Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
1. Wyznaczyć maksymalne dziedziny funkcji określonych następująco

" "
a) f(x, y) = x sin y, b) f(x, y) = arcsin y - x,
x2y x2+y2-4
"
c) f(x, y) = , d) g(x, y) = ln ,
9-x2-y2
x2+y2-25

"
" "
e) g(x, y, z) = x + y - 1 + z - 2, f) g(x, y, z) = ln(z2 - x2 - y2 - 1),
1
"
g) g(x, y, z) = .
sin(x2+y2+z2)
2. Obliczyć
a) lim(x,y)(0,0) x4-y4 , b) lim(x,y)(a,0) y2+sin xy ,
x+y y
"
y2+x2
1
c) lim(x,y)(1,0) ln(ex+y , d) lim(x,y)(0,0)(x2 + y2) sin ,
xy
e) lim(x,y)(Ą,0) sin2 x.
y2
3. Wykazać, że nie istnieją granice
x2+y2 (x-1)2y
a) lim(x,y)(0,0) x2-xy+y2 , b) lim(x,y)(1,0) (x-1)4+y2 ,
ln x+y+z
c) lim(x,y)(0,0) x|x|+y|y|, d) lim(x,y,z)(1,0,0) (x-1)2+y2+z2 ,
x2+y2
e) lim(x,y,z)(0,0,0)|x + y + z|z.
4. Obliczyć pochodne cząstkowe względem każdej zmiennej
"
a) f(x, y, z) = xy2z3 - y sin z, b) f(x, y) = ln(x + x2 + y2),
c) f(x, y) = xy, d) f(x, y, z) = 2x3y - 5x2y3 + x cos 2y,
"
e) f(x, y) = ln(x + x2 + y2), f) f(x, y) = ln (x + ln y).
5. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu względem każdej zmiennej
"
a) f(x, y, z) = xy2z3 - y sin z, b) f(x, y, z) = x y - ez ln y,
"
y
"
c) h(x, y) = x y + , d) g(x, y) = (1 + xy)y,
x
e) f(x, t) = ln sin(x - 2t) f) h(x, y) = (sin x)ln y.
6. Wykazać, że funkcja f(x, y) = ln(ex + ey) spełnia równanie
"f "f
(x, y) + (x, y) = 1.
"x "y
7. Wykazać, że funkcja f(x, y) = xyyx spełnia równanie
"f
x"f (x, y) + y (x, y) = (x + y + ln f(x, y))f(x, y).
"x "y
x-y
8. Wykazać, że funkcja f(x, y, z) = x + spełnia równanie
y-z
"f "f "f
(x, y, z) + (x, y, z) + (x, y, z) = 1.
"x "y "z
9. Wykazać, że funkcja f(x, y) = xy spełnia równanie
x "f 1 "f
(x, y) + (x, y) = 2f(x, y).
y "x ln x "y
10. Wyznaczyć różniczki zupełne funkcji
xy by
a) f(x, y) = y ln 2x, b) f(x, y, z) = , c) f(x, y, z) = eax cos ,
z z
d) f(x, y) = arctgx.
y
11. Wyznaczyć o ile istnieją ekstrema funkcji f określonej wzorem
a) f(x, y) = x2 + xy + y2 - 6x - 9y,
b) f(x, y) = 2xy - 2x 4y,
"-
c) f(x, y) = (x2 + y) ey,
d) f(x, y) = x3 + y3 - 3axy, a " R
e) f(x, y) = x2y3(6 - x - y),
f) f(x, y, z) = x3 + x, y + y2 - 2xz + 2z2 + 3y - 1,
2
g) f(x, y, z) = (x + y + 2z)e-(x +y2+z2).
12. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji
a) f(x, y) = x2 - y2 + 2a2, w kole x2 + y2 a2,
b) f(x, y) = 2x3 + 4x2 + y2 - 2xy, w obszarze domkniętym ograniczonym
liniami y = x2 oraz y = 4,
c) f(x, y) = xy(4 - x - y) w trójkącie ograniczonym prostymi x = 1, y = 0
oraz x + y = 6.