funkcje dwoch zmiennych


Określenie ciągu punktów na płaszczyznie
Ciąg punktów na płaszczyznie jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej dokładnie jednego punktu
płaszczyzny Oxy.
Ciąg punktów jest więc funkcją, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych N, a wartościami są punkty
płaszczyzny Oxy.
Punkt przyporządkowany liczbie naturalnej n oznaczamy zazwyczaj Pn i nazywamy n-tym wyrazem ciągu,
natomiast ciąg oznaczamy Pn albo P1, P2 , P3,... .
( ) ( )
Otoczenie punktu na płaszczyznie Oxy
Niech P będzie dowolnym punktem na płaszczyznie Oxy, zaś e dowolną liczbą dodatnią.
Otoczeniem punktu P o promieniu e nazywamy zbiór punktów płaszczyzny Oxy, których odległość od
punktu P jest mniejsza niż e .
Otoczeniem punktu P o promieniu e jest więc wnętrze koła o środku P i promieniu e (rys. 5).
Granica ciągu punktów na płaszczyznie Oxy
Granicą ciągu punktów Pn na płaszczyznie Oxy jest punkt Q tej płaszczyzny, jeżeli ciąg odległości
( )
d Pn ,Q jest zbieżny do zera, tzn.
( )
( )
lim d Pn , Q = 0
( )
nĄ
Uwaga 1
Ciąg d Pn , Q jest ciągiem liczbowym.
( )
( )
Uwaga 2
Granicą ciągu punktów Pn jest punkt Q wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego otoczenia punktu Q należą
( )
prawie wszystkie wyrazy ciągu Pn .
( )
Zdanie  Granicą ciągu Pn jest punkt Q  można zastąpić zdaniem  Ciąg Pn ma granicę Q  . Oba te
( ) ( )
zdania zapisujemy symbolem
lim Pn = Q
nĄ
Ciągi zbieżne i ciągi rozbieżne
Ciąg punktów Pn nazywamy ciągiem zbieżnym, jeżeli ten ciąg ma granicę. Ciąg punktów Pn nazywamy
( ) ( )
ciągiem rozbieżnym, jeżeli ten ciąg nie ma granicy.
Twierdzenie 1.
Ciąg punktów Pn na płaszczyznie Oxy , gdzie Pn = xn , yn jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy oba
( ) ( )
ciągi liczbowe xn i yn są zbieżne. Wówczas granicą ciągu Pn jest punkt Q = x0 , y0 , przy czym
( ) ( ) ( ) ( )
x0 = lim xn , y0 = lim yn
Pojęcie funkcji dwóch zmiennych
Dany jest niepusty podzbiór D płaszczyzny Oxy.
Funkcję f, która każdemu punktowi P = (x, y) należącemu do zbioru D przyporządkowuje dokładnie jedną
liczbę rzeczywistą z nazywamy funkcją dwóch zmiennych rzeczywistych x i y (albo krótko: funkcją dwóch
zmiennych).
Liczbę z nazywamy wartością funkcji f w punkcie P = (x, y) i oznaczamy f (P) albo f (x, y) .
Przykład
a) Niech f (x, y) = x2 + xy + 3y . Dziedziną funkcji f jest cała płaszczyzna Oxy: D = R2
1
b) Niech f (x, y) = . Dziedziną funkcji f jest płaszczyzna Oxy z usuniętą prostą y = x :
x - y
D = x, y R2: x ą y .
( )
{ }
1
c) Niech f (x, y) = . Dziedziną funkcji f jest płaszczyzna Oxy z usuniętym początkiem układu:
x2 + y2
D = x, y R2: x ą 0 Ł y ą 0 = R2 - 0,0 .
( ) ( )
{ }
{ }
d) Niech f (x, y) = ln(xy) . Dziedziną funkcji f jest wnętrze pierwszej i trzeciej ćwiartki układu
współrzędnych:
D = x, y R2: xy > 0 .
( )
{ }
Granica funkcji dwóch zmiennych
Będziemy zakładać, że istnieje co najmniej jeden ciąg Pn argumentów tej funkcji zbieżny do punktu P0
( )
o wyrazach różnych od P0 .
Mówimy, że granica funkcji f dwóch zmiennych x i y w punkcie P0 = (x0 , y0 ) jest równa g, jeżeli dla
każdego ciągu Pn argumentów tej funkcji zbieżnego do punktu P0 o wyrazach różnych od P0 , ciąg
( )
f Pn wartości funkcji jest zbieżny do g, tzn.
( )
( )
lim f Pn = g
( )
nĄ
Jeżeli Pn = (xn , yn ) , to powyższą równość można zapisać w postaci
lim f xn , yn = g
( )
nĄ
Zdanie  Granicą funkcji f w punkcie P0 jest g  zapisujemy:
lim f (P) = g albo lim f (x, y) = g albo lim f (x, y) = g
PP0 (x,y)(x0,y0) xx0
yy0
Przykład
x4 y2
Pokażemy, że granica funkcji f określonej wzorem f (x, y) = w punkcie P0 = (0,0) jest równa 0.
x2 + y2
Wezmy dowolny ciąg Pn , gdzie Pn = (xn , yn ) , argumentów tej funkcji zbieżny do punktu P0 (ponieważ
( )
punkt (0, 0) nie jest argumentem funkcji f, zatem ciąg ten ma wyrazy różne od P0 ). Mamy:
lim xn = 0, lim yn = 0 .
nĄ nĄ
Zauważmy, że
4 2 4 2 2 4 2 2 2 2
xn yn xn yn + xn yn xn yn (xn + yn )
2 2
f (xn , yn ) = Ł = = xn yn
2 2 2 2 2 2
xn + yn xn + yn xn + yn
4 2
xn yn
Ponadto f (xn , yn ) = ł 0 .
2 2
xn + yn
2 2
Zatem: 0 Ł f (xn , yn ) Ł xn yn
2 2 2 2
Ponieważ lim xn yn = lim xn lim yn = 00 = 0 ,
nĄ nĄ nĄ
więc na mocy twierdzenia o trzech ciągach (część I, rozdz.1, tw.9) otrzymujemy: lim f xn , yn = 0 .
( )
nĄ
x4 y2
Zatem: lim = 0 .
x0
x2 + y2
y0
Przykład
xy
Pokażemy, że granica funkcji f określonej wzorem f (x, y) = w punkcie P0 = (0,0) nie istnieje.
x2 + y2
1 1
ć
Wezmy ciąg Pn , gdzie Pn = , . Jest to ciąg argumentów tej funkcji zbieżny do punktu P0 = (0,0)
( )
Ł ł
n n
1
1 1

n n n2 1
o wyrazach różnych od tego punktu. Dla ciągu Pn mamy: lim f Pn = lim = lim =
( ) ( )
1 1 2
nĄ nĄ nĄ 2
+
n2 n2 n2
2 1
ć
Wezmy teraz ciąg Qn gdzie Qn = , . Jest to również ciąg argumentów tej funkcji zbieżny do punktu
( )
Ł ł
n n
P0 = (0,0) o wyrazach różnych od tego punktu. Dla ciągu Qn mamy:
( )
2
2 1

n n n2 2
lim f Qn = lim = lim = .
( )
4 1 5
nĄ nĄ nĄ 5
+
n2 n2 n2
Gdyby granica danej funkcji w punkcie P0 = (0,0) istniała, to dla każdego ciągu argumentów tej funkcji
zbieżnego do punktu P0 o wyrazach różnych od punktu P0 powinniśmy otrzymać ten sam wynik. Zatem
rozpatrywana granica nie istnieje.
Granica niewłaściwa funkcji dwóch zmiennych
Mówimy, że granica niewłaściwa funkcji f dwóch zmiennych x i y w punkcie P0 = (x0 , y0 ) jest równa Ą ,
jeżeli dla każdego ciągu Pn argumentów tej funkcji zbieżnego do punktu P0 o wyrazach różnych od P0 ,
( )
ciąg f Pn wartości funkcji ma granicę niewłaściwą Ą , tzn.
( )
( )
lim f Pn = Ą
( )
nĄ
Jeżeli Pn = (xn , yn ) , to powyższą równość można zapisać w postaci
lim f xn , yn = Ą
( )
nĄ
Zdanie  Granicą niewłaściwą funkcji f w punkcie P0 jest Ą  zapisujemy:
lim f (P) = Ą albo lim f (x, y) = Ą albo lim f (x, y) = Ą
PP0 (x,y)(x0,y0) xx0
yy0
W analogiczny sposób określamy granicę niewłaściwą lim f (P) = -Ą .
PP0
Przykład
1
Pokażemy, że funkcja f określona wzorem f (x, y) = ma w
x2 + y2
punkcie P0 = (0,0) granicę niewłaściwą Ą .
Wezmy dowolny ciąg Pn , gdzie Pn = (xn , yn ) , argumentów tej funkcji zbieżny do punktu P0 (ponieważ
( )
punkt (0, 0) nie jest argumentem funkcji f, zatem ciąg ten ma wyrazy różne od P0 ). Mamy:
lim xn = 0, lim yn = 0 .
nĄ nĄ
1 1 ł
Zatem: lim f xn , yn = lim = = Ą
( )
ę ś
2 2
nĄ nĄ
xn + yn 0+
1
więc lim = Ą .
x0
x2 + y2
y0
Ciągłość funkcji dwóch zmiennych
Dana jest funkcja dwóch zmiennych oraz punkt P0 = (x0 , y0 ) należący do dziedziny tej funkcji.
Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie P0 gdy istnieje granica funkcji f w punkcie P0 i jest równa
wartości funkcji w tym punkcie, tzn.
lim f (x, y) = f (x0 , y0 )
xx0
yy0
Przykład
Rozważmy funkcję
xy

gdy (x, y) ą (0, 0)

f (x, y) =
x2 + y2


0 gdy (x, y) = (0, 0)

We wcześniejszym przykładzie stwierdziliśmy, że lim f (x, y) nie istnieje, zatem ta funkcja nie jest ciągła
x0
y0
w punkcie (0, 0).
Ustalmy teraz zmienną y = 0 . Zbadamy ciągłość otrzymanej funkcji
x 0

gdy x ą 0 0 gdy x ą 0


f1(x) = f (x,0) = =
x2 + 02 0 gdy x = 0


0 gdy x = 0

czyli
f1(x) = 0 dla x R .
Podobnie stwierdzamy, że funkcja
f2 (y) = f (0, y) = 0 dla y R
Funkcje f1 i f są funkcjami stałymi. Są to funkcje ciągłe w każdym punkcie.
2
Wniosek
Funkcja dwóch zmiennych może być funkcją ciągłą ze względu na każdą ze zmiennych, ale nie być funkcją
ciągłą.
Określenie pochodnych cząstkowych funkcji dwóch zmiennych
Pochodna cząstkowa funkcji f względem zmiennej x w punkcie (x, y) jest to granica ilorazu różnicowego
względem zmiennej x, gdy przyrost tej zmiennej dąży do zera (o ile ta granica istnieje).
'
Pochodną tę oznaczamy symbolem f (x, y) . Zatem:
x
f (x + D x, y) - f (x, y)
'
f (x, y) = lim
x
Dx0 D x
śf
Stosujemy także oznaczenia: (x, y) albo f (x, y) .
x
śx
'
Analogicznie określamy pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej y (oznaczenie: f (x, y) albo
y
śf
(x, y) albo f (x, y) ):
y
śy
f (x, y + D y) - f (x, y)
'
f (x, y) = lim
y
Dy0 D y
Obliczanie pochodnych cząstkowych
Obliczanie pochodnych cząstkowych należy wykonywać według reguł znanych z funkcji jednej zmiennej,
z tym, że przy obliczaniu pochodnych cząstkowych względem x należy uważać y za stałą, a przy obliczaniu
pochodnych cząstkowych względem y należy uważać x za stałą.
Przykład
Niech f (x, y) = x2 y5 . Wówczas:
' '
'
f (x, y) = x2 y5 = y5 x2 = y5 2x = 2xy5
x ( ) ( )
x x
' '
'
f (x, y) = x2 y5 = x2 y5 = x2 5y4 = 5x2 y4
y ( ) ( )
y y
Przykład
Niech f (x, y) = x sin y + 5x3 - 2y2 . Wówczas:
' '
'
f (x, y) = x sin y + 5x3 - 2y2 = (sin y)1+ 53x2 + 0 = = sin y +15x2
( )'x x
x ( ) ( )
x
' '
'
f (x, y) = x sin y + 5x3 - 2y2 = x cos y + 0 + 22y =
( )'y y
y ( ) ( )
y
= x cos y + 4y
Przykład 21
Niech f (x, y) = x ln y + yex + x4 . Wówczas:
' ' '
1
' x x
f (x, y) = x ln y + ye + x4 = ln y + ye + 4x3
x ( ) ( ) ( )
x x x
2 x
' ' '
1 x + yex
' x x
f (x, y) = x ln y + ye + x4 = x + e 1+ 0 =
y ( ) ( ) ( )
y y y y y
Przykład 23
x2 y
Niech f (x, y) = . Wówczas:
x + y2
' '
'
x2 y x + y2 - x2 y x + y2
( ) ( ) ( )
ć
x2 y
' x x

f (x, y) = = =
x

2
Ł x + y2 ł
x x + y2
( )
y 2x x + y2 - x2 y 1+ 0
( )
( )
2x2 y + 2xy3 - x2 y x2 y + 2xy3
= = =
2 2 2
x + y2 x + y2 x + y2
( ) ( ) ( )
' '
'
x2 y x + y2 - x2 y x + y2
( ) ( ) ( )
ć
x2 y y y
'

f (x, y) = = =
y

2
Ł x + y2 ł
y x + y2
( )
x2 1 x + y2 - x2 y 0 + 2y
( )
( )
x3 + x2 y2 - 2x2 y2 x3 - x2 y2
= = =
2 2 2
x + y2 x + y2 x + y2
( ) ( ) ( )
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu
Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych są także funkcjami dwóch zmiennych. Mogą więc istnieć ich
pochodne cząstkowe. Pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych nazywamy pochodnymi cząstkowymi
drugiego rzędu. Istnieją cztery pochodne cząstkowe drugiego rzędu, które oznaczamy:
'' '' '' ''
f , f , f , f symbole Newtona
xx xy yx yy
lub
ś2 f ś2 f ś2 f ś2 f
, , , symbole Leibniza
2
śx2 śxśy śyśx śy
lub
f , f , f , f
xx xy yx yy
Pochodne te definiujemy następująco:
'
'' '
f (x, y) = f (x, y)
xx ( x )
x
'
'' '
f (x, y) = f (x, y)
xy ( x )
y
'
'' '
f (x, y) = f (x, y)
yx ( y )
x
'
'' '
f (x, y) = f (x, y)
yy ( y )
y
Stosując symbole Leibniza powyższe definicje można zapisać w postaci:
ś2 f ś śf
ć
(x , y)= (x , y)

śx śx
śx2 Ł ł
ć
ś2 f ś śf

(x, y)= (x, y)

śxśy śx śy
Ł ł
ś2 f ś śf
ć
(x, y)= (x, y)

śyśx śy śx
Ł ł
ć
ś2 f ś śf

(x , y)= (x , y)

śy śy
śy2
Ł ł
'' ''
Pochodne f i f nazywamy pochodnymi czystymi.
xx yy
'' ''
Pochodne f i f nazywamy pochodnymi mieszanymi.
xy yx
Przykład 28
Obliczymy wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f (x, y) = x4 y3 + x2 + y .
' '
Najpierw obliczamy pochodne f i f .
x y
' '
'
f (x, y) = y3 x4 + x2 + 0 = 4x3y3 + 2x
x ( ) ( )
x x
'
'
f (x, y) = x4 y3 + 0 + (y)'y = 3x4 y2 +1
y ( )
y
Obliczając pochodne cząstkowe powyższych pochodnych cząstkowych otrzymujemy:
' '
''
f (x, y) = 4x3y3 + 2x = 4y3 x3 + (2x)'x = 12x2 y3 + 2
xx ( ) ( )
x x
' '
''
f (x, y) = 4x3 y3 + 2x = 4x3 y3 + 0 = 12x3y2
xy ( ) ( )
y y
' '
''
f (x, y) = 3x4 y2 +1 = 3y2 x4 + 0 = 12x3 y2
yx ( ) ( )
x x
' '
''
f (x, y) = 3x4 y2 +1 = 3x4 y2 + 0 = 6x4 y
yy ( ) ( )
y y
Zauważmy, że w powyższym przykładzie pochodne mieszane są równe
'' ''
f (x, y) = f (x, y)
xy yx
Nie jest to przypadkiem.
Twierdzenie (twierdzenie Schwarza o pochodnych mieszanych)
'' ''
Jeżeli pochodne mieszane f i f funkcji f istnieją w obszarze D i są ciągłe w pewnym punkcie (x, y) tego
xy yx
obszaru, to są one w tym punkcie równe
'' ''
f (x, y) = f (x, y)
xy yx
Różniczka funkcji dwóch zmiennych
Założenia:
f jest funkcją dwóch zmiennych x i y określoną w otoczeniu punktu
(x, y),
' '
istnieją pochodne cząstkowe f i f w tym otoczeniu,
x y
dx oznacza przyrost zmiennej x (poprzednio oznaczany D x ),
dy oznacza przyrost zmiennej y (poprzednio oznaczany D y ),
punkt (x + dx, y + dy) należy do otoczenia, w którym jest określona funkcja f .
Różniczka df funkcji f dwóch zmiennych x i y jest to funkcja, której wartość w punkcie (x, y) wyraża się
wzorem:
' '
df (x, y) = f (x, y) dx + f (x, y) dy
x y
Przykład 29
Dana jest funkcja f (x, y) = x3 + y2 . Pochodne cząstkowe tej funkcji:
' '
f (x, y) = 3 x2 , f (x, y) = 2y
x y
Różniczka funkcji f :
df (x, y) = 3x2 dx + 2y dy
Przykładowo, jeżeli x = 2 , y = 3, to
df (2,3) = 322 dx + 23dy = 12 dx + 6dy
Jeżeli ponadto przyjmiemy, że dx = 0,02 , dy = 0,05 , to
df (2,3) = 120,02 + 60,05 = 0,24 + 0,3 = 0,54
Jest to wartość różniczki funkcji f w punkcie (2, 3) odpowiadającej przyrostowi zmiennej x o 0,02
i przyrostowi zmiennej y o 0,05.
Różniczkowalność funkcji dwóch zmiennych
Przyrost funkcji f odpowiadający argumentowi (x, y) oraz przyrostom zmiennych o dx i dy jest równy
f (x + dx, y + dy) - f (x, y) . Oznaczmy ten przyrost symbolem D f (x, y) . Zatem:
D f (x, y) = f (x + dx, y + dy) - f (x, y)
Jeżeli
D f (x, y) - df (x, y)
lim = 0
dx0
(dx)2 + (dy)2
dy0
to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (x, y).
Wniosek
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (x, y), a przyrosty dx i dy zmiennych x i y są niewielkie, to
D f (x, y) df (x, y)
Twierdzenie
' '
Jeżeli pochodne cząstkowe f i f funkcji f istnieją w pewnym otoczeniu punktu (x, y) i są ciągłe w tym
x y
punkcie, to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (x, y).
Wniosek
' '
Jeżeli pochodne cząstkowe f i f funkcji f istnieją w pewnym otoczeniu punktu (x, y) i są ciągłe w tym
x y
punkcie, a przyrosty dx i dy zmiennych x i y są niewielkie, to
D f (x, y) df (x, y)
Zatem:
' '
f (x + dx, y + dy) - f (x, y) f (x, y) dx + f (x, y) dy (1)
x y
' '
f (x + dx, y + dy) f (x, y) dx + f (x, y) dy + f (x, y) (2)
x y
Przykład 30
We wcześniejszym przykładzie obliczyliśmy wartość różniczki funkcji f (x, y) = x3 + y2 w punkcie (2, 3)
odpowiadającej przyrostowi zmiennej x o 0,02 i przyrostowi zmiennej y o 0,05. Wynosiła ona 0,54.
Obliczymy teraz przyrost tej funkcji w punkcie (2, 3) odpowiadający przyrostom dx = 0,02 , dy = 0,05
zmiennych x i y.
f (2, 3) = 23 + 32 = 8 + 9 = 17
f (2 + dx,3+ dy) = f (2,02,3,05) = (2,02)3 + (3,05)2 = = 8,242408+ 9,3025 = 17,544908
D f (2,3) = f (2 + dx,3+ dy) - f (2,3) = 17,544908-17 = 0,544908
Przyrost funkcji i różniczka w tym punkcie są w przybliżeniu równe, co jest ilustracją wzoru (1)
Przykład
Obliczymy przybliżoną wartość funkcji f (x, y) = ex y w punkcie
(0,05 , 0,98). W tym celu korzystamy ze wzoru (2) przyjmując:
x = 0, dx = 0,05 , y = 1, dy = -0,02 . Otrzymujemy:
' '
f (0,05,0,98) = f (0 + 0,05,1- 0,02) f (0,1)0,05+ f (0,1)(-0,02) + + f (0,1)
x y
Obliczamy kolejno:
'
f (x, y) = ex y
x
'
f (0,1) = e0 1 = 11 = 1
x
1
'
f (x, y) = ex
y
2 y
1
'
f (0,1) = e0 = 0,5
y
2 1
f (x, y) = e0 1 = 11 = 1
W rezultacie:
f (0,05,0,98) 10,05+ 0,5(-0,02) +1 = 1,04
Maksimum i minimum funkcji dwóch zmiennych
Dana jest funkcja dwóch zmiennych f o dziedzinie D i punkt (x0 , y0 ) należący do dziedziny D.
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie (x0 , y0 ) maksimum, jeżeli istnieje otoczenie U tego punktu, zawarte
w dziedzinie i takie, że
f (x, y) < f (x0 , y0 ) dla (x, y) U , (x, y) ą (x0, y0 )
Oznacza to, że w otoczeniu U największą wartością funkcji f jest f (x0 , y0 ) .
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie (x0 , y0 ) minimum, jeżeli istnieje otoczenie U tego punktu, zawarte
w dziedzinie i takie, że
f (x, y) > f (x0 , y0 ) dla (x, y) U , (x, y) ą (x0, y0 )
Oznacza to, że w otoczeniu U najmniejszą wartością funkcji f jest f (x0 , y0 ) .
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie (x0 , y0 ) ekstremum, jeżeli funkcja f ma w tym punkcie maksimum lub
minimum.
Uwaga
Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej z faktu, że funkcja f ma w punkcie (x0 , y0 ) maksimum
nie wynika, że f (x0 , y0 ) jest największą wartością funkcji f w całej dziedzinie. Identyczna uwaga dotyczy
minimum i wartości najmniejszej funkcji f.
Warunek konieczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych
Twierdzenie 4
' '
Jeżeli funkcja f ma w punkcie (x0 , y0 ) ekstremum i istnieją w tym punkcie pochodne cząstkowe f i f , to
x y
są one w tym punkcie równe zeru
' '
f (x0 , y0 ) = f (x0 , y0 ) = 0
x y
Uwaga 1
Twierdzenie odwrotne nie zachodzi. Funkcja f może nie mieć w punkcie (x0 , y0 ) ekstremum mimo, że obie
pochodne cząstkowe są w tym punkcie równe zeru.
Uwaga 2
Funkcja, która nie ma w punkcie (x0 , y0 ) jednej z pochodnych cząstkowych lub obu tych pochodnych, może
mieć w tym punkcie ekstremum.
Wniosek
Funkcja może mieć ekstremum tylko w takich punktach, w których obie pochodne cząstkowe są równe zeru
lub w których przynajmniej jedna z tych pochodnych nie istnieje.
Warunek wystarczający ekstremum funkcji dwóch zmiennych
Twierdzenie 5
Jeżeli
10 istnieją wszystkie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego funkcji f w pewnym otoczeniu
punktu (x0 , y0 ) i są one w tym otoczeniu ciągłe,
20 obie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji f są w punkcie (x0 , y0 ) równe zeru, czyli:
' '
f (x0 , y0 ) = f (x0 , y0 ) = 0 ,
x y
30 wyrażenie
óó óó
f (x0 , y0 ) f (x0 , y0 )
xx xy
W(x0 , y0)=
óó óó
f (x0 , y0 ) f (x0 , y0 )
yx yy
jest dodatnie,
to funkcja f ma w punkcie (x0 , y0 ) ekstremum.
'' ''
Gdy f (x0 , y0 ) < 0 jest to maksimum, zaś gdy f (x0 , y0 ) > 0 jest to minimum.
xx xx
Warunek wykluczający ekstremum funkcji dwóch zmiennych
Twierdzenie 6
Jeżeli spełnione są założenia 1o i 2o twierdzenia 5 i W(x0 , y0 ) < 0 , to funkcja f nie ma w punkcie (x0 , y0 )
ekstremum.
Uwaga
Twierdzenia 5 i 6 nie rozstrzygają, czy funkcja f ma ekstremum w punkcie (x0 , y0 ) w przypadku, gdy
W(x0 , y0 ) = 0 .
Przykład
Wyznaczymy ekstrema funkcji
f (x, y) = 3x + 6y - x2 - xy - y2
Dziedzina funkcji: D = R2
Pochodne cząstkowe funkcji:
'
f (x, y) = 3- 2x - y
x
'
f (x, y) = 6 - x - 2y
y
Miejsca zerowania się pochodnych cząstkowych:
3- 2x - y = 0
6- x - 2y = 0
Z pierwszego równania wyznaczamy y = 3- 2x i wstawiamy do drugiego równania. Otrzymujemy:
6- x - 2(3- 2x) = 0
6- x - 6+ 4x = 0
-3x = 0
x = 0
Zatem
y1 = 3- 20 = 3
Stwierdzamy, że obie pochodne cząstkowe są równe zeru w punkcie P = (0,3)
Pochodne cząstkowe rzędu drugiego:
''
f (x, y) = -2
xx
'' ''
f (x, y) = f (x, y) = -1
xy yx
''
f (x, y) = -2
yy
Wartość wyznacznika W w punkcie P = (0,3)
-2 -1
W(P) = W(0, 3) = = 4 -1 = 3 > 0
-1 - 2
''
Wniosek: W punkcie P = (0,3) funkcja f ma ekstremum. Jest to maksimum, gdyż f (0, 3) = -2 < 0 .
xx
Wartość funkcji f w tym punkcie:
f (0, 3) = 30 + 63- 02 - 03- 32 = 9
Odpowiedz. Funkcja f ma w punkcie (0, 3) maksimum równe 9.
Przykład
Wyznaczymy ekstrema funkcji
f (x, y) = x3 + y3 - 3xy
Dziedzina funkcji: D = R2
Pochodne cząstkowe funkcji:
'
f (x, y) = 3x2 - 3y
x
'
f (x, y) = 3y2 - 3x
y
Miejsca zerowania się pochodnych cząstkowych:
3x2 - 3y = 0
3y2 - 3x = 0
Z pierwszego równania wyznaczamy y = x2 i wstawiamy do drugiego równania. Otrzymujemy:
3x4 - 3x = 0
x4 - x = 0
x(x3 -1) = 0
x1 = 0, x2 = 1
Zatem
y1 = 0, y2 = 1
Stwierdzamy, że obie pochodne cząstkowe są równe zeru w punktach
P1 = (0,0) , P2 = (1,1)
Pochodne cząstkowe rzędu drugiego:
''
f (x, y) = 6x
xx
'' ''
f (x, y) = f (x, y) = -3
xy yx
''
f (x, y) = 6y
yy
Wartość wyznacznika W w punkcie P1 = (0,0)
60 - 3 0 - 3
W(P1) = W(0, 0) = = = -9 < 0
- 3 60 -3 0
Wniosek: W punkcie P1 = (0,0) funkcja f nie ma ekstremum.
Wartość wyznacznika W w punkcie P2 = (1,1)
61 - 3 6 - 3
W(P2 ) = W(1,1) = = = 36 - 9 = 27 > 0
- 3 61 -3 6
''
Wniosek: W punkcie P2 = (1,1) funkcja f ma ekstremum. Jest to minimum, gdyż f (1,1) = 6 > 0 . Wartość
xx
funkcji f w tym punkcie:
f (1,1) = 13 +13 - 311 = -1
Odpowiedz. Funkcja f ma w punkcie (1, 1) minimum równe -1 .
Określenie gradientu funkcji dwóch zmiennych
Dana jest funkcja dwóch zmiennych f o dziedzinie D oraz punkt (x, y) należący do dziedziny D.
Zakładamy, że istnieją pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie (x, y) .
Gradientem funkcji f w punkcie (x, y) nazywamy wektor, którego składowymi są pochodne cząstkowe
funkcji f w tym punkcie.
Gradient funkcji f w punkcie (x, y) oznaczamy grad f (x, y) . Zatem:
' '
grad f (x, y) = f (x, y) , f (x, y)
x y
[ ]
Przykład 38
Obliczymy gradient funkcji f (x, y) = x2 y3
Pochodne cząstkowe:
'
f (x, y) = 2xy3
x
'
f (x, y) = 3x2 y2
y
Gradient:
grad f (x, y) = 2xy3 ,3x2 y2
[ ]
Przykładowo, w punkcie (2, 1) jest to wektor
grad f (2,1) = 2213 ,322 12 = 4 , 12
[ ]
[ ]
Interpretacja gradientu funkcji dwóch zmiennych
Gradient funkcji f w punkcie (x, y) jest wektorem. Kierunek tego wektora jest kierunkiem najszybszych
zmian wartości tej funkcji. Zwrot tego wektora wyznacza najszybszy wzrost wartości tej funkcji.
Przykład
Wielkość produkcji zależy od zaangażowanego w produkcję kapitału x (w mln zł) oraz od pracy y
wydatkowanej w procesie produkcji (w liczbie etatów) i wyraża się wzorem:
z = f (x, y) = 2x2 y
Dotychczas w produkcję zaangażowano kapitał x w wysokości 400 mln zł przy zatrudnieniu y 100 etatów.
Zamierzamy zwiększyć zatrudnienie o 10 etatów. Jaki dodatkowy kapitał zaangażować, aby wzrost produkcji
był największy?
Rozwiązanie.
Pochodne cząstkowe:
'
f (x, y) = 4xy
x
'
f (x, y) = 2x2
y
Gradient:
grad f (x, y) = 4xy ,2x2
[ ]
Gradient w punkcie (x, y)=(400, 100) jest to wektor
grad f (400,100) = 4400100,24002 = 160000, 320000
[ ]
[ ]
Druga współrzędna gradientu jest dwa razy większa niż pierwsza, zatem wzrostowi zatrudnienia y o 10
etatów powinien towarzyszyć wzrost nakładów x o 5 mln zł.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Rachunek rozniczkowy funkcji dwoch zmiennych
streszczenie funkcje dwoch zmiennych
zadania funkcje dwóch zmiennych 2
AM23 w08 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
Funkcje dwoch zmiennych
07 Rozdział 05 Całka funkcji dwóch zmiennych
09 Rozdział 07 Więcej o całce funkcji dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych
8 Funkcje dwóch zmiennych
zadania funkcje dwóch zmiennych
funkcje dwóch zmiennych wykład

więcej podobnych podstron