MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI
2 i 3 ZMIENNYCH
ZBIORY PA
ASKIE
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
GRANICA i CI
GA
OŚĆ FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
WA
ASNOÅšCI FUNKCJI CI
GA
YCH
POCHODNA CZ
STKOWA FUNKCJI DWÓCH
ZMIENNYCH
POCHODNA FUNKCJI ZA
OŻONEJ
PA
ASZCZYZNA STYCZNA
RÓŻNICZKA ZUPEA
NA
POCHODNE CAA
KOWE i RÓŻNICZKI WYŻSZYCH
RZ
DÓW
EKSTREMUM FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
- 1 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
ZBIORY PA
ASKIE
Def.
Zbiór płaski to zbiór na płaszczyz
nie Oxy.
Def.
Otoczenie punktu Po(xo , yo) o promieniu r to zbiór punktów P(x , y) płaszczyzny
O(P0,r) ={P: P0P < r}
O(P0, r) = {(x, y): (x - x0)2 + (y - y0)2 < r2}
Def.
Sąsiedztwo punktu Po(xo , yo) o promieniu r to zbiór punktów P(x , y) płaszczyzny
S(P0, r) ={P: 0 < P0P < r}
S(P0 , r) ={(x, y) : 0 < (x - x0 )2 + (y - y0 )2 < r2}
Sąsiedztwo bez środka
Def.
Punkt P" A nazywać będziemy punktem wewnętrznym zbioru A jeżeli należy
do zbioru A pewnego otoczenia puktu P.
- 2 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
Dopełnienie Zbioru
Dopełnienie danego zbioru płaskiego to zbiór utworzony ze wszystkich punktów, które do
danego zbioru nie należą.
Punkt Brzegowy
Punkt brzegowy zbioru to punkt, w którego otoczeniu znajdują się punkty zarówno do
zbioru należące jak i nienależące.
Zbiór Spójny
Zbiór płaski nazywamy spójnym jeżeli każde dwa jego punkty można połączyć linią ciągłą
całkowicie zawartą w tym zbiorze.
Mówimy, że odcinek PQ rozcina zbiór jeżeli istnieją takie dwa jego punkty, których nie
można połączyć linią ciągłą w tym zbiorze, która by nie przecinała tego odcinka.
Zbiór Jednospójny
Zbiór spójny nazywamy jednospójnym jeżeli jego dopełnienie do całej płaszczyzny jest
zbiorem spójnym.
W przypadku, gdy zbiór jest ograniczony można podać (inną) równoważną definicję
jednospójności.
Zbiór ograniczony nazywamy jednospójnym, jeżeli każdy odcinek łączący punkty
zewnętrzne tego zbioru i przechodzący przez punkt wewnętrzny zbioru rozcina ten zbiór.
Zbiór Otwarty
Zbiorem otwartym będziemy nazywać zbiór, który zawiera tylko punkty wewnętrzne
(bez brzegu).
Obszar otwarty oznacza zbiór spójny otwarty.
Zbiór Domknięty
Zbiorem domkniętym nazywamy zbiór, który zawiera wszystkie swoje punkty brzegowe.
Obszar domknięty oznacza obszar otwarty z dołączonym brzegiem.
Obszar normalny
Obszar nazywamy normalnym względem danej osi Ox lub Oy jeżeli każda prosta
prostopadła do tej osi i przechodząca przez jego punkt wewnętrzny przecina brzeg obszaru
w dwóch punktach.
- 3 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
Zapis analityczny obszaru D normalnego względem osi Ox.
(x, y) a d" x d" b
Å„Å‚ üÅ‚
D =
òÅ‚ żł
Õ(x) d" y d" È(x)þÅ‚
ół
Przykład
Narysować i zapisać analitycznie obszar D ograniczony krzywymi
x2 + y2 = 2
y = x2
y e" 0
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚(x, y): -1 d" x d"1 ôÅ‚
D =
òÅ‚ żł
ôÅ‚ ôÅ‚
x2 d" y d" 2 -x2 þÅ‚
ół
- 4 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
Jeżeli każdemu punktowi P(x , y) zbioru płaskiego D przyporządkujemy dokładnie jedną
liczbę rzeczywistą z, to mówimy, że na zbiorze D została określona funkcja dwóch
zmiennych z = f (x , y) [ z = f(D) ].
Przykład 1
x
f(x, y) =
Wyznaczyć obszar określoności funkcji
1+sin2 x
Odp. w tym przypadku Df = R2
Przykład 2
1
f(x, y) =
Wyznaczyć obszar określoności funkcji
x2 +y2
'"
Odp. Df = { (x , y): x `" 0 y `" 0 }
Przykład 3
x
f(x, y) =
Wyznaczyć obszar określoności funkcji
y2 -x2
'"
Odp. Df = { (x , y): y `" x y `" -x }
Przykład 4
x 3
f(x, y) = arcsin + arcsin
Wyznaczyć obszar określoności funkcji
2 4
'"
Odp. Df = { (x , y): -2 d" x d" 2 -3 d" y d" 3 }
- 5 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
GRANICA i CI
GA
OŚĆ FUNKCJI DWÓCH
ZMIENNYCH
Rozważmy ciąg punktów [Po(xo , yo)] na płaszczyz
nie Oxy oraz punkt Po(xo , yo).
Powiemy, że granicą ciągu [Pn] jest punkt Po co zapiszemy:
lim Pn = Po
n"
jeżeli w dowolnym otoczeniu punktu Po znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu [Pn].
Wynika stąd, że:
lim Pn (xn , yn ) = Po(xo, yo) "! (lim xn = xo '" lim yn = yo)
n" n" n"
Def. Heinego
Mówimy, że funkcja f(x , y) posiada w pkt. Po(xo , yo) granicę równą g co zapisujemy
ëÅ‚ öÅ‚
lim f(P) = g lim f(x, y) = g
ìÅ‚(x,y)(x ,y0 ) ÷Å‚
PP0
0
íÅ‚ Å‚Å‚
lim f(P) = g Ô! {Pn}: Pn `" P0 '" Pn P0 Ò! f(Pn ) g
PP0
- 6 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
Def.
Funkcję f(P) nazwiemy ciągłą w punkcie Po jeżeli:
lim f(P) = f(P0)
PP0
Przykład
Oblicz granicÄ™
xy
lim
x2 +y2
(x,y)(0,0)
Rozpatrzmy dwa ciągi punktów
1 1
{Pn}:{Pn '(1 , )},{Pn ''(2 , )}
n n n n
Wtedy
1 1
lim f(Pn ') = limf(1 , ) =
n n 2
n" n"
1 2
lim f(Pn '') = limf(2 , ) =
n n 5
n" n"
Zatem granica nie istnieje
- 7 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
WA
ASNOÅšCI FUNKCJI CI
GA
YCH
1  Jeżeli funkcja f(P) jest ciągła w punkcie Po i f(Po) > 0 to istnieje takie otocznie Po ,
że dla każdego punktu P z tego otoczenia będzie f(P) >0.
2  Funkcja ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym odiąga w nim swoją wartość
największą i najmniejszą.
3  Funkcja f(P) ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym do którego należą
punkty P1 i P2 , przyjmuje każdą wartość pośrednią zawartą między f(P1) i f(P2).
- 8 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
POCHODNA CZ
STKOWA FUNKCJI DWÓCH
ZMIENNYCH
Rozpatrzmy funkcję z = f(x , y) określoną na obszarze D, przy czym powierzchnia S jest
obrazem geometrycznym tej funkcji.
Jeżeli w funkcji z = f(x , y) podstawimy za x = xo to krzywa k powstała przez przecięcie się
powierzchni S i płaszczyzny x = xo będzie miała równanie:
z = f(x0,y)
Å„Å‚
k :
òÅ‚x = x0
ół
Analogicznie jeżeli w funkcji z = f(x , y) podstawimy za y = yo to krzywa l powstała przez
przecięcie się powierzchni S i płaszczyzny y = yo będzie miała równanie:
z = f(x,y0 )
Å„Å‚
k :
òÅ‚y = y0
ół
- 9 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
Ponieważ funkcja z = f(x , y) jest funkcją jednej zmiennej więc możemy dla niej wyznaczyć
pochodnÄ… w pkt. x = xo.
Pochodna ta wynosi:
f(x0 + h, y0 ) - f(x0,y0)
fX'(x0,y0) = lim
h0
h
i nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych z = f(x , y) obliczoną
względem zmiennej x w punkcie (xo , yo).
Podobnie pochodnÄ…
f(x0,y0 + h)- f(x0,y0)
fY'(x0,y0) = lim
h0
h
nazywamy pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych z = f(x , y) obliczoną względem
zmiennej y w punkcie (xo , yo).
Będziemy też używać oznaczeń:
"z , "f "z , "f
,
"x "x "y "y
Zadanie
Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji
z = 2x3 +3x2y + 3y3
"z
= 6x2 - 6xy
"x
Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji
x
z = arcsin
y
"z 1 1 "z 1 -x
= =
2 2
"x "y
y2
x x
1-( )Å" y 1-( )Å"
y y
- 10 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
POCHODNA FUNKCJI ZA
OŻONEJ
Niech dana będzie w obszarze D funkcja z = f(x , y) oraz niech funkcje:
x = Åš(u,v)
y = Ć(u, v)
będą określone, ciągłe i różniczkowalne w obszarze ".
Zakładamy dodatkowo, że punkt (x , y)"D gdy punkt (u , r)" ".
Wtedy funkcję z = f(x , y) możemy traktować jako funkcję zmiennych (u , v) tj.
z = f[Ś(u,v);Ć(u, v)]
i możemy wyznaczyć jej pochodne cząstkowe:
"z "z
,
"u "v
Pochodne te są równe
"z "z "x "z "y
= Å" + Å"
"u "x "u "y "u
oraz
"z "z "x "z "y
= Å" + Å"
"v "x "v "y "v
Jeżeli funkcja z = f(x , y) jest funkcją złożoną dwóch funkcji jednej zmiennej, tzn.
x = x(t) y = y(t)
z = f( x(t) ; y(t) )
- 11 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
Wtedy funkcja z = f(x , y) jest ostatecznie funkcją jednej zmiennej t i możemy policzyć jej
pochodnÄ… z
dz
"z "z "x "z "y
z'=
= Å" + Å"
która wynosi
dt "t "x "t "y "t
Przykład
"z y
u
z = sin x = , y = u + v
Obliczyć pochodną jeżeli
funkcji
"u
x v
"z = y
y y (u+v)Å"v2 (u+v)Å"v (u+v)Å"v
v
1 1 1
(- Å"cos )Å" +( Å"sin )Å"1=(- Å"cos )Å" +( Å"cos )
x v x x u v u u
x2 u2
"u
"z
z = arctg(x - y)
Obliczyć pochodną całkowitą funkcji
"t
x et y e2t
= =
jeżeli
"z 1 1 et
Å" et + Å"(-1) Å" 2e2t = Å" (1- 2et )
=
"t 1+ (x - y)2 1+ (x - y)2 1+ (et - e2t )2
- 12 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
PA
ASZCZYZNA STYCZNA
Niech powierzchnia S dana będzie równaniem
(*) z = f(x, y)
lub
(**) F(x, y, z) = 0
i niech punkt Q(xo, yo, zo) leży na tej powierzchni:
Przez punkt Q prowadzimy krzywe leżące na powierzchni S, do tych krzywych z kolei
w punkcie Q prowadzimy proste styczne. Takich krzywych krzywych stycznych jest
oczywiście nieskończona ilość.
Jeżeli te wszystkie styczne leżą w jednej płaszczyz
nie to tę płaszczyznę nazywamy
płaszczyzną styczną do powierzchni S w punkcie Q.
Równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni S w punkcie Q ma postać:
w przypadku, gdy S dane jest równaniem (*)
fX'(x0,y0)Å"(x- x0) + fY'(x0, y0 )Å"(y- y0) - (z- z0) = 0
w przypadku, gdy S dane jest równaniem (**)
FX '(x , y0,z0)Å"(x - x0) + FY'(x0,y0, z0) Å"(y - y0) - FZ'(x0, y0, z0) Å"(z - z0) = 0
0
Zadanie 1
Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni S: z = 2x2 + y2
w punkcie Q (2 , 1 , 9).
"z "z
= 4x = 2y
i
"x "y
- 13 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
a stÄ…d
"z "z
= 2
= 8
i
"y
"x
(2,1)
(2,1)
Zatem wektor płaszczyzny stycznej do powierzchni S ma postać:
w = [ 8 , 2 , -1 ]
a płaszczyzna styczna:
Ä„ : 8(x - 2) + 2(y -1) -1(z -9) = 0
Zadanie 2
Napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni S: z2 = 16x2 + 9y2
w punkcie Q ( 1 , 1 , 5 ).
Równanie powierzchni S możemy zapisać w postaci
2 2
S:
16x2 + - =
1449y 440
424z 3
F(x , y , z)
Obliczamy
"F "F "F
= 32x = 18y = -2z
; ;
"x "y "z
i
"F "F "F
=18
= 32 = -10
; ;
"y
"x "z
(1,1,5) (1,1,5)
(1,1,5)
Zatem wektorem szukanej płaszczyzny będzie
w = [ 32 , 18 , -10]
i płaszczyzna styczna ma równanie:
Ä„ : 32(x -1) +18(y -1) -10(z - 5) = 0
- 14 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
RÓŻNICZKA ZUPEA
NA
Jeżeli w równaniu płaszczyzny stycznej
fX'(x0, y0) Å"(x - x0) + fY '(x0, y0)Å"(y - y0) - (z - z0) = 0
podstawimy
x - x0 = dx y - y0 = dy z - z0 = dz
; ;
to przyjmuje ono postać
fX'(x0, y0) Å"dx + fY'(x0, y0) Å"dy = dz
lub
"z "z
Å"dx + Å"dy = dz
"x "y
(x0 ,y0 )
(x0 ,y0 )
dz nazywamy różniczką zupełną funkcji z = f(x , y) w punkcie (xo, yo) przy danych
przyrostach dx i dy.
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
- 15 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
Na rysunku widać, że różniczka zupełna dz oznacza przyrost zmiennej zależnej z dla
płaszczyzny stycznej.
Przy dostatecznie małych dx i dy przyrost dz niewiele różni się od przyrostu funkcji
"z = f(x + dx, y + dy) - f(x, y)
Można wykazać, że różnica "z-dz jest nieskończenie małą wyższego rzędu niż przyrost
dx i dy.
Ta własność różniczki zupełnej ma zastosowanie w rachunkach przybliżonych.
Własność tę możemy zapisać za pomocą wzoru:
"z H" dz
tj.
"z "z
f(x0 + dx, y + dy) -f(x0,y0) H" Å"dx + Å"dy
"x "y
(x0 ,y0 )
(x0 ,y0 )
Przykład
Jak zmieni się przekątna prostokąta o bokach 6m = x i 8m = y jeżeli bok x zwiększymy o
2mm , a bok y zmniejszymy o 5 mm?
z = x2 + y2
PrzekÄ…tna x prostokÄ…ta wynosi a zatem
- 16 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
"z "z 1
"z H" Å"dx + Å"dy = (xdx + ydy)
"x "y
x2 + y2
W naszym przypadku dx = 0.02 i dy = -0.05, więc
1
"z H" Å" (6Å" 0,02+ 8Å" 0,05) H" -0,03
36+ 64
Wynika stąd, że przekątna prostokąta ulegnie skróceniu w przybliżeniu o 3 mm.
Zadanie 1
0,972,02
Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przyblizoną wartość
(0,97)2,02
z = xy
P0 (1,2)
z(P0 ) =12 =1
"z "z
= yÅ" xy -1 Ò! (P0) = 2
"x "x
"z "z
= yy Å"lnx Ò! (P0) = 2
"y "y
dz(P0) = "z (P0) Å"dx + "z (P0) Å"dy
"x "y
P0(1, 2)
P0(0,97 ; 2,02)
dx = -0,03
dy = 0,02
dz(P0) = 2Å"(-0,03) = -0,06
"z = f(P)- f(P0 ) = (0,97)2,02 -1
"z H" dz
- 17 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
(0,97)2,02-1H" -0,06
(0,97)2,02H"1-0,06
(0,97)2,02H" 0,94
Odp.
Zadanie 2
3
ln[ 1,02 + 0,97 -1]
Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
3
z = ln[ x + y -1]
P (1,02 ; 0,97)
P0(1 ; 1)
dx = 0,02 dy = - 0,03
"z 1 1
"z 1 1 1
= Å"
(P0) = Å" =
3
"x
x Å" y -1 "x 1+1-1 3 3
3Å"3 x2
"z 1 1
"z 1 1 1
= Å"
= Å" =
3
"y "y 1+1-1 2 2
x Å" y -1 y
1 1
dz(P0 ) = "z Å"dx + "z Å"dy = Å"0,02 + Å" (-0,03)
"x "y 3 2
3
"z = z(P)- z(P0 ) = ln( 1,02 + 0,97 -1)- ln(1+1 -1)
3
"z = ln( 1,02 + 0,97 -1)
"z H" dz
różniczka prawie równa przyrostowi
3 1 1
"z = ln( 1,02 + 0,97 -1)H" Å"0,02 + (-0,03)
3 2
- 18 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
POCHODNE CAA
KOWE I RÓŻNICZKI WYŻSZYCH
RZ
DÓW
Pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych są również funkcjami dwóch zmiennych.
z
"z "z
"y
"x
" ëÅ‚ "z öÅ‚ " ëÅ‚ "z öÅ‚
" "z " "z
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
"x "x "y "x "x "y "y "y÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Dla tych pochodnych będziemy używać zapisów
" "z "2z
ëÅ‚ öÅ‚
''
= = fXX
ìÅ‚ ÷Å‚
"x "x "x2
íÅ‚ Å‚Å‚
" ëÅ‚ "z öÅ‚ "2z
''
ìÅ‚ ÷Å‚
= = fYY
ìÅ‚ ÷Å‚
"y "y "y2
íÅ‚ Å‚Å‚
" "z "2z
ëÅ‚ öÅ‚
''
= = fYX
ìÅ‚ ÷Å‚
"y "x "y"x
íÅ‚ Å‚Å‚
" ëÅ‚ "z öÅ‚ "2z
''
ìÅ‚ ÷Å‚
= = fXY
ìÅ‚ ÷Å‚
"x "y "x"y
íÅ‚ Å‚Å‚
- 19 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
TWIERDZENIE SCHWARZA
z = 3x2y3 + y2x -2x +3y
"z "z
= 6xy3 + y2 -2 =9x2y2 +2xy +3
"y
"x
"2z "2z "2z
"2z
= 6y3 =18xy2 + 2y =18x2y +2x =18xy2 + 2y
"y"x "y2 "x"y
"x2
Widać, że pochodne mieszane są sobie równe
"2z "2z
=
"x"y "y"x
Twierdzenie:
Jeżeli funkcja z = f(x , y) ma wewnątrz pewnego obszaru D ciągłą pochodną
"2z "2z
,
to w każdym punkcie tego obszaru te pochodne są sobie równe.
"x"y "y"x
Pochodne cząstkowe pochodnych pierwszego rzędu nazywamy pochodnymi cząstkowymi
drugiego rzędu.
Ogólnie pochodną cząstkową rzędu n nazywamy pochodną cząstkową n-1 rzędu.
Różniczka zupełna dz funkcji dwóch zmiennych z = f(x , y) jest oczywiście funkcją dwóch
zmiennych x i y. Dla tej różniczki możemy obliczyć różniczkę zupełną i otrzymujemy
różniczkę zupełną rzędu d2z.
Przykład
Obliczyć d2z dla funkcji z = sinxy.
Obliczmy dla tej funkcji dz
dz = y Å"cos(xy)dx+ x Å"cos(xy)dy
- 20 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
Teraz wyznaczamy d2z przy założeniu, że dx i dy są stałymi:
d2z =d(yÅ"cos(xy)dx+x Å"cos(xy)dy) = d(yÅ"cos(xy)dx)+d(x Å"cos(xy)dy)=
= dx(- y2 Å"sin(xy)dx- xyÅ"sin(xy)dy)+dy(- xyÅ"sin(xy)dx +x2 Å"sin(xy)dy)=
= -y2 Å"sin(xy)dx2 - 2xyÅ"sin(xy)dxdy- x2 Å"sin(xy)d2y
Różniczka drugiego rzędu d2z jest znowu pochodną dwóch zmiennych.
Jeżeli będzie się w dalszym ciągu obliczło różniczki w ten sposób otrzymywanych funkcji,
to będziemy otrzymywali różniczki coraz wyższych rzędów.
dz = "z Å"dx + "z Å" dy
Wiemy, że
"x "y
Przy obliczeniach różniczek wyższych rzędów bierzemy pod uwagę fakt, że dx i dy są
stałymi. Tak więc:
"z ëÅ‚ "z öÅ‚ "z
d2z = dëÅ‚ Å"dxöÅ‚ +d ìÅ‚ Å"dy÷Å‚ = dëÅ‚ öÅ‚dx +dëÅ‚ "z öÅ‚dy =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"x "y "x "y
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"2z "2z "2z
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= dx + dy÷Å‚dx +ìÅ‚ "2z dx + dy÷Å‚dy =
ìÅ‚
"x2 "y"x "x"y "y2 Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚
"2z "2z "2z
= d2x + 2Å" dxdy + d2y
"x2 "y"x "y2
Analogicznie
"3z "2z "2z "3z
3 2 2 3
d3z = (dx) +3Å" dy(dx) +3Å" (dy) dx + (dy)
"x3 "y"x2 "y2"x "y3
i ogólnie symbolicznie możemy zapisać:
ëÅ‚ öÅ‚
" "
d''z = ìÅ‚ Å"dx + Å"dy÷Å‚'' z
ìÅ‚ ÷Å‚
"x "y
íÅ‚ Å‚Å‚
- 21 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
EKSTREMUM FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Rozpatrzmy funkcję z = f(x , y), której obraz geometryczny przedstawia rysunek
Widzimy, że dla podanej funkcji istnieje takie otoczenie punktu P0 O(P0 , ´), że dla
wszystkich punktów
P"O (P0 , ´)
ma miejsce nierówność
f(P) -f(P0) e" 0
W tym przypadku mówimy, że funkcja z = f(x , y) posiada w punkcie P0
MINIMUM LOKALNE.
- 22 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
WARUNKI KONIECZNE ISTNIENIA EKSTREMUM
FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH.
Załóżmy, że funkcja z =f(x , y) posiada w pkt. Po(xo, yo) minimum lokalne.
Przecinając powierzchnię z = f(x , y) płaszczyzny y = yo otrzymamy na niej krzywą o
równaniu:
y = f(x, y)
Å„Å‚
k :
òÅ‚y = y0
ół
W płaszczyz
nie y = yo funkcja z = f(x , yo) jest funkcjÄ… jednej zmiennej x, a dla niej
WK na to aby w punkcie xo było minimum jest:
'
fx(x0, y) = 0
Podobnie ustalajÄ…c x = xo otrzymujemy warunek
'
fy(x, y0) 0
=
- 23 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
Dla wyznaczenia punktu (stacjonarnego) Po(xo, yo), w którym funkcja może osiągnąć
ekstremum należy rozwiązać układ równań:
'
Å„Å‚
(x0, y0) = 0
ôÅ‚fx
òÅ‚
'
WK!!!
ôÅ‚
ółfy(x0, y0) = 0
Przykład 1
z = x2 + 2y2 - 4x +4y -3
Wyznaczyć punkty stacjonarne dla funkcji
Aby wyznaczyć punkty stacjonarne należy rozwiązać układ równań.
'
fx(x, y) = 0 Ò! 2x -4 = 0
'
fy(x, y) = 0 Ò! 4y + 4 = 0
stÄ…d Po(2 , -1)
Przykład 2
z = x2 - y2
Rozważmy funkcję . Dla niej WK mają postać.
Å„Å‚"z 0 Ò! 2x = 0
ôÅ‚"x =
ôÅ‚
òÅ‚"z
ôÅ‚
=0 Ò! -2y = 0
ôÅ‚
ół"y
i stÄ…d Po(0 , 0)
Ale ta funkcja w punkcie Po nie ma ekstremum.
- 24 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
WARUNKI WYSTARCZAJ
CE ISTNIENIA EKSTREMUM FUNKCJI
DWÓCH ZMIENNYCH
Tw. WW
Funkcja z = f(x , y) posiada w punkcie stacjonarnym Po(xo, yo) ekstremum, jeżeli
'' ''
fXX(P0) fYX(P0)
W(P0) = > 0
'' ''
fXY(P0) fYY(P0)
przy czym maksimum gdy
''
fXX (P0) < 0
i minimum gdy
''
fXX (P0) > 0
Przykład
z = x2 + 2y2 - 4x +4y -3
Wyznaczyć ekstremum funkcji
Wyznaczmy punkty stacjonarne rozwiązując układ równań:
Å„Å‚"z 0
Ò! 2x -4 = 0
ôÅ‚"x =
ôÅ‚
òÅ‚"z
ôÅ‚
= 0 Ò! 4y + 4 = 0
ôÅ‚
ół"y
stÄ…d Po(2 , -1)
tzn., że tylko w tym punkcie funkcja może posiadać ekstrema.
- 25 -
PADER collectio?
MATEMATYKA  Semestr II  Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
Wyznaczamy następnie
"2z "2z
"2z
= 2 , = 4 = 0
,
"y2 "x"y
"x2
i stÄ…d
W(P0) = 2Å" 4-02 = 8 > 0
Odp. W punkcie Po(2 , -1) funkcja posiada ekstremum, przy czym minimum gdyż:
"2z
= 2 > 0
"x2
- 26 -
PADER collectio?