Zestaw nr 7
Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegi¸ wykresu.
ecia
Asymptoty
November 20, 2009
Przyk azaniami
ladowe zadania z rozwi¸
Zadanie 1. Znajdz
równanie asymptot funkcji f jeśli:
2x-3
a) f(x) =
x+1
Rozwiazanie: Funkcja f jest nieokreślona dla x = -1. Liczymy granice jednostronne funkcji f w
¸
x = -1 :
2x - 3
lim = "
x-1- x + 1
2x - 3
lim = -"
x-1+ x + 1
Wniosek: funkcja f posiada asymptot¸ pionow¸ w punkcie x = -1.
e a
Badamy granice funkcji przy x " oraz x -".
2x - 3
lim = 2
x"
x + 1
2x - 3
lim = 2
x-"
x + 1
Wniosek: funkcja posiada asymptot¸ poziom¸ (dwustronn¸ o równaniu y = 2. Sprawdzamy czy
e a a)
istnieje asymptota ukośna, w tym celu liczymy granice
2x - 3
lim = 0
x"
x(x + 1)
2x - 3
lim = 0
x-"
x(x + 1)
Wniosek: brak asymptot ukośnych.
4
b)f(x) = x -
x2
1
Rozwiazanie: Funkcja f jest nieokreślona dla x = 0. Liczymy granice jednostronne funkcji f w
¸
x = 0 :
4
lim x - = -"
x0- x2
4
lim x - = -"
x0+ x2
Wniosek: funkcja posiada asymptot¸ pionow¸ w punkcie x = 0.
e a
Badamy granice funkcji przy x " oraz x -".
4
lim x - = "
x"
x2
4
lim x - = -"
x-"
x2
Wniosek: funkcja nie posiada asymptoty poziomej. Sprawdzamy czy istnieje asymptota ukośna, w
tym celu liczymy granice
2x - 3
lim = 0
x"
x(x + 1)
2x - 3
lim = 0
x-"
x(x + 1)
Wniosek: brak asymptot ukośnych.
x3
c) f(x) =
(x+1)(x-2)
Rozwiazanie: Funkcja f jest nieokreślona dla x = -1 oraz x = 2. Liczymy granice jednostronne
¸
funkcji f w x = -1 :
x3
lim = -"
x-1- (x + 1)(x - 2)
x3
lim = "
x-1+ (x + 1)(x - 2)
oraz w punkcie x = 2
x3
lim = -"
x2- (x + 1)(x - 2)
x3
lim = "
x2+ (x + 1)(x - 2)
Wniosek: funkcja posiada asymptoty pionowe w punktach x = -1 oraz x = 2.
Badamy granice funkcji przy x " oraz x -".
x3
lim = "
x"
(x + 1)(x - 2)
x3
lim = -"
x-"
(x + 1)(x - 2)
Wniosek: funkcja nie posiada asymptot poziomych.
2
Sprawdzamy czy istnieje asymptota ukośna, w tym celu liczymy granice
x3
lim = 1
x"
x(x + 1)(x - 2)
oraz
x3
lim - 1 · x = 1
x"
(x + 1)(x - 2)
co daje asymptot¸ ukoÅ›na y = x + 1 przy x ". Podobnie sprawdzamy czy istnieje asymptota
e
ukośna przy x -". Liczymy granice
x3
lim = 1
x-"
x(x + 1)(x - 2)
oraz
x3
lim - 1 · x = 1
x-"
(x + 1)(x - 2)
co daje asymptot¸ ukoÅ›n¸ y = x + 1 przy x ".
e a
Zadanie 2. Wyznacz przedzia monotonicznoÅ›ci nast¸ ¸ funkcji
ly epujacych
a) f(x) = x3 + 5x - 9
Rozwiazanie: Liczymy najpierw pochodn¸ f (x) = 3x2 + 5 oraz zauważamy, że nierówność
a
3x2 + 5 > 0
jest spe dla dowolnego x " R. Czyli f(x) = x3 + 5x - 9 lest rosn¸ w ca swojej dziedzinie.
lniona aca lej
b) f(x) = 2x3 + -9x2 + 12x
Rozwiazanie: Liczymy najpierw pochodn¸ f (x) = 6x2 + 18x + 12 oraz rozwiazujemy nierówność
a ¸
6x2 + 18x + 12 > 0
lub równoważn¸ jej
a
x2 + 3x + 2 > 0.
W tym celu obliczamy pierwiastki równania
x2 + 3x + 2 = 0
" = 9 - 4 · 2 = 1 co daje x1 = -2 lub x2 = -1. Zatem dla x " (-", -2) *" (-1, ") funkcja jest
rosn¸ natomiast dla x " (-2, -1) jest funkcja malejac¸
aca, ¸ ¸ a.
x2-3
c) f(x) =
x2+3
2x(x2+3)-2x(x2-3)
12x
Rozwiazanie: Liczymy najpierw pochodn¸ f (x) = = oraz rozwiazujemy
¸ a ¸
(x2+3)2 (x2+3)2
nierówność f (x) > 0. Mamy wi¸ f (x) > 0 wtedy i tylko wtedy gdy 6x > 0. Zatem dla x > 0
ec
funkcja jest rosn¸ natomiast dla x < 0 funkcja jest malejaca.
aca ¸
Zadanie 3. Wyznacz ekstrema funkcji f jeśli:
3
a) f(x) = x2 - 3x + 8
Rozwiazanie: Liczymy pochodn¸ f (x) = 2x - 3 i rozwiazujemy równanie f (x) = 0 co w naszym
¸ a ¸
przypadku daje 2x-3 = 0 oraz x0 = 1.5 Z postaci pochodnej otrzymujemy, że dla x < 1.5 zachodzi
f (x) < 0 oraz dla x > 1.5 zachodzi f (x) > 0, co daje, ze w punkcie x0 = 1.5 funkcja f osiaga
minimum lokalne.
b) f(x) = x4 - 4x2 + 4
Rozwiazanie: Liczymy pochodn¸ f (x) = 4x3 - 8x i rozwiazujemy równanie f (x) = 0. Mamy
¸ a ¸
" "
4x3 - 8x = 4x(x2 - 2), co daje nast¸ ¸ rozwiazania x1 = 0 lub x2 = - 2 lub x3 = 2.
epujace ¸
Analizujemy teraz zachowanie pochodnej w otoczeniach tych trzech punktów korzystajac z wykresu
¸
funkcji y = 4x(x2 - 2).
W lewostronnym otoczeniu punktu x1 = 0 pochodna f jest dodatnia a w prawostronnym ujemna,
zatem w x1 = 0 funkcja f przyjmuje lokalne maksimum.
"
W lewostronnym otoczeniu punktu x2 = - 2 pochodna f jest ujemna a w prawostronnym do-
"
datnia, zatem w x2 = - 2 funkcja f przyjmuje lokalne minimum.
"
W lewostronnym otoczeniu punktu x3 = 2 pochodna f jest ujemna a w prawostronnym dodatnia,
"
zatem w x2 = 2 funkcja f przyjmuje lokalne minimum.
x+1
c) f(x) =
x2+4
1(x2+4)-2x(x+1) -x2-2x+4
Rozwiazanie: Obliczamy pochodn¸ f (x) = = oraz rozwiazujemy
¸ a ¸
(x2+4)2 (x2+4)2
równanie f (x) = 0. Wiadomo, że f (x) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy -x2 -2x+4 = 0. Rozwi¸ ¸
azujac
" "
to równanie otrzymujemy: " = 20 oraz x1 = -1 - 5, x2 = -1 + 5. Pochodna w lewostronnym
otoczeniu punktu x1 jest ujemna a w prawostronnym otoczeniu dodatnia, zatem w x1 funkcja f
osiaga minimum lokalne. Podobnie, pochodna w lewostronnym otoczeniu punktu x2 jest dodatnia
¸
a w prawostronnym otoczeniu ujemna, zatem w x2 funkcja osiaga maksimum lokalne.
¸
Zadanie 4. Znajdz
najwi¸ i najmniejsze wartoÅ›ci funkcji na wskazanych przedzia
eksze lach
a) f(x) = x2 + 2x - 4, dla x " [0, 2]
Rozwiazanie: Liczymy pochodn¸ f (x) = 2x+2, otrzymujemy miejsce zerowe pochodnej x0 = -1.
¸ a
W punkt x0 = -1 nie należy do przedzia [0, 2]. Funkcja f nie ma lokalnych ekstremów w przedziale
lu
[0, 2]. Liczymy wartości funkcji w punktach brzegowych. Otrzymujemy f(0) = -4 f(2) = 4 czyli
najwi¸ wartość funkcji f, w przedziale [0, 2], wynosi 4 a najmniejsza -4.
eksza
b) f(x) = x2 + 2x - 4, dla x " [-2, 2]
Rozwiazanie: Liczymy pochodn¸ f (x) = 2x+2, otrzymujemy miejsce zerowe pochodnej x0 = -1.
¸ a
W punkcie x0 = -1 " [-2, 2] funkcja f ma minimum lokalne. Liczymy wartości funkcji w punktach
brzegowych oraz w x0, otrzymujemy f(-2) = -4, f(2) = 4 oraz f(-1) = -5. W przedziale [-2, 2]
funkcja osiaga najwi¸ a wartość 4 dla x1 = 2 oraz najmniejsz¸ wartość -5 w punkcie x0 = -1.
eksz¸ a
2x+5
c) f(x) = dla x " [-3, -1) *" (-1, 3]
x+1
Rozwiazanie: W punkcie x = -1 funkcja jest nieokreślona.
¸
2x + 5
lim = -"
x-1- x + 1
2x + 5
lim = "
x-1+ x + 1
4
czyli w x = -1 istnieje asymptota pionowa funkcji f. Zatem funkcja f nie osiaga w tym zbiorze ani
¸
skończonej wartości maksymalnej ani skończonej minimalnej.
Zadanie 5. Wyznaczyć punkty przegi¸ przedzia wypuk oraz wkl¸ loÅ›ci funkcji
ecia, ly lości es
a) f(x) = 3x4 + 7x + 1 dla x " (0, ")
Rozwiazanie: Liczymy pierwsz¸ pochodn¸ f (x) = 12x3 + 7 oraz drug¸ f (x) = 36x2. Dla
¸ a a a
dowolnego x " (0, ") zachodzi f (x) > 0 czyli funkcja jest wypuk w ca swojej dziedzinie.
la lej
b) f(x) = ex-1 + 2
Rozwiazanie: Liczymy pierwsz¸ pochodn¸ f (x) = ex-1 oraz drug¸ f (x) = ex-1. Dla dowolnego
¸ a a a
x " (-", ") zachodzi f (x) > 0 czyli funkcja jest wypuk w ca swojej dziedzinie.
la lej
c) f(x) = x4 - x3 - x2
Rozwiazanie: Liczymy pierwsz¸ pochodn¸ f (x) = 4x3-3x2-2x oraz drug¸ f (x) = 12x2-6x-2.
¸ a a a
Szukamy pierwiastków równania 12x2 - 6x - 2 = 0. Po obliczeniach otrzymujemy pierwiastki
" "
6- 132 6+ 132
x1 = oraz x2 = .
24 24
Dla x " (-", x1) mamy f (x) > 0 czyli funkcja f jest wypuk w tym przedziale. Dla x " (x2, ")
la
mamy f (x) > 0 czyli funkcja f jest wypuk w tym przedziale. Natomiast dla x " (x1, x2) mamy
la
f (x) < 0 czyli funkcja f jest wkl¸ la w tym przedziale. Punkty x1 oraz x2 s¸ punktami przegi¸
es a ecia.
1 Zadania do samodzielnego rozwi¸
azania
Zadanie 1.1. Znajdz
równanie asymptot funkcji f jeśli:
2x-3
a) f(x) =
x+1
Odp. Asymptota pionowa w x = -1, asymptota pozioma y = 2, brak asymptot ukośnych.
7x+3
b) f(x) =
x-10
Odp. Asymptota pionowa w x = 10, asymptota pozioma y = 7, brak asymptot ukośnych.
1
c) f(x) =
x2+1
Odp. asymptota pozioma y = 0.
1
d) f(x) =
1-x2
Odp. Asymptota pionowa w x = 1 lub x = -1, asymptota pozioma y = 0, brak asymptot ukośnych.
Zadanie 2.1. Wyznacz przedzia monotonicznoÅ›ci nast¸ ¸ funkcji
ly epujacych
a) f(x) = -x3 + 3x2 + 2x + 2

Odp. Rosn¸ w (1 - 10/6, 1 + 10/6), malejaca w (-", 1 - 10/6) oraz w (1 + 10/6, ").
aca ¸
5
b) f(x) =
1-x
Odp. Malejaca w (-", 1), rosn¸ w (1, ".)
¸ aca
7x+3
c) f(x) =
x-10
Odp. Malejaca w (-", 10) oraz w (10, ").
¸
x
d) f(x) =
x2+4
5
Odp. Malejaca w (-", -2) oraz w (2, "), rosn¸ w (-2, 2).
¸ aca
Zadanie 3.1. Wyznacz ekstrema funkcji f jeśli:
a) f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 2
Odp. Min w x1 = -1, max w x2 = 3.
3x+2
b) f(x) =
x2+1
" "
13 13
Odp. Min w x1 = - , max w x2 = .
3 3
9-x2
c) f(x) =
x+5
Odp. Min w x1 = -9, max w x2 = -1.
x2 1
d) f(x) = +
2 x
Odp. Min w x1 = 1.
Zadanie 4.1. Znajdz
najwi¸ i najmniejsze wartoÅ›ci funkcji na wskazanych przedzia
eksze lach
a) f(x) = x2 + 2x - 4, dla x " [0, 2]
Odp. Wartość min f(0) = -4, wartość max f(2) = 4
b) f(x) = 3x-1 dla x " [0, 2]
Odp. Wartość min f(0) = 1/3, wartość max f(2) = 1
c) f(x) = -3x2 + 6x + 9 dla x " [-4, 2]
Odp. Wartość min f(-4) = -63, wartość max f(1) = 13.
x+1
d) f(x) = dla x " [3, 5]
x-2
Odp. Wartość min f(5) = 2, max f(3) = 4.
Zadanie 5.1. Wyznaczyć punkty przegi¸ przedzia wypuk oraz wkl¸ loÅ›ci funkcji
ecia, ly lości es
x2+x-2
a) f(x) =
x-2
Odp. f wypuk dla x > 2, wkl¸ la dla x < 2. Brak punktu przegi¸
la es ecia.
b) f(x) = log(1 + x2)
Odp. f wypuk dla x < -1 oraz x > 1, wkl¸ la dla x " (-1, 1). Punkty przegi¸ dla x = 1 lub
la es ecia
x = -1.
c) f(x) = x4 + 2x3 - 12x2 - 2x + 1
Odp. Wypuk w (-", -2) oraz (1, "). Wkl¸ la (-2, 1), punkty przegi¸ x = -2 lub x = 1.
la es ecia
x
d) f(x) =
x2+1
" " " "
Odp. Wypuk w (- 3, 0) *" ( 3, "). Wkl¸ la w (-", - 3) *" (0, 3). Punkty przegi¸ :
la es ecia
" "
- 3, 0, 3.
6