1 Zagadnienia wstepne
Bedziemy sie zajmowali funkcjami postaci f : D R gdzie D ‚" R2. Pojecia
granicy, ciaglości, pochodnej, ekstremum lokalnego i globalnego zostana prze-
niesione w te nowa przestrzeń. Na poczatek kilka podstawowych pojeć topolo-
gicznych na plaszczyz
nie.
Definicja 1.1 Niech (xn, yn) bedzie ciagiem punktów plaszczyzny. Po-
n"N
wiemy, że ciag ten da ży do punktu (x0, y0), gdy xn x0 i yn y0 przy n ".
Definicja 1.2 Niech (x1, y1), (x2, y2) " R2. Odleglościa miedzy tymi punktami
bedziemy nazywali liczbe
d (x1, y1), (x2, y2) = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2.
Definicja 1.3 Kula o środku w p " R2 i promieniu r > 0 nazywamy zbiór
K(p, r) = {q " R2 : d(p, q) < r}.
Definicja 1.4 Niech D ‚" R2, p " D. Powiemy, że D jest otoczeniem punktu
p (lub: punkt p leży we wnetrzu D), jeśli istnieje taki promień r > 0, że
K(p, r) ‚" D. Zbiór wszystkich punktów wewnetrznych zbioru D nazywamy jego
wnetrzem i oznaczamy przez IntD.
Definicja 1.5 Zbiór D ‚" R2 nazwiemy otwartym, jeżeli jest on otoczeniem
każdego swojego punktu.
Definicja 1.6 Zbiór D ‚" R2 nazwiemy domknietym, jeżeli R2 \ D jest zbiorem
otwartym.
Definicja 1.7 Zbiór D ‚" R2 nazwiemy ograniczonym, jeżeli istnieje takie r > 0,
że
D ‚" K((0, 0), r).
1
Definicja 1.8 Niech D ‚" R2, p " R2. Powiemy, że p jest punktem skupienia
zbioru D jeżeli istnieje ciag (qn)n"N punktów zbioru D różnych od p, zbieżny
do p.
Definicja 1.9 Suma zbioru D i zbioru jego punktów skupienia jest nazywana
domknieciem zbioru D.
Definicja 1.10 Zbiór otwarty, którego nie da sie przedstawić jako sumy dwóch
rozlacznych zbiorów otwartych i niepustych, nazywamy obszarem.
Definicja 1.11 Domkniecie obszaru nazywamy obszarem domknietym.
Definicja 1.12 Liczbe
´(D) = sup{d(p, q) : p, q " D}
nazywamy średnica zbioru D.
2 Granica i ciaglość funkcji dwóch zmiennych
Definicja 2.1 Niech f : D R gdzie D ‚" R2. Niech p = (x0, y0) bedzie
punktem skupienia zbioru D. Powiemy, że funkcja f ma w punkcie p granice g
(równa być może + - "), jeżeli dla każdego ciagu (qn)n"N punktów zbioru D
różnych od p, zbieżnego do p zachodzi f(qn) g.
Definicja 2.2 Niech f : D R gdzie D ‚" R2. Niech p = (x0, y0) " D.
Powiemy, że funkcja f jest ciagla w punkcie p, jeżeli dla każdego ciagu (qn)n"N
punktów zbioru D zbieżnego do p zachodzi f(qn) f(p).
Definicja 2.3 Powiemy, że f : D R jest ciagla na D, jeżeli jest ciagla w
każdym punkcie tego zbioru.
Twierdzenie 2.1 (o lokalnym zachowaniu znaku.) Niech f : D R bedzie
ciagla w punkcie p " D i niech f(p) > 0. Wówczas istnieje takie otoczenie V
punktu p, że f(q) > 0 dla q " D )" V.
2
Twierdzenie 2.2 (Weierstrassa o przyjmowaniu kresów) Niech f : D R
gdzie D ‚" R2 jest zbiorem domknietym i ograniczonym. Niech f bedzie ciagla
na D. Wówczas
1. f jest funkcja ograniczona,
2. istnieja takie punkty pmax i pmin, że
f(pmax) = max{f(q) : q " D} i f(pmin) = min{f(q) : q " D}.
3 Pochodne czastkowe i ekstrema funkcji dwóch
zmiennych
Definicja 3.1 Niech f : D R, niech D bedzie otoczeniem punktu (x0, y0).
Granice
f(x0 + h, y0) - f(x0, y0)
lim
h0 h
(jeśli istnieje) bedziemy nazywać pochodna czastkowa funkcji f po pierwszej
zmiennej w punkcie (x0, y0) i oznaczać przez fx(x0, y0). Liczbe te można utożsamić
z pochodna w punkcie x0 funkcji jednej zmiennej powstalej z f przez ustalenie
y = y0.
Definicje pochodnej czastkowej po drugiej zmiennej pozostawiamy czytelni-
kowi.
Jeżeli pochodnie czastkowe fx i fy istnieja w pewnym otoczeniu V punktu
(x0, y0), to możemy je potraktować jako nowe funkcje dwóch zmiennych. Liczac
z kolei ich pochodne czastkowe w (x0, y0) (jeśli istnieja) otrzymamy liczby
fxx(x0, y0), fxy(x0, y0), fyx(x0, y0), fyy(x0, y0)
zwane pochodnymi czastkowymi drugiego rzedu funkcji f w punkcie (x0, y0).
Twierdzenie 3.1 (Schwarza) Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu
(x0, y0) pochodne czastkowe mieszane fxy i fyx i sa one ciagle w (x0, y0) to
fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0)
3
Definicja 3.2 Powiemy, że funkcja f : D R ma maksimum lokalne w
punkcie p " D, jeżeli istnieje takie otoczenie V punktu p, że f(p) e" f(q) dla
q " D )" V.
Definicja 3.3 Powiemy, że funkcja f : D R ma maksimum lokalne wlaściwe
w punkcie p " D jeżeli istnieje takie otoczenie V punktu p, że f(p) > f(q) dla
q " D )" V \ {p}.
Definicja 3.4 Powiemy, że funkcja f : D R ma maksimum absolutne w
punkcie p " D, jeżeli f(p) e" f(q) dla q " D.
Twierdzenie 3.2 (warunek konieczny istniena ekstremum) Niech f : D
R, niech D bedzie otoczeniem punktu (x0, y0). Jeżeli funkcja f ma w (x0, y0)
pochodne czastkowe i ma w tym punkcie maksimum lokalne, to
fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0.
Definicja 3.5 Niech f posiada ciagle pochodne czastkowe drugiego rzedu na
pewnym zbiorze otwartym D. Liczbe
fxx(x0, y0) fxy(x0, y0)
W (x0, y0) = det
fyx(x0, y0) fyy(x0, y0)
nazywamy wyróżnikiem funkcji f w (x0, y0).
Twierdzenie 3.3 (warunek wystarczajacy istnienia ekstremum lokalnego) Niech
f posiada ciagle pochodne czastkowe drugiego rzedu na pewnym otoczeniu
otwartym D punktu (x0, y0). Jeżeli
1. fx(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) = 0,
2. W (x0, y0) > 0,
to funkcja f ma w (x0, y0) ekstremum lokalne wlaściwe.
Uwaga 3.1 Jeżeli w tej samej sytuacji otrzymamy W (x0, y0) < 0, oznacza to,
że w punkcie (x0, y0) nie ma ekstremum lokalnego.
4
4 Różniczka zupelna funkcji
Definicja 4.1 Niech f : D R, niech D bedzie otoczeniem punktu (x0, y0).
Funkcje liniowa A(x, y) = a · x + b · y spelniajaca warunek
f(x, y) - f(x0, y0) - A(x - x0, y - y0)
lim = 0
(x,y)(x0,y0)
(x - x0)2 + (y - y0)2
(jeśli taka istnieje) nazwiemy różniczka zupelna funkcji f w (x0, y0). O funkcji
f powiemy wówczas, że jest różniczkowalna w punkcie (x0, y0).
Twierdzenie 4.1 Jeżeli funkcja liniowa A(x, y) = a · x + b · y jest różniczka
zupelna funkcji f w (x0, y0) to f posiada w tym punkcie pochodne czastkowe
równe
fx(x0, y0) = a, fy(x0, y0) = b.
5 Funkcja uwiklana
Definicja 5.1 Niech F : D R, gdzie D jest zbiorem otwartym w R2.
Każda funkcje ciagla y = y(x) okreÅ›lona na pewnym przedziale I ‚" R taka,
że F (x, y(x)) = 0 dla x " I nazwiemy funkcja uwiklana dana równaniem
F (x, y) = 0.
Uwaga 5.1 Równanie F (x, y) = 0 może na pewnym przedziale określać jedna
funkcje uwiklana, wiele funkcji uwiklanych lub żadnej.
Twierdzenie 5.1 (o istnieniu funkcji uwiklanej) Jeżeli F jest klasy C1 (czyli
ma ciagle pochodne czastkowe pierwszego rzedu) w pewnym otoczeniu punktu
(x0, y0) oraz
F (x0, y0) = 0 i F y(x0, y0) = 0

to na pewnym otoczeniu punktu x0 istnieje dokladnie jedna funkcja dana równaniem
F (x, y) = 0 i spelniajaca warunek y(x0) = y0. Funkcja ta ma ciagla pochodna
określona wzorem
Fx(x, y(x))
y (x) = - .
Fy(x, y(x))
5
Twierdzenie 5.2 (warunek wystarczajacy istnienia ekstremum funkcji uwiklanej)
Jeżeli F jest funkcja klasy C2 na pewnym otoczeniu punktu (x0, y0) oraz
1. F (x0, y0) = 0,
2. Fx(x0, y0) = 0,
3. Fy(x0, y0) = 0,

Fxx(x0,y0)
4. I(x0, y0) = - = 0

Fy(x0,y0)
to funkcja uwiklana y = y(x) określona równaniem F (x, y) = 0 i spelniajaca
warunek y(x0) = y0 ma w punkcie x0 ekstremum lokalne y0. Jest to maksimum
gdy I(x0, y0) < 0 i minimum, gdy I(x0, y0) > 0.
6