Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Krzysztof Rębilas
DEFINICJA POCHODNEJ A
atwo sprawdzić, że znaleziony przez nas wynik na po-
chodną funkcji f(x) = x2 (wzór (4)) jest szczególnym
przypadkiem ogólnego wzoru (6), w którym należy pod-
Pochodna funkcji f(x) w punkcie x określona jest jako
stawić n = 2. Dla przykładu obliczmy jeszcze pochod-
granica:
nÄ… funkcji f(x) = x4. KorzystajÄ…c z wzoru (6), mamy:
f(x + "x) - f(x) (x4)2 = 4x3.
lim . (1)
Użyteczne są również wzory pozwalające obliczać po-
"x0 "x
chodne wyrażeń złożonych będących iloczynem stałej a
Oznaczamy jÄ… symbolami:
i funkcji f, sumą lub różnicą dwóch funkcji f i g oraz
iloczynem lub ilorazem funkcji f i g:
df
f2 (x) lub . (2)
dx
(a · f)2 =a · (f)2 (10)
Dla przykładu obliczmy pochodną funkcji f(x) = x2. Na
podstawie definicji (1) mamy:
(f Ä… g)2 =f2 Ä… g2 (11)
df (x + "x)2 - x2
= lim =
dx "x0 "x
(f · g)2 =f2 · g + f · g2 (12)
( )
x2 + 2x"x + ("x)2 - x2
( )2
= lim =
f f2 · g - f · g2
"x0 "x
= (13)
g g2
2x"x + ("x)2
= lim =
"x0 "x
Wzór (10) wykorzytujemy na przykład dla oblicznia
= lim (2x + "x) = 2x. (3)
pochodnej funkcji f(x) = 4x3:
"x0
Otrzymany wynik na pochodnÄ… funkcji f(x) = x2 zapi-
(4x3)2 = 4(x3)2 = 4 · 3x2 = 12x2. (14)
sujemy w postaci:
Wzór (11) jest użyteczny na przykład w następującym
(x2)2 = 2x (4)
przypadku:
W podobny sposób można na podstawie definicji (1)
(2x3 + 6x5)2 = (2x3)2 + (6x5)2 = 2 · 3x2 + 6 · 5x4. (15)
znalez
ć wzory na pochodne podstawowych fukcji mate-
matycznych. Poniżej przedstawiamy gotowe rezultaty ob-
Wzór (11) zastosowaliśmy identyfikując odpowiednie
liczeń dla wybranych funkcji (a oraz n oznaczają stałe):
funkcje jako: f = 2x3 oraz g = 6x5. Ostatnia równość
w powyższym równaniu wynika z wzorów (6) i (10).
Poniżej mamy przykład zastosowania wzoru (12):
(a)2 =0 (5)
(x3 · sin x)2 = (x3)2 · sin x + x3 · (sin x)2 =
(xn)2 =n · xn-1 (6)
= 3x2 · sin x + x3 · cos x, (16)
gdzie odpowiednie funkcje mają postać: f = x3 oraz g =
(sin x)2 = cos x (7)
sin x.
(cos x)2 = - sin x (8)
1
(ln x)2 = (9)
x
2
Wzór (13) należy zastosować w przypadku: RÓŻNICZKA FUNKCJI
( )2
2x4 - 7x
Różniczka funkcji df przy zmianie jej argumentu o "x
=
3x2 + x3
określona jest jako iloczyn pochodnej df/dx i zmiany "x,
czyli:
(2x4 - 7x)2 · (3x2 + x3) - (2x4 - 7x) · (3x2 + x3)2
df
= =
df = "x. (17)
(3x2 + x3)2
dx
Zauważmy, że różniczka funkcji df jest równa zmianie
(2 · 4x3 - 7) · (3x2 + x3) - (2x4 - 7x) · (3 · 2x + 3x2)
= = ...,
wartości stycznej w punckie x następującej na odcinku
(3x2 + x3)2
od x do x + "x (patrz Rys. (2)). Wynika to stąd, że
gdzie przyjęliśmy f = 2x4 - 7x oraz g = 3x2 + x3. zmiana wartości stycznej o równaniu y = ax + b wyno-
si "y = a"x, a współczynnik kierunkowy stycznej, jak
pokazano powyżej, ma wartość pochodnej: a = df/dx li-
GEOMETRYCZNA INTERPRETACJA
czonej w miejscu x.
POCHODNEJ
Na podstawie Rys. (2) można się przekonać, że dla ma-
W definicji pochodnej (1) występuje stosunek zmiany
f
wartości funkcji "f = f(x+"x)-f(x) do zmiany warto-
ści argumentu "x. Na Rys. (1) pokazano wykres funkcji
f
y=ax+b
f(x+ x)
f
y=ax+b
df
P
f(x)
R
f(x+ x)
P
x
x x+ x
f(x)
Rysunek 2. Graficzne przedstawienie różniczki funkcji df.
łych wartości "x różniczka funkcji df jest bardzo dobrym
x
x x+ x
przybliżeniem zmiany wartości funkcji "f:
Rysunek 1. Sieczna przechodzÄ…ca przez punkty P i R w gra-
<"
"f df. (18)
=
nicy "x 0 staje siÄ™ stycznÄ… do wykresu w punkcie x.
A zatem, stosując powyższe przybliżenie, zmianę warto-
f(x), na którym zaznaczono sieczną przecinającą funkcję
[ ] [ ]
ści funkcji "f przy zmianie argumentu o "x możemy
w punktach P = x, f(x) i R = x + "x, f(x + "x) .
obliczać z wzoru:
Sieczna jako prosta opisana jest równaniem postaci y =
ax + b, gdzie a to tzw. współczynnik kierunkowy prostej,
df
<"
"f "x. (19)
=
którego wartość dana jest przez stosunek a = "y/"x. Na
dx
podstawie Rys. (1) widzimy, że iloraz "f/"x to właśnie
współczynnik kierunkowy siecznej przecinającej wykres
PRZYKA
AD
funkcji w punktach P i R.
W granicy "x 0 punkty P i R zlewajÄ… siÄ™ i siecz-
Przybliżenie (19) wykorzystujemy przy obliczaniu błę-
na staje siÄ™ stycznÄ… do wykresu w punkcie P . Oznacza
dów pomiarowych wielkości mierzonych pośrednio. Na
to, że w granicy "x 0 stosunek "f/"x (czyli po-
przykład chcąc wyznaczyć objętość kuli mierzymy jej
chodna funkcji) staje się współczynnikiem kierunkowym
promień r i wstawiamy do wzoru:
stycznej. A zatem:
4
Pochodna funkcji df/dx w punkcie x ma wartość
V = Ä„r3. (20)
3
współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu
[ ]
funkcji f poprowadzonej w punkcie P = x, f(x) .
3
W ten sposób pomiar objętości kuli jest pomiarem po- podanych wzorów (wzór (6)) i otrzymujemy:
średnim, a wielkością mierzoną bezpośrednio jest promień
( )2
r. Załóżmy, że znamy maksymalny błąd pomiaru bezpo- dV 4 4
= Ä„r3 = Ä„ · 3 · r2 = 4Ä„r2. (24)
średniego, czyli znamy "r. Pamiętamy, że oznacza to, iż
dr 3 3
prawdziwa wartość promienia r mieści się gdzieś w prze-
( )
WstawiajÄ…c ten wynik do wzoru (21), mamy::
dziale r -"r, r +"r . Stawiamy pytanie: w jakim prze-
dziale dopuszczalnych wartości znajduje się prawdziwa
wartość objÄ™toÅ›ci kuli? "V = 4Ä„r2 · "r, (25)
Jak pokazuje Rys. 3, przedziałowi możliwych warto-
co po podstawieniu wartości liczbowych daje "V = 0, 88
cm3. Ostatecznie zatem po zaokrÄ…gleniu wyniku (23):
V
V = (24, 53 Ä… 0, 88) cm3. (26)
V=4/3 r3
POCHODNA CZ
STKOWA
Dla funkcji wielu zmiennych f(x, y, z), jako uogólnienie
dV r
pojęcia pochodnej, określona jest tzw. pochodna cząst-
V
dr
kowa. Pochodna czÄ…stkowa po zmiennej x (ozn. "f/"x)
V
zdefiniowana jest jako granica:
V
"f f(x + "x, y, z) - f(x, y, z)
= lim . (27)
"x "x0 "x
Analogicznie określona jest pochodna cząstkowa po
r r
zmniennej y i po zmniennej z:
r
r
"f f(x, y + "y, z) - f(x, y, z)
Rysunek 3. Przedziałowi możliwych wartości promienia kuli
( ) = lim , (28)
"y "y0 "y
r - "r, r + "r , odpowiada pewien przedział możliwych
wartości objętości (V - "V, V + "V ). Wielkość "V moż-
na z bardzo dobrym przybliżeniem uznać za równą różniczce
"f f(x, y, z + "z) - f(x, y, z)
funkcji V (r), czyli "V = dV/dr · "r.
= lim . (29)
"z "z0 "z
ści r odpowiada pewien przedział (V - "V, V + "V ), w
Z definicji pochodnej cząstkowej wynika, że obliczanie
którym może się znajdować prawdziwa wartość objętości.
pochodnej cząstkowej po jakiejś zmiennej nie różni się
Podczas dobrze zaplanowanych pomiarów, błędy pomia-
od obliczania zwykłej pochodnej, przy czym pozostałe
rowe są zwykle niewielkie. Zakładamy więc, że błąd "r
zmienne należy w trakcie obliczania pochodnej trakto-
jest nieduży i stosując wzór (19) wielkość "V przybliża-
wać jako wielkości stałe.
my przez różniczkę funkcji V (r), czyli:
Na przykład, jeśli wykonujemy pochodną po zmien-
nej x, wówczas y i z uznajemy za stałe, czyli funkcja
dV
f(x, y, z) na czas liczenia pochodnej staje siÄ™ jakby funk-
"V = "r. (21)
dr
cją tylko jednej zmennej x. Wszystkie podane wcześniej
wzory (5)-(13) na pochodne funkcji jednej zmiennej majÄ…
Tak określona wartość "V wyznacza nam tzw. błąd mak-
zatem zastosowanie również przy obliczaniu pochodnych
symalny pomiaru objętości.
czÄ…stkowych.
Wykonajmy obliczenia dla przykładowych wartości
Podajmy kilka przykładów obliczania pochodnej
liczbowych. Niech w wyniku pomiaru uzyskana wartość
czÄ…stkowej.
promienia i błąd pomiaru wynoszą:
r = 2, 64 cm, "r = 0, 01 cm. (22)
Ze wzoru (20) otrzymujemy wtedy:
V = 24, 53299 cm3. (23)
Aby oszacować błąd "V najpierw znajdujemy wzór na
pochodną dV/dr. W tym celu korzystamy z tabeli wyżej
4
Przykład 1: Przykład 3:
xy
f = x2 + y3 + z4
f =
x + y
"f " " "
= (x2) + (y3) + (z4) = " "
(xy) · (x + y) - (xy) · (x + y)
"f
"x "x "x "x "x "x
= =
"x (x + y)2
= 2x + 0 + 0 = 2x,
(y) · (x + y) - (xy) · (1 + 0) y2
= = ,
(x + y)2 (x + y)2
"f " " "
= (x2) + (y3) + (z4) =
"y "y "y "y
" "
(xy) · (x + y) - (xy) · (x + y)
"f
"y "y
= =
= 0 + 3y2 + 0 = 3y2,
"y (x + y)2
"f " " "
(x) · (x + y) - (xy) · (0 + 1) x2
= (x2) + (y3) + (z4) =
= = .
"z "z "z "z
(x + y)2 (x + y)2
"
Przy liczeniu pochodnej (xy) skorzystaliśmy z wzoru
"x
= 0 + 0 + 4z3 = 4z3.
(6). Dzięki temu, pamiętając że y jest traktowane teraz
" "
WykorzystaliÅ›my tu wÅ‚asność (11), że pochodna sumy jak staÅ‚a, mamy: (xy) = y · (x) = y · 1 = y. Analo-
"x "x
"
jest sumą pochodnych, oraz fakt, że pochodna ze stałej
gicznie postąpiliśmy licząc pochodną cząstkową (xy),
"y
wynosi zero. " "
co daÅ‚o nam w wyniku: (xy) = x · (y) = x · 1 = x.
"y "y
Przykład 2:
RÓŻNICZKA ZUPEA
NA FUNKCJI
x2 + y3
f =
y4 + z5
Różniczką zupełną df funkcji f(x, y, z) nazywamy wy-
rażenie:
( ) ( )
"f " x2 " y3
= + =
"f "f "f
"x "x y4 + z5 "x y4 + z5
df = "x + "y + "z. (30)
"x "y "z
1 " 2x Jak widać jest to uogólniennie pojęcia różniczki funkcji
= (x2) + 0 = ,
dla funkcji wielu zmiennych.
y4 + z5 "x y4 + z5
Jeżeli zmiana argumentów funkcji "x, "y, "z jest nie-
wielka, wówczas różniczka zupełna funkcji df jest bardzo
" "
(x2 + y3) · (y4 + z5) - (x2 + y3) · (y4 + z5)
"f
"y "y dobrym przybliżeniem zmiany wartości funkcji "f wy-
= =
"y (y4 + z5)2 wołanej zmianą wartości jej argumentów, czyli:
"f "f "f
<"
"f "x + "y + "z. (31)
=
(3y2) · (y4 + z5) - (x2 + y3) · (4y3)
"x "y "z
= ,
(y4 + z5)2
ZASTOSOWANIE RÓŻNICZKI ZUPEA
NEJ W
" "
(x2 + y3) · (y4 + z5) - (x2 + y3) · (y4 + z5)
"f
"z "z RACHUNKU BA

DÓW POMIAROWYCH
= =
"z (y4 + z5)2
Przybliżenie (31) wykorzystywane jest w rachunku błę-
dów pomiarowych. Niech jakaś wielkość fizyczna dana
0 · (y4 + z5) - (x2 + y3) · (5z4) -(x2 + y3) · (5z4)
= = .
(y4 + z5)2 (y4 + z5)2 jest poprzez wyrażenie funkcyjne od wielkości mierzo-
nych bezpośrednio. Na przykład, używając wahadła ma-
tematycznego można wyznaczyć przyspieszenie ziemskie
Przy liczeniu pochodnej czÄ…stkowej po y i z zastosowali-
g, mierząc bezpośrednio jego długość l oraz okres T i
śmy wzór na pochodną ilorazu (13).
wstawiajÄ…c do wzoru:
4Ä„2l
g = (32)
2
T
5
Powiedzmy, że znamy maksymalne błędy pomiarowe dłu- do którego należy podstawić zmierzone wartości l i T oraz
gości "l oraz okresu "T . Jak obliczyć maksymalny błąd wartości błędów "l i "T .
wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego "g? Odwołując Ogólnie, jeśli jakaś wielkość fizyczna wyraża się w for-
się do przykładu z wyznaczaniem objętości poprzez po- mie zależności funkcyjnej f(x, y, z) od mierzonych bez-
miar promienia, wydawać by się mogło, że należy, na pośrednio wielkości x, y, z, które znamy z błędem mak-
zasadzie uogólnienia wzoru (21), zastosować teraz wzór symalnym, odpowiednio "x, "y, "z, wówczas błąd mak-
(31), czyli: symalny "f określamy wzorem:
"g "g
"g = "l + "T wzór błędny! (33)

"l "T

"f "f "f

"f = "x + "y + "z. (36)

Z pewnych wzgledów powyższy wzór nie jest jednak po-
"x "y "z
prawnym wzorem na błąd maksymalny "g.
Otóż błędy "l i "T są z założenia wielkościami do-
datnimi. Wzór (33) jest poprawnym wzorem na zmianę
W stosunku do wzoru na różniczkę zupełną mamy tu-
funkcji g(l, T ) właśnie przy zmianie argumentów o +"l
taj wartości bezwzględne pochodnych cząstkowych, bo-
i +"T . Tymczasem zmierzone wartości l i T mogą się
wiem przy szacowaniu błędu maksymalnego "f zakła-
różnić od rzeczywistych wartości długości nici i okresu
damy sytuacjÄ™ najmniej korzystnÄ…, kiedy to przyczynki
o ą"l i ą"T . W zależności od wyboru znaku przy "l
pochodzące od błędów ą"x, ą"y, ą"z się kumulują.
i "T , uzyskujemy różne wyniki na zmianę funkcji "g.
Obliczanie błędu maksymalnego za pomoca wzoru
Niestety nie wiemy jaka jest wartość rzeczywista mierzo-
(36) nazywa sie metodą różniczki zupełnej.
nych wielkości fizycznych l i T , więc nie wiemy jaki znak
wybrać. Jednakże przy pewnym wyborze znaków przy "l
Uwaga:
i "T , odchyłka "g przybierze wartość maksymalną. Ta
Jeśli zależność funkcyjna jest postaci:
właśnie maksymalna wartość "g określa nam błąd mak-
symalny pomiaru przyspieszenia ziemskiego g.
f(x, y, z) = kxaybzc, (37)
Oczywiście "g będzie maksymalne, gdy oba wyrazy
po prawej stronie równania (33) będą dodatnie. W na-
"g "g
4Ä„2
szym przykładzie, ponieważ = > 0 oraz = gdzie a, b, c, k to stałe, wówczas po wyliczeniu pochod-
2
"l T "T
-8Ä„2l
nych, wstawieniu do wzoru (36) i podzieleniu obustron-
< 0, "g będzie maksymalne, gdy do wzoru (33)
3
T
nym równania przez f otrzymamy:
wstawimy +"l i -"T . Jednak by uniknąć dwukrotne-
go pisania znaku  minus (przy pochodnej i przy "T ),
wzór (33) zapisujemy dla przypadku maksymalnego "g

w następujący sposób:
"f "x "y "z

= |a| + |b| + |c| . (38)


f x y z

"g "g

"g = "l + "T. (34)

"l "T
Określona wzorem (34) maksymalna możliwa odchyłka
Jest to wygodny wzór do wyliczana błędu względnego
"g zmierzonej wartości g od wartości rzeczywistej spo-
"f/f dla wielkości danych wzorem (37).
wodowana błędami ą"l i ą"T jest poprawnym osza-
Ponieważ wzór (38) można uzyskać przez zlogarytmo-
cowaniem błędu maksymalnego pomiaru przyspieszenia
wanie wzoru (37) i obustronne zróżniczkowanie, oblicza-
ziemskiego g.
nie błędu maksymalnego przy użyciu wyrażenia (38) na-
Wstawiając do wzoru (34) znalezione wyrażenia na po-
zywane jest metodÄ… pochodnej logarytmicznej.
chodne cząstkowe, otrzymujemy jawny wzór na błąd "g:


4Ä„2 -8Ä„2l

"g = "l + "T, (35)

2 3
T T