Rachunek różniczkowy funkcji
dwóch zmiennych
 Pojęcie funkcji dwóch zmiennych
Odwzorowanie f, przyporządkowujące każdemu punktowi (�x, y)��� A �� R2 dokładnie jedną
liczbę rzeczywistą f (�x, y)�, nazywamy funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych. Zbiór A
nazywamy dziedziną funkcji f.
Jeżeli funkcja zadana jest tylko przy pomocy wzoru (bez podania dziedziny), to dziedziną
naturalną Df funkcji jest zbiór tych punktów R2 , dla których wzór ma sens ( f (�x, y)� �� R ).
Przykład 1
Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji:
f (�x, y)� =� 4 -� x2 -� y2 .
Rozwiązanie:
Dziedziną naturalną funkcji jest zbiór tych par (�x, y)�, dla których wyrażenie pod
pierwiastkiem jest nieujemne, czyli dla których
2 2
4 -� x -� y ł� 0 .
Przepisując tę nierówność w postaci
2 2
x +� y Ł� 4
otrzymujemy
Df =� {�(�x, y)��� R2 : x2 +� y2 Ł� 4}�
.
Dziedziną naturalną funkcji jest zatem wnętrze koła o promieniu 2 i środku w punkcie (0,0).
Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych
Niech funkcja f (�x, y)� będzie określona w otoczeniu punktu (�x , y )��� D . Pochodną
0 0 f
cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x w (�x0, y0)� definiujemy wzorem
f (�x +� h, y )�-� f (�x , y )�
ś�f
0 0 0 0
(�x , y )�=� lim .
0 0
h��0
ś�x h
Analogicznie określamy pochodną cząstkową pierwszego rzędu względem y:
ś�f f (�x , y +� h)�-� f (�x , y )�.
0 0 0 0
(�x , y )� =� lim
0 0
h��0
ś�y h
Stosujemy też nazwy  pierwsze pochodne cząstkowe po x i y i oznaczenia:
' '
f , f .
x y
Przykład 2
Obliczyć obie pochodne cząstkowe funkcji
f (�x, y)� =� xy2
w punkcie (�2,1)�.
Rozwiązanie:
2 2
ś�f f (�2 +� h,1)�-� f (�2,1)� (�2 +� h)���1 -� 2 ��1 h
(�2,1)� =� lim =� lim =� lim =� 1,
h��0 h��0 h��0
ś�x h h h
2
2
ś�f f (�2,1+� h)�-� f (�2,1)� 2 ��(�1+� h)� -� 2 ��1
(�2,1)� =� lim =� lim =�
h��0 h��0
ś�y h h
2
2 +� 4h +� 2h -� 2
=� lim =� lim(�4 +� 2h)� =� 4.
h��0 h��0
h
Pochodne cząstkowe względem danej zmiennej liczymy zgodnie z zasadami
różniczkowania funkcji jednej zmiennej, traktując drugą zmienną jako stałą.
Przykład 3
Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji:
2 2
f (�x, y)�=� 2x y +� y +� xy +� 4
w punktach (0,0) i (1,2).
Rozwiązanie:
Traktując zmienną y jako stałą znajdujemy
'
f (�x, y)�=� 4xy +� y .
x
Podobnie, traktując zmienną x jako stałą znajdujemy
' 2
f (�x, y)�=� 2x +� 2y +� x .
y
Stąd
' '
f (�0,0)� =� 0 , f (�0,0)� =� 0
x y
' ' 2
f (�1,2)�=� 4��1��2 +� 2 =�10 , f (�1,2)�=� 2 ��1 +� 2 �� 2 +�1 =� 7 .
x y
Przykład 4
Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji:
f (�x, y)�=� x3 y2 -� xsin y .
Rozwiązanie:
Nie ma tu podanego punktu, w którym miałaby być obliczona wartość pochodnych
cząstkowych, a zatem chodzi o pochodne cząstkowe jako funkcje:
fx'(�x, y)�=� 3x2 y2 -� sin y ,
fy'(�x, y)�=� 2x3 y -� xcos y .
Przykład 5
Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji:
2 2
z =� ln(�x +� y )�.
Rozwiązanie:
2 2
Zróżniczkujemy z jako funkcję złożoną z =� lnu , gdzie u =� x +� y .
1 ' 2x
' 2 2
z =� (�x +� y )� =� ,
x x
2 2 2 2
x +� y x +� y
1 , 2y
' 2 2
z =� (�x +� y )� =� .
y y
2 2 2 2
x +� y x +� y
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
'
Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych (�x, y)� i fy'(�x, y)�, są także funkcjami
f
x
dwóch zmiennych. Możemy je różniczkować względem x i y i otrzymywać w ten sposób
pochodne wyższych rzędów funkcji f (�x, y)�. W odróżnieniu jednak od funkcji jednej
zmiennej, gdzie mieliśmy tylko jedną pochodną drugiego rzędu, teraz otrzymujemy aż
cztery takie pochodne, gdyż każda z pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu może
mieć pochodną względem x i względem y. Stąd mamy:
ś�2 f ś� ś�f
ć� ��
''
fxx(�x, y)� =� =� ,
�� ��
ś�x2 ś�x ś�x
Ł� ł�
2
ć� ��
ś� f ś� ś�f
''
�� ��
f (�x, y)� =� =� ,
yy
2
�� ��
ś�y ś�y ś�y
Ł� ł�
2
ć� ��
ś� f ś� ś�f
''
�� ��
f (�x, y)� =� =� ,
xy
�� ��
ś�xś�y ś�x ś�y
Ł� ł�
ś�2 f ś� ś�f
ć� ��
''
fyx(�x, y)� =� =� .
�� ��
ś�yś�x ś�y ś�x
Ł� ł�
'' '' '' ''
Pochodne cząstkowe fxx i f nazywamy pochodnymi czystymi, a pochodne fxy i f
yy yx
nazywamy pochodnymi mieszanymi. Dla wszystkich funkcji dwóch zmiennych zawartych
w tej książce prawdziwa będzie równość:
'' ''
f (�x, y)� = f (�x, y)�,
xy yx
gdyż rozważać tu będziemy tylko funkcje, które mają pochodne cząstkowe drugiego rzędu
w pewnym otoczeniu punktu (�x, y)�
i są w tym punkcie ciągłe.
Przykład 6
Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji
2 2 2
f (�x, y)�=� x y +� 3xy -� 2x .
Rozwiązanie:
Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
' 2
f (�x, y)�=� 2xy +� 3y -� 4x ,
x
fy'(�x, y)�=� x2 +� 6xy .
Stąd pochodne cząstkowe drugiego rzędu
''
fxx(�x, y)� =� 2y -� 4 ,
''
fyy(�x, y)� =� 6y ,
''
fxy(�x, y)�=� 2x +� 6y ,
''
fyx(�x, y)�=� 2x +� 6y .
Jak widać pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu są sobie równe.