Zestaw nr 6
Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej.
Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala
November 12, 2009
Przyk azaniami
ladowe zadania z rozwi¸
Zadanie 1. Oblicz pochodne nast¸ ¸ funkcji:
epujacych
a) f(x) = x4 + 3x3 + 2x2 + x
Rozwiazanie: Korzystajac z wzoru na pochodn¸ sumy otrzymujemy
¸ ¸ a
(x4 + 3x3 + 2x2 + x) = (x4) + (3x3) + (2x2) + (x) = 4x3 + 3 · 3x2 + 2 · 2x + 1 = 4x3 + 9x2 + 4x + 1.
b)f(x) = x1/2 + 1/x
" "
Rozwiazanie: Korzystajac z wzoru na pochodn¸ sumy otrzymujemy ( x + 1/x) = ( x) +
¸ ¸ a
"
1 1 1 1
" "
(1/x) = - gdyż ( x) = oraz (1/x) = - .
2· x x2 2· x x2
c) f(x) = 3x · log x. Przypominamy, że logx oznacza logarytm naturalny z liczby x.
Rozwiazanie: Korzystajac z wzoru na pochodn¸ iloczynu funkcji otrzymujemy (3x · log x) =
¸ ¸ a
1
(3x) · (logx) + (3x) · logx = 3x · + 3logx, gdyż (logx) = 1/x oraz (3x) = 3.
x
d) f(x) = 3x · ex
Rozwiazanie: Korzystajac z wzoru na pochodn¸ iloczynu funkcji otrzymujemy (3x · ex) = 3x ·
¸ ¸ a
(ex) + (3x) · ex = 3xex + 3 · ex, ponieważ (ex) = ex.
3
e) f(x) =
x-3
Rozwiazanie: Korzystajac z wzoru na pochodn¸ ilorazu funkcji otrzymujemy
¸ ¸ a
(3) ·(x-3)-3·(x-3) -3
3
(x-3) = =
(x-3)2 (x-3)2
x2-1
f) f(x) =
2x2+1
x2
Rozwiazanie: Korzystajac z wzoru na pochodn¸ ilorazu funkcji otrzymujemy (2x2-1 ) =
¸ ¸ a
+1
(x2 - 1) · (2x2 + 1) - (x2 - 1)(2x2 + 1) 2x(2x2 + 1) - 4x(x2 - 1) 6x
= = =
(2x2 + 1)2 (2x2 + 1)2 (2x2 + 1)2
1
g) f(x) = (x2 + 1)1/2
Rozwiazanie: Korzystamy z wzoru na pochodn¸ funkcji z (g(h(x))) = g (h(x)) · h (x).
¸ a lożonej
" "
1
"
Niech g(x) = x oraz h(x) = x2 + 1 Wiadomo, że ( x) = oraz (x2 + 1) = 2x. Wówczas
2 x
1
"
f(x) = g(h(x)) oraz (g(h(x))) = · 2x.
2 x2+1
h) f(x) = ln(3x2 + x - 4)
Rozwiazanie: Korzystamy z wzoru na pochodn¸ funkcji z (g(h(x))) = g (h(x)) · h (x)
¸ a lożonej
1
Niech g(x) = log x oraz h(x) = 3x2 + x - 4 Wiadomo, że (log x) = oraz (3x2 + x - 4) = 6x + 1.
x
1
Wówczas f(x) = g(h(x)) oraz (g(h(x))) = · (6x + 1).
3x2+x-4
i) f(x) = log3(x2 + x + 1)
Rozwiazanie: Korzystamy z wzoru na pochodn¸ funkcji z (g(h(x))) = g (h(x)) · h (x)
¸ a lożonej
1
Niech g(x) = log3 x oraz h(x) = x2 + x + 1 Wiadomo, że (ln3 x) = oraz (x2 + x + 1) = 2x + 1.
x·log3
1
Wówczas f(x) = g(h(x)) oraz (g(h(x))) = · (2x + 1).
(x2+x+1)·log3
2
j) f(x) = (2/3)1-3x
Rozwiazanie: Korzystamy z wzoru na pochodn¸ funkcji z (g(h(x))) = g (h(x)) · h (x)
¸ a lożonej
Niech g(x) = (2/3)x oraz h(x) = 1-3x2 Wiadomo, że ((2/3)x) = (2/3)x ·log(2/3) oraz (1-3x2) =
2
-6x. Wówczas f(x) = g(h(x)) oraz (g(h(x))) = (2/3)1-3x · (-6x) · log(2/3).
k) f(x) = (3x4 + x3 + x)5
Rozwiazanie: Korzystamy z wzoru na pochodn¸ funkcji z (g(h(x))) = g (h(x)) · h (x)
¸ a lożonej
Niech g(x) = x5 oraz h(x) = 3x4 + x3 + x Wiadomo, że (x5) = 5x4 oraz (3x4 + x3 + x) =
12x3 + 3x2 + 1. Wówczas f(x) = g(h(x)) oraz (g(h(x))) = 5(3x4 + x3 + x)4 · (12x3 + 3x2 + 1).
Zadanie 2. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) jeśli f(x) =
x2 - 3x + 2 oraz x0 = 2
Rozwiazanie: Rownanie prostej l ma postac
y = ax + b
Jeśli prosta l jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) to z geometrycznej interpre-
tacji pochodnej otrzymujemy, że a = f (x0). Styczna oraz wykres funkcji f maja wspólny punkt
¸
(x0, f(x0)) co daje
f(x0) = a · x0 + b
czyli
b = f(x0) - a · x0.
Podstawiajac wartoÅ›ci liczbowe otrzymujemy: f (x) = 2x - 3 czyli f (2) = 1 oraz b = f(2) - 1 · 2 =
-2. Równanie stycznej ma postać
y = x - 2.
2
Zadanie 3. Jaki k¸ z osia Ox tworzy styczna do paraboli f(x) = x2 - 3x + 8 w punkcie (2, 6) ?
at ¸
Rozwiazanie: Z geometrycznej interpretacji pochodnej otrzymujemy, że tangens k¸ Ä… mi¸
ata edzy
styczn¸ a osia Ox wynosi f (2) czyli f (x) = 2x - 3 oraz f (2) = 1 co daje Ä… = 450.
a ¸
Zadanie 4. W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 2 jest równoleg
la
do osi Ox?
Rozwiazanie: Styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) jest równoleg do osi Ox gdy
la
f (x0) = 0. Zatem f (x0) = 3x2 - 6x0 - 9 = 0. Rozwiazujac to równanie kwadratowe otrzymujemy
¸ ¸
0
odpowiednio " = 144 oraz pierwiastki x1 = 3 lub x2 = -1. W punktach (3, f(3)) oraz (-1, f(-1))
styczne s¸ równoleg do osi Ox.
a le
Zadanie 5. Wyznaczyć elastyczność funkcji f(x) = x2 + 5x + 3 dla x0 = 3.
f (x)
Rozwiazanie: Z definicji elastyczność Exf funkcji f w punkcie x dana jest wzorem Exf = · x.
f(x)
11
Zatem f (x) = 2x + 5, f (3) = 11 oraz f(3) = 27, co daje E3f = · 3 = 11/9.
27
Zadanie 6. Korzystajac z regu de l Hospitala oblicz granice:
¸ ly
a) limx1 x3-1
x2-1
b) limx0 ex-1
x
Rozwiazanie: a) Funkcje f(x) = x3 - 1 oraz g(x) = x2 - 1 s¸ okreÅ›lone na R oraz różniczkowalne
a
w dowolnym punkcie x " R, zatem z regu de l Hospitala otrzymujemy:
ly
x3 - 1 (x3 - 1) 3x2
lim = lim = lim = 3/2.
x1 - 1 x1 - 1) x1 2x
x2 (x2
b) Funkcje f(x) = ex - 1 oraz g(x) = x spe ¸ za tw. de l Hospitala, mamy wi¸
lniaja lożenia ec:
ex - 1 (ex - 1) ex
lim = lim = lim = 1.
x0 x0 x0
x (x) 1
1 Dodatkowe zadania z odpowiedziami
Zadanie 1.1. Oblicz pochodne nastepujacych funkcji:
¸
a) f(x) = x4 + 6x3 + 8x2 + x
Odp. f (x) = 4x3 + 18x2 + 16x + 1
b)f(x) = x1/3
3
Odp. f (x) =
3·(x)2/3
c) f(x) = 3x · log(x - 1)
3x
Odp. f (x) = + 3 log(x - 1)
x-1
3
d) f(x) = 3(x + 2) · ex-2
Odp. f (x) = 3(x + 2) · ex-2 + 3 · ex-2
x+3
e) f(x) =
x-3
-6
Odp. f (x) =
(x-3)2
x2-3
f) f(x) =
x2+2
10x
Odp. f (x) =
(x2+2)2
g) f(x) = (x2 + x + 1)1/2
"2x+1
Odp. f (x) =
2 x2+x+1
h) f(x) = log(3x2 + 8)
6x
Odp. f (x) =
3x2+8
i) f(x) = log3(x2 + 4x + 7)
2x+4
Odp. f (x) =
(x2+4x+7)log3
4
j) f(x) = 3x
4
Odp. f (x) = 4x3 · 3x · log3
3
k) f(x) = 5x -7x+2
3
Odp. f (x) = 5x -7x+2 · (3x2 - 7) · log5
l) f(x) = (2x2 + 2x)(3x4 + x)
Odp. f (x) = (2x2 + 2x)(12x3 + 1) + (4x + 2)(3x4 + x)
m) f(x) = (3x3 + x2 + x)5
Odp. f (x) = 5(3x3 + x2 + x)4 · (9x2 + 2x + 1)
Zadanie 2. Napisz równanie stycznych do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) jeśli
a) f(x) = x2 - x + 2 oraz x0 = 2
b) f(x) = x3 - x2 + 2 oraz x0 = 1
Odpowiedz
: a) y = 3x - 2 b) y=x+1
Zadanie 3. Jaki k¸ z osi¸ Ox tworzy styczna do paraboli f(x) = x2 - 3x + 8 w punkcie x = 1.5 ?
at a
Odpowiedz
: K¸ 00
at
Zadanie 4. W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji f(x) = x3 - 9x + 2 jest równoleg do
la
osi Ox?
" "
Odpowiedz
: Dla x0 = 3 lub x0 = - 3.
Zadanie 5. Wyznaczyć elastyczność funkcji
4
a) f(x) = x2 + 5x + 3 dla x0 = 3.
b) f(x) = ex + 1 dla x0 = 2
2e2
Odpowiedz
: a) 27/17 b)
e2+1
Zadanie 6. Korzystajac z regu de l Hospitala oblicz granice:
¸ ly
a) limx1 x9-1
x2-1
b) limx" ex
x
c) limx" log(x+1)
x
d) limx0 ex-x-1
x2
e) limx" 5x-1
x2
Odpowiedz
: a) 9/2, b) ", c) 0, d) 1/2, e) ".
5