Monotoniczność funkcji
Twierdzenie 1. Niech I oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego x " I
funkcja f spełnia warunek:
1. f (x) = 0, to jest stała na I;
2. f (x) > 0, to jest rosnÄ…ca na I;
3. f (x) < 0, to jest malejÄ…ca na I;
4. f (x) e" 0, to jest niemalejÄ…ca na I;
5. f (x) d" 0, to jest nierosnÄ…ca na I.
Zastosowania twierdzenia
1. Dowodzenie tożsamości np. sin2x + cos2x = 1.
2. Dowodzenie nierówności np. sin x < x, dla x > 0.
3. Badanie monotoniczności funkcji np. wyznaczyć przedziały monotonicz-
2
ności funkcji y = e-x .
Ekstrema lokalne
Definicja 1. Funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne właściwe, gdy
(x " (x0 - ´, x0 + ´) '" x = x0) Ò! f(x) < f(x0).

x
´>0
Analogicznie
Definicja 2. Funkcja f ma w punkcie x0 minimum lokalne właściwe, gdy
(x " (x0 - ´, x0 + ´) '" x = x0) Ò! f(x) > f(x0).

´>0 x
Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne oraz
pochodnÄ… f (x0), to f (x0) = 0.
Uwaga:
1) Funkcja może mieć ekstremum i nie mieć pochodnej - np. y = |x| w x0 = 0.
2) Funkcja może nie mieć ekstremum choć pochodna f (x0) = 0. - np. y = x3
w x0 = 0.
Warunek ten pozwala na wyszukiwanie punktów, w których funkcja może
mieć ekstremum lokalne, gdyż funkcja może mieć ekstrema jedynie w punktach,
w których f się zeruje lub , w których f nie istnieje.
Weryfikację czy tak rzeczywiście jest umożliwiają warunki wystarczające.
Twierdzenie 3. Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f (x0) = 0 ( lub funkcja jest ciągła w x0)
2. ´ > 0 taka, że
" f (x0) > 0 dla każdego x " S(x-, ´) (t.j f Ä™!),
0
" f (x0) < 0 dla każdego x " S(x+, ´) (t.j f “!),
0
to funkcja ma w punkcie x0 maksimum lokalne właściwe.
Twierdzenie 4. Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f (x0) = 0 ( lub funkcja jest ciągła w x0)
2. ´ > 0 taka, że
" f (x0) < 0 dla każdego x " S(x-, ´) (t.j f “!),
0
" f (x0) > 0 dla każdego x " S(x+, ´) (t.j f Ä™!),
0
to funkcja ma w punkcie x0 minimum lokalne właściwe.
Ekstrema globalne.
Niech funkcja f(x) będzie określona na przedziale domkniętym [a, b].
Przez największą wartość funkcji rozumiemy największą ze wszystkich wartości,
a przez wartość najmniejszą - najmniejszą ze wszystkich wartości, które funkcja
przyjmuje na tym przedziale.
Uwagi:
1. Funkcja może mieć tylko jedną wartość największą i najmniejszą.
2. Wartości największej i najmniejszej można także szukać w przedziale
otwartym (a, b) lub w przedziale nieskończonym. Wtedy jednak funkcja może
nie posiadać ekstremów globalnych, a jedynie kresy górny lub dolny.
Szukanie ekstremów globalnych.
Niech funkcja f(x) będzie ciągła i różniczkowalna w przedziale [a, b] lub niech
f(x) będzie ciągła w [a, b] i różniczkowalna w przedziale [a, b] poza skończoną
liczbą punktów, w których pochodna właściwa nie istnieje.
I. Znajdujemy punkty wewnątrz przedziału [a, b], w których spełniony jest
warunek konieczny istnienia ekstremum i obliczamy wartości jakie funkcja przyj-
muje w tych punktach.
II. Obliczamy wartości jakie funkcja przyjmuje w tych punktach, w których
pochodna właściwa nie istnieje (a funkcja jest określona).
III. Obliczamy wartości funkcji na końcach przedziału, czyli f(a) i f(b)
IV. Porównujemy otrzymane wartości: największa z nich jest wartością naj-
większą, a najmniejsza - wartością najmniejszą funkcji f w przedziale [a, b]
Jeśli przedział jest otwarty w III liczymy granice na końcach przedziałów i
porównując w IV sprawdamy, czy wartość najmniejsza i największa jest osią-
galna wewnÄ…trz (a, b).
Wklęsłość i wypukłość funkcji
Twierdzenie 5. Jeżeli dla każdego x " (a, b) funkcja f spełnia warunek:
1. f (x) > 0, to jest ściśle wypukła na (a, b);
2
2. f (x) < 0, to jest ściśle wklęsła na (a, b).
Punkty przegięcia wykresu funkcji .
Twierdzenie 6. Jeżeli punkt (x0, f(x0)) jest punktem przegięcia wykresu funk-
cji oraz istnieje f (x0), to f (x0) = 0.
Uwaga:
2) Punkt (x0, f(x0)) może nie być punktem przegięcia choć pochodna f (x0) =
0. - np. y = x4 w x0 = 0.
UWAGA: Funkcja może mieć punkty przegięcia jedynie w punktach, w któ-
rych f się zeruje lub , w których f nie istnieje.
Twierdzenie 7. Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f ma w punkcie x0 pochodną właściwą lub niewłaściwą
2. ´ > 0 taka, że
" f (x0) > 0 dla każdego x " S(x-, ´) ,
0
" f (x0) < 0 dla każdego x " S(x+, ´) ,
0
(lub nierówności dla f są odwrotne), to punkt (x0, f(x0)) jest punktem prze-
gięcia wykresu funkcji f.
3