Funkcje dwóch zmiennych
Pojęcie funkcji dwóch zmiennych
Dany jest niepusty podzbiór D płaszczyzny Oxy.
FunkcjÄ™ f, która każdemu punktowi P =ð (x, y) należącemu
do zbioru D przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę
rzeczywistÄ… z =ð f (x, y) nazywamy funkcjÄ… dwóch
zmiennych rzeczywistych x i y.
PrzykÅ‚ad 1. Niech f (x, y) =ð x2 +ð xy +ð 3. DziedzinÄ… funkcji
f jest cała płaszczyzna Oxy.
Wartość tej funkcji w punkcie P =ð (2,3) wynosi:
f (2,3) =ð 22 +ð 2×ð3 +ð 3 =ð13
1
PrzykÅ‚ad 2. Niech f (x, y) =ð . DziedzinÄ… funkcji f jest
y -ð x
pÅ‚aszczyzna Oxy z usuniÄ™tÄ… prostÄ… y =ð x.
Wartość tej funkcji w punkcie P =ð (1,4) wynosi:
1 1
f (1,4) =ð =ð .
4 -ð1 3
Pochodne czÄ…stkowe
Pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x
oznaczamy symbolem:
Å›ðf
fx' albo
Å›ðx
i określamy wzorem:
f (x +ð h, y) -ð f (x, y)
'
fx(x, y) =ð lim
h
h®ð0
Pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej y
oznaczamy symbolem:
Å›ðf
'
f albo
y
Å›ðy
i określamy wzorem:
f (x, y +ð h) -ð f (x, y)
'
fy(x, y) =ð lim
h
h®ð0
Obliczanie pochodnych czÄ…stkowych wykonujemy
według tych samych reguł, co dla funkcji jednej zmiennej
z tym, że:
- obliczając fx' zmienną y uważamy za stałą,
'
- obliczając f zmienną x uważamy za stałą.
y
PrzykÅ‚ad 3. f (x, y) =ð 5x2y3 +ð 3xy2 +ð x.
'
fx(x, y) =ð 5y3 ×ð 2x +ð 3y2 ×ð1+ð1=ð10xy3 +ð 3y2 +ð1
'
fy(x, y) =ð 5x2 ×ð3y2 +ð 3x ×ð 2y +ð 0 =ð15x2y2 +ð 6xy
PrzykÅ‚ad 4. f (x, y) =ð xey +ð yln x
1 y xey +ð y
fx' (x, y) =ð ey ×ð1+ð y ×ð =ð ey +ð =ð
x x x
'
fy(x, y) =ð x ×ð ey +ð ln x
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu
SÄ… to pochodne czÄ…stkowe obliczone z pochodnych
'
czÄ…stkowych fx' i f .
y
Oznaczamy je symbolami:
'' '' '' ''
fxx , fxy , fyx , fyy
Å›ð2 f Å›ð2 f Å›ð2 f Å›ð2 f
albo: , , ,
Å›ðx2 Å›ðxy Å›ðyx Å›ðy2
'' ''
Pochodne: fxx , fyy nazywamy czystymi.
'' ''
Pochodne: fxy , fyx nazywamy mieszanymi.
Przykład 5. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu
funkcji f (x, y) =ð x4y3 +ð x5y +ð x3
Rozwiązanie. Obliczmy pochodne rzędu pierwszego:
'
fx (x, y) =ð y3 ×ð 4x3 +ð y ×ð5x4 +ð 3x2 =ð 4x3y3 +ð 5x4 y +ð 3x2
'
fy(x, y) =ð x4 ×ð3y2 +ð x5 ×ð1+ð 0 =ð 3x4y2 +ð x5
Teraz obliczamy pochodne rzędu drugiego:
''
fxx(x, y) =ð 4y3 ×ð3x2 +ð 5y ×ð 4x3 +ð 6x =ð12x2 y3 +ð 20x3y +ð 6x
''
fxy(x, y) =ð 4x3 ×ð3y2 +ð 5x4 ×ð1+ð 0 =ð12x3y2 +ð 5x4
''
fyx(x, y) =ð 3y2 ×ð 4x3 +ð 5x4 =ð12x3y2 +ð 5x4
''
fyy(x, y) =ð 3x4 ×ð 2y +ð 0 =ð 6x4y
Zauważmy, że w powyższym przykładzie jest:
'' ''
fxy(x, y) =ð fyx(x, y). Nie jest to przypadek. Pochodne
mieszane  jeśli istnieją  są sobie równe (twierdzenie
Schwarza).
Otoczenie punktu na płaszczyz
nie Oxy Otoczeniem o
promieniu eð punktu (x0, y0) na pÅ‚aszczyz
nie Oxy
nazywamy wnÄ™trze koÅ‚a o Å›rodku (x0, y0) i promieniu eð .
Założenie. W dalszym ciągu będziemy zakładać, że
istnieją wszystkie pochodne cząstkowe rozważanej funkcji
w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0).
Ekstremum funkcji dwóch zmiennych
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie (x0, y0) maksimum,
gdy istnieje otoczenie U punktu (x0, y0) zawarte w
dziedzinie funkcji f i takie, że dla każdego (x, y)ÎðU jest:
f (x, y) <ð f (x0, y0)
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie (x0, y0) minimum,
gdy istnieje otoczenie U punktu (x0, y0) zawarte w
dziedzinie funkcji f i takie, że dla każdego (x, y)ÎðU jest:
f (x, y) >ð f (x0, y0)
Warunek konieczny ekstremum funkcji dwóch
zmiennych
Jeżeli funkcja f ma w punkcie (x0, y0) ekstremum, to obie
'
pochodne cząstkowe fx' i f są w tym punkcie równe
y
' '
zeru: fx(x0, y0) =ð fy(x0, y0) =ð 0
Punkt stacjonarny funkcji f jest to punkt, w którym obie
pochodne cząstkowe tej funkcji są równe zero.
Warunek dostateczny (wystarczajÄ…cy) ekstremum funkcji
dwóch zmiennych
Jeżeli (x0, y0) jest punktem stacjonarnym funkcji f i
wyrażenie
'' ''
fxx(x0, y0) fxy(x0, y0)
W (x0, y0) =ð
'' ''
fyx(x0, y0) fyy(x0, y0)
jest dodatnie, to funkcja f ma w punkcie (x0, y0)
ekstremum.
''
Gdy fxx(x0, y0) <ð 0 jest to maksimum, zaÅ› gdy
''
fxx(x0, y0) >ð 0 jest to minimum.
Warunek wykluczający ekstremum funkcji dwóch
zmiennych
Jeżeli (x0, y0) jest punktem stacjonarnym funkcji f i
wyrażenie W (x0, y0) jest ujemne, to funkcja f nie ma w
punkcie (x0, y0) ekstremum.
Przykład 6. Wyznaczyć ekstrema funkcji
f (x, y) =ð x3 +ð y3 -ð 3xy
Rozwiązanie. Dziedzina  cała płaszczyzna.
Obliczamy pochodne czÄ…stkowe:
' '
fx(x, y) =ð 3x2 -ð 3y, fy(x, y) =ð 3y2 -ð 3x
Punkty stacjonarne:
ìð3x2 -ð 3y =ð 0 ìðx2 -ð y =ð 0
ïð
, stÄ…d ïð
íð íð
2 2
ïð ïð
îð3y -ð 3x =ð 0 îðy -ð x =ð 0
Z pierwszego równania wyznaczamy: y =ð x2 i wstawiamy
do drugiego równania: x4 -ð x =ð 0
StÄ…d: x(x3 -ð1) =ð 0
x1 =ð 0, x2 =ð1
Zatem: y1 =ð 02 =ð 0, y2 =ð12 =ð1.
SÄ… dwa punkty stacjonarne: P =ð (0,0), P2 =ð (1,1)
1
Obliczamy pochodne cząstkowe rzędu drugiego:
'' '' '' ''
fxx(x, y) =ð 6x, fxy (x, y) =ð f (x, y) =ð -ð3, f (x, y) =ð 6y
yx yy
6x -ð 3
Wyznacznik W (x, y) =ð =ð 36xy -ð 9
-ð 3 6y
Badamy punkt P =ð (0,0) : W(0,0) =ð 36×ð0×ð0 -ð 9 =ð -ð9 <ð 0
1
W punkcie P =ð (0,0) funkcja nie ma ekstremum.
1
Badamy punkt P2 =ð (1,1): W(1,1) =ð 36×ð1×ð1-ð 9 =ð 27 >ð 0
W punkcie P2 =ð (1,1) funkcja ma ekstremum. Ponieważ
''
fxx(1,1) =ð 6×ð1=ð 6 >ð 0 wiÄ™c jest to minimum.