ARKUSZ 11. Własności funkcji jednej zmiennej
1. Korzystając z definicji sprawdzić, czy podane funcjke są monotoniczne
na wskazanych zbiorach:
4
a) f(x) = x3, R; c) h(x) = x + , 2, ");
x
1
b) g(x) = , (0, "); d) r(x) = 4x - x2, 2, ").
x
2. Określić (o ile jest to możliwe) funkcje złożone f ć% f, f ć% g, g ć% f, g ć% g,
jeżeli:
"
1
a) f(x) = , g(x) = x2; c) f(x) = x, g(x) = x4;
x
"
b) f(x) = log2 x, g(x) = 2x; d) f(x) = 2 + cos x, g(x) = x.
3. Sprawdzić, na podstawie definicji, czy podane funkcje są różnowarto-
ściowe na wskazanych zbiorach:
x
a) f(x) = x2, (-", 1 ; c) h(x) = , R;
x2+1

x+3 1
b) g(x) = , R \ ; d) r(x) = x4, 0, ").
2x-1 2
4. Znalez
ć funkcje odwrotne do podanych:
a) f(x) = 1 - 3-x; c) h(x) = x3 - 3x2 + 3x + 27;
"
b) g(x) = 2 - log5 x; d) u(x) = 1 - x - 4.
5. Zbadać parzystość następujacych funkcji:
x-1
a) f(x) = sin x + cos x; c) h(x) = log ;
x+1

"
x
b) g(x) = x2 +1; d) r(x) = log x + 1 + x2 .
2x-1
6. Niech f : R - R będzie określona wzorem:
Å„Å‚
2x+1
òÅ‚
dla x = -2

x+2
f(x) = .
ół
2 dla x = -2
a) Sprawdzić, czy f jest suriekcją;
b) Czy f jest różnowartościowa?
c) Jeżeli f jest bijekcją, to wyznaczyć f-1.
21
7. Niech f : R - R będzie określona następujaco:
Å„Å‚
ôÅ‚
2x + 3 dla x " R \ {-1, 0}
ôÅ‚
òÅ‚
f(x) = 3 dla x = -1 .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
1 dla x = 0
Wykazać, że f jest bijekcją oraz wyznaczyć f-1.
1
8. Wykazać, że funkcja f(x) = x+ , x = 0 jest funkcją nieparzystą, ściśle

x
rosnacą na przedziale 1, +") oraz ściśle malejącą na przedziale (0, 1 .
9. Wykazać, że złożenie dwóch funkcji różnowartościowych jest funkcją
różnowartościową.
10. Niech D będzie niepustym podzbiorem R symetrycznym względem zera
i niech f : D - R. Wykazać, że f można przedstawić jako sumę
funkcji parzystej i nieparzystej.
11. Wykazać, że:
a) iloczyn dwóch funkcji nieparzystych lub parzystych jest funkcją
parzystÄ…,
b) iloczyn funkcji nieparzystej i parzystej jest funkcja parzystÄ…,
c) suma dwóch funkcji parzystych (nieparzystych) jest funkcja pa-
rzystÄ… (nieparzystÄ…).
12. Wykazać, że jeżeli f : D - R jest funkcją okresową, to funkcja af +b,
(a, b - stałe) też jest funkcją okresową o tym samym okresie.
13. Niech f : D - R będzie funkcją okresową o okresie s. Wykazać, że
funkcja x - f(ax), gdzie a = const. i a = 0, jest funkcjÄ… okresowÄ… o

s
okresie .
a
14. Wyznaczyć okresy podstawowe funkcji:
a) f(x) = sin2 x; c) h(x) = cos(2x - 3);
b) g(x) = cos2 x; d) k(x) = 1 - sin 2x.
15. Niech f : D - R, g : G - R, gdzie f(D) ‚" G. Wykazać, że:
a) jeżeli funkcje f, g są jednocześnie rosnące lub jednocześnie male-
jące, to g ć% f jest funkcją rosnacą;
b) jeżeli f jest rosnąca, zaś g malejąca, to g ć% f jest funkcją malejącą;
c) jeżeli f jest malejąca, zaś g rosnąca, to g ć% f jest funkcją malejacą.
22