CAAKA NIEOZNACZONA ó f (x)dx = F(x) + c , gdzie F (x) = f (x) F(x) - funkcja pierwotna f (x)
Własności: f (x)dx ą g(x)dx , f (x)dx [f (x) ą g(x)]dx = c f (x) dx = c Całki podstawowe: ax x 0 dx = c
sin x dx = - cos x + c sinh x dx = cosh x + c a dx = + c , a > 0 ln a x dx = x + c e dx = ex + c cos x dx = sin x + c cosh x dx = sinh x + c dx dx dx xn+1 = - ctg x + c = -ctgh x + c xndx = + c , n ą -1 1+ x2 = arctg x + c 2 2
sin x sinh x n +1 dx 1 dx dx = arcsin x + c dx = ln x + c = tgx + c = tgh x + c
x cos2 x cosh2 x 1- x2 Całkowanie przez podstawienie: Całkowanie przez części: Wzór: x = j(t) ó f (x) ó dx = ln f (x) + c f (x)dx = f (j(t))j (t) dt u dv = u v - v du f (x) ó dx = j (t) dt Podstawienie uniwersalne: Wzory rekurencyjne: x 1 n -1 n n-1 n-2 tg = t sin x dx = - sin x cos x + sin x dx n n 2 2 2 2t 1 n -1 1- t n n-2 dx = dt sin x = xsin x cos x = 2 2 cos x dx = cosn-1 + cos x dx 2 1+ t 1+ t n n 1+ t 1 n-2 tgn x dx = tgn-1 x - x dx Całka funkcji wymiernej: tg n -1 1 1 n n-2 dx x - ctg x dx = - ctgn-1 ctg x dx ax2 + bx + c n -1 1 1 n -1 n n-1 n-2 dx - rozkład na ułamki D > 0
sinh x dx = sinh x cosh x - sinh x dx a(x - x1)(x - x2 ) n n 1 1 n -1 n n-2 dx - podstawienie t = x - x1 D = 0 xsinh x + 2 cosh x dx = coshn-1 cosh x dx a(x - x1) n n 1 1 2 2ax+ b tghn x dx = - tghn-1 x + tghn-2 x dx
dx = arctg 2 n -1 - D - D D < 0 b D
ać x + - 1
n n-2 x 2a 4a Ł ł ctgh x dx = - ctghn-1 + ctgh x dx n -1 Własności funkcji Funkcje hiperboliczne: trygonometrycznych: hiperbolicznych: 2 2 sin x + cos2 x = 1 cosh2 x - sinh x = 1 ex - e- x ex + e-x sinh x = cosh x = 2 2 sin 2x = 2sin x cos x sinh 2x = 2sinh x cosh x 2 2 cos2x = cos2 x - sin x cosh 2x = cosh2 x + sinh x