Wzory na obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej
Pochodne podstawowych funkcji elementarnych:
1
2 2
(c) = 0 (pochodna stałej) (arctan x) =
2
(ex ) = ex
x2+1
-1
x x
2
(arccot x) =
2 2
(xÄ… ) = Ä… Å" xÄ… -1 (a ) = a ln a, a > 0, a `" 1
x2+1
1
2 2
(sin x) = cos x (sinh x) = cosh x
2
(ln x) =
x
1
2 2 2
(cos x) = -sin x (loga x) = (cosh x) = sinh x
xlna
1
1 1
2
2 (arcsin x) = 2
(tan x) = (tanh x) =
cos2 x 1-x2 cosh2 x
-1 -1
-1
2
2 (arccos x) = 2
(cot x) = (coth x) =
sin2 x 1-x2 sinh2 x
2
PrzykÅ‚adowo, ponieważ (xÄ… ) = Ä… Å" xÄ… -1 , to w szczególnoÅ›ci:
1
2 2 2
jeśli y = x , to y = 1; jeśli y = x2 , to y = 2x ; jeśli y = x , to y = ;
2 x
1 -1
2
jeśli y = = x- 1, to y = -x- 2 = .
x
x2
2
Pochodna funkcji pomnożonej przez staÅ‚Ä…: (Ä… Å" f (x))2 = Ä… Å" f (x) .
2 2
Pochodna sumy funkcji: ( f (x) + g(x))2 = f (x) + g (x) .
2 2
Pochodna iloczynu funkcji: ( f (x) Å" g(x))2 = f (x) Å" g(x) + f (x) Å" g (x) .
2
2 2
ëÅ‚ f (x) öÅ‚ f (x) Å" g(x) - f (x) Å" g (x)
Pochodna ilorazu funkcji: ìÅ‚ ÷Å‚ = .
ìÅ‚ ÷Å‚
g(x) (g(x))2
íÅ‚ Å‚Å‚
Pochodna funkcji złożonej:
2 2 2
jeżeli y = f (g(x) , to y = f (g(x)) Å" g (x) .
Przykładowo:
2
JeÅ›li y = x2 Å" sin x , to y = 2x Å" sin x + x2 Å" cos x (pochodna iloczynu);
3x 3sin x-3x cos x
2
Jeśli y = , to y = (pochodna ilorazu);
sin x
sin2 x
1 2x-5
2
Jeśli y = x2 - 5x , to y = (2x - 5) = (pochodna funkcji złożonej).
2 x2 -5x 2 x2 -5x