Elementarny rachunek prawdopodobieństwa
I. Doświadczenia losowe
Rachunek (teoria) prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe.
Mówimy, że doświadczenie jest losowe, jeżeli:
- można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach,
- wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć.
Jako przykłady takich doświadczeń podaje się zwykle rzuty monetą lub kostką do gry, kupno losu na loterii, karty jakie można
otrzymać w rozdaniu pokera itp.
II. Przestrzeń zdarzeń elementarnych
Wyniku danego doświadczenia losowego nie potrafimy przewidzieć, ale możemy podać (lub opisać) zbiór, do którego należy.
Zbiór ten tradycyjnie oznacza się literą .
nosi nazwę przestrzeni zdarzeń elementarnych, a jej elementy oznacza się literami i nazywa zdarzeniami
elementarnymi.
W szkolnym rachunku prawdopodobieństwa przestrzeń jest zwykle zbiorem o skończonej liczbie elementów:
Przykłady
1. Jednokrotny rzut monetą. Możliwymi wynikami w tym doświadczeniu są dwa zdarzenia elementarne: wyrzucenie orła
lub wyrzucenie reszki .
Opisując to doświadczenie przyjmujemy:
2. Jednokrotny rzut kostką. W tym doświadczeniu:
gdzie to liczba wyrzuconych oczek.
3. Dwukrotny rzut monetą lub równoczesny rzut dwiema różnymi monetami, np. złotówką i dwuzłotówką. Teraz każde to
uporządkowana para:
(wynik pierwszego rzutu, wynik drugiego rzutu)
lub (wynik na złotówce, wynik na dwuzłotówce)
lub krócej
4. Dwukrotny rzut kostką do gry lub równoczesny rzut dwiema kostkami np. czerwoną i zieloną. Teraz każde to
uporządkowana para:
(liczba oczek w pierwszym rzucie, liczba oczek w drugim rzucie)
lub (liczba oczek na kostce czerwonej, liczba oczek na kostce zielonej).
W tym doświadczeniu zdarzenia elementarne ustawia się zwykle w tablicy o sześciu wierszach i kolumnach.
5. Rozdania kart w brydżu. Każdy z czterech graczy otrzymuje po 13 kart z talii 52 kart. Przestrzeń zdarzeń elementarnych
tworzą podziały zbioru 52 kart na 4 zbiory po 13 kart. Liczba takich podziałów jest olbrzymia,
III. Zdarzenia
Rzadko interesuje nas pojawienie się w danym doświadczeniu losowym konkretnego Częściej chodzi o to, czy należy
do określonego podzbioru przestrzeni Np. czy w jednokrotnym rzucie kostką wypadła parzysta liczba oczek.
Zdarzeniem nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych .
Zdarzenia oznaczamy początkowymi dużymi literami alfabetu A, B, C, ... i opisujemy je słowami poprzedzając myślnikiem.
Np. gdy
A - wypadła parzysta liczba oczek, A = {2,4,6},
B - wypadła liczba oczek nie mniejsza niż 4, B = {1,2,3,4},
C - wypadła szóstka, C = {6}.
Jeżeli wynikiem doświadczenia jest oraz to mówimy, że zaszło zdarzenie A oraz że sprzyja zdarzeniu
A.
Podzbiorami są też:
- zbiór pusty przedstawiający zdarzenie niemożliwe (np. w jednym rzucie kostką wypadło 7 oczek lub jeden z graczy w
brydża otrzymał wśród 13 kart dwie damy kier),
- cała przestrzeń przedstawiająca zdarzenie pewne (każde ).
Zdarzenie nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A. Jeżeli , to i zachodzi zdarzenie
przeciwne do A.
A' to zbiór tych , które nie sprzyjają A.
Zdarzeniem przeciwnym do jest i odwrotnie.
IV. Działania na zdarzeniach
Gdy dopuszczamy dwa zdarzenia A i B, to możemy interesować się tym, czy te dwa zdarzenia zachodzą równocześnie lub czy
zaszło przynajmniej jedno z nich.
nazywamy koniunkcją zdarzeń A i B (,,A i B").
O zdarzeniach A i B takich, że mówimy, że wykluczają się.
nazywamy alternatywą zdarzeń A i B (,,A lub B").
Jeżeli , to zajście zdarzenia A pociąga za sobą B.
Czasami o zdarzeniach wyrażamy się w terminach teorii zbiorów (iloczyn, suma, dopełnienie), zamiast
w terminach rachunku prawdopodobieństwa.
V. Definicja prawdopodobieństwa
" Model klasyczny (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
Jeżeli w pewnym doświadczeniu losowym wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, to
prawdopodobieństwo zdarzenia A określamy wzorem:
Model klasyczny pasuje do wielu zdarzeń, gdzie występują symetryczne monety lub kości do gry, karty, losy na loterii itp.
" Model uogólniony
Model ten stosujemy, gdy nie wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.
Na przestrzeni zdarzeń elementarnych określamy rozkład prawdopodobieństwa przypisując
każdemu zdarzeniu elementarnemu liczbę nieujemną , tak aby spełniony był warunek:
to prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego
Prawdopodobieństwem dowolnego zdarzenia A nazywamy sumę prawdopodobieństw wszystkich sprzyjających A.
, gdzie sumujemy po wszystkich
VI. Podstawowe własności prawdopodobieństwa
1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero:
2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności:
3. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wyraża się wzorem:
Warto to zapamiętać. Czasem łatwo jest obliczyć P(A') podczas, gdy obliczenie P(A) jest kłopotliwe.
Np. rzucamy 10 razy symetryczna monetą,
A - wypadł orzeł przynajmniej jeden raz.
Wtedy A' - wypadły same reszki.
i
4. Dla każdego zdarzenia A:
5. Jeżeli zdarzenia A i B nie mogą zajść równocześnie, tzn. wykluczają się, to:
6. Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, czyli to:
7. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń ,,A lub B":
Stąd wniosek, że , a równość tylko w sytuacji takiej jak w pkt 5.
VII. Prawdopodobieństwo warunkowe
Jest to podstawowe pojęcie teorii prawdopodobieństwa - chodzi o to, że zajście jakiegoś zdarzenia może zmienić
prawdopodobieństwa zajścia innego zdarzenia.
Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B (P(B) > 0), nazywamy
liczbę
Jeżeli wiemy, że zaszło zdarzenie B, to ograniczamy się do zdarzeń elementarnych sprzyjających B (jest to nowa przestrzeń
zdarzeń) oraz tych które należą do części wspólnej (sprzyjają A i B).
Przykłady
1. Rzucono 3 razy monetą i wypadła nieparzysta liczba orłów (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadły 3 orły
(zdarzenie A)?
.
Można było też zastosować wzór: ,
, , ,
2. Rzucono 2 razy kostką do gry i w pierwszym rzucie wypadło 6 oczek (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w obu
rzutach wypadnie co najmniej 10 oczek (zdarzenie A)?
Zastosujmy wzór
Z przykładu 4 w pkt. II (tablica) wiemy, że
Teraz prościutko stosując wzór
Ze wzoru mamy wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń:
Korzystając z tego można pójść dalej
itd.
Wzory te pojawią się, gdy będziemy opisywali metodę drzew.
VIII. Prawdopodobieństwo całkowite
Rodzinę zdarzeń , które wzajemnie się wykluczają,
a ich suma daje nazywamy zupełnym układem zdarzeń.
Formalnie oznacza to, że
czyli zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń
Mówimy też, że rodzina taka stanowi rozbicie przestrzeni .
Na diagramie wygląda to np. tak
Wez
my teraz dowolne zdarzenie A. Umieszczamy je na powyższym diagramie.
Widać, że:
Wszystkie zdarzenia są rozłączne. Z rozdziału II pkt. 5, wynika, że
Stosując wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń otrzymujemy:
Ogólnie, jeżeli stanowi układ zupełny zdarzeń to
Uwaga.
Zdarzenie B i do niego przeciwne B' stanowią rozbicie przestrzeni
W takim razie
IX. Niezależność zdarzeń
Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli
Jeżeli A i B są niezależne to wg tej definicji:
a to oznacza, że zdarzenie B nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zdarzenia A.
Uwaga.
Jeżeli zdarzenie A i B są niezależne, to niezależne są też zdarzenia: A i B , A i B, A i B .
X. Schemat Bernoulliego
Rozważmy skończony ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o dwóch możliwych wynikach. Poszczególne
zdarzenia z tego ciągu nazywamy próbami Bernoulliego.
Jeden z dwóch wyników nazywamy tradycyjnie sukcesem, a drugi porażką. Oznaczamy prawdopodobieństwo sukcesu jako
a prawdopodobieństwo porażki Niezależność prób polega na tym, że dowolny wynik jednej próby nie
wpływa na prawdopodobieństwo pojawienia się każdego z wyników w następnej próbie.
Schematem n prób Bernoulliego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń tej samej próby Bernoulliego.
Przykłady schematu prób Bernolulliego
1. -krotny rzut symetryczną monetą, za sukces możemy przyjąć wypadnięcie orła
a porażka jest wypadnięcie reszki
2. badanie urządzeń, gdy interesuje nas czy są one sprawne czy wadliwe, sukces to ,,urządzenie jest sprawne",
3. -krotny rzut symetryczną kostką, gdy za sukces uważamy wypadnięcie szóstki ,
4. kupno losów na loterii, gdy los jest wygrany (sukces) lub pusty (porażka).
Oznaczmy przez liczbę sukcesów w schemacie prób Bernouliiego.
Prawdopodobieństwo zajścia sukcesów w schemacie prób Bernoulliego , z prawdopodobieństwem
sukcesu w jednej próbie , wynosi
Przykłady
1. Rzucamy 6 razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zajścia:
a) zdarzenia A - otrzymano jedną szóstkę,
b) zdarzenia B - otrzymano najwyżej dwie szóstki,
c) zdarzenia C - otrzymano co najmniej jedną szóstkę.
a)
b) , gdzie - otrzymano 0, 1, 2 szóstki. Zdarzenia te wykluczają
się. Stąd dalej wynika, że
c) Zdarzeniem przeciwnym do C jest C' - nie wypadła ani jedna szóstka. Stąd
2. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A - trzeci orzeł wypadł w 10-tym rzucie.
Bezpośrednio nie można zastosować wzoru na . Jak realizuje się zdarzenie A?
, gdzie
B - wypadły 2 orły w 9-ciu rzutach,
C - w dziesiątym rzucie wypadł orzeł,
Zdarzenia B i C są niezależne, więc
XI. Drzewa
Teraz będzie o metodzie, która nadaje się do doświadczeń realizowanych w dwóch lub więcej etapach. Takimi są np. - często
występujące z zadaniach - losowanie kolejno kul z urny, rzuty monetą lub kostką, ciągnięcie kart z talii itp. oraz złożenie kolejno
tych doświadczeń.
Przykład takiego (problemu) doświadczenia.
Mamy dwie urny. W pierwszej są 2 kule białe i 3 czarne, a w drugiej 3 białe i 1 czarna. Rzucamy kostką i jeżeli wypadnie
szóstka, to ciągniemy kulę z urny I, w przeciwnym przypadku ciągniemy z urny II. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
wyciągniemy kulę białą?
W metodzie drzew rysujemy diagram, który daje przejrzystość rozwiązania. Z rysunku widać co trzeba pomnożyć i ewentualnie
potem dodać, aby mieć szukane prawdopodobieństwo - to coś dla leniwych!
Diagram nazywamy drzewem. Drzewo zaczyna się początkiem (korzeniem), który zaznacza się kropką lub kółkiem.
Z korzenia wychodzą w dół odcinki zwane krawędziami, w takiej liczbie ile jest różnych wyników w pierwszym etapie (np. trzy).
Pod krawędziami piszemy wyniki pierwszego etapu, są to węzły drzewa. Obok każdej krawędzi piszemy prawdopodobieństwo
otrzymania danego wyniku. W przykładzie etap I może kończyć się wynikami o prawdopodobieństwach
Przyjmijmy, że w etapie II mogą wystąpić dwa wyniki B i C. Rysujemy drzewo dalej. Z każdego węzła kończącego pierwszy etap
wychodzą po dwie krawędzie kończące się zdarzeniami B i C.
Ciąg krawędzi łączący początek z jakimś węzłem końcowym to gałąz
drzewa. Jedna z możliwych gałęzi jest - na rysunku wyżej
- oznaczona grubszą linią.
Jakie prawdopodobieństwo przypisać krawędzi łączącej ?
Oczywiście to prawdopodobieństwo zdarzenia B, gdy w pierwszym etapie zaszło zdarzenie
Pomnóżmy prawdopodobieństwa przypisane krawędziom pogrubionej gałęzi
Jest to - oczywiście, zaszły zdarzenia .
Na koniec spytajmy, jak z drzewa odczytać prawdopodobieństwo, że zaszło zdarzenie B? Jest to suma prawdopodobieństw
przypisanych gałęziom kończących się w węzłach B.
.
No i mamy po prostu wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Można było nie rysować drzewa, a posłużyć się tym wzorem.
Podsumujmy krótko.
" zaczynamy od korzenia rysując krawędzie w dół,
" krawędzie to odcinki zaczynające się i kończące w węzłach oraz idące zawsze w dół,
" węzły to zdarzenia kończące etapy doświadczenia,
" gałąz
to ciąg krawędzi od korzenia do zdarzenia w ostatnim etapie,
" prawdopodobieństwo odpowiadające gałęzi jest iloczynem prawdopodobieństw krawędzi, z których się ona składa.
Rozwiązanie podanego wcześniej przykładu
Oznaczamy zdarzenia:
A - na kostce wypadło 6 oczek,
A' - na kostce nie wypadło 6 oczek,
B - wyciągnięto kulę białą,
B' = C - wyciągnięto kule czarną.
,
lub inaczej
Jeszcze jeden przykład
W urnie jest 7 kul białych i 3 czarne. Losujemy z niej kolejno dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga wylosowana
kula jest czarna?
Urna przed losowaniem:
7b 3cz
Oznaczamy zdarzenia:
- w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę białą,
- w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę czarną,
- w drugim losowaniu wyciągnięto kulę białą,
- w drugim losowaniu wyciągnięto kulę czarną.
XII. Wzór Bayesa
Problem polega na tym, że znamy wynik doświadczenia, a pytamy o jego przebieg.
Typowe przykłady
1. Wśród 10 monet jedna ma orły po obu stronach. Wybieramy losowo jedną monetę, rzucamy 5 razy i wypada 5 orłów. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że jest to moneta z orłami po obu stronach?
2. Pewne urządzenia są sprowadzane od 3 dostawców A,B,C, w następujących ilościach: 50%, 20% i 30%. Wadliwość
urządzeń: od dostawcy A - 1%, B - 2%, C - 3%. Wybrane urządzenie okazało się wadliwe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
pochodzi ono od dostawcy A?
Wzór Bayesa
Niech zdarzenia B1,B2, ... ,Bn tworzą zupełny układ zdarzeń (tworzą podział przestrzeni ). Niech A będzie dowolnym
zdarzeniem takim, że P(A)>0.
Wtedy dla każdego i mamy
gdzie (wg wzoru na prawdopodobieństwo całkowite)
Np. na diagramie
Prawdopodobieństwo zdarzenia pod warunkiem, że zaszło zdarzenie A.
Rozwiązanie przykładu 1.
Oznaczamy i opisujemy zdarzenia:
A - w 5 rzutach wypadło 5 orłów,
B1 - rzucono monetą prawidłową,
B2 - rzucono monetą z dwoma orłami.
B1 i B2 tworzą zupełny układ zdarzeń, , bo moneta nie może mieć jednocześnie na obu stronach orła i
reszkę oraz dwa orły, a poza B1 i B2 innych możliwości nie ma.
gdyż dziewięć z dziesięciu monet jest prawdziwych, a jedna ma dwa orły.
- prawdopodobieństwo, że wypadło 5 orłów w 5 rzutach, gdy rzucano monetą prawidłową. Mamy tu 5 sukcesów w
schemacie 5 prób Bernoulliego z prawdopdobieństwem sukcesu więc
bo rzucając monetą z dwoma orłami zawsze dostajemy orła.
Drzewo dla tego doświadczenia
Trzeba policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia B2 (moneta z dwoma orłami) pod warunkiem, że zaszło A
Krótko - trzeba narysować drzewo i iloczyn prawdopodobieństw odpowiadających pogrubionej gałęzi podzielić przez ,
...
Tak rozwiążemy przykład 2.
Oznaczamy i opisujemy zdarzenia:
D - urządzenie jest wadliwe,
A - urządzenie kupiono od dostawcy A,
B - urządzenie kupiono od dostawcy B,
C - urządzenie kupiono od dostawcy C.
W języku rachunku prawdopodobieństwa, jeżeli urządzenie jest wybierane losowo,
to
Jeżeli urządzenie pochodzi od dostawcy A, to prawdopodobieństwo, że jest wadliwe i odpowiednio
Drzewo dla tego doświadczenia
Czyli prawdopodobieństwo, że wadliwe urządzenie pochodzi od dostawcy A wynosi 0,28 (28%).