Zastosowania pochodnej
Badanie monotoniczności funkcji
Twierdzenie. Niech f będzie funkcją określoną i
różniczkowalną w przedziale E. Wówczas:
- jeżeli f '(x) >ð 0 dla każdego xÎð E, to funkcja f jest w
przedziale E rosnÄ…ca,
- jeżeli f '(x) <ð 0 dla każdego xÎð E, to funkcja f jest w
przedziale E malejÄ…ca.
Przykład 1. Zbadać monotoniczność funkcji
f (x) =ð 2x3 +ð 9x2 -ð 24x +ð 5.
RozwiÄ…zanie. Dziedzina: x Îð R.
Pochodna: f '(x) =ð 6x2 +ð18x -ð 24
Rozwiążmy nierówność: f '(x) >ð 0:
6x2 +ð18x -ð 24 >ð 0
x2 +ð 3x -ð 4 >ð 0
Dð =ð b2 -ð 4ac =ð 32 -ð 4×ð1×ð (-ð4) =ð 25, Dð =ð 5,
-ð b -ð Dð -ð 3 -ð 5 -ð b +ð Dð -ð 3 +ð 5
x1 =ð =ð =ð -ð4, x2 =ð =ð =ð1
2a 2 2a 2
Wykresem pochodnej jest parabola z ramionami do góry,
zatem:
f '(x) >ð 0 gdy xÎð(-ðÄ„ð;-ð4) Èð (1;Ä„ð) oraz f '(x) <ð 0 gdy
x Îð(-ð4;1).
Odpowiedz
. Funkcja jest rosnÄ…ca w przedziale (-ðÄ„ð;-ð4)
oraz w przedziale (1;Ä„ð). Funkcja jest malejÄ…ca w
przedziale (-ð4;1).
Pojęcie ekstremum funkcji
x0 - punkt należący do dziedziny funkcji f .
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 maksimum, gdy
istnieje otoczenie U punktu x0 zawarte w dziedzinie
funkcji f i takie, że dla każdego x ÎðU różnego od x0
jest: f (x) <ð f (x0)
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 minimum, gdy
istnieje otoczenie U punktu x0 zawarte w dziedzinie
funkcji f i takie, że dla każdego x ÎðU różnego od x0
jest: f (x) >ð f (x0)
Mówimy, że w funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum,
gdy ma w tym punkcie maksimum lub minimum.
Wyznaczanie ekstremów funkcji
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w
pewnym otoczeniu punktu x0 i pochodna tej funkcji jest:
- równa zero w punkcie x0
- dodatnia w pewnym lewostronnym sÄ…siedztwie p-tu x0
- ujemna w pewnym prawostronnym sÄ…siedztwie p-tu x0
to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w
pewnym otoczeniu punktu x0 i pochodna tej funkcji jest:
- równa zero w punkcie x0
- ujemna w pewnym lewostronnym sÄ…siedztwie p-tu x0
- dodatnia w pewnym prawostronnym sÄ…siedztwie p-tu x0
to funkcja f ma w punkcie x0 minimum.
4x
PrzykÅ‚ad 2. Wyznaczyć ekstrema funkcji f (x) =ð
1+ð x2
RozwiÄ…zanie. Dziedzina: x Îð R.
Pochodna:
(4x)'×ð(1+ð x2) -ð 4x ×ð (1+ð x2)'
f '(x) =ð =ð
(1+ð x2)2
4×ð (1+ð x2) -ð 4x ×ð 2x 4 +ð 4x2 -ð 8x2 4 -ð 4x2
=ð =ð =ð
(1+ð x2)2 (1+ð x2)2 (1+ð x2)2
Rozwiążmy równanie: f '(x) =ð 0, czyli
4 -ð 4x2 =ð 0
x2 =ð1
x1 =ð -ð1, x2 =ð1
Mianownik pochodnej jest dodatni, zaÅ› wykresem licznika
pochodnej jest parabola z ramionami do dołu, zatem:
f '(x) <ð 0 gdy xÎð(-ðÄ„ð;-ð1) Èð (1;Ä„ð) oraz f '(x) >ð 0 gdy
xÎð(-ð1;1).
Wyniki obliczeń możemy zilustrować w tabeli:
& & &
x
-ð1 1
-ð Ä„ð Ä„ð
f '(x)
 + 
0 0
f (x)
mal. min. ros. max. mal.
Odpowiedz
. W punkcie x =ð -ð1 funkcja ma minimum, zaÅ›
w punkcie x =ð1 funkcja ma maksimum.
ex
PrzykÅ‚ad 3. Wyznaczyć ekstrema funkcji f (x) =ð
x
RozwiÄ…zanie. Dziedzina: x Ä…ð 0.
(ex)'×ðx -ð ex ×ð (x)' xex -ð ex ex(x -ð1)
Pochodna: f '(x) =ð =ð =ð
x2 x2 x2
Rozwiążmy równanie: f '(x) =ð 0. Ponieważ dla każdego x
jest: ex >ð 0, zatem:
x -ð1=ð 0
x =ð1
StÄ…d (z uwzglÄ™dnieniem dziedziny): f '(x) <ð 0 gdy
xÎð(-ðÄ„ð;0) Èð (0;1) oraz f '(x) >ð 0 gdy xÎð(1;Ä„ð).
Wyniki obliczeń możemy zilustrować w tabeli:
& & &
x 0
1
-ð Ä„ð Ä„ð
f '(x)
  +
0
´ð
f (x)
mal. mal. min. ros.
´ð
Odpowiedz
. W punkcie x =ð1 funkcja ma minimum.
Reguła de l Hospitala. Jeżeli:
1. Funkcje f i g są różniczkowalne w pewnym
sÄ…siedztwie punktu x0
2. lim f (x) =ð lim g(x) =ð 0 lub
x®ðc x®ðc
lim f (x) =ð lim g(x) =ð Ä„ð
x®ðc x®ðc
f '(x)
3. Istnieje granica lim
g '(x)
x®ðc
f (x) f '(x)
to lim = lim
g(x) g '(x)
x®ðc x®ðc
Uwaga: c może oznaczać liczbÄ™ lub Ä„ð lub -ð Ä„ð
H
x3 -ð x -ð 6 3x2 -ð1 11
éð0Å‚ð
PrzykÅ‚ad 4. lim =ð =ð lim =ð
Ä™ð0Å›ð
2x 4
x®ð2 x®ð2
ëð ûð
x2 -ð 4
H
ex -ð cos x ex +ð sin x 1
éð0Å‚ð
PrzykÅ‚ad 5. lim =ð =ð lim =ð
Ä™ð0Å›ð
5x +ð 3sin x 5 +ð 3cos x 8
x®ð0 x®ð0
ëð ûð
Przykład 6.
1+ð ex éðÄ„ðÅ‚ð H ex éðÄ„ðÅ‚ð H ex éðÄ„ðÅ‚ð
lim =ð =ð lim =ð =ð lim =ð =ð Ä„ð
Ä™ðÄ„ðÅ›ð Ä™ðÄ„ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
2x 2 2
x®ðÄ„ð x®ðÄ„ð x®ðÄ„ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð
x2