Pochodne funkcji
Pochodna funkcji w punkcie.
Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone.
Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Małgorzata Wyrwas
Katedra Matematyki
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
Pochodne funkcji  str. 1/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Iloraz różnicowy
Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej
na przedziale (x0 - r, x0 + r), gdzie r > 0.
Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 odpowiadającym
przyrostowi h = "x, gdzie 0 < |h| < r, nazywamy liczbę
f(x0 + h) - f(x0) f(x0 + "x) - f(x0)
= .
h "x
Pochodne funkcji  str. 2/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego
Iloraz różnicowy jest równy tangensowi kąta nachylenia siecznej
przechodzącej przez punkty (x0, f(x0)) oraz (x0 + h, f(x0 + h))
do dodatniej półosi Ox.
y
y = f(x)
f(x0 + h)
"f = f(x0 + h) - f(x0)
ą
ą
ą
f(x0)
"f
tg ą =
"x = h
"x
x
x0 x0 + h
Pochodne funkcji  str. 3/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Pochodna funkcji w punkcie
Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej
na przedziale (x0 - r, x0 + r), gdzie r > 0.
Jeżeli istnieje skończona granica
f(x0 + h) - f(x0)
lim .
h0
h
to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy
f (x0) .
Mówimy wtedy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0.
Jeżeli granica ilorazu różnicowego w punkcie x0 nie istnieje lub jest
nieskończona, to mówimy, że funkcja f nie jest różniczkowalna w
punkcie x0.
Pochodne funkcji  str. 4/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Pochodna funkcji w punkcie
f(x0 + h) - f(x0)
def
f (x0) = lim
h0
h
f(x) - f(x0)
def
f (x0) = lim
xx0
x - x0
Przykład: Niech f(x) = x2. Wtedy
def
(x0+h)2-x2
2x0h+h2
0
f (x0) = lim = lim = 2x0 lub
h h
h0 h0
def
(x-x0)�(x+x0)
x2-x2
0
f (x0) = lim = lim = 2x0
x-x0
xx0 x-x0 xx0
Pochodne funkcji  str. 5/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych

(c) = 0 , gdzie c " R.

(xp) = pxp-1 , dla p " R, zakres zmienności x zależy od p.

1 1
= - , x " R \ {0}.
x x2
"
1
"
x = , x " R+.
2 x

(sin x) = cos x , x " R.

(cos x) = - sin x , x " R.
Pochodne funkcji  str. 6/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych

1 Ą
(tg x) = , x = + kĄ, k " Z.

cos2 x 2

1
(ctg x) = - , x = kĄ, k " Z.

sin2 x

(ax) = ax ln a , a > 0, x " R.

(ex) = ex , x " R.

1
(loga x) = , x > 0 i 0 < a = 1.

x ln a

1
(ln x) = , x > 0.
x
Pochodne funkcji  str. 7/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Prosta styczna do wykresu funkcji
Niech x0 " R oraz niech funkcja ciągła f będzie określona
przynajmniej na przedziale (x0 - r, x0 + r), gdzie r > 0.
Prosta jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)),
jeżeli jest granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji
przechodzących przez punkty (x0, f(x0)) i (x, f(x)), gdy x x0.
y
y = f(x)
f(x) sieczne
styczna
f(x0)
x
x0
�!- x
Pochodne funkcji  str. 8/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Interpretacja geometryczna pochodnej
Pochodna funkcji w punkcie x0 jest równa tangensowi kąta
nachylenia stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0))
do dodatniej półosi Ox.
y
y = f(x)
styczna
f(x0)
tg ą = f (x0)
ą
ą
ą
x
x0
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)):
y = f (x0)(x - x0) + f(x0) .
Pochodne funkcji  str. 9/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Przykład
Niech f(x) = ex. Wówczas równanie stycznej do wykresu funkcji
f w x0 = 0 ma postać: y = x + 1 .
y
y =ex
y = x + 1
(0, 1)
x
Pochodne funkcji  str. 10/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Przykład
Niech f(x) = sin x. Wówczas równanie stycznej do wykresu
funkcji f w x0 = Ą ma postać: y = Ą - x .
y y =sin x
1
x
-Ą
Ą 2Ą 3Ą 4Ą
-1
y = Ą - x
Pochodne funkcji  str. 11/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Kąt przecięcia wykresów funkcji
Niech wykresy funkcji f i g mają punkt wspólny (x0, y0), przy
czym obie funkcje są różniczkowalne w punkcie x0.
Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy kąt ostry �
miedzy stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich
przecięcia
y
y = f(x)
�
�
�
f(x0)
y = g(x)
x
x0
Pochodne funkcji  str. 12/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Kąt przecięcia wykresów funkcji
Niech wykresy funkcji f i g mają punkt wspólny (x0, y0), przy
czym obie funkcje są różniczkowalne w punkcie x0.
Miara kąta przecięcia wykresów funkcji f i g wyraża się
wzorem
f (x0) - g (x0)
� = arc tg .
1 + f (x0) � g (x0)
Ą
Jeżeli f (x0) � g (x0) = -1, to przyjmujemy � = .
2
Pochodne funkcji  str. 13/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Związek różniczkowalności z ciągłością funkcji
Twierdzenie: Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0,
to jest w tym punkcie ciągła.
Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Na przykład funkcja f(x) = |x| jest ciągła w punkcie x0 = 0, ale
f (0) nie istnieje.
y
y = |x|
2
x
-4 -2 2
Pochodne funkcji  str. 14/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Pochodna funkcji na przedziale
Funkcja ma pochodną na przedziale I otwartym wtedy i tylko
wtedy, gdy ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału.
Funkcję określoną na przedziale I, której wartości w punktach x
tego przedziału sa równe f (x) nazywamy
pochodną funkcji f na przedziale I i oznaczamy symbolem f .
f : x f (x) , x " I.
Pochodne funkcji  str. 15/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Działania arytmetyczne na pochodnych funkcji
Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne w punkcie x0, to:

(f + g) (x0) = f (x0) + g (x0) .

(f - g) (x0) = f (x0) - g (x0) .

(f � g) (x0) = f (x0) � g(x0) + f(x0) � g (x0) .

f f (x0) � g(x0) - f(x0) � g (x0)
(x0) = , o ile g(x0) = 0.

g g2(x0)
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, zaś c " R, to

(cf) (x0) = cf (x0) .
Pochodne funkcji  str. 16/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Przykład
"
1 1 1
"
f(x) = x4 + 3x2 - + x �! f (x) = 4x3 + 6x + +
x x2 2 x

g(x) = sin x � ctg x , x = kĄ, k " Z, �!

1 1
g (x) = cos x ctg x + sin x - = cos x ctg x -
sin2 x sin x

x2 - 1
h(x) = , x " R, �!
x2 + 1
2x � (x2 + 1) - (x2 - 1) � 2x 4x
h (x) = =
(x2 + 1)2 (x2 + 1)2
Pochodne funkcji  str. 17/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz funkcja g
jest różniczkowalna w punkcie f(x0), to funkcja g ć% f jest
różniczkowalna w punkcie x0 oraz
(g ć% f) (x0) = g (f(x0)) � f (x0) .
Przykład:

f(x) = sin3 x �! f (x) = 3 sin2 x � cos x

g(x) = (3x2 + x + 2)5 , �! g (x) = 5(3x2 + x + 2)4 � (6x + 1)
Pochodne funkcji  str. 18/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Postać logarytmiczno wykładnicza funkcji
Każdą funkcję złożoną postaci [f(x)]g(x) można przedstawić w
postaci logarytmiczno wykładniczej:
[f(x)]g(x) = eg(x)�ln f(x) .
Postać logarytmiczno wykładniczą stosujemy do obliczania
pochodnych funkcji danych w postaci [f(x)]g(x).
Przykład:

f(x) = xx = ex ln x �!
1
f (x) = ex ln x � (ln x + x � ) = xx � (ln x + 1)
x
Pochodne funkcji  str. 19/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej
Niech x0 " Df. Niech f będzie funkcją ciągłą i różnowartościową
w otoczeniu punktu x0 oraz taką, że f (x0) = 0. Wówczas

1
f-1 (y0) = ,
f (x0)
gdzie y0 = f(x0).
Pochodne funkcji  str. 20/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Pochodne funkcji cyklometrycznych

1
"
(arc sin x) = , x " (-1, 1).
1 - x2

1
"
(arc cos x) = - , x " (-1, 1).
1 - x2

1
(arc tg x) = , x " R.
1 + x2

1
(arc ctg x) = - , x " R.
1 + x2
Pochodne funkcji  str. 21/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Różniczka funkcji
Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu x0.
Ponadto niech funkcja f ma pochodną właściwą (jest
różniczkowalna) w punkcie x0.
Różniczką funkcji f w punkcie x0 nazywamy funkcję zmiennych
"x określoną wzorem:
def
df(x0)("x) = f (x0) � "x .
Różniczkę funkcji f oznacza się także przez df(x0) lub krótko df.
Pochodne funkcji  str. 22/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Różniczka i obliczenia przybliżone
Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie x0. Wtedy
f(x0 + "x) H" f(x0) + f (x0) � "x ,
przy czym błąd jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji "f
jej różniczką df = f (x)"x dąży szybciej do zera niż "x, tzn.
"f - df
lim = 0 .
"x0
"x
Pochodne funkcji  str. 23/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Różniczka i obliczenia przybliżone
y
y = f(x)
"f
df
f(x0)
"x
x
x0
Pochodne funkcji  str. 24/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Przykład
Wykorzystując różniczkę obliczymy wartość przybliżoną
"
wyrażenia 15,96 .
"
Definiujemy funkcję f(x) = x .
Przyjmujemy x0 =16 �! "x=-0,04.
df 1
"
Ponieważ = f (x) = ,więc
dx 2 x
"
"
1
"
15,96 H" 16 + � (-0,04) = 3,995 .
2 16
Pochodne funkcji  str. 25/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów
Niech wielkości fizyczne x i y będą związane zależnością
y = f(x). Ponadto niech "x oznacza błąd bezwzględny pomiaru
wielkości x. Wtedy błąd bezwzględny "y obliczeń wielkości y
wyraża się wzorem przybliżonym
"y H" |f (x0)| "x ,
gdzie x0 jest wynikiem pomiaru wielkości x, przy czym f (x0)
jest właściwa.
Pochodne funkcji  str. 26/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Przykład
Czas w biegu na 100 m mierzy się z dokładnością "t = 0,01 s.
Zawodnik uzyskał 10 s. Z jaką w przybliżeniu dokładnością
można obliczyć prędkość V tego zawodnika?
100 100
Ponieważ V = , więc V (t) = - , więc
t t2
100 m
"V H" |V (10)| � "t = - � 0,01 = 0,01 .
102 s
Pochodne funkcji  str. 27/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Twierdzenia o wartości średniej
Twierdzenie Rolle a: Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

jest ciągła na a, b ,

ma pochodną na (a, b),

f(a) = f(b),
to istnieje punkt c " (a, b), taki że f (c) = 0.
Twierdzenie Lagrange a: Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

jest ciągła na a, b ,

ma pochodną na (a, b),
f(b) - f(a)
to istnieje punkt c " (a, b), taki że f (c) = .
b - a
Pochodne funkcji  str. 28/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Związek różniczkowalności z monotonicznością funkcji
Twierdzenie: Niech I oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla
każdego x " I funkcja f spełnia warunek:

f (x) = 0, to funkcja f jest stała na I;

f (x) > 0, to funkcja f jest rosnąca na I;

f (x) 0, to funkcja f jest niemalejąca na I;

f (x) < 0, to funkcja f jest malejąca na I;

f (x) 0, to funkcja f jest nierosnąca na I.
Pochodne funkcji  str. 29/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Pochodne wyższych rzędów
Pochodne n-tego rzędu funkcji f w punkcie x0 definiujemy
indukcyjnie
f(n)(x0) = f(n-1) (x0) ,
dla n 1.
Przyjmujemy, że f(0)(x0) = f(x0) i f(1)(x0) = f (x0).
Piszemy:
f(2) = f , f(3) = f , f(4) = fIV
lub
�
f(1) = fŁ, f(2) = f
lub
dnf
f(n) = .
dxn
Pochodne funkcji  str. 30/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Definicja minimum funkcji
Funkcja f ma w punkcie x0 " Df minimum lokalne, jeżeli
"�>0"x"S(x ,�) f(x) f(x0) .
0
Funkcja f ma w punkcie x0 " Df minimum lokalne właściwe,
jeżeli
"�>0"x"S(x ,�) f(x) > f(x0) .
0
Pochodne funkcji  str. 31/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Definicja maksimum funkcji
Funkcja f ma w punkcie x0 " Df maksimum lokalne, jeżeli
"�>0"x"S(x ,�) f(x) f(x0) .
0
Funkcja f ma w punkcie x0 " Df maksimum lokalne właściwe,
jeżeli
"�>0"x"S(x ,�) f(x) < f(x0) .
0
Pochodne funkcji  str. 32/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Ekstrema funkcji
Minima i maksima lokalne nazywamy
EKSTREMAMI LOKALNYMI.
Pochodne funkcji  str. 33/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej
Twierdzenie (Fermata): Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w
punkcie x0 oraz posiada ekstremum lokalne w tym punkcie, to
f (x0) = 0 .
Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Na przykład dla funkcji f(x) = x3 mamy f (0) = 0, a f nie ma
ekstremum w punkcie x0 = 0.
y
y = x3
x
Pochodne funkcji  str. 34/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Warunek dostateczny istnienia maksimum funkcji różniczkowalnej
Twierdzenie: Niech x0 " R i f będzie funkcją określoną
przynajmniej w otoczeniu punktu x0, ciągła w punkcie x0 i
różniczkowalna przynajmniej w sąsiedztwie punktu x0. Jeżeli
istnieje � > 0 takie, że
"x"(x -�,x0) f (x) > 0 oraz "x"(x ,x0+�) f (x) < 0
0 0
to w punkcie x0 funkcja f ma maksimum lokalne właściwe.
Pochodne funkcji  str. 35/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Warunek dostateczny istnienia minimum funkcji różniczkowalnej
Twierdzenie: Niech x0 " R i f będzie funkcją określoną
przynajmniej w otoczeniu punktu x0, ciągłą w punkcie x0 i
różniczkowalną przynajmniej w sąsiedztwie punktu x0. Jeżeli
istnieje � > 0 takie, że
"x"(x -�,x0) f (x) < 0 oraz "x"(x ,x0+�) f (x) > 0
0 0
to w punkcie x0 funkcja f ma minimum lokalne właściwe.
Pochodne funkcji  str. 36/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
II warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej
Twierdzenie: Niech x0 " R i f będzie funkcją określoną
przynajmniej w otoczeniu punktu x0. Jeżeli
f (x0) = f (x0) = . . . = f(n-1)(x0) = 0 ,
f(n)(x0) = 0 ,

to, gdy n > 2 jest parzyste , funkcja f osiąga w punkcie x0
ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to minimum, gdy
f(n)(x0) > 0, zaś maksimum gdy f(n)(x0) < 0. Gdy n jest
nieparzyste, ekstremum nie występuje.
Pochodne funkcji  str. 37/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Minimum globalne
Liczba m jest najmniejszą wartością funkcji f
na zbiorze A ą" Df, jeżeli istnieje punkt x0 " A, taki że
f(x0) = m
i dla każdego x " A
f(x) f(x0) = m .
Liczbę m nazywamy
minimum globalnym funkcji f na zbiorze A.
Pochodne funkcji  str. 38/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Maksimum globalne
Liczba M jest największą wartością funkcji f
na zbiorze A ą" Df, jeżeli istnieje punkt x0 " A, taki że
f(x0) = M
i dla każdego x " A
f(x) f(x0) = M .
Liczbę M nazywamy
maksimum globalnym funkcji f na zbiorze A.
Pochodne funkcji  str. 39/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Ekstrema globalne
Minimum i maksimum globalne nazywamy
EKSTREMAMI GLOBALNYMI.
Pochodne funkcji  str. 40/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Ekstrema globalne
Niech A = a, b ą" R i f : A R. Niech f ma pochodną
właściwą lub niewłaściwą poza skończoną liczbą punktów
przedziału A. Ponadto niech f ma skończoną liczbę punktów
krytycznych, tzn. punktów xk, w których f (xk) = 0 lub f (xk)
nie istnieje.
Jeżeli f jest funkcją ciągłą na domkniętym i ograniczonym
zbiorze A, to funkcja f osiąga na A wartość najmniejszą i
największą.
Pochodne funkcji  str. 41/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Algorytm znajdowania ekstremów globalnych funkcji
Niech A = a, b ą" R i f : A R. Niech f ma pochodną
właściwą lub niewłaściwą poza skończoną liczbą punktów
przedziału A. Ponadto niech f ma skończoną liczbę punktów
krytycznych, tzn. punktów xk, w których f (xk) = 0 lub f (xk)
nie istnieje.
Ekstremów globalnych funkcji f na przedziale A szukamy
postępując według algorytmu:

Znajdujemy wszystkie punkty krytyczne wewnątrz przedziału
A i obliczmy wartości funkcji w tych punktach.

Obliczmy f(a) i f(b).

Porównujemy otrzymane wartości funkcji znajdując wartość
najmniejszą i największą.
Pochodne funkcji  str. 42/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Przykład
Niech f : A �" R R i
f(x, y) = |x - 1|,
gdzie A = 0, 3 .

x = 1 jest punktem krytycznym funkcji f, gdyż f (1) nie
f(1) = 0
istnieje. Wtedy f(1) = 0
f(1) = 0.

f(0) = 1 f(3) = 2
f(0) = 1 i f(3) = 2
f(0) = 1 f(3) = 2.

Wówczas m = fnajmniejsze = 0 i M = fnajwiększe = 2.
Pochodne funkcji  str. 43/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Zastosowanie pochodnych do obliczanie granic funkcji
Twierdzenie (Reguła de l Hospitala):
Niech funkcje f i g spełniają warunki:
funkcje f,g i f , g będą określone w sąsiedztwie punktu x0
lim f(x) = lim g(x) = 0 albo lim f(x) = lim g(x) = "
xx0 xx0 xx0 xx0
f (x)
istnieje granica lim = a .
xx0
g (x)
f(x)
Wówczas istnieje granica lim oraz
xx0
g(x)
f(x)
lim = a .
xx0
g(x)
Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również dla granic jednostronnych, niewłaściwych oraz dla granic w
+" lub w -".
Pochodne funkcji  str. 44/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Funkcja wypukła
Funkcje f nazywamy wypukłą na przedziale (a, b) ą" R wtedy i
tylko wtedy, gdy
"a1
Uwaga: Geometrycznie funkcja jest wypukła, jeżeli każdy
odcinek siecznej wykresu leży powyżej fragmentu wykresu
położonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna.
Pochodne funkcji  str. 45/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Funkcja wklęsła
Funkcje f nazywamy wklęsłą na przedziale (a, b) ą" R wtedy i
tylko wtedy, gdy
"a tf(x1) + (1 - t)f(x2) .
1
Uwaga: Geometrycznie funkcja jest wklęsła, jeżeli każdy
odcinek siecznej wykresu leży poniżej fragmentu wykresu
położonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna.
Pochodne funkcji  str. 46/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Warunki wystarczające wypukłości i wklęsłości
Twierdzenie:
Jeżeli f (x) > 0 dla każdego x " (a, b), to funkcja f jest
wypukła na (a, b).
Twierdzenie:
Jeżeli f (x) < 0 dla każdego x " (a, b), to funkcja f jest wklęsła
na (a, b).
Pochodne funkcji  str. 47/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Punkt przegięcia wykresu funkcji
Niech funkcja f będzie określona i różniczkowalna przynajmniej
w otoczeniu punktu x0. Punkt (x0, f(x0)) nazywamy
punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje liczba � > 0, taka że funkcja f jest wypukła na
(x0 - �, x0) oraz wklęsła na (x0, x0 + �) lub odwrotnie.
Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia:
Twierdzenie: Jeżeli funkcja f posiada pochodną drugiego rzędu
w punkcie x0 oraz posiada w punkcie (x0, f(x0)) punkt
przegięcia, to f (x0) = 0.
Pochodne funkcji  str. 48/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia
Twierdzenie:
Niech x0 " R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w
otoczeniu punktu x0, ciągłą i różniczkowalną w punkcie x0. Jeżeli
istnieje � > 0 takie, że
"x"(x -�,x0) f (x) < 0 oraz "x"(x ,x0+�) f (x) > 0
0 0
lub
"x"(x -�,x0) f (x) > 0 oraz "x"(x ,x0+�) f (x) < 0
0 0
to w punkcie (x0, f(x0)) funkcja f ma punkt przegięcia.
Pochodne funkcji  str. 49/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
II warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia
Twierdzenie:
Niech x0 " R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w
otoczeniu punktu x0.
Jeżeli
f (x0) = f (x0) = . . . = f(n-1)(x0) = 0 ,
f(n)(x0) = 0 ,

to, gdy n > 3 jest nieparzyste , funkcja f ma w punkcie
(x0, f(x0)) punkt przegięcia..
Pochodne funkcji  str. 50/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Pochodne a wykres funkcji
f + +   + 
f +  +  0 0
f
min. lok max. lok
Uwaga: Jeżeli f (x0) = 0 i f (x0) = 0, to x0 jest punktem

przegięcia wykresu funkcji f.
Pochodne funkcji  str. 51/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Badanie funkcji
Przez badanie przebiegu zmienności funkcji i sporządzanie jej wykresu rozumiemy wykonanie
następujących czynności:
1. Wyznaczenie dziedziny funkcji.
2. Wskazanie podstawowych własności:
(a) parzystość lub nieparzystość
(b) okresowość
(c) miejsca zerowe funkcji (punkty przecięcia wykresu funkcji z osią OX) i punkty przecięcia
wykresu funkcji z osią OY
(d) ciągłość
3. Zbadanie zachowania się funkcji na "końcach" dziedziny - wyznaczenie asymptot wykresu funkcji.
4. Zbadanie pierwszej pochodnej - monotoniczność i ekstrema funkcji.
5. Zbadanie drugiej pochodnej - przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia wykresu
funkcji.
6. Sporządzenie wykresu funkcji.
Pochodne funkcji  str. 52/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Przykład
Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wykres funkcji f danej
wzorem:
x3 + 4
f(x) = .
x2
1. Df = R \ {0} = (-", 0) *" (0, +").
2. Podstawowe własności funkcji f:
(a) funkcja f nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
(b) f nie jest funkcją okresową.
"
3
(c) f(x) = 0 �! x3 + 4 = 0 �! x = - 4, zatem
"
3
P0(- 4, 0) jest punktem przecięcia wykresu funkcji z osią
OX; brak punktów przecięcia wykresu funkcji z osią OY .
(d) f jest ciągła w swojej dziedzinie.
Pochodne funkcji  str. 53/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
x3+4
Przykład c.d. f(x) =
x2
3. Ponieważ
x3 + 4 4
lim = = +",
x0
x2 0+
więc prosta x = 0 jest asymptotą pionową obustronną
wykresu funkcji f.
Ponieważ
x3 + 4
lim = ą",
xą"
x2
więc wykres funkcji f nie ma asymptot poziomych.
Pochodne funkcji  str. 54/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
x3+4
Przykład c.d. f(x) =
x2
Zbadajmy istnienie asymptot ukośnych y = ax + b:
4
1 +
f(x) x3 + 4
x3
a = lim = lim = lim = 1,
xą" xą" xą"
x x3 1
x3 + 4
b = lim [f(x) - ax] = lim - x
xą" xą"
x2
x3 + 4 - x3 4 4
= lim = lim = = 0.
xą" xą"
x2 x2 "
Istnieje więc jedna asymptota ukośna o równaniu
y = x .
Pochodne funkcji  str. 55/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
x3+4
Przykład c.d. f(x) =
x2
4. Monotoniczność i ekstrema:
8 x3 - 8
f (x) = 1 - = , x = 0.

x3 x3
f
+ - +
f
f (x) = 0 �! x = 2.
2lok
0
min.
Ponadto fmin(2) = 3 .
Pochodne funkcji  str. 56/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
x3+4
Przykład c.d. f(x) =
x2
5. Wklęsłość i wypukłość:
24
f (x) = , x = 0.

x4
Zauważmy, że dla każdego x = 0 mamy f (x) > 0.

f
+ +
f
0
Zatem wykres nie posiada punktów przegięcia  jest to wykres
wypukły.
Pochodne funkcji  str. 57/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
x3+4
Przykład c.d. f(x) =
x2
" " "
3 3 3
x -", - 4 - 4 - 4, 0 0 (0, 2) 2 (2, +")
f + + + � + + +
f + + + �  2 
y = x
+" +"
f 0 � 3
y = x
Pochodne funkcji  str. 58/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
x3+4
Przykład c.d. f(x) =
x2
6.
y
x3 + 4
6
y =
x2
3
"
3
- 4
x
-4 -2 2 4 6
-3
Pochodne funkcji  str. 59/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010
Dziękuję za uwagę
Pochodne funkcji  str. 60/60
AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010