji zbioru (½a, ½o) na H
taka, że
½ = ½a + ½o '" ½a µ '" ½o Ä„" µ. (11.2)
11.3 Zadania
Zadanie 11.1 Niech (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… mierzalnÄ… z miara µ, a f: X R funkcjÄ… H - mierzalnÄ…. Udowodnić, że
jeżeli dla dowolnego A " H zachodzi fdµ 0, to f 0(modµ).
A
Zadanie 11.2 Niech (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… mierzalnÄ… z miara skoÅ„czonÄ… µ, a f: X R funkcjÄ… H - mierzalnÄ….
Udowodnić opierajÄ…c siÄ™ na poprzednim zadaniu, że dla dowolnego A " H zachodzi fdµ µ(A), to f 1(modµ).
A
58
Wykład 12
2003.05.13 /2h
12.1 Topologia raz jeszcze
Rozdział ten poświęcony jest pewnym elementom topologii, a dokładniej lematowi Urysohna i rozkładowi jedności w lokalnie
zwartej przestrzeni Hausdorffa. Stanowi przypomnienie wiadomości z przedmiotu Topologia. Dla porządku umieszczono w
nim definicje pojęć, chociaż nie wszystkich, pózniej używanych.
Niech (X, Ä) bÄ™dzie przestrzeniÄ… topologicznÄ…. Niech f: X C.
Definicja 12.1 K ‚" X nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie
skończone.
Xc def {K ‚" X : K - zwarty } (12.1)
=
Definicja 12.2 Nośnikiem funkcji f nazywamy domknięcie zbioru tych argumentów, dla których f ma niezerowe wartości
tzn.
def
supp f = Cl {x " X : f(x) = 0} . (12.2)
def
(X) = {f: X C : supp f " Xc} (12.3)
C
c
Wniosek 12.1 (X) jest przestrzeniÄ… wektorowÄ….
C
c
Definicja 12.3 PrzestrzeÅ„ topologicznÄ… (X, Ä) nazywamy przestrzeniÄ… Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy
"x,y"Xx = y Ò! "{O ,Oy}‚"Ä x " Ox '" y " Oy '" Ox )" Oy = ". (12.4)
x
Definicja 12.4 PrzestrzeÅ„ topologicznÄ… (X, Ä) nazywamy przestrzeniÄ… lokalnie zwartÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt
ma otoczenie, którego domknięcie jest zwarte.
Definicja 12.5 Niech K " Xc oraz f: X [0, 1]. Piszemy, że K z" f wtedy i tylko wtedy, gdy
f " (X) '" "x"Kf(x) = 1. (12.5)
C
c
Definicja 12.6 Niech O " Ä oraz f: X [0, 1]. Piszemy, że f z" O wtedy i tylko wtedy, gdy
f " (X) '" supp f ‚" O. (12.6)
C
c
1
Twierdzenie 12.1 (Lemat Urysohna. Dowód na ocenÄ™ bardzo dobrÄ…) Niech (X, Ä) bÄ™dzie lokalnie zwarta prze-
strzenią Hausdorffa. Wówczas
"O"Ä "K"X K ‚" O Ò! "f"C (X)K z" f z" O (12.7)
c c
2
Twierdzenie 12.2 (RozkÅ‚ad jednoÅ›ci. Dowód na ocenÄ™ bardzo dobrÄ… Å‚Ä…cznie z Lematem Urysohna) Niech (X, Ä)
będzie lokalnie zwarta przestrzenią Hausdorffa. Wówczas
n
"{O ,...,On}‚"Ä "K"X K ‚" O1 *" . . . *" On Ò! "{h ,...,hn}‚"C (X)"1 i nhi z" Oi '" "x"K hi(x) = 1 (12.8)
1 c 1 c
i=1
1
Można go znalezć w podręczniku W. Rudina, Analiza rzeczywista i zespolona
2
Można go znalezć w podręczniku W. Rudina, Analiza rzeczywista i zespolona
59
12.2 Twierdzenie Riesza o reprezentacji
Definicja 12.7 FunkcjonaÅ‚ liniowy ›: (X) C nazywamy dodatnim wtedy i tylko wtedy, gdy
C
c
"f"C (X)f 0 Ò! ›f 0. (12.9)
c
Uwaga 12.1 W definicji funkcjonału dodatniego zakładamy, że spełnione jest to dla funkcji o wartościach rzeczywistych.
Twierdzenie 12.3 (Riesza o reprezentacji) Niech (X, Ä) bÄ™dzie lokalnie zwarta przestrzeniÄ… Hausdorffa, › dodatnim
funkcjonaÅ‚em liniowym okreÅ›lonym na (X). Istnieje wówczas à - ciaÅ‚o H w zbiorze X takie, że B(X) ‚" H oraz istnieje
C
c
dokÅ‚adnie jedna miara µ na H (reprezentujÄ…ca funkcjonaÅ‚ ›) taka, że
"f"C (X)›f = fdµ. (12.10)
c
X
Miara µ ma ponadto nastÄ™pujÄ…ce wÅ‚asnoÅ›ci
"K"X µ(K) < + " (12.11)
c
"A"Hµ(A) = inf {µ(O) : A ‚" O '" O " Ä} (12.12)
"A"{E"H:µ(E)<+ "}*"Ä µ(A) = sup {µ(K) : K ‚" A '" K " Xc} (12.13)
"A"H"B‚"XB ‚" A '" µ(A) = 0 Ò! B " H. (12.14)
12.3 Schemat dowodu twierdzenia Riesza o reprezentacji
Określamy funkcje zbiorów na zbiorach otwartych następująco
def
"O"Ä µ(O) = sup {›f : f z" O} (12.15)
f" (X)
C
c
nastÄ™pnie dla dowolnego zbiór E ‚" X
def
µ(E) = inf {µ(O) : E ‚" O " Ä} . (12.16)
Następnie definiujemy rodziny podzbiorów zbioru X
HF def E ‚" X : µ(E) < + " '" µ(E) = sup {µ(K) : K ‚" E} , (12.17)
=
K"Xc
def
H = {E ‚" X : "K"X E )" K " HF } . (12.18)
c
Lemat 12.1 Funkcja zbioru µ jest monotoniczna.
Lemat 12.2 Dla dowolnego E ‚" X jeżeli µ(E) = 0, to E " HF )" H.
Lemat 12.3 (Subaddytywność względem zbiorów otwartych)
n n
"n"N"{O ,...,On}‚"Ä µ( Ok) µ(Ok). (12.19)
1
k=1 k=1
Lemat 12.4 (à - subaddytywność)
" "
"{E :n"N}‚"2X µ( En) µ(En). (12.20)
n
n=1 n=1
Lemat 12.5
"K"X K " HF '" µ(K) = inf {›f : K z" f} (12.21)
c
f" (X)
C
c
Lemat 12.6
"O"Ä µ(O) = sup {µ(K) : K ‚" O} (12.22)
K"Xc
60
Lemat 12.7
"O"Ä µ(O) < + " Ò! O " HF . (12.23)
Lemat 12.8 (Addytywność względem zbiorów zwartych)
n n
"n"N"{K ,...,Kn}‚"XC ("1 i
"{E :n"N}‚"HF ("1 i
Ponadto, jeżeli µ( En) < + ", to En " HF .
n=1 n=1
Lemat 12.10
"E"H "µ>0"K"X "O"Ä K ‚" E ‚" O '" µ(O \ K) < µ. (12.26)
F C
Lemat 12.11
"{A,B}‚"H A \ B " HF '" A )" B " HF '" A *" B " HF . (12.27)
F
Lemat 12.12 H jest à - ciałem zawierającym à - ciało zbiorów borelowskich
Lemat 12.13
HF = {E " H : µ(E) < + "} . (12.28)
Lemat 12.14 µ jest miarÄ… na H.
Lemat 12.15
"f"C (X)›f = fdµ. (12.29)
c
X
12.4 Zadania
Zadanie 12.1 Udowodnić lemat Uryhsona (twierdzenie 12.1).
Zadanie 12.2 Udowodnić twierdzenie o rozkładzie jedności (twierdzenie 12.2).
61
Wykład 13
2003.05.27 /2h
13.1 Dowód twierdzenia Riesza o reprezentacji
13.2 Zadania
Zadanie 13.1 Udowodnic lemat 12.11.
62
Wykład 14
2003.06.03 /2h
14.1 Dokończenie dowodu twierdzenia Riesza o reprezentacji
14.2 Miary borelowskie. Regularność miar borelowskich.
Niech (X, Ä) bÄ™dzie lokalnie zwartÄ… przestrzeniÄ… Hausdorffa.
Definicja 14.1 Miarę określoną na à - ciele zbiorów borelowskich lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa nazywamy miarą
borelowskÄ….1
Definicja 14.2 Zbiór borelowski A nazywamy zewnętrznie regularnym wtedy i tylko wtedy, gdy
µ(A) = inf {µ(O) : A ‚" O '" O " Ä} . (14.1)
Zbiór borelowski A nazywamy wewnętrznie regularnym wtedy i tylko wtedy, gdy
µ(A) = sup {µ(K) : K ‚" A '" K " Xc} . (14.2)
Definicja 14.3 Miarę borelowską nazywamy regularną wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór borelowski jest wewnętrznie i
zewnętrznie regularny.
Definicja 14.4 PrzestrzeÅ„ topologicznÄ… (X, Ä) nazywamy à - zwartÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przeliczalnÄ… sumÄ…
zbiorów zwartych.
Podzbiór A przestrzeni topologicznej nazywamy à - zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy A jest przeliczalną sumą zbiorów
zwartych.
Twierdzenie 14.1 Niech (X, Ä) bÄ™dzie lokalnie zwartÄ…, à - zwartÄ… przestrzeniÄ… Hausdorffa, a µ miarÄ… okreÅ›lonÄ… na H z
twierdzenia Riesza (twierdzenie 12.3). Wówczas à - ciaÅ‚o H i miara µ majÄ… nastÄ™pujÄ…ce wÅ‚asnoÅ›ci
(i) Jeżeli A " H i µ > 0, to istnieje zbiór domkniÄ™ty F oraz zbiór otwarty O takie, że F ‚" A ‚" O oraz µ(O \ F ) < µ.
(ii) µ jest miarÄ… regularnÄ….
(iii) Jeżeli A " H, to istniejÄ… zbiory F " Fà i G " G´ takie, że F ‚" A ‚" G oraz µ(G \ F ) = 0.2
14.3 Zadania
1
Nie musi być to miara. Może być to funkcja zbioru.
2
Fà jest to rodzina zbiorów, z których każdy jest sumÄ… przeliczalnÄ… zbiorów domkniÄ™tych, a G´ jest to rodzina zbiorów, z których każdy jest
iloczynem przeliczalnym zbiorów otwartych.
63
Wykład 15
2003.06.10 /2h
15.1 Regularność miar borelowskich c.d.
Twierdzenie 15.1 Niech (X, Ä) bÄ™dzie lokalnie zwartÄ… przestrzeniÄ… Hausdorffa takÄ…, że każdy jej zbiór otwarty jest à -
zwarty. Wtedy każda miara borelowska na (X, B(X)) spełniająca warunek
"K"X (K) < + " (15.1)
C
jest regularna.
15.2 Twierdzenie Auzina
Niech teraz (X, Ä) bÄ™dzie lokalnie zwartÄ… przestrzenia Hausdorffa, zaÅ› (X, H, µ) przestrzeniÄ… z miarÄ….
Twierdzenie 15.2 (Auzina Dowód na ocenę 5.0)1 Niech f będzie funkcją zespoloną H - mierzalna. Niech A " H będzie
taki, że µ(A) < + " oraz f(x) = 0 dla x " A. Wówczas
"µ>0"g"C (X)µ({x " X : f(x) = g(x)} = 0. (15.2)
c
Ponadto g można tak wybrać, aby
sup |g(x)| sup |f(x)| (15.3)
x"X x"X
15.3 Zadania
1
Dowód można znalezć w książce: W. Rudina Analiza rzeczywista i zespolona.
64
Wykład 16
Egzamin semestr letni
16.1 Lista zagadnień na egzamin ustny
1. Własności abstrakcyjne całki Lebesgue a.
(a) Lematy z pierwszego wykładu.
(b) Twierdzenie Lebesgue a o zbieżności monotonicznej.
(c) Twierdzenie o całce z sumy funkcji.
(d) Wariant twierdzenie Lebesgue a o zbieżności monotonicznej.
(e) Lemat Fatou i wniosek z niego.
(f) Twierdzenie Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej.
2. Całka Lebesgue a zależna od parametru.
(a) Twierdzenie o ciągłości całki zależnej od parametru.
(b) Różniczkowanie względem parametru.
3. Formalna zamiana zmiennych w całce Lebesgue a.
4. Miary produktowe. Twierdzenie Fubiniego.
(a) x1 - i x2 - przekroje zbiorów i funkcji. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności miary produktowej.
(b) Twierdzenie Fubiniego i wniosek z niego.
5. Przestrzenie Lp(X, H, µ) i Lp(X, H, µ) dla p " [0, + "].
(a) Funkcje wypukłe.1
(b) Nierówność Younga i Höldera.
(c) Nierówność Minkowskiego.
(d) Nierówność Markowa.
(e) Nierówność Jensena i wniosek z niej.
(f) PojÄ™cie przestrzeni Lp(X, H, µ). PrzestrzeÅ„ Lp(X, H, µ) jako przestrzeÅ„ wektorowa.
(g) PojÄ™cie przestrzeni Lp(X, H, µ). PrzestrzeÅ„ Lp(X, H, µ) wyposażona w pseudonormÄ….
(h) ZależnoÅ›ci miÄ™dzy przestrzeniami Lp(X, H, µ) i Lq(X, H, µ) dla p, q " [1, + "[.
(i) Zbieżność według p - tej potęgi. Ciągi Cauchy ego.
(j) Twierdzenie o zbieżnoÅ›ci ciÄ…g Cauchy ego w Lp(X, H, µ) dla p " [1, + "].
1
Obowiązuje znajomość faktów związanych z tym działem.
65
(k) Twierdzenie, że każdy ciąg Cauchy ego zawiera podciąg zbieżny prawie wszędzie.
(l) Twierdzenie o gęstości funkcji prostych.
(m) Twierdzenie o gęstości funkcji prostych określonych na półpierścieniu generującym à - ciało.
(n) Przestrzeni Banacha, Hilberta, Frécheta.2
(o) Przestrzenie Lp(X, H, µ) dla p " [0, + "] jako przestrzeni ilorazowe.
(p) Przestrzenie Lp(X, H, µ) dla p " [0, + "] jako Banacha, Hilberta i Frécheta.
6. Analiza miar.
(a) Funkcja zbioru i jej własności.
(b) Ciągłość z góry i z dołu funkcji zbioru.
(c) Rozkład Hahna względem funkcji zbioru.
(d) Rozkład Jordana funkcji zbioru. Wariancja całkowita funkcji zbioru.
(e) Miary i funkcje zbioru absolutnie ciągłe i osobliwe.
(f) Własności miar i funkcji zbioru absolutnie ciągłych i osobliwych.
(g) Twierdzenie Radona - Nikodyma. Pochodna Radona - Nikodyma.
(h) Twierdzenie Lebesgue a o rozkładzie kanonicznym.
7. Topologia raz jeszcze.
(a) Lemat Urysohna ocena 5.0 (dowód)3.
(b) Twierdzenie o rozkładzie jedności ocena 5.0 (dowód)4.
8. Twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału liniowego ciągłego.5
9. Miary borelowskie. Regularność miar borelowskich.
(a) Miary borelowskie. Miary borelowskie regularne.
(b) Twierdzenie o własności miary z twierdzenia Riesza o reprezentacji w przestrzeni à - zwartej.
(c) Twierdzenie o regularności miar borelowskich dla lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa, w której każdy zbiór
otwarty jest à - zwarty.
10. Ciągłość funkcji H - mierzalnych twierdzenie Auzina.
2
Obowiązuje znajomość faktów związanych z tym działem.
3
Mile widziany dowód, w przeciwnym wypadku tylko sama znajomość pro forma, czyli nie jako pytanie
4
Mile widziany dowód, w przeciwnym wypadku tylko sama znajomość pro forma, czyli nie jako pytanie
5
Pytanie to będzie wpodzielane na grupy lematów. Do każdego z nich pierwsze definicje dowodu obowiązują.
66
16.2 Zadania z egzaminu pisemnego
Å„Å‚
1
1 dla x = '" n 3 '" n " N
òÅ‚
n
1
1. Policzyć z definicji całkę Lebesgue a funkcji, która zadana jest wzorem f(x) = -1 dla x = 1 - '" n 3 '" n " N
n
ół
0 w p.p.
na przedziale [0, 1]. 5pkt/40pkt
2. Policzyć z definicji caÅ‚kÄ™ Lebesgue a z funkcji f = 1 - ÇQ)"[0,1] na przedziale [0, 1].
5pkt/40pkt
+ "
xn
3. Wyznaczyć granicę ciągu całek e-|x|dx. 5pkt/40pkt
xn+1
0
+ "
n
x
x
4. Wyznaczyć granicę ciągu całek 1 + e- 2
dx. 5pkt/40pkt
n
0
5. Niech (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z miarÄ… nieujemnÄ… i unormowanÄ…. Niech 1 p < r < + ". Udowodnić, że wtedy
zachodzi inkluzja Lr(X, H, µ) Ä…" Lp(X, H, µ). 5pkt/40pkt
6. Niech (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z miarÄ… nieujemnÄ… i skoÅ„czonÄ…. Niech f bÄ™dzie funkcjÄ… H - mierzalnÄ… oraz caÅ‚kowalnÄ…
wzglÄ™dem tej miary. Udowodnić, że jeżeli funkcja f speÅ‚nia dla dowolnego A " H warunek fdµ = µ(A), to mamy
A
wtedy f = 1(modµ). 5pkt/40pkt
7. Niech dane bÄ™dÄ… miary µ i na przestrzeni mierzalnej (X, H), przy czym miara jest skoÅ„czona. Udowodnić, że
½ = µ - jest funkcjÄ… zbioru na (X, H). 5pkt/40pkt
8. Niech (X, H, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… mierzalnÄ… z miara nieujemnÄ… µ, zaÅ› ½1 i ½2 funkcjami zbioru na H. Udowodnić, że
jeżeli ½1 µ i ½2 µ, to ½1 + ½2 µ. 5pkt/40pkt
67
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
teoria miary w prawdopodobie?22 stwie
Teoria 3 Miary
CALKI teoria
calki teoria zadania
1 calki oznaczone, teoria
pawlikowski, fizyka, szczególna teoria względności
Teoria i metodologia nauki o informacji
teoria produkcji
Cuberbiller Kreacjonizm a teoria inteligentnego projektu (2007)
Teoria B 2A
Teoria osobowości H J Eysencka
silnik pradu stalego teoria(1)
Rachunek prawdopodobieństwa teoria
więcej podobnych podstron