MATEMATYKA
ZESTAW ZADAC
- POCHODNE
1. Obliczyć pochodne funkcji określonych następującymi wzorami:
2 1 4 5 3 1
b) x3 +� x2 +� 2x d) -� e) -� -�
a) 2x6 +� 3x3 +� x c) 3 x +� 4x2
3 4 x3 x5 x3 x
-�2 1 4
1
f) +� x3 g) +� sin x h) 2ex +�
i) 2x +� j) sin x +� cos x
4 10
x
x3 x5 x3
x
x2 -� 2x +� 3 2x2 +� 3x -�1
x
k) o) xln x
l) m)
n)
sin x
2x2 +� 4 x +� 2
ln x
2cos x
2
x2
3
t)
p) x2 -� q) tgx +� ctgx
r) s) x �� x
x2 x7
x +�1
cos x
x
1
2 x2
u)
x)
v) ctgx ��
w) ex �� ex y) -� -� 7x
4
x
x3 x +�1
x2 2
2. Obliczyć pochodne funkcji złożonych określonych następującymi wzorami:
1
7
2
e)
d) ln sin x
a) sin x
b) x2 -� 4 c) (�4x2 -� 2)�
2 -� 3x
ln x
x2 +� 3x -�1
i)
j) ln(�ln(�x2 +�1)�)�
f) g) cos4 4x
h) sin 1+� x2
1+� x2
x2 -� x +� 3
10x4 -� 3x2
3
l)
n)
(�3x -� 5)�ln(�3x -� 5)�
k) tg x x m) e2x sin x
2 o) ln arctg 1+� u2
(�3x2 -�1)�
4
2 2x
1-� x2
q) ć� -�2x2 +� 3x -� 2 ��
p) arcsin s) arccos
r) arcsin
t)
�� �� xarcsin x +� 1-� x2
2x -� 4
x 1+� x2
Ł� ł� 1+� x2
1
sin x2 +�5x-�2
(� )�
3
y)
u) xx v) sin xcos x w) xsin x
e
x)
1+� x2
x
3
z) sin2 ln x z
)
ż) arctg
2sin3
(� )�
(� )�
x
1+� x2
3. Obliczyć f ', f '', f ''' funkcji określonych następującymi wzorami:
b) sin x c) cosx
a) 2x7 -� 5x3 +� 2x d) ex e. x3 ln x
sin x ln x
x3
f) h)
g) sin3 x +� cos3 x i) ex +� cos4 x j)
cos x 2x2
e3x
4. Oblicz ekstrema lokalne funkcji oraz zbadaj monotoniczność
x2 +� 2x x2
a) f x =� x3 +� 3x2 -� 9x -� 2
(� )� b) f x =� c) f x =� d) f x =� e-� x2
(� )�
(� )� (� )�
x2 -� 4 x2 -� 4
1+� ln x
e) f x =� x2 ln x f) f x =� ex x2 -� 3 g) f x =� h) f x =� etgx
(� )� (� )� (� )�
(� )� (� )�
x
3 2 11
i)
f x =� x4 -� x3 -� x2 +�10x -� 2
(� )�
4 3 2
5. Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych:
a) f x, y =� x2 +� y3 -� 3xy b) f x, y =� x2 y3 -� x sin y ,
(� )� (� )�
x2
c) f x1, x2 =� x1x2(1-� 2x1 +� 3x2) , d) f x, y =� xy +� ,
(� )� (� )�
y3
sin y
e) f x, y =� ln x , gdzie x >� 1, f) f x, y =� ln x +� ln y ,
(� )� (� )� (� )� (� )�
x1
g) f x1, x2 =� ln x12 +� x2 , h) f x1, x2 =� arctg ,
(� )� (� )�
(� )�
x2
10
i) f x, y =� xy , j) f x, y, z =� 3x2 y +� z4 ,
(� )� (� )�
(� )�
k) f x, y, z =� xyz , l) f x, y, z =� x y -� ez ln y ,
(� )� (� )�
20
m) f x, y, z =� x5 y10 -� x3 sin z +� y2ez , n) f x, y, z =� z4 5xy2 -� 3yz2 ,
(� )� (� )�
(� )�
x2 y +� xy2 2x3y2 -� x2 +� xy2
o) f x, y =� , p) f x, y =� .
(� )� (� )�
3x2 y3 +� 3 2xy2 +� y
6. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu dla podanych funkcji
50 20
a) f x, y =� x3 +� 3xy2 -�15x -�12y , b) f x, y =� xy +� +� ,
(� )� (� )�
x y
c) f x, y =� xy 1-� x -� y , d) f x, y =� x2 +� y2 -� 2 ln x -�18ln y ,
(� )� (� )� (� )�
x
e) f x, y =� (cos x +� cos y)2 +� (sin x +� sin y)2 , f) f x, y =� (x +� y2)e2 ,
(� )� (� )�
2
g) f x, y =� x2 y3 -� x sin y , h) f x, y =� e-�(x +� y2 ) ,
(� )� (� )�
x +� y 2x -� xy2
i) f x, y =� arctg , j) f x, y =� .
(� )� (� )�
1-� xy xy
7. Obliczyć gradient funkcji f w punkcie A
a) f x, y =� 6x -� 5xy3 +� x2 A(2,1) ; b) f x, y =� x3 +� y3 -� 3xy A(-�2,1) ;
(� )� (� )�
1
c) f x, y =� x +� 2 ln(2x) A( ,0) ; d) f x, y =� yey +� sin x A(0,1) ;
(� )� (� )�
2
z -� x
e) f x, y =� sin x ��cos y A(0,p� ) ; f) f x, y, z =� A(1,0, -�3) ;
(� )� (� )�
z +� y
g) f x, y =� x2 +� y2 A(-�3, 4) ; h) f x, y, z =� exyz A(-�1,1, -�1) .
(� )� (� )�