Analiza matematyczna 1/Wykład 14: Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej - Studia Informatyczne

/**/






/**/











Analiza matematyczna 1/Wykład 14: Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej

From Studia Informatyczne
< Analiza matematyczna 1

[Edytuj]Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)Zobacz biografię
W tym wykładzie wprowadzamy pojęcie całki Riemanna dla funkcji
jednej zmiennej.
Omawiamy całkowalność w sensie Riemanna i podajemy szereg
własności całki Riemanna.
Dowodzimy twierdzenia całkowego o wartości średniej oraz
ciągłości całki jako górnej granicy całkowania.
Wykazujemy podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i
całkowego oraz wzory na całkowanie przez części i całkowanie
przez podstawienie.
Na koniec definiujemy całki niewłaściwe
oraz podajemy kryterium całkowe zbieżności szeregów.
W praktyce spotykamy się niejednokrotnie (choć najczęściej
nieświadomie) z całką Riemanna. Wyobraźmy sobie, że jedziemy
samochodem; co minutę spoglądamy na wskazania szybkościomierza
i zapamiętujemy naszą prędkość. Każdy potrafi obliczyć, że jeśli
jechaliśmy minut, z czego pierwsze ze zmierzoną
prędkością km/h (km/min), a drugie minut z
prędkością km/h (km/min), to przebyliśmy drogę

km, czyli km. (Właśnie policzyliśmy
sumę całkową!). Skoro pomiarów prędkości dokonujemy co minutę, to
oczywiście przebytą drogę policzyliśmy tylko w przybliżeniu.
Widać
jednak, że im częściej będziemy dokonywać pomiaru prędkości, tym
dokładniej nasza suma będzie przybliżała się do rzeczywiście
przebytej drogi. Obliczając granicę, do której dążą nasze sumy, gdy
coraz bardziej skracamy czas między pomiarami, dostaniemy w końcu
dokładną długość przebytej drogi. (Teraz właśnie policzyliśmy
całkę Riemanna!).



Wykres prędkości

Obejrzyjmy teraz wykres na rysunku obok.
Na tym rysunku przedstawiony jest wykres prędkości naszego
samochodu w zależności od czasu. Nasza pierwsza suma to

czyli suma pól prostokątów zaznaczonych na
rysunku. Intuicyjnie jest oczywiste, że gdy będziemy zmniejszać
długości odcinków na osi , sumy pól prostokątów będą coraz
lepiej przybliżać pole powierzchni pod wykresem.
W ten sposób
odkryliśmy geometryczną interpretację całki Riemanna - jako pola
pod wykresem funkcji.
Przejdziemy teraz do formalnego wprowadzenia tego pojęcia.
Definicja 14.1.


Niech
będzie przedziałem. Wówczas



nazywamy
podziałem przedziału .
Liczbę



nazywamy średnicą podziału
Wprowadzamy oznaczenie
dla

Ciąg podziałów nazywamy
normalnym, jeśli




Definicja 14.2.


Niech będzie funkcją oraz niech



będzie podziałem przedziału
Liczbę

gdzie
nazywamy
sumą dolną całkową (Darboux).








Suma dolna całkowa



Suma dolna całkowa



Suma dolna całkowa


Liczbę

gdzie
nazywamy
sumą górną całkową (Darboux).






Suma górna całkowa



Suma górna całkowa



Suma górna całkowa



Liczbę

dla
nazywamy sumą całkową funkcji dla podziału wyznaczoną przez punkty pośrednie





Suma całkowa



Suma całkowa



Suma całkowa








Suma całkowa



Suma całkowa



Wprost z definicji wynika następująca uwaga.

Uwaga 14.3.

Jeśli

jest funkcją oraz jest podziałem przedziałem

to
(1)

dla dowolnych punktów pośrednich
;
(2)
;
(3)



Definicja 14.4.


Niech będzie funkcją ograniczoną
(to znaczy ).
Funkcję nazywamy
całkowalną w sensie Riemanna w przedziale jeśli
dla dowolnego normalnego ciągu
podziałów przedziału istnieje
granica


niezależna od wyboru punktów pośrednich.
Granicę tę nazywamy
całką Riemanna funkcji w przedziale
i oznaczamy

lub

Uwaga 14.5.

W definicji brak jest żądania, aby
granica była taka sama dla dowolnego ciągu podziałów.
Mimo to definicja jest poprawna, to znaczy całka Riemanna
jest jednoznacznie określona (to znaczy nie zależy od
wyboru ciągu podziałów ).


Dowód 14.5. [nadobowiązkowy]


Aby to zobaczyć niech będzie funkcją
całkowalną w sensie Riemanna.
Niech i będą dwoma normalnymi ciągami
podziałów przedziału
Zdefiniujmy nowy ciąg podziałów jako:


Jest to oczywiście ciąg podziałów normalnych przedziału
i ponieważ funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna,
więc granica


istnieje i nie zależy od wyboru punktów pośrednich.
Zatem dla podciągów
i granice muszą być takie same,
więc



Kolejne twierdzenie podaje związek między całkowalnością
w sensie Riemanna a sumami górną i dolną Darboux.
Dowód pomijamy.


Twierdzenie 14.6.


Jeśli
jest funkcją ograniczoną,
to
jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale ,
wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu
podziałów normalnych zachodzi







Różnica między górną i dolną sumą całkową



Różnica między górną i dolną sumą całkową



Różnica między górną i dolną sumą całkową



Definicja 14.7.


Niech będzie funkcją całkowalną w sensie
Riemanna.
Przyjmuje się następujące oznaczenia:



Uwaga 14.8.

Wprost z definicji całki Riemanna wynika, że
dla funkcji nieujemnej całkę

możemy interpretować jako pole pod wykresem
funkcji na przedziale .


Zanim podamy klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna
(to znaczy takich, dla których całka w sensie Riemanna istnieje)
podamy przykład funkcji, dla której całka Riemanna nie istnieje.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)Zobacz biografię
Przykład 14.9


Funkcja Dirichleta
zdefiniowana przez



nie jest całkowalna w sensie Riemanna.
Aby to pokazać, wybierzmy dowolny podział odcinka
:



Z własności zbioru liczb rzeczywistych wiemy, że
w każdym przedziale
znajduje się zarówno liczba wymierna jak i
niewymierna. Zatem



Zatem z twierdzenia 14.6. wnioskujemy, że funkcja
nie jest całkowalna w sensie Riemanna.


Poniższe twierdzenie podaje, jakie klasy funkcji są całkowalne w
sensie Riemanna.
Twierdzenie to podajemy bez dowodu.
Warto tutaj zaznaczyć, że istnieje pełna charakteryzacja funkcji
całkowalnych w sensie Riemanna
(to znaczy twierdzenie, które podaje warunek konieczny i wystarczający
dla całkowalności w sensie Riemanna).
Wykracza to jednak poza niniejszy kurs analizy
(temat ten będzie dokładniej omówiony na
wykładzie z Analizy Matematycznej 2. (Moduł 10)).


Twierdzenie 14.10. [Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna]


Niech będzie funkcją ograniczoną.
(1)
Jeśli jest ciągła, to jest całkowalna w sensie
Riemanna.
(2)
Jeśli ma skończoną ilość
punktów nieciągłości, to jest całkowalna w sensie
Riemanna.
(3)
Jeśli jest monotoniczna, to jest całkowalna w sensie
Riemanna.



W kolejnym twierdzeniu zebrano szereg własności całki Riemanna.
Dowody wynikające wprost z definicji całki pomijamy.



Addytywność całki jako funkcji zbioru



Całka z funkcji stałej na przedziale



Monotoniczność całki



Rysunek do twierdzenia całkowego o wartości średniej


Twierdzenie 14.11. [Własności całki Riemanna]


Jeśli są funkcjami całkowalnymi w
sensie Riemanna,
to:
(1) Liniowość całki. Funkcje
(o ile dla ) są
całkowalne w sensie Riemanna oraz

i


(2)
funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna
oraz



(3)
jeśli to
jest całkowalna w sensie Riemanna;
(4)
jeśli zmienimy wartości funkcji w skończonej ilości
punktów,
to funkcja nadal pozostanie całkowalna w sensie Riemanna i
jej całka nie ulegnie zmianie;
(5)



(6)



w szczególności



(7)
jeśli (to znaczy ), to ;
jeśli to ;
(8) Monotoniczność całki. Jeśli to
;
jeśli to
;

(9)
jeśli są dwoma ciągami
takimi, że
oraz
dla
to







Twierdzenie 14.12. [Twierdzenie całkowe o wartości średniej]


Jeśli
jest funkcją całkowalną w sensie
Riemanna oraz

to





Dowód 14.12.


Z własności monotoniczności całki wynika, że



Dzieląc stronami przez dostajemy:



Zatem, jeśli zdefiniujemy

to otrzymujemy tezę twierdzenia.


Kolejne twierdzenia doprowadzą nas do związku całki Riemanna z
całką nieoznaczoną.
Pierwsze z twierdzeń mówi, jak za pomocą całki Riemanna z funkcji
ciągłej (wówczas całka Riemanna zawsze istnieje)
uzyskać wzór na pierwotną funkcji podcałkowej.


Twierdzenie 14.13. [Własności całki jako funkcji górnej granicy całkowania]


Jeśli
jest funkcją całkowalną w sensie
Riemanna oraz
dla
to
(1)
jest ciągła w ;
(2)
jeśli jest ciągła w punkcie
to funkcja jest różniczkowalna w oraz
;
(3)
jeśli jest funkcją ciągłą, to
jest funkcją pierwotną dla



Dowód 14.13. [nadobowiązkowy]


(Ad (1))
Pokażemy ciągłość prawostronną funkcji
w dowolnym punkcie
(dowód lewostronnej ciągłości w punktach
przedziału jest analogiczny;
z obu tych faktów wynika ciągłość funkcji
w przedziale ; patrz twierdzenie 8.17.).
Niech będzie ciągiem
takim, że

Należy wykazać, że
).
Bez straty ogólności można założyć, że
jest ciągiem monotonicznie malejącym do
(piszemy ).
Z definicji funkcji oraz twierdzenie 14.11. (2)
mamy


Ponieważ więc
z twierdzenie 14.11. (9) mamy


czyli pokazaliśmy, że jest prawostronnie ciągła
w punkcie
(Ad (2))
Niech
Dla mamy


Ustalmy dowolne
Ponieważ funkcja jest ciągła w więc


Niech
będzie takie, że

Wówczas


Zatem pokazaliśmy, że


czyli
(Ad (3))
Wynika natychmiast z (2).


Natychmiastową konsekwencją powyższego twierdzenia jest
następujący wniosek.
Wniosek 14.14.


Jeśli

to



Kolejne twierdzenie podaje związek między pierwotną a całką
Riemanna. Mówi ono, że do policzenia całki Riemanna z funkcji
ciągłej na przedziale, wystarczy znać wartości pierwotnej na
końcach tego przedziału.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)Zobacz biografię

Twierdzenie 14.15. [Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego; Twierdzenie Newtona-Leibniza]


Jeśli
jest funkcją ciągłą,
jest pierwotną funkcji
to



Oznaczenie:




Dowód 14.15.


Z twierdzenia 14.13. (2)
wynika, że funkcja



jest pierwotną funkcji
Ponieważ jest także pierwotną,
więc korzystając z faktu, że każde dwie pierwotne różnią się o
stałą, dostajemy


zatem także


czyli


co należało dowieść.


Natychmiastową konsekwencją powyższego twierdzenia jest
następujący wniosek.
Wniosek 14.16.


Jeśli

to



Kolejne twierdzenie podaje wersję wzoru całkowania przez części
dla całki Riemanna. Dowód, analogiczny jak dla całki
nieoznaczonej, pomijamy.


Twierdzenie 14.17. [Całkowanie przez części]


(1)
Jeśli to


(2)
Jeśli to






Przykład 14.18.


Obliczyć
.
Liczymy



Kolejne twierdzenie podaje wzór na zmianę zmiennych w całce
Riemanna.
Ze względu na prostotę dowodu podamy go tutaj dla funkcji
ciągłej.
Twierdzenie to zachodzi także przy słabszych założeniach.


Twierdzenie 14.19. [Całkowanie przez podstawienie; Zmiana zmiennych w całce]


Jeśli
jest funkcją ciągłą
(a zatem w szczególności całkowalną w sensie
Riemanna), jest przedziałem o końcach
i
(to znaczy lub ),
jest funkcją klasy
to




Dowód 14.19.


Pierwotną funkcji (która istnieje, gdyż jest ciągła)
oznaczmy przez to znaczy
Zdefiniujmy funkcję

Wówczas jest funkcją klasy oraz


to znaczy funkcja jest pierwotną funkcji

Z twierdzenia 14.15. mamy



Przykład 14.20.


Obliczyć całkę

W niniejszym przykładzie zastosujemy dość nietypowe
podstawienie


Przekształcając wyrażenie trygonometryczne
korzystając ze wzoru


otrzymujemy


Wracając do naszej całki, mamy


Policzmy każdą z całek i osobno:


Ponieważ więc niepotrzebna jest nam znajomość całek
i
(wystarczy nam wiedza, że one istnieją), gdyż


Zdefiniowana do tej pory całka Riemanna mogła być określona tylko
dla funkcji ograniczonej na przedziale ograniczonym.
Nietrudno jest zauważyć, że oba te założenia były konieczne, aby
granice całkowe Darboux były skończone.
Z praktycznego punktu widzenia rozważa się także całki
niewłaściwe (gdy obszar jest nieograniczony
lub gdy funkcja jest nieograniczona).
Definicje takich całek można postawić na bazie całki Riemanna z
funkcji ograniczonej na zbiorze ograniczonym.



Całka niewłaściwa



Całka niewłaściwa

Definicja 14.21. [Całki niewłaściwe]


(1)
Niech oraz niech
będzie funkcją.
Przez całkę niewłaściwą funkcji na przedziale
rozumiemy



o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej
stronie istnieją.

(2)
Niech oraz niech
będzie funkcją.
Przez całkę niewłaściwą funkcji na przedziale
rozumiemy



o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej
stronie istnieją.
(3)
Niech oraz niech
będzie funkcją.
Przez całkę niewłaściwą funkcji na przedziale
rozumiemy



o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej
stronie istnieją.

Gdy całka niewłaściwa istnieje, to mówimy,
że całka jest zbieżna
(w przeciwnym razie mówimy, że
całka jest rozbieżna).
Jeśli całka niewłaściwa
istnieje to mówimy, że
całka jest bezwzględnie zbieżna
(oczywiście zbieżność bezwzględna całki implikuje zbieżność
całki; Patrz twierdzenie 14.11. (2)).


Uwaga 14.22.

Jeśli funkcja jest całkowalna w sensie
Riemanna, to całki niewłaściwe z funkcji
oraz
są równe dokładnie całce Riemanna.
Wynika to wprost z twierdzenie 14.11. (9).




Wykres funkcji

Przykład 14.23.


Udowodnić zbieżność całki

dla oraz
Wprowadźmy oznaczenie:




Pokażemy, że funkcja spełnia warunek Cauchy'ego w co będzie implikowało istnienie granicy W tym celu ustalmy dowolne Niech będzie odpowiednio duże, tak aby Dla dowolnych mamy



Całkę powyższą możemy teraz oszacować:



Zatem mamy



Zatem funkcja spełnia warunek Cauchy'ego w a
więc ma granicę (skończoną) w
Warto tu dodać, że pomimo dowodu istnienia całki niewłaściwej
nie znamy sposobów
wyliczenie tej całki dla dowolnego nawet w
przypadku
(przypomnijmy, że dla funkcji
pierwotna nie jest funkcją elementarną).
Dla pewnych wartości całkę tę daje się
wyliczyć metodami, których nie poznamy w ramach tego kursu.
Dla przykładu dla całka ta wynosi





Wykresy funkcji , ,



Wykresy funkcji , ,

Przykład 14.24.


Udowodnić, że:
(1)
Całka

jest zbieżna
wtedy i tylko wtedy, gdy
;
(2)
Całka

jest zbieżna
wtedy i tylko wtedy, gdy
;
(3)
Całka

jest zbieżna
wtedy i tylko wtedy, gdy
(gdzie ).
(Ad (1))
Ponieważ



więc rozważmy osobno dwa przypadki.
Przypadek 1.



Przypadek 2.



Wykazaliśmy zatem, że całka jest zbieżna wtedy i tylko wtedy,
gdy

(Ad (2))
Dowód analogiczny do dowodu w części (1) pozostawiamy jako
ćwiczenie.
(Ad (3))
Gdy to możemy oszacować:




Gdy to mamy



Możemy także ustalić takie, że
Wówczas mamy:



Przedostatnia równość wynika z faktu, że

natomiast ostatnia z faktu, że szereg harmoniczny jest
rozbieżny.


Uwaga 14.25.

W rachunkach będziemy pisać krótko


oraz





Rysunek do kryterium całkowego zbieżności szeregów

Na zakończenie podamy jeden z wielu związków całki z szeregiem.
Następujące twierdzenie jest jeszcze jednym kryterium zbieżności
szeregów. Może być ono wykorzystane także do badania zbieżności
całki przy pomocy badania zbieżności szeregu.


Twierdzenie 14.26. [Kryterium całkowe zbieżności szeregów]


Jeśli oraz
jest funkcją malejącą
oraz całkowalną w sensie Riemanna,
to
szereg
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
całka
jest zbieżna.




Dowód tego twierdzenia pozostawiamy jako proste ćwiczenie
oparte na następującym sugestywnym rysunku:

Przykład 14.27.


Zbadać zbieżność szeregu

Zauważmy, że funkcja

jest ciągła i malejąca
na przedziale
Można zatem stosować kryterium całkowe zbieżności szeregów.
Zbieżność szeregu

jest równoważna zbieżności całki

Liczymy



Zatem korzystając z kryterium całkowego

zbieżności szeregów, otrzymujemy, że szereg jest zbieżny.



Źródło: "http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_14:_Ca%C5%82ka_Riemanna_funkcji_jednej_zmiennej"







if (window.isMSIE55) fixalpha();

Nawigacja


Strona główna
Przedmioty
Uczelnie
O nas
MIMINF
MIMMAT





Szukaj



 



Napisz do nas

[e-mail]






Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 11:03, 9 lip 2007; Tę stronę obejrzano 17147 razy; O Wikipedii Disclaimers





_uacct = "UA-321791-4";
urchinTracker();