1
Józef Szymczak
CAA
KI NIEOZNACZONE (notatki z wykładu)
 określenie, podstawowe wzory i metody całkowania
2
Funkcję F (x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f (x) , jeżeli F (x) = f (x) .
Jeżeli f (x) ma funkcję pierwotną F (x) , to f (x) ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych
dających się opisać wyrażeniem F(x) + C , gdzie C jest dowolną stałą (łatwo zauważyć, że wtedy
2
też (F(x) + C) = f (x) )
Definicja 1.
Całką nieoznaczoną funkcji f (x) nazywamy zbiór wszystkich jej funkcji pierwotnych, co
zapisujemy symbolem:
f (x)dx = F(x) + C .
+"
jest znakiem całki, f (x) to funkcja podcałkowa, f (x)dx to wyrażenie podcałkowe,
+"
x oznacza zmienną całkowania.
Niektóre własności całki nieoznaczonej:
2
1o. ( f (x)dx) = f (x) ,
+"
2o. Å" f (x)dx = a Å" f (x)dx ( a jest pewnÄ… wartoÅ›ciÄ… staÅ‚Ä…),
+"a +"
3o. f (x) Ä… g(x))dx = f (x)dx Ä… g(x)dx .
+"( +" +"
Podstawowe wzory dotyczące całek nieoznaczonych:
xn+1
1. = x + C, 2. xndx = + C (n `" -1),
+"dx +" n+1
1dx 1
3. = ln x + C, 4. dx = arctan x + C,
+" +"
x
x2+1
5. xdx = - cos x + C, 6. xdx = sin x + C,
+"sin +"cos
1
1
7. dx = tan x + C, 8. dx = arcsin x + C,
+" +"
cos2 x 1-x2
x x x
9. dx = e + C, 10. dx = + C (a > 0, a `" 1),
+"e +"a ax
ln a
11. shxdx = chx + C, 12.
+" +"chxdx = shx + C,
Ćwiczenie. Wyznaczyć na podstawie powyższych wzorów kilkanaście całek nieoznaczonych, w
szczególności uwzględniając różne przypadki wzoru (2) w zależności od typu wykładnika potęgi.
2
g (x)
Zauważmy, że pochodna funkcji złożonej postaci ln(g(x)) jest równa , zatem wynika stąd
g(x)
prosty wniosek, że
2
g (x)dx g(x)
= ln + C .
+"
g(x)
Ćwiczenie. Wyznaczyć na podstawie powyższego wzoru kilka całek nieoznaczonych tego typu.
 2
Całkowanie przez podstawianie
JeÅ›li f (x) jest funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… w przedziale (a; b) , a funkcja x = Õ(t) ma ciÄ…gÅ‚Ä… pochodnÄ… na
przedziale Ä… < t < ² i a < Õ(t) < b dla Ä… < t < ² , to sÅ‚uszny jest wzór
2
f (x)dx = f (Õ(t)) Å" Õ (t)dt
+" +"
Również słuszny jest wzór otrzymany z powyższego przez zamianę stron oraz zmiennych:
2
f (Õ(x)) Å" Õ (x)dx = f (t)dt
+" +"
Zastosowanie tych wzorów pokażemy na kilku przykładach.
(1) Wyznaczyć całkę + 2)5 dx .
+"(3x
Wykonując podstawienie 3x + 2 = t otrzymamy po obustronnym zróżniczkowaniu tej równości, że
1
3dx = dt , skÄ…d dx = dt .
3
5 6 6
1 1 1
Możemy zatem zapisać: + 2)5 dx = dt = Å" t + C = t + C = (3x + 2)6 + C .
+"(3x +"t 1 1
3 3 6 18 18
1
(2) Wyznaczyć całkę dx .
+"
x2 + a2
Zapiszemy tu ciąg równości, z opisem sposobu podstawienia, ujętego w nawiasy bezpośrednio za
przekształcaną całką(najczęściej zapisujemy zamiast nawiasów faliste pionowe kreski):
x = at
Å„Å‚ üÅ‚
1
1 a 1
dx = adt =
òÅ‚dx = adtżł
+" +" +"t dx = 1 arctan t + C =
a
(at)2+a2 a2 2+1
x2 + a2
ół þÅ‚
1 x
= arctan + C .
a a
x
(3) Metodą podstawiania wyznaczyć całkę dx .
+"
3x2+2
Å„Å‚3x2 + 2 = tüÅ‚
1
ôÅ‚ ôÅ‚
-1
x 1
1 1 2 1 2 1 1
dx = dt = dt = dt = Å" 2t + C = t + C = 3x2 + 2 + C .
òÅ‚6xdx żł
+" +" +"t
6 6 6 3 3
t
3x2+2
ôÅ‚xdx = 1 dt ôÅ‚
ół 6 þÅ‚
3
(4) Metodą podstawiania wyznaczyć całkę xdx .
+"sin
cos x = t
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚- ôÅ‚ =
3 2 2
+"sin xdx = +"sin x Å" sin xdx = +"sin x Å" (1- cos2 x)dx òÅ‚ sin xdx = dtżł - +"(1- t )dt =
ôÅ‚sin xdx = -dt ôÅ‚
ół þÅ‚
2
1 1
= -1)dt = t3 - t + C = cos3 x - cos x + C .
+"(t
3 3
2
Å„Å‚ üÅ‚
x + 2 = t , t > 0
2 2 4 2 5 3
2 2
(5) x x + 2dx = - 2) t dx = 2 - 2t )dx = t - t + C =
òÅ‚ żł
+" +"2t(t +"(t
5 3
ółdx = 2tdt þÅ‚
2 2
= (x+2)5 - (x+2)3 + C
5 3
 3
2
Å„Å‚ üÅ‚
x + 1 = t , t > 0
ôÅ‚ ôÅ‚
dx 2 t t+2-2
(6) = 2 dt = 2 dt = 2
òÅ‚x = t -1 żł
+" +" +" +"(1- 2 )dt =
2+t t+2 t+2
2+ x+1
ôÅ‚dx = 2tdt ôÅ‚
ół þÅ‚
= 2t - 4ln t + 2 + C = 2 x +1 - 4ln x +1 + 2 + C .
(7) Patrząc na przypadek (1) łatwo można zauważyć, że
1
jeżeli f (x)dx = F(x) + C , to f (ax + b)dx = F(ax + b) + C .
a
+" +"
1
Wynika to z podstawienia: ax + b = t , skÄ…d adx = dt , czyli dx = dt .
a
Zatem możemy m.in. zapisać, że
ax
a
+"e dx = 1 eax + C,
a
+"cos axdx = 1 sin ax + C,
a
+"sin(ax + b)dx = - 1 cos(ax + b) + C,
1 1
dx = ln ax + b + C .
a
+"
ax+b
Całkowanie przez części
Całkowaniem przez części nazywamy obliczanie całki wg formuły:
+"u(x) Å" v2 (x)dx = u(x) Å" v(x) - +"u2 (x) Å" v(x)dx
lub w skróconym zapisie
+"udv = u Å" v - +"vdu
gdzie u(x) i v(x) są funkcjami mającymi ciągłe pochodne na pewnym wspólnym przedziale.
Przykłady.
(8) Obliczyć caÅ‚kÄ™ x Å" sin xdx .
+"
2
u(x) = x u (x) = 1
Å„Å‚ Å„Å‚
Oznaczymy tutaj
òÅ‚v2 (x) = sin x . StÄ…d mamy òÅ‚v(x) = - cos x .
ół ół
Zatem x Å" sin xdx = -x cos x - cos x)dx = -x cos x + sin x + C .
+" +"(-
1
Å„Å‚u(x) = ln x 2 üÅ‚
u (x) =
1
(9) xdx = x Å" dx = x ln x - = x ln x - x + C .
x
+"ln òÅ‚v2 (x) = 1 v(x) = xx żł = x ln x -+" +"dx
ół þÅ‚
1
üÅ‚
du = dx
Å„Å‚u = arctgx
ôÅ‚
x
(10) dx =
+"arctgxdx = òÅ‚dv = dx v = x x2+1 żł = xarctgx - +"
x2+1
ôÅ‚
ół
þÅ‚
1 2x 1
= xarctgx - dx = xarctgx - ln(x2 +1) + C .
+"
2 2
x2+1
 4
du = dx
üÅ‚
Å„Å‚u = x
ôÅ‚
1 1
(11) x Å" cos3xdx = x sin 3x - 3xdx =
òÅ‚dv = cos 3xdx v = 1 sin 3xżł
+" +"sin
3 3
ôÅ‚
ół
3 þÅ‚
1 1
= x sin 3x + cos 3x + C .
3 9
Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚u = x2 du = 2xdxüÅ‚ 1 x2e3x - 2 xe3xdx Å„Å‚u = x du = dx üÅ‚
(12) x2e3xdx
òÅ‚ żł = òÅ‚ żł =
+" 1 3 1
+"
v = e3x 3
ôÅ‚dv = e3xdx ôÅ‚
ółdv = e3xdx v = e3x ôÅ‚
ół 3 þÅ‚ 3 þÅ‚
3x
1 2 1 1 2 2
= x2e3x - (1 xe3x - dx) = x2e3x - xe3x + e3x + C =
+"e
3 3 3 3 3 9 27
1 2 2
= (x2 - x + )e3x + C .
3 3 9
x
Å„Å‚ üÅ‚
u = e du = exdx
x x
(13) sin xdx = - ex cos x + cos xdx =
òÅ‚ żł
+"e +"e
þÅ‚
ółdv = sin xdx v = - cos x
Å„Å‚ üÅ‚
u = ex du = exdx
x
= - ex cos x + ex sin x - sin xdx
òÅ‚ żł
+"e
þÅ‚
ółdv = cos xdx v = sin x
Ponieważ w powyższym ciągu równości otrzymaliśmy na końcu jako trzeci składnik całkę
identyczną za całką wyjściową, to z odpowiedniego porównania otrzymamy, że
x
2 sin xdx = - ex cos x + ex sin x , a więc ostatecznie
+"e
x
+"e sin xdx = 1 (sin x - cos x)ex + C .
2
Całki funkcji wymiernych
P(x)
Funkcja wymierna jest to funkcja postaci W (x) = . Nazywamy ją właściwą, jeżeli
Q(x)
stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku.
Jeżeli stopień wielomianu w liczniku jest większy lub równy stopniowi wielomianu w
mianowniku, to mówimy, że funkcja wymierna jest niewłaściwa. Możemy ją przedstawić w
postaci sumy pewnego wielomianu i funkcji wymiernej właściwej (po wykonaniu dzielenia
licznika przez mianownik).
Funkcję wymierną właściwą postaci
A
(x+a)n
gdzie n " N oraz a, A " R , nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju.
Funkcję wymierną właściwą postaci
Bx+D
(x2+ px+q)n
gdzie n " N oraz p, q, B, D " R , przy czym " = p2 - 4q < 0 , nazywamy ułamkiem
prostym drugiego rodzaju.
Uwaga. Każda funkcja wymierna właściwa rzeczywista może być jednoznacznie przedstawiona w
postaci sumy ułamków prostych.
Przykłady.
x
(14) Rozłożyć na ułamki proste funkcję (bez obliczania współczynników).
x4-8x2+16
 5
x x
Zauważmy, że funkcję tę możemy zapisać w postaci , a dalej .
(x2-4)2 (x-2)2(x+2)2
Po rozłożeniu mianownika na czynniki, zapiszemy daną funkcję wymierną w postaci sumy
wszystkich możliwych ułamków prostych, ze współczynnikami nieoznaczonymi w licznikach, które
należy wyznaczyć z porównania stron zapisanej równoważności:
x A B C D
a" + + + .
x-2 x+2
(x-2)2(x+2)2 (x-2)2 (x+2)2
x+2
(15) Rozłożyć na ułamki proste funkcję . Zauważmy, że x3 + 1 = (x + 1)(x2 - x + 1) , a więc
x3+1
przewidujemy następujący rozkład danej funkcji wymiernej na ułamki proste:
x+2 A Bx+C
a" + .
(x+1)(x2-x+1) x+1 x2-x+1
Po wymnożeniu stronami tej równoważności mamy
x + 2 a" A(x2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1)
czyli
x + 2 a" Ax2 - Ax + A + Bx2 + Cx + Bx + C
skąd po porównaniu współczynników z obu stron równoważności otrzymujemy układ równań
Å„Å‚A+B=0
ôÅ‚-A+B+C=1, i po podstawieniach otrzymamy, że A = 1 , B = - 1 , C = 5 .
òÅ‚
3 3 3
ôÅ‚A+C=2
ół
1
-1x+5 1 -x+5
x+2
3 3 3 1
Zatem możemy zapisać, że = + = ( + .
(x+1)(x2-x+1) x+1 x2-x+1 3 x+1 x2-x+1)
Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju.
A
Całkę typu dx , gdzie n e" 1 i n " N obliczamy stosując podstawienie x + a = t .
+"
(x+a)n
Otrzymujemy wtedy
Å„Å‚Aln x + a + C gdy n = 1
Å„Å‚Aln t + C gdy n = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
A
(I) dx = = =
òÅ‚
+" +"tAdt òÅ‚ -A
n
A 1
(x+a)n
>
ôÅ‚- n-1 tn-1 + C gdy n > 1 ół
ôÅ‚(n-1)(x+a)n-1 + C gdy n 1
ół
-2
3 2
Np. a) dx = 3ln x + 4 + C , b) dx = + C .
+" +"
x+4
(x+5)4 3(x+5)3
Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju.
1
Całkę typu dx , gdzie k > 0 obliczamy wg znanego już wzoru
+"
x2+k
1 x
1
(II) dx = arctg + C .
+"
x2+k k k
1 x
dx
Np. = arctg + C .
+"
x2+5 5 5
1. Przy całkowaniu ułamków II rodzaju w ogólnej postaci dla n=1, przedstawiamy je jako
kombinację liniową dwóch ułamków o takim samym mianowniku: pierwszy z nich zawiera w
liczniku pochodną mianownika, a drugi pewną stałą. Oba te ułamki całkujemy metodą
podstawiania.
 6
2. Przypadek, gdy n e" 2 można opisać wzorem rekurencyjnym:
x 2n-3
1 1
dx = + dx
+" +"
2(n-1)a2(x2+a2)n-1 2(n-1)a2 (x2+a2)n ;
(x2+a2)n
W szczególności
x 2n-3
1 1
dx = + dx .
+" +"
2n-2
(2n-2)(x2+1)n-1
(x2+1)n (x2+1)n
Przykłady całkowania funkcji wymiernych.
dx
(16) Obliczyć .
+"
x2+x-6
Ponieważ x2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) , więc funkcję podcałkową musimy rozłożyć na ułamki
proste:
1 A B
a" + .
x-2 x+3
x2+x-6
Mnożąc tę równoważność stronami przez mianownik x2 + x - 6 , otrzymujemy
1 a" A(x + 3) + B(x - 2) .
StÄ…d
1 a" (A + B)x + 3A - 2B
co prowadzi do prostego układu równań:
A + B = 0
Å„Å‚
òÅ‚3A - 2B = 1, którego rozwiÄ…zaniem jest A = 1 , B = - 1 .
5 5
ół
Możemy zatem napisać, że
x - 2
dx 1 1 1 1 1 1
= 1 x-2dx - dx = ln x - 2 - ln x + 3 + C = ln + C .
+" +" +"
5 5 5 5 5
x+3
x2+x-6 x + 3
dx dx 1
(17) = = - + C .
+" +"
x2+4x+4 (x+2)2 x+2
x + 1 = t
Å„Å‚ üÅ‚
dx dx 1 t 1 x+1
(18) = = arctg + C = arctg + C .
òÅ‚dx = dt żł
+" +"
2 2 2 2
x2+2x+5 (x+1)2+4
ół þÅ‚
x+1 1 2x+2 1 2x-4+6 1 2x-4 1 6
(19) dx = dx = dx = dx + dx =
+" +" +" +" +"
2 2 2 2
x2-4x+9 x2-4x+9 x2-4x+9 x2-4x+9 x2-4x+9
1 1 1 3 x-2
= ln x2 - 4x + 9 + 3 dx = ln x2 - 4x + 9 + arctg + C .
+"
2 2
5 5
(x-2)2+5
Całki funkcji trygonometrycznych
Jeżeli funkcja podcałkowa ma postać R(sin x, cos x) , czyli jest zależna od funkcji sin x lub
cos x , to wówczas możemy zastosować uniwersalne podstawienie trygonometryczne:
x
tg = t
2
2
Przekształcając tę równość otrzymujemy, że x = 2arctgt , a stąd już mamy, że dx = dt .
1+t2
 7
Z odpowiednich wzorów trygonometrycznych możemy przy danym podstawieniu zapisać, że
2t 1-t2
sin x = , cos x =
1+t2 1+t2
Po tych przekształceniach otrzymamy całkę z funkcji wymiernej.
Przykład.
2
dx 2 2
1+t2
(20) = dt = dt = dt =
+" +" +" +"
4sin x+3cos x+5
2t
4 +31-t2 +51+t2 8t+3-3t2+5+5t2 2t2+8t+8
1+t2 1+t2 1+t2
1 1 1 -1
= dt = dt = - + C = + C .
x
+" +"
t2+4t+4 (t+2)2 t+2 tg 2+2
W przypadku, gdy trygonometryczna funkcja podcałkowa jest parzysta względem sin x i cos x , to
2
dt t2 1
wygodniej jest stosować podstawienie: tgx = t ; wtedy dx = , sin x = , cos2 x = .
1+t2 1+t2 1+t2
W przypadku, gdy trygonometryczna funkcja podcałkowa jest nieparzysta względem sin x , to
stosujemy podstawienie: cos x = t , a gdy funkcja podcałkowa jest nieparzysta względem cos x , to
stosujemy podstawienie: sin x = t .
Zadanie. Korzystając z tablic całek nieoznaczonych wyznaczyć kilka całek z niewymiernymi
funkcjami podcałkowymi:
1
a) 4-x2dx, b) x2+9dx, c) dx .
+" +" +"
x2+2x+5