ZASTOSOWANIE POCHODEJ I BADANIE FUNKCJI
Zad. 1. Wyznaczyć równanie stycznej do krzywej w podanym punkcie:
ln x
1. f (x)= ln(x2 + e), (0, f (0)) 3. y = 2xex , x0 = 2
2. f (x)= , (e, f (e))
x
Zad. 2.Stosując różniczkę funkcji jednej zmiennej obliczyć wartość przybliżoną wyrażeń:
3
2. log11
1. 1,02
(0,95)2 -1
3. .
(0,95)2 + 1
Zad. 3. Stosując twierdzenie de L Hospitala obliczyć granice funkcji:
x
x - sin x x 1
öÅ‚
e -1
3. limëÅ‚ - ÷Å‚
2. lim ìÅ‚
1. lim
x-1
x0 ln x ln x
x0 x - tgx íÅ‚ Å‚Å‚
sin 2x
Ä„x
1
ln(cos2 x) öÅ‚
4. lim(1- x)tg
6. lim x lnëÅ‚1+ sin
5. lim ìÅ‚ ÷Å‚
x1
2
2
x"
x0
x
íÅ‚ Å‚Å‚
(sin x)
tgx 1
1
7. lim (sin x) îÅ‚ Å‚Å‚
-
1 x2
ëÅ‚ öÅ‚
Ä„
ïÅ‚ x-2
x 8. lim 9. lim (x - 2)e - xśł
ìÅ‚ ÷Å‚
2
x"
ïÅ‚ śł
x x"
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Zad. 4. Wyznaczyć asymptoty funkcji:
1
öÅ‚
1. y = x ln x
3. y = x + x2 + 1
2. y = x lnëÅ‚e +
ìÅ‚ ÷Å‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚
Zad. 5. Wyznaczyć ekstrema funkcji oraz zbadać jej monotoniczność:
3
1 1
2. y = 2x3 -15x2 + 36x -14
1. y = (x2 - 2x)ln x - x2 + 4x
3. y = x7 - x3
2
7 3
4. y = x - ln(1+ x) 1
5. y = x - ln(1+ x2)
6. y =
ln(x4 - 5 - 4x2)
1
x3 - x2
9. y = ln(1- x2)
x
8. y = 2x5e
x
7. y = e
10. y = x + sin 2x 2
3
12. y = ln3 x - ln x3
11. y = (x - 5) (x +1)
13. y = sin x - ln sin x
14. y = x4e-x
15. y = lnëÅ‚ x + x2 +1öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Zad. 6. Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji oraz jej punkty przegięcia:
x 1
3. y = xe- x
2. y = - 4x2 +1
1. y = -
2 x
a x
1
5. y = ln x3 + x2
( )
6. y = ln , a > 0
4. y = arctg
x a
x
2
1
7. y = x4 - 8x3 +18x2 + 64x -11
9. y = ex x3 - x
( )
8. y = arcsin
x
Zad. 7. Zbadać przebieg zmienności funkcji:
1
x
- x2
2. y = ln(x2 - x - 2)
3. y = e
2
1. y = xe
1
2x
5. y = x3 - 6x2
x
6. y = arcsin
4. y = xe
x2 +1
ln x 9. y = x - 2arctgx
8. y = x ln x
7. y =
x
2
10. y = ln cos x
11. y = x2 ln x
12. y = e1-x