Definicja 1 Niech X = ", funkcje d : X X [0, ") nazywamy metryka, gdy:

1) "x,y"X d (x, y) = 0 Ð!Ò! x = y
2) "x,y"X d (x, y) = d (y, x)
3) "x,y,z"X d (x, y) d" d (x, z) + d (z, y)
Pare (X, d) nazywamy przestrzenia metryczna.
Example 2 1) ( , d), ( , d) gdzie d (x, y) = |x - y|
2) Niech V przestrzeÅ„ liniowa nad ( ). Niech · : V [0, ") bedzie norma, tj. funkcja
spe niajaca warunki:
("x"V ) x = 0 Ð!Ò! x = Åš
("x"V ) ("t" ) tx = |t| x
("x,z"V ) x + z d" x + z .
W wczas funkcja d : V V [0, ") dana wzorem d (x, y) = x - y jest metryka.
Definicja 3 Niech (X, d) bedzie przestrzenia metryczna. Kula o ´ w x0 " X i promieniu
srodku
r > 0 nazywamy zbi r K (x0, r) = {y " X : d (x0, y) < r}
Definicja 4 Niech (X, d) bedzie przestrzenia metryczna. Zbi r U Ä…" X nazywamy otwartym
gdy
("x"U) ("r>0) K (x, r) Ä…" U.
Definicja 5 Rodzine Ä zbior w otwartych w (X, d) nazywamy topologia.
Twierdzenie 6 W asnósci topologii:
1) ", X " Ä, 2) ("U,V "Ä) U )" V " Ä, 3) ("GÄ…"Ä) G " Ä
Dow d. 3) Niech G Ä…" Ä. Niech x " G. Wtedy istnieje takie G " G, że x " G. Ponieważ G
jest otwarty, to istnieje takie r > 0, że K (x, r) Ä…" G Ä…" G. Zatem G " Ä.
Definicja 7 Niech (X, d) bedzie przestrzenia metryczna. Zbi r C Ä…" X nazywamy domknietym,
gdy X\C " Ä. Rodzine zbior w domknietych oznaczamy F.
Twierdzenie 8 W asnósci rodziny zbior w domknietych:
1) ", X " F, 2) ("A,B"F) A *" B " F, 3) ("HÄ…"F) H "F.
Z każdym zbiorem A ą" X można zwiazać zbiory A oraz IntA.
Definicja 9 Domknieciem zbioru A Ä…" X nazywamy najmniejszy (w sensie inkluzji) zbi r
domkniety zawierajacy A. Oznaczamy A.
1
Definicja 10 Wnetrzem zbioru A Ä…" X nazywamy najwiekszy (w sensie inkluzji) zbi r otwarty
zwarty w A. Oznaczamy IntA.
Twierdzenie 11 Nastepujace warunki sa r wnoważne:
(i) x " A
(ii) ("U"Ä) (x " U Ò! U )" A = ")

(iii) ("r>0) (K (x, r) )" A = ")

Dow d. (i)Ò!(ii) Przypuśćmy, że istnieje U " Ä taki, że x " U oraz U )" A = ", tzn. U Ä…" Ac.
W wczas A\U jest zbiorem domknietym oraz A Ä…" A\U co przeczy definicji A.
Twierdzenie 12 Nastepujace warunki sa r wnoważne:
(i) x " IntA
(ii) ("U"Ä) x " U Ä…" A
(iii) ("r>0) K (x, r) Ä…" A.
Definicja 13 Niech (X, d) bedzie przestrzenia metryczna. Zbi r D nazywamy gestym w X jésli
D = X.
Twierdzenie 14 Nastepujace warunki sa r wnoważne:
(i) D jest gesty w X
(ii) "U"Ä\{"} U )" D = D

(iii) ("r>0) ("x"X) K (x, r) )" D = "

Definicja 15 Przestrzeń metryczna (X, d) nazywamy ósrodkowa gdy istnieje w niej przeliczalny
zbi r gesty.
Definicja 16 Baza w przestrzeni metrycznej (X, d) nazywamy rodzine B Ä…" Ä spe niajaca
warunek
("G"Ä) ("B Ä…"B) G = BG.
G
Kule w przestrzeni metrycznej (X, d) tworza baze. Istotnie, niech U bedzie zbiorem
otwartym. W wczas dla każdego x " U istnieje kula Kx (o środku w x) taka, że Kx ą" U.
Wtedy U = Kx. Można zauważyć, że kule o promieniach wymiernych (lub o promieniach
x"U
1
) też tworza baze.
n
Twierdzenie 17 Jésli (X, d) jest przestrzenia metryczna ósrodkowa, to Ä ma baze przeliczalna.
Dow d. Baze tworza kule o środkach w punktach przliczalnego zbioru gestego i promieniach
1
.
n
2
Wniosek 18 Dla każdej rodziny G Ä…" Ä w ósrodkowej przestrzeni metrycznej (X, d) istnieja
"
zbiory G1, G2, ... " G takie, że G = Gi.
i=1
Definicja 19 Wézmy ciag punkt w (x1, x2, ...) element w przestrzeni metrycznej (X, d).
M wimy, że ciag xn zbiega do x gdy
lim xn = x Ð!Ò! ("µ>0) ("k) ("ne"k) d (xn, x) < µ.
n"
Twierdzenie 20 Każdy ciag zbieżny spe nia warunek Cauchy ego tzn.
("µ>0) ("k) ("n,me"k) d (xn, xm) < µ.
Jeżeli zachodzi implikacja w druga strone, czyli jeśli każdy ciag spelniajacy warunek
Cauchy ego ma granice, to m wimy, że przestrzeń (X, d) jest zupelna.
Example 21 ( , |· - ·|) jest zupe na, ([a, b] , |· - ·|) jest zupe na, ((a, b) , |· - ·|) nie jest zupe na,
1
bo ciag a + jest ciagiem Cauchy ego, ale nie ma granicy w tej przestrzeni. Ale ((a, b) , d)
n
n"
gdzie d (x, y) = |tgx - tgy| jest zupe na.
Definicja 22 M wimy, że przestrzeÅ„ metryczna (X, d) jest topologicznie zupe na, jésli istnieje
metryka Á w X definiujaca te sama topologie taka, że (X, Á) jest zupe na.
Definicja 23 Zbi r K w przestrzeni (X, d) nazywamy zwartym, jésli dla każdej rodziny zbior w
otwartych G takiej, że K ą" G istnieje skończona podrodzina G1, ..., Gn ą" G taka, że K ą"
n
Gi.
i=1
Twierdzenie 24 Nastepujace warunki sa r wnoważne:
(i) K jest zwarty
n
(ii) ("µ>0) ("x ,...,xn) K Ä…" K (xi, µ) oraz K jest domkniety i (X, d) jest zupe na
1
i=1
(iii) dla każdego ciagu (xn)n" takiego, że xn " K dla każdego n " istnieje podciag xn
k
taki, że lim xn = x " K.
k
k"
Definicja 25 Niech (X, d), (Y, Á) beda przestrzeniami metrycznymi. Niech f : X Y .
M wimy, że f jest ciag a w xo " X, gdy
("µ>0) ("´>0) ("x"X) (d (x, xo) < ´ Ò! Á (f (x) , f (x0)) < µ).
M wimy, że f jest ciag a, gdy jest ciag a w każdym punkcje x " X, tj.
("x"X) ("µ>0) ("´>0) ("x"X) (d (x, xo) < ´ Ò! Á (f (x) , f (x0)) < µ)
3
Funkcja f jest ciagla w X jeśli
"V otwartego w (Y,Á) U = f-1 (V ) jest otwarty w (X, d).
Definicja 26 M wimy, że f : X Y jest jednostajnie ciag a w X jésli:
("µ>0) ("´>0) ("x,y"X) (d (x, y) < ´ Ò! Á (f (x) , f (y)) < µ)
Definicja 27 M wimy, że funkcja f : X Y spe nia warunek Lipschitza ze sta a L jésli
("x,y"X) Á (f (x) , f (y)) d" L · d (x, y)
Twierdzenie 28 Niech f : X Y . Zachodza nastepujace implikacje: f spe nia warunek
Lipschitza Ò! f jest jednostajnie ciag a Ò! f jest ciag a.
Definicja 29 Funkcje f : X Y , gdzie (X, d) i (Y, Á) sa przestrzeniami metrycznymi,
nazywamy homeomorfizmem jésli jest bijekcja, jest ciag a i funkcja do niej odwrotna jest też
ciag a.
Definicja 30 Niech X dowolny, niepusty zbi r. Rodzine F Ä…" P (X) nazywamy Ã-cia em (Ã-
algebra) zbior w jésli:
1) " " F
2) ("A"F) Ac " F
"
3) ("A ,A2,..."F) An " F
1
n=1
"
Z definicji Ã-ciala wynika natychmiast, że 1) X " F, 2) ("A ,A2,..."F) An " F. Ponadto
1
n=1
wyniki wszystkich typowych dzialaÅ„ mnogoÅ›ciowych (·\·, · ·) zbior w z F należa do F.
Uwaga 31 Jésli A Ä…" P (X) to istnieje najmniejsze w sensie inkluzji Ã-cia o zawierajace A.
Oznaczamy je à (A) i m wimy, że A generuje à (A).
Exercise 32 Jak wyglada à (Ai) dla A1 = {X1, X2, ..., Xn} gdzie Xk )" Xj = " dla k = j i

n
X = Xn. A2 = {{x} : x " X} i X jest nieprzeliczalny.
k=1
Definicja 33 Jésli (X, d) jest przestrzenia metryczna to najmniejsze Ã-cia o zbior w
zawierajace zbiory otwarte nazywamy Ã-cia em zbior w borelowskich. Oznaczamy Bx = Ã (Ä).
Uwaga 34 Każdy zbi r domkniety jest zbiorem borelowskim. W szczeg lnósci każdy singleton
{x} jest zbiorem borelowski,. Wszystkie zbiory przeliczalne sa borelowskie. R wnież zbiory typu
FÃ i G´ należa do zbior w borelowskich.
4
"
Definicja 35 Zbi r G jest typu G´ jésli jest postaci G = Gn gdzie Gn sa otwarte. Zbi r F
n=1
"
jest typu FÃ jésli jest postaci F = Fn gdzie Fn sa domkniete.
n=1
Zauważmy, że dope nienie zbioru typu G´ jest zbiorem typu FÃ i vice versa.
Uwaga 36 Uwagi o licznósci:
1) Przestrzeń metryczna ósrodkowa ma moc mniejsza r wna niż .
2) Nieprzeliczalna, ósrodkowa przestrzeń metryczna zupe na ma moc .
3) W nieskończonej ósrodkowej metrycznej przestrzeni zupe nej rodzina zbior w borelowskich
ma moc .
4) Każdy zbi r borelowski w nieprzeliczalnej przestrzeni metrycznej, ósrodkowej i zupe nej
jest albo przeliczalny albo mocy .
Definicja 37 Dla dowolnego x " X i zbioru A Ä…" X zdefiniujmy odleg ós´ punktu od zbioru
c
d (x, A) = inf d (x, a).
a"A
Uwaga 38 d (x, A) = 0 Ð!Ò! x " A.
Twierdzenie 39 Funkcja d (·, A) : X [0, ") spe nia warunek Lipschitza ze sta a 1, tzn.
|d (x, A) - d (y, A)| d" d (x, y).
Dow d. Niech x, y " X, z " A. Mamy
d (x, A) d" d (x, z) d" d (x, y) + d (y, z).
Przykladajac po obu stronach nier wności inf otrzymujemy
z"A
d (x, A) d" d (x, y) + d (y, A). Zatem d (x, A) - d (y, A) d" d (x, y). Analogicznie d (y, A) -
d (x, A) d" d (x, y). Stad teza.
Twierdzenie 40 Każdy zbi r domkniety w (X, d) jest iloczynem zstepujacego ciagu zbior w
otwartych (w szczeg lnósci jest G´).
Dow d. Niech A bedzie zbiorem domknietym. x " A Ð!Ò! d (x, A) = 0 Ð!Ò! "n" d (x, A) <
" "
1 1 1
Ð!Ò! x " y : d (y, A) < = d-1 (·, A) -", .
n n n
n=1 n=1
Definicja 41 Jésli w zbiorze X mamy wyr żnione Ã-cia o zbior w F, to pare (X, F) mazywamy
przestrzenia mierzalna.
Definicja 42 Niech (X, F) i (Y, M) beda przestrzeniami mierzalnymi. Funkcje f : X Y
nazywamy (F, M)-mierzalna jésli
("B"M) f-1 (B) " F.
W szczeg lnósci jésli X, Y sa przestrzeniami metrycznymi, to funkcje f : X Y (Bx, By)-
mierzalna nazywamy borelowska.
5
Uwaga 43 Jésli f : X Y , gdzie (X, F), (Y, M) sa przestrzeniami mierzalnymi, oraz M =
à (M0), to f jest (F, M)-mierzalna wtedy i tylko wtedy gdy
("B"M ) f-1 (B) " F.
0
Wniosek 44 Jésli Y jest ósrodkowa przestrzenia metryczna o przeliczalnym zbiorze gestym D,
a X przestrzenia metryczna, to f : X Y jest borelowska wtedy i tylko wtedy gdy przeciwobraz
każdej kuli K (d, r), d " D, r " jest borelowski w X.
Wniosek 45 Jéslil X jest przestrzenia metryczna i f : X , to f jest borelowska wtedy i
tylko wtedy gdy f-1 (-", a) jest zbiorem borelowskim w X dla każdego a " (wystarczy nawet
a " ).
Uwaga 46 Niech X, Y beda przestrzeniami metrycznymi. Jésli f jest ciag a to f jest
borelowska.
Twierdzenie 47 (Lemat Urysohna). Niech A, B beda roz acznymi zbiorami domknietymi w
X. W wczas istnieje funckja ciag a f : X taka, że:
(1) 0 d" f (x) d" 1 dla x " X,
(2) f (x) = 0 Ð!Ò! x " A i f (x) = 1 Ð!Ò! x " B.
Jésli ponadto d (A, B) = inf (x, y) = ´ > 0 to f może by´ jednostajnie ciag a.
c
x"A,y"B
d(x,A)
Dow d. Niech f (x) = dla x " X. f jest poprawnie określona ponieważ d (x, A) +
d(x,A)+d(x,B)
d (x, B) = 0 dla każdego x " X. f jest ciagla ponieważ każda z funkcji d (x, A) i d (x, B)

jest ciagla. Pokażemy, że f jest jednostajnie ciagla gdy d (A, B) = ´ > 0. W tym przypadku
mianownik jest zawsze wiekszy r wny ´. Niech x, y " X.
d(x,A) d(y,A) d(x,A)(d(y,A)+d(y,B))-d(y,A)(d(x,A)+d(x,B))
|f (x) - f (y)| = - = =
d(x,A)+d(x,B) d(y,A)+d(y,B) (d(x,A)+d(x,B))(d(y,A)+d(y,B))
d(x,A)d(y,A)+d(x,A)d(y,B)-d(y,A)d(x,A)+d(y,A)d(x,B)
=
(d(x,A)+d(x,B))(d(y,A)+d(y,B))
d(x,A)d(y,B)-d(y,A)d(x,B) d(x,A)d(y,B)-d(y,A)d(x,B)+d(x,A)d(x.B)-d(x.A)d(x,B)
= =
(d(x,A)+d(x,B))(d(y,A)+d(y,B)) (d(x,A)+d(x,B))(d(y,A)+d(y,B))
d(x,A)(d(y,B)-d(x,B))+d(x,B)(d(x,A)-d(y,A)) d(x,A)(d(y,B)-d(x,B))
d" +
(d(x,A)+d(x,B))(d(y,A)+d(y,B)) (d(x,A)+d(x,B))(d(y,A)+d(y,B))
d(x,B)(d(x,A)-d(y,A))
=
(d(x,A)+d(x,B))(d(y,A)+d(y,B))
d(x,A)|d(y,B)-d(x,B)| d(x,B)|d(x,A)-d(y,A)| d(x,A)d(x,y)
+ d" +
(d(x,A)+d(x,B))(d(y,A)+d(y,B)) (d(x,A)+d(x,B))(d(y,A)+d(y,B)) (d(x,A)+d(x,B))(d(y,A)+d(y,B))
d(x,B)d(x,y) d(x,y)(d(x,A)+d(x,B)) d(x,y)
1
= = d" d (x, y).
(d(x,A)+d(x,B))(d(y,A)+d(y,B)) (d(x,A)+d(x,B))(d(y,A)+d(y,B)) d(y,A)+d(y,B) ´
1
Zatem f spelnia warunek Lipschitza ze stala .
´
Zauważmy, że jeśli X = " i (Y, M) jest przestrzenia mierzalna oraz G jest pewna rodzina

funkcji f : X Y , to istnieje w X najmniejsze (w sensie inkluzji) Ã-cialo F takie, że wszystkie
f " G sa mierzalne.
6
Twierdzenie 48 Ã-cia o zbior w borelowskich w X jest najmniejszym Ã-cia em wzgledem
kt rego wszystkie funkcje ciag e, rzeczywiste i ograniczone sa mierzalne borelowsko.
Dow d. Niech H bedzie najmniejszym Ã-cialem wzgledem kt rego wszystkie rzeczywiste,
ciagle i ograniczone funkcje sa borelowsko mierzalne. Mamy H ą" BX. Aby pokazać inkluzje
w druga strone należy pokazać, że wszystkie zbiory z pewnej rodziny generujacej BX należa
do H. Pokażemy, że każdy zbi r domkniety należy do H. Niech C bedzie dowolnym zbiorem
domknietym w X. Wiemy, że istnieje zstepujacy ciag zbior w otwartych (Gn)n" taki, że C =
"
Gn. Zauważmy, że dla każdego n " C i Gc sa rozlacznymi zbiorami domknietymi. Zatem
n
n=1
istnieja funkcje ciagle fn : X [0, 1] takie, że fn (x) = 1 Ð!Ò! x " C i fn (x) = 0 Ð!Ò! x " Gc .
n
-1
Wtedy C = fn ({1}), zatem C " H, wiec BX Ä…" H.
Definicja 49 Niech (X, F) bedzie przestrzenia mierzalna. Funkcje µ : F [0, ") nazywamy
miara, jésli:
1) µ (") = 0
2) Dla każdej rodziny A1, A2, ... zbior w należacych do F i parami roz acznych mamy
" "
µ An = µ (An).
n=1 n=1
Tr jke (X, F, µ) nazywamy przestrzenia z miara.
Twierdzenie 50 Niech (X, F, µ) bedzie przestrzenia z miara. W wczas:
(i) ("A,B"F) (A )" B = " Ò! µ (A *" B) = µ (A) + µ (B))
(ii) ("A,B"F) (A Ä…" B Ò! µ (A) d" µ (B))
(iii) ("A,B"F) (A Ä…" B Ò! µ (B\A) = µ (B) - µ (A))
(iv) ("A,B"F) µ (A*"B) = µ (A) + µ (B) - µ (A )" B)
" "
(v) ("A ,A2,..."F) µ An d" µ (An)
1
n=1 n=1
(vi) dla każdego ciagu A1, A2, ... monotonicznego zbior w z F mamy µ lim An =
n"
lim µ (An)
n"
Definicja 51 Niech (X, F, µ) bedzie przestrzenia z miara. M wimy, że miara µ jest zupe na,
jésli
("A"F) ((µ (A) = 0 '" B Ä…" A) Ò! B " F).
JeÅ›li µ nie jest zupelna, to istnieje najmniejsze Ã-cialo F1 takie, że F Ä…" F oraz µ na F1
zupelna taka, że
("A"F) µ (A) = µ (A).
B " F1 jeÅ›li istnieja takie A, N " F że µ (N) = 0 i istnieje M Ä…" N takie, że B = A M.
7
Definicja 52 Miare µ na (X, F) nazywamy probabilistyczna (prawdopodobieÅ„stwem) jésli
µ (X) = 1. Jésli µ jest miara probabilistyczna, to (X, F, µ) nazywamy przestrzenia
probabilistyczna.
Definicja 53 Za żmy, że (X, F, µ) jest przestrzenia z miara a (Y, M) przestrzenia mierzalna.
Niech f : X Y bedzie funkcja mierzalna. Dla każdego zbioru B " M zdefiniujmy µf (B) =
µ (f-1 (B)). Z w asnósci przeciwobraz w wynika, że µf jest miara na (Y, M).
Miare µf nazywamy miara indukowana w (Y, M) przez funkcje mierzalna f.
Definicja 54 Jésli (X, F, µ) jest przestrzenia probabilistyczna a (Y, M) przestrzenia
mierzalna, to każda funkcje mierzalna f : X Y nazywamy zmienna losowa na (X, F) o
wartósciach w Y . Miare µf nazywamy w wczas rozk adem zmiennej losowej f.
Definicja 55 Zauważmy, że funkcja mierzalna f definiuje funkcje F : M F wzorem
F (B) = f-1 (B). Taka funkcje F dla zmiennej losowej f nazywamy obserwabla.
Na og l zmienne losowe rozpatrywane w teorii prawdopodobieństwa maja wartości
w przestrzeniach metrycznych (liniowo-metrycznych) z wyr żnionym Ã-cialem zbior w
borelowskich. W wczas rozklady prawdopodobieństwa tych zmiennych losowych sa miarami
probabilistycznymi na Ã-ciele zbior w borelowskich.
Definicja 56 Niech (X, d) bedzie przestrzenia metryczna. Każda miare µ na BX nazywamy
miara borelowska (jésli µ (X) = 1 to nazywamy probabilistyczna miara borelowska).
Od teraz pod pojeciem miara bedziemy mieli na myśli borelowska miare probabilistyczna.
Definicja 57 Zbi r A " BX nazywamy µ-regularnym jésli µ (A) =
inf {µ (U) : U - otwarty i A Ä…" U} = sup {µ (C) : C - domkniety i C Ä…" A}.
Uwaga 58 Zbi r A jest µ-regularny wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego µ > 0 istnieja zbiory
Cµ domkniety i Uµ otwarty takie, że Cµ Ä…" A Ä…" Uµ i µ (Uµ\Cµ) < µ.
Twierdzenie 59 Każdy zbi r borelowski jest µ-regularny (czyli miara µ jest regularna).
Dow d. Niech H oznacza rodzine zbior w borelowskich µ-regularnych. Zatem H Ä…" BX.
Pokażemy, że
(i) H jest Ã-cialem
(ii) Jeśli C jest domkniety, to C " H.
Ad (i) Zauważmy, że " " H bo jest zarazem otwarty i domkniety.
Niech A " H, wez
my µ > 0. Istnieja zbiory Cµ domkniety i Uµ otwarty takie, że Cµ Ä…" A Ä…" Uµ i
8
c c c c
µ (Uµ\Cµ) < µ. W wczas dla Ac mamy Uµ Ä…" Ac Ä…" Cµ i Uµ jest domkniety, Cµ jest otwarty oraz
c c
µ (Cµ\Uµ ) = µ (Uµ\Cµ) < µ. Zatem Ac " H.
Niech A1, A2, ... " H, niech µ > 0. W wczas istnieja zbiory otwarte Un,µ i domkniete Cn,µ
µ
dla n " takie, że dla każdego n " Cn,µ Ä…" A Ä…" Un,µ i µ (Un,µ\Cn,µ) < . Zdefiniujmy
3n
" "
Uµ = Un,µ. Jest to zbi r otwarty, jako suma zbior w otwartych. Zdefiniujmy C = Cn,µ -
n=1 n=1
na og l nie jest to zbi r domkniety. Wez
my pod uwage wstepujacy ciag zbior w domknietych:
n "
F1 = C1,µ, F2 = C1,µ *" C2,µ og lnie Fn = Cj,µ. Mamy F1 Ä…" F2 Ä…" ... oraz Fn =
j=1 n=1
"
Cn,µ = C. Z ciagloÅ›ci miary lim µ (Fn) = lim µ (Cn,µ) = µ (C), zatem istnieje takie k " ,
n" n"
n=1
k k "
µ
że µ C\ Cn,µ < . Niech Ce = Cn,µ. Mamy Cµ Ä…" An Ä…" Uµ oray
2
n=1 n=1 n=1
"
µ µ
µ (Uµ\Cµ) = µ (Uµ\C) *" µ (C\Cµ) < + = µ.
3n 2
n=1
"
Zatem An " H, wiec H jest Ã-cialem.
n=1
Ad (ii) Wez
my C - dowolny zbi r domkniety. Istnieja zbiory otwarte U1 ‡" U2 ‡" ... takie, że
"
C = Un. Z ciagloÅ›ci miary istnieje n " takie, że µ (Un) - µ (C) = µ (Un\C) < µ.
n=1
Definicja 60 Domkniety zbi r Cµ nazywamy nósnikiem miary µ jésli
1) µ (Cµ) = 1
2) Cµ jest najmniejszym (w sensie inkluzji) zbiorem domknietym o w asnósci 1).
Twierdzenie 61 Jésli X jest ósrodkowa przestrzenia metryczna, to każda probabilistyczna
miara boreloska ma nósnik Cµ. Ponadto x " Cµ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru
otwartego U takiego, że x " U mamy µ (U) > 0.
Dow d. Niech U oznacza rodzine wszystkich zbior w otwartych o mierze zero. Z ośrodkowości
"
wynika, że istnieje przeliczalna podrodzina U1, U2, .. zbior w z U taka, że U = Un.
n=1
" "
Wynika stad, że µ U = µ Un d" µ (Un) = 0. Kladac Cµ = X\ U mamy
n=1 n=1
µ (Cµ) = 1. Niech D bedzie takim zbiorem domknietym, że µ (D) = 1. Wtedy Dc jest zbiorem
otwartym i µ (Dc) = 0, zatem Dc " U. Stad Dc Ä…" U a wiec D ‡" X\ U ‡" Cµ.
Wniosek 62 Jésli X jest przestrzenia metryczna, a E jest ósrodkowym podzbiorem
borelowskim w X oraz µ (Ec) = 0, to µ ma ósrodkowy nósnik Cµ Ä…" E.
9
Definicja 63 Maire nazywamy ´ jésli dla każdego µ > 0 istnieje zbi r zwarty Kµ taki, że
scis a
c
µ (Kµ) < µ .
Twierdzenie 64 Za żmy, że µ jest miara ´ W wczas
scis a.
1) µ ma ósrodkowy nósnik
2) ("E"B ) ("µ>0) ("K - zwarty) (Kµ Ä…" E i µ (E\Kµ) < µ).
X µ
c 1
Dow d. Dla każdego n " istnieje zbi r zwarty Kn tajum ze µ (Kn) < . Każdy zbi r
n
zwarty w przestrzeni metrycznej jest ośrodkowy. Zbiory Kn można dobrać tak, żeby tworzyly
" "
ciag wstepujacy. Ciag miar µ (Kn) 1, zatem µ Kn = 1. Zbi r E = Kn spelnia
n=1 n=1
zalożenia wniosku z poprzedniego twierdzenia, zatem miara µ ma oÅ›rodkowy noÅ›nik.
Niech E " BX, µ > 0. Miara µ jako probabilistyczna miara borelowska jest regularna, wiec
µ c µ
istnieje zbi r domkniety Cµ Ä…" E taki, że µ (E\Cµ) < . Dobierzmy n " tak, by µ (Kn) < .
2 2
Zdefiniujmy Kµ = Kn )" Cµ, jest to domkniety podzbi r zbioru zwartego, a wiec jest to zbi r
e c µ µ
zwarty. Kµ Ä…" E, ponadto µ (E\Kµ) = µ (E\Cµ) + µ (Cµ\Kµ) < + µ (Kn) < + = µ.
2 2 2
Twierdzenie 65 (Lemat Ulama). Jésli X jest ósrodkowa przestrzenia zupe na, to każda
probabilistyczna miara borelowska µ na X jest ´scis a.
1
Dow d. Niech µ > 0. Rozważmy wszystkie kule o promieniu , n = 1, 2, .... Z oÅ›rodkowoÅ›ci
n
1
X wynika, że dla każdego n " istnieje przeliczalnie wiele kul o promieniu , powiedzmy
n
" "
S1n, S2n, ... takich, że X = Sjn. Oczywiście mamy r wnież X = Sjn. Dla każdego n "
j=1 j=1
kn kn
µ
istnieje zatem kn takie, że µ Sjn > 1 - . Zbi r Xn = Sjn jest zbiorem domknietym,
2n
j=1 j=1
zatem Kµ = Xn jest zbiorem domknietym, a ponadto jest calkowicie ograniczony, a zatem
" "
µ
zwarty. Ponadto µ (X\Kµ) d" µ (X\Xn) d" = µ.
2n
n=1 n=1
Uwaga: Można pokazać, że teza twierdzenia zachodzi r wnież, jeśli X jest borelowskim
podzbiorem przestrzeni polskiej (albo nawet ośrodkowym borelowskim podzbiorem przestrzeni
zupelnej).
Miary atomowe
Definicja 66 Punkt x " X (zbi r {x}) nazywamy atomem miary µ jésli µ ({x}) > 0.
Uwaga 67 Jésli µ jest miara probabilistyczna, to µ może miéc co najwyżej przeliczalnie wiele
atom w.
10
Dow d. Pokażemy wiecej, a mianowicie, że istnieje co najwyżej przeliczalnie wiele zbior w
1 1
roz acznych o mierze dodatniej. Istotnie, wézmy pod uwage przedzia y , oraz miary
n+1 n
rozpatrywanych, roz acznych zbior w. Gdyby by o ich nieprzeliczalnie wiele, to w kt ry?s z
1 1
przedzia w , by oby nieprzeliczalnie wiele wartósci miar zbior w. Zatem dla pewnego
n+1 n
1
n0 miara nieskończenie wielu zbior w roz acznych by aby wieksza niż . Zatem miara ich
n0+1
sumy by aby nieskończona.
Definicja 68 Miare ´x opisana:
1, x " A
´x (A) = nazywamy miara skupiona w punkcie x (albo delta Diraca)
0, x " A
/
Definicja 69 Miare µ nazywamy czysto atomowa, jésli istnieja punkty x1, x2, ... oraz liczby
"
dodatnie px , px , ... takie, że px = 1 i µ (A) = px . Zauważmy, że µ = px ´x .
1 2 i i i i
i=1 xi"A
Jésli atomy miary czysto atomowej µ tworza zbi r dyskretny w X, to m wimy, że µ jest miara
dyskretna.
Example 70 Niech q1, q2, ... bedzie ciagiem wszystkich liczb wymiernych w . Niech µ =
1
´q . µ jest czysto atomowa, ale nie jest dyskretna.
2i i
11