RACHUNEK RÓŻNICZKOWY JEDNEJ ZMIENNEJ
I JEGO ZASTOSOWANIA
Niech będzie dana funkcja f(x) określona w pewnym otoczeniu punktu x0.
Def. Ilorazem różnicowym funkcji f(x) w punkcie o przyroście h ( )
x0 ��X x0 +� h ��U(x0;r)
nazywamy wyrażenie
f (x0 +� h) -� f (x0)
R(x0,h) =�
h
Def. Pochodną funkcji f(x) w punkcie x nazywamy granicę skończoną ilorazu różnicowego przy h
dążącym do zera
df (x) f (x +� h) -� f (x)
f '(x) =� =� limR(x,h) =� lim .
h��0 h��0
dx h
Na przykład pochodną funkcji f (x) =� 2x2 +�1 jest , co można obliczyć korzystając z definicji
y'=� 4x
pochodnej:
[2(x +� h)2 +�1]-�[2x2 +�1] 2x2 +� 4xh +� 2h2 +�1-� 2x2 -�1
lim =� lim =� lim(4x +� 2h) =� 4x .
h��0 h��0 h��0
h h
ó� ó�
Tw. Jeżeli istnieją oraz , to
f (x) g (x)
[f (x) m� g(x)]'=� f '(x) m� g'(x)
[f (x)��g(x)]'=� f '(x)g(x) +� g'(x)f (x)
jeśli g(x) ą� 0 , to
'
�� ł�
f (x) f '(x)g(x) -� g'(x)f (x)
=�
ę�g(x)ś�
g2(x)
�� ��
Tw. (o pochodnej funkcji złożonej)
Jeżeli u =� g(x) ma pochodną g'(x) oraz f (u) =� y ma pochodną f '(u) , to funkcja złożona
f (g(x)) =� y ma pochodną w postaci:
y'=� [f (g(x))]' =� f '(g(x)) �� g'(x)
Interpretacja geometryczna pochodnej (odpowiednie rysunki były przedstawione na
wykładzie)
Wartość ilorazu różnicowego funkcji f(x) obliczona w punkcie x0 oraz dla przyrostu argumentu h jest
równa tangensowi nachylenia kąta siecznej wykresu przechodzącej przez punkty (x0,f(x0)) oraz
(x0+h,f(x0+h)). Gdy przyrost argumentu h dąży do zera, sieczna wykresu zbliża się do stycznej.
Interpretacja geometryczna pochodnej
Zapamiętajmy:
Wartość ilorazu różnicowego funkcji f(x) obliczona w punkcie x oraz dla przyrostu
0
argumentu h jest równa tangensowi nachylenia kąta siecznej wykresu przechodzącej przez
punkty (x ,f(x )) oraz ( x +h,f(x +h)).
0 0 0 0
Gdy przyrost argumentu h dąży do zera, sieczna wykresu zbliża się do stycznej.
Pochodną funkcji wyznaczamy licząc granicę ilorazu różnicowego przy h dążącym do zera.
Wartość pochodnej funkcji w punkcie x równa się tangensowi kąta
f '(x) f (x) 0
nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x , f(x )).
f (x) 0 0
ó�
* Pochodną funkcji y = sinx jest y (x) =� cos x . Wartość pochodnej w punkcie x = 0 wynosi:
p� p�
y'(0) =�1=� tg , co oznacza, że sinusoida przechodzi przez punkt (0,0) pod kątem do osi 0X.
4 4
1
* Funkcja y =� x jest określona dla jej pochodna y'=� jest określona dla x>0.
x ł� 0
2 x
Oznaczmy a�(x) kąt nachylenia stycznej do wykresu w punkcie (x, y(x)).
1
lim y'(x) =� lim =� lim tg[a�(x)] =� Ą� ,
x��0+� x��0+� x��0+�
2 x
oznacza to, że wykres funkcji y =� x  podchodzi prostopadle do osi 0X w prawostronnym
otoczeniu punktu x0=0.
* Funkcja y =� x nie posiada pochodnej w punkcie x=0:
* W punkcie, w którym funkcja nie jest ciągła nie istnieje pochodna tej funkcji (ciągłość funkcji
jest warunkiem koniecznym istnienia pochodnej funkcji):
Styczną do wykresu funkcji f(x) w punkcie (x0, f(x0)) opisuje równanie
y -� f (x0 ) =� f '(x0 )(x -� x0 ) ,
ó� ó�
które zapisane w postaci jawnej ma postać y =� f (x0 ) �� x +� (f (x0 ) -� f (x0 ) �� x0 ) . Współczynnik
ó� ó�
kątowy stycznej ma wartość f (x0 ) , współczynnik przesunięcia (f (x0 ) -� f (x0 ) �� x0 ) .
Np. styczna Lx do wykresu funkcji y =� x3 +� x2 -�1 w punkcie o współrzędnej x = 1 jest opisana
wzorem: y = 5x 4, który otrzymujemy z następujących obliczeń:
y'=� 3x2 +� 2x , y'(1) =� 3 +� 2 =� 5 , y(1) = 1, y  1 = 5(x 1) ostatecznie: y = 5x 4.
Różniczka funkcji jednej zmiennej, obliczanie przybliżonych wartości wyrażeń:
Def. Różniczką df(x0) funkcji f(x) w punkcie x0 dla przyrostu zmiennej niezależnej x nazywamy
D�x
iloczyn
df =� df (x0 ) =� f '(x0 )D�x
Jeżeli funkcja f(x) posiada pochodną w punkcie x0, to przyrost funkcji [f (x0 +� D�x) -� f (x)]
f '(x0 )
określonej w pewnym otoczeniu U(x0;r) (x0 +� D�x) �� U(x0;r) można wyrazić w
punktu x0, takim, że
postaci
D�f =� f (x0 +� D�x) -� f (x) =� f '(x0)D�x +� o(D�x) , gdzie wartość jest nieskończenie małą rzędu
o(D�x)
o(D�x)
wyższego niż , tzn. lim =� 0 (szybciej zbliża się do zera niż D�x)
D�x
D�x��0
D�x
Dlatego dla małych wartości przyrost wartości funkcji można przybliżyć różniczką funkcji
D�x
f (x +� D�x) -� f (x) =� D�f =� f '(x0)D�x +� o(D�x) � f '(x0)D�x =� df
D�f � df =� df (x0,D�x)
Różniczka funkcji zależna jest od argumentu x0 oraz przyrostu argumentu D�x.
Wykorzystując różniczkę można wyznaczyć przybliżoną wartość funkcji
f (x0 +� h) -� f (x0 ) =� D�f �� f (x0 +� h) =� f (x0 ) +� D�f � f (x0 ) +� df
f (x0 +� h) @� f (x0) +� df (x0,h)
Na przykład wartość y = x2 w punkcie x0 = 1,03:
x =�1,03 �� x0 =�1, h = 0,03
różniczka df (x0,h) =� df (1;0,03) =� 2x �� h =� 2 ��1�� 0,03 =� 0,06
wartość funkcji obliczona w przybliżeniu y(1,03) @�1+� 2 ��1�� 0,03 =�1,06
wartość funkcji obliczona dokładnie y(1,03) =� (1,03)2 =�1,0609 .
Błąd przybliżenia D�f -� df =� 0,0009 .
Błędem bezwzględnym | D�f | jest | df (x0;D�x) | ,
D�f df (x0;D�x)
=�
błędem względnym jest iloraz , który wygodnie jest wyrażać w procentach.
f f (x0)
Definicja ekstremów funkcji f(x). Twierdzenie Rolle a, Lagrange a, warunki istnienia
ekstremów, monotoniczność funkcji
Def. Mówimy, że f(x) ma w punkcie x0 maksimum (minimum) lokalne, jeżeli istnieje sąsiedztwo
punktu x0 ,S(x0;r) takie, że
,
Ł� f (x0 ) >� f (x) (f (x0) <� f (x))
x��S(x0 ,r)
Tw. (Rolle a) Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym <� a,b >� , ma pierwszą pochodną
wewnątrz tego przedziału oraz , to istnieje taki punkt , że
f (a) =� f (b) c��(a,b) f '(c) =� 0
Twierdzenie, to orzeka, że gdy spełnione są założenia, to istnieje taki punkt wykresu funkcji ,
(c,f (c))
że styczna do wykresu w tym punkcie jest równoległa do osi 0X.
Tw.(war. konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli f(x) ma ekstremum w punkcie x0 oraz ma pochodną
w tym punkcie, to f '(x0 ) =� 0 .
Tw. (Lagrange a) Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym <� a,b >� oraz ma pierwszą
pochodną wewnątrz tego przedziału (x �� (a,b)) , to istnieje punkt c��(a,b) , że
f (b) -� f (a) =� f '(c)(b -� a) .
Teza tego twierdzenia mówi, że istnieje taki punkt c, że styczna do wykresu funkcji w punkcie (c,f(c))
jest równoległa do siecznej przechodzącej przez (a,f(a)) i (b,f(b)).
Wniosek: Monotoniczność funkcji w przedziale (a,b) jest równoważna określonemu znakowi
pochodnej funkcji f(x) w tym przedziale.
Niech x1 i x2 będą dowolnymi punktami przedziału A, oraz x1 <� x2 . Zgodnie z twierdzeniem
ó�
Langrage a f (x2) -� f (x1) =� f (c)(x2 -� x1) , przy czym c��(x1, x2) . Ponieważ (x2 -� x1) >� 0 , to:
ó� (funkcja rosnąca w przedziale A).
1o f (c) >� 0 �� f (x2) -� f (x1) >� 0
ó�
2o f (c) <� 0 �� f (x2) -� f (x1) <� 0 (funkcja malejąca w przedziale A).
Tw. Jeżeli f(x) ma pochodną w zbiorze (a,b) oraz:
- jeżeli f '(x) >� 0, x ��(a,b)
, to f(x) jest funkcją rosnącą w (a,b).
- jeżeli f '(x) <� 0, x �� (a,b) , to f(x) jest funkcją malejącą w (a,b).
dla
Definicja wklęsłości, wypukłości wykresu funkcji f(x), warunek istnienia punktu
przegięcia wykresu funkcji f(x)
Def. Krzywa o równaniu y =� f (x) nazywa się wklęsłą (wypukłą) w przedziale (a,b) jeżeli jest
położona nad (pod) styczną poprowadzoną w dowolnym punkcie (x,f (x)) , x �� (a,b)
Tw. Krzywa o równaniu y =� f (x) , gdzie f(x) jest funkcją mającą drugą pochodną w przedziale (a,b)
jest:
ó�ó� ó�ó�
wklęsła, gdy f (x) >� 0 , wypukła, gdy f (x) <� 0 dla x �� (a,b) .
Def. Gdy f(x) jest funkcją mającą ciągłą pierwszą i drugą pochodną w otoczeniu punktu
x0 (x ��U(x0; r)) i jeśli f(x) jest wypukła dla x ��S-� (x ; r) oraz wklęsła dla x ��S+� (x0 ; r) (lub na
0
odwrót) to x0 nazywamy punktem przegięcia krzywej o równaniu y = f(x).
Wniosek:
ó�ó�
Jeśli x0 jest punktem przegięcia krzywej o równaniu y =� f (x) , to f (x0 ) =� 0 .
Dlatego, żeby znalez
ć punkty przegięcia funkcji, należy znalez
ć miejsca zerowania się drugiej
pochodnej tej funkcji.
Asymptoty funkcji. Twierdzenie de l Hospitala
Def. Asymptotą ukośną (poziomą, gdy a = 0) funkcji (odpowiednio prawo lub lewostronną)
nazywamy prostą y=ax+b taką, że
lim [f (x) -� (ax +� b)] =� 0 ;
x��+�Ą�
(-�Ą�)
Tw. Współczynniki asymptoty ukośnej funkcji f(x) wyrażają się wzorami:
f (x)
a =� lim ; b =� lim [f (x) -� ax]
x��+�Ą� x��+�Ą�
x
(-�Ą�) (-�Ą�)
Jeżeli granica funkcji przy jest skończona i równa g, to prosta o równaniu y=g jest
x �� Ą� (-�Ą�)
asymptotą poziomą tej funkcji (odpowiednio prawo lub lewostronną).
Asymptoty ukośne mogą być wyznaczane, gdy granica funkcji przy x �� Ą� (-�Ą�) jest równa
+� Ą� (-�Ą�) .
Def. Asymptotą pionową (odpowiednio prawo lub lewostronną) nazywamy prostą o równaniu x = x0,
gdy lim f (x) =� Ą�
(-�Ą�)
+�
x��x0
-�
(x0 )
Uwaga: Znając granice funkcji na krańcach dziedziny znamy asymptoty poziome i pionowe (o ile one
istnieją).
Obliczając granice funkcji lub wyznaczając asymptoty często pojawiają się tzw. wyrażenia
nieoznaczone. Ich sens poznaliśmy już przy okazji obliczania granic ciągów. Są one następujące:
0 Ą�
�� ł� �� ł�, �� Ą�]�, -� Ą�]�,
[�0 [�Ą� [�00]�, [�Ą�0]�, [�1Ą�]�
ę�0ś�, ę�Ą� ś�
�� �� �� ��
0 Ą�
�� ł� �� ł�
W przypadku, gdy wystąpi wyrażenie typu , wygodnie jest stosować następujące
ę�0ś�, ę�Ą� ś�
�� �� �� ��
twierdzenie:
Tw. (de l Hospital a) Jeżeli
f (x) f '(x)
1. oraz są określone w pewnym sąsiedztwie punktu x0
g(x) g'(x)
2. lim f (x) =� lim g(x) =� Ą�(-�Ą�) lim f (x) =� lim g(x) =� 0
lub
x��x0 x��x0 x��x0 x��x0
f '(x) f (x)
3. istnieje granica lim (właściwa albo niewłaściwa) , to istnieje granica lim i zachodzi
x��x0 x��x0
g'(x) g(x)
f (x) f '(x)
równość lim =� lim
x��x0 x��x0
g(x) g'(x)
Tw. to jest twierdzeniem umożliwiającym łatwe obliczenie granicy funkcji, w której potrafimy
f (x)
wyróżnić iloraz , przy czym licznik i mianownik przy x �� x0 jednocześnie dążą do
g(x)
nieskończoności lub zera, np.:
1
-�
ctgx 0 (ctgx)'
�� ł�
sin2 x
lim =� =� lim =� lim =� -�1
ę�0ś�
p� p� p�
H ó�
p�
1
x�� �� �� x�� x��
p�
x -� ć� ��
2 2 2
x -�
2 �� ��
2
Ł� ł�
sin x 0 cos x
lim =� =� lim =�1
H
x��0+� x��0+�
x 0 1
Uwaga:
Nie zawsze reguła de l Hospitala jest skuteczna, np.:
x -� sin x Ą� 1-� cosx
lim =� =� lim , granica otrzymanego wyrażenia nie istnieje. Jednak granica
x��Ą� H x��Ą�
x +� cosx Ą� 1-� sin x
x -� sin x
funkcji lim istnieje, równa się 1 (łatwo ją wyznaczyć korzystając z twierdzenia o trzech
x��Ą�
x +� cosx
ciągach).
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji prowadzi do naszkicowania wykresu tej funkcji. Wykonując
kolejne etapy należy analizować wcześniejsze wyniki. Wygodnie jest rysować wykres etapami. Można
wszystkie wyniki zebrać w całość w tabeli, która da podstawę do naszkicowania wykresu.
Etapy badania zmienności funkcji:
1. Określenie Df.
2. Obliczenie granic na krańcach dziedziny.
3. Wyznaczenie asymptot.
4. Obliczenie pierwszej pochodnej funkcji.
5. Wyznaczenie przedziałów monotoniczności.
6. Wyznaczenie ekstremów funkcji.
7. Obliczenie drugiej pochodnej funkcji.
8. Zbadanie przedziałów wklęsłości i wypukłości funkcji oraz wyznaczenie punktów przegiecia.
Szkic wykresu funkcji (ew. na podstawie tabelki).