5. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej: iloraz różnicowy, pochodna funkcji w
punkcie, interpretacja geometryczna pochodnej, własności pochodnej, twierdzenie Lagrange a,
pochodne wyższych rzędów, reguła de L Hospitala.
f (x0 +� h) -� f (x0)
ó�
f (x0) =� lim
h��0
h
Wzór funkcji Pochodna funkcji Uwagi
dla
dla
ó�
(�c�� f (x))�ó� =� c�� f (x)
ó� ó�
(� f (x) +� g(x))�ó� =� f (x) +� g (x)
ó� ó�
(�f (x) -� g(x))�ó� =� f (x) -� g (x)
ó�
ć� �� ó� ó�
f (x) f (x)�� g(x) -� f (x)�� g (x)
ó� ó�
(�f (x)�� g(x))�ó� =� f (x)�� g(x) +� f (x)�� g (x) �� �� =�
�� ��
g(x) g2(x)
Ł� ł�
ó� ó�
{�f (�g(x))�}�ó� =� f (�g(x))��� g (x)
Zadanie 1. Oblicz z definicji pochodne funkcji:
a)
b)
Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, oblicz pochodną funkcji f w punkcie , gdy:
c)
d)
e)
f)
Zadanie 2. Oblicz pochodne funkcji korzystając z wzorów.
x +�1
f (x) =� x2 +� sin x
a)
j) f (x) =�
3x +� 2
x2 ��8 x5
f (x) =�
x2 +� sin x
4
x3 k) f (x) =�
b)
x +� 2
3
f (x) =� 2x�� x +� x2
7
c)
l) f (x) =� (�3x5 +� x)�
1 2 3
f (x) =� -� +�
m) f (x) =� 3x2 +� x +� 2
x2 x3 x9
d)
n) f (x) =� sin2 x
f (x) =� 3x5 +� 5x3 +�1
e)
o) f (x) =� sin x2
f) f (x) =�(�x +� x)���(�x2 +� 34 x)�
p) f (x) =� sin(�3x4 -�5x3 +� 2x -�1)�
g) f (x) =� x ��cos x
h) f (x) =� x2 ��sin x q) f (x) =� sin3 x +� x2
i) f (x) =�(�x +� x)���(�x2 +� 34 x)�
Twierdzenie de L Hospitala. Jeżeli funkcje oraz są określone w otoczeniu punktu i
albo i oraz istnieje
granica ilorazu pochodnych (właściwa lub niewłaściwa) to istnieje także granica
oraz .
Twierdzenie jest również prawdziwe dla granic, gdy x dąży do .
Zadanie 5. Oblicz granice:
c)
a)
b) d)
Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale i istnieje dla ,
to istnieje punkt taki, że
Wartość interpretujemy jako średnią szybkość zmian wartości w przedziale
Zadanie 3. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:
f (x) =� 3x5 +� 5x3 +�1
a)
b)
Pochodne wyższych rzędów
Zadanie 4. Znalez
ć pochodne drugiego, trzeciego i czwartego rzędu dla funkcji:
f (x) =� x2 +� sin x
a)
x +�1
b) f (x) =�
3x +� 2
7
c) f (x) =� (�3x5 +� x)�