1
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
Def.
Je\
eli ka\
demu punktowi (x, y) ze zbioru E
płaszczyzny 0XY przyporządkujemy pewną
liczbę rzeczywistą z, to mówimy, \
e na zbiorze E
określona została funkcja z = f(x, y).
Gdy zbiór E nie jest wyraz
nie podany,
sprawdzamy dla jakich par (x, y) funkcja
Z = f(x, y) ma sens, np.:
x + y
z = x2
Funkcja
x - y
jest określona gdy:
1. pod pierwiastkiem jest liczba nieujemna tj.
x + y
e" 0
x - y
czyli :
(x +y)e" e"0 albo
e"0 i (x -y) e"
e" e"
e" e"
(x +y)d" d"0
d"0 i (x -y)d"
d" d"
d" d"
 2
x + y
z = x2
Pole funkcji x - y
2.wyra\
enie w mianowniku jest ró\
ne od zera
tj. gdy (x -y)`" `"y
`"0 to x`"
`" `"
`" `"
Def.
Zbiór E to pole funkcji dwóch zmiennych,
inaczej zwany dziedziną funkcji. Jest to część
płaszczyzny.
 3
Wykresem funkcji dwóch zmiennych
nazywamy zbiór W punktów w przestrzeni R3
spełniających warunki:
W = ((x, y, z): (x, y)" E '" z = f (x, y))
Jest to zatem pewna powierzchnia w
przestrzeni R3.
Na przykład obrazem geometrycznym
funkcji:
z = x2 + y2 , gdzie(x, y)" R2
jest powierzchnia zwana paraboloidÄ…
obrotowÄ….
 4
Paraboloida
z = x2 + y2
 5
Funkcja potęgowa
z = 4x2 y3
Def.
Rzut prostopadły na płaszczyznę OXY
przekroju powierzchni z = f(x, y) płaszczyzną
równoległą do płaszczyzny OXY nazywamy
warstwicÄ… tej funkcji.
Jak wynika z definicji warstwice funkcji
dwóch zmiennych są pewnymi prostymi lub
krzywymi na płaszczyz
nie OXY.
 6
 7
POCHODNA CZ
STKOWA FUNKCJI
z =f(x, y)
Def.
Dana jest funkcja z= f (x, y). Zakładając, \
e
jedna ze zmiennych jest ustalona, np. zmienna
y=y0 otrzymujemy w ten sposób funkcję jednej
zmiennej z=f(x, y0). Je\
eli funkcja f(x, y0)
posiada pochodnÄ… w punkcie x0, to pochodnÄ… tÄ™
nazywamy pochodnÄ… czÄ…stkowÄ… w punkcie (x0,
y0) funkcji f(x, y) względem zmiennej x i
oznaczamy przez
´f (x, y)
'
f (x0, y0) lub
x
´x
( x0 , y0 )
Analogicznie definiujemy pochodnÄ…
cząstkową względem zmiennej y f'y(x0, y0)
Analogicznie mo\
emy definiować pochodną
pochodnej czyli drugÄ… pochodnÄ…. Z tym, \
e w
tym przypadku mamy a\
cztery pochodne
rzędu drugiego:
f´´xx, f´´xy, f´´yx, f´´yy
Przykład:
 8
z = x2 y + x - 3y + 6
' '
f = 2xy +1 f = x2 - 3
x y
'' '' '' ''
f = 2y f = 0 f = 2x f = 2x
xx yy xy yx
GRADIENT FUNKCJI z= f(x, y)
GRADIENTEM funkcji z nazywamy wektor,
którego składowymi są pochodne cząstkowe
rzędu pierwszego
'
îÅ‚ Å‚Å‚
f (x0, y0)
x
gradf (x0, y0)=
ïÅ‚
'
f (x0, y0)śł
y
ðÅ‚ ûÅ‚
W otoczeniu punktu (x0, y0) gradient wskazuje
kierunek w którym funkcja f wzrasta
najszybciej.
Przykład:
Wska\
kierunek najszybszego przyrostu
wartości funkcji
z = 6x - 5xy3 + x2 przy (x0 = 2, y0 = 1)
 9
îÅ‚ Å‚Å‚
6 - 5y3 + 2x
grad f (x, y) =
ïÅ‚ śł
-15xy2 ûÅ‚
ðÅ‚
6 - 5Å"1+ 2 Å" 2
îÅ‚ Å‚Å‚
grad f (2,1)=
ïÅ‚ śł
-15Å" 2Å"1
ðÅ‚ ûÅ‚
5
îÅ‚ Å‚Å‚
grad f (2,1)=
ïÅ‚- 30śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Elastyczność cząstkowa funkcji z= f(x, y)
Elastyczności cząstkowe funkcji dwóch
zmiennych definiujemy:
x
'
Ezx = Ex f (x, y)=
x
f (x, y)Å" f (x, y)
 10
y
'
Ezy = Ey f (x, y)=
y
f (x, y)Å" f (x, y)
Określamy w ten sposób % wzrost wartości
funkcji z= f(x, y), gdy jedna zmienna
niezale\
na (x lub y)wzrasta o 1%.
Przykład:
Obliczyć elastyczności cząstkowe funkcji
z = 2x2 y3
z' = 4xy3
x
z' = 6x2 y2
y
stÄ…d
x y
Ezx = 4xy3 =2 Ezy = 6x2y2 =3
2x2y3 2x2y3
2
z = ex + y2
Z kolei dla funkcji pochodne
cząstkowe i elastyczności wynoszą:
 11
2 2
z' = 2xex + y2 , z' = 2yex + y2
x y
2
x
Ezx = 2xex + y2 = 2x2
2
ex + y2
2
y
Ezy = 2yex + y2 = 2y2
2
ex + y2
RÓśNICZKA ZUPEA
NA z= f(x, y)
Zakładamy, \
e funkcja z= f(x, y) jest
ró\
niczkowalna w pewnym obszarze. Ró\
niczki
cząstkowe tej funkcji względem zmiennej x i
zmiennej y są określone następującymi wzorami:
' '
dx f (x, y) = f Å" "x oraz dy f (x, y) = f "y
x y
Jako, \
e ró\
niczka zmiennej niezale\
nej jest po
prostu równa przyrostowi tej zmiennej to
powy\
sze wzory mo\
na zapisać:
' '
dx f (x, y) = f Å" dx oraz dy f (x, y) = f dy
x y
Sumę ró\
niczek cząstkowych nazywamy ró\
niczkÄ…
zupełną funkcji f(x,y).
 12
' '
df (x, y)= dx f (x, y) + dy f (x, y) = f Å" dx + f dy
x y
Przykład:
z = 2x2 + y3
Obliczyć przyrost funkcji z
punktu (x0=2, y0=1) przy "x="y=0,01
"f (x, y)( ) H" 4x "x + 3y2 Å" "y = 8 Å" 0,01+ 3Å" 0,01 = 0,11
x0 , y0 (x0 , y0 )
(x0 , y0 )
Przykład:
W badaniach ekonomicznych stosowana jest tzw
funkcja Cobb-Douglasa
Ä… ²
D = aM Z
D- wielkość wytworzonego dochodu narodowego
M- wielkość produkcyjnego majątku trwałego
funkcjonujÄ…cego w gospodarce narodowej
Z- wielkość zatrudnienia w produkcji materialnej
a, Ä…, ²- parametry (dodatnie)
średnie tempo wzrostu dochodu narodowego:
"D
rD =
D
 13
poniewa\
:
D = f (M , Z)
to przyrost zupełny funkcji wynosi:
2 2
"D = DM "M + DZ "Z
Ä… -1 ²
2
DM = Ä… a M Z
Ä… ² -1
2
DZ = ² a M Z
czyli:
Ä… -1 ² Ä… ² -1
"D = Ä…aM Z "M + ²aM Z "Z
stąd średnie tempo wzrostu dochodu narodowego
wynosi:
Ä… -1 ² Ä… ² -1
"D Ä…aM Z "M + ²aM Z "Z "M "Z
= = Ä… + ²
Ä… ²
D aM Z M Z
 14
Uwzględniając inny zapis:
"M
= rm
M
oznacza średnie tempo wzrostu produkcyjnego
majątku trwałego
"Z
= rZ
Z
oznacza średnie tempo wzrostu zatrudnienia w
produkcji materialnej
średnie tempo wzrostu dochodu narodowego
wynosi:
rD = Ä… rM + ² rZ
Na podstawie funkcji Cobb-Douglasa obliczamy
elastyczność dochodu narodowego względem
produkcyjnego majątku trwałego i zatrudnienia:
M M
Ä… -1 ²
2
EDM = Å" DM = Ä… a M Z = Ä…
Ä… ²
D aM Z
Z Z
Ä… ² -1
2
EDZ = Å" DZ = ² a M Z = ²
Ä… ²
D aM Z
 15
EKSTREMA FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Def.
F: D Z, D"R2 i (x, y)"D
Funkcja f(x, y) ma w punkcie (x0, y0) maksimum,
je\
eli istnieje otoczenie tego punktu takie, \
e dla
ka\
dego punktu (x, y) nale\
Ä…cego do tego
otoczenia zachodzi nierówność:
f (x, y) d" f (x0 , y0 ) czyli
2 2
2
(" '")"D (x - x0 ) + (y - y0 ) d" r
r>0 (x, y
Ò! f (x, y) d" f (x0 , y0 )
Def.
Funkcja f(x, y) ma w punkcie (x0,y0) minimum
je\
eli istnieje otoczenie tego punktu takie, \
e dla
ka\
dego punktu (x, y) nale\
Ä…cego do tego
otoczenia zachodzi nierówność:
 16
f (x, y)e" f (x0, y0) czyli
2 2
(" '")"D (x - x0) + (y - y0) d" r2
r>0 (x, y
Ò! f (x, y)e" f (x0, y0)
Maksima i minima funkcji to inaczej ekstrema
funkcji.
Tw. [WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA
EKSTREMUM]
Je\
eli funkcja F: DZ, D"R2 ma w punkcie
(x0,y0)"D ekstremum i obie pochodne czÄ…stkowe
pierwszego rzędu, to pochodne te są w tym
punkcie równe zeru to jest:
f 'x (x0 , y0 ) = 0 i f 'y (x0 , y0 ) = 0
Tw. [WARUNEK WYSTARCZAJACY
ISTNIENIA EKSTREMUM]
Załó\
my, \
e funkcja f(x, y) ma w otoczeniu punktu
(x0, y0) ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu
i oznaczmy:
 17
w(x, y) = fxx(x, y)Å" f (x, y)- fxy(x, y)Å" f (x, y) =
yy yx
fxx fxy
=
f f
yx yy
wyra\
enie W wyró\
nik funkcji f
Zakładamy, \
e fx(x0, y0)=fy(x0, y0)=0
10Je\
eli W(x0, y0)>0 i fxx>0 to funkcja ma w
punkcie (x0, y0) minimum.
20Je\
eli W(x0, y0)>0 i fxx<0 to funkcja ma w
punkcie (x0, y0) maksimum
30Je\
eli W(x0, y0)<0 to funkcja nie ma w punkcie
(x0, y0) ekstremum
40Je\
eli W(x0, y0)=0 to funkcja mo\
e mieć lub nie
mieć w punkcie (x0, y0) ekstremum
Przykład:
Zbadać ekstrema funkcji
f (x, y) = -4x2 - 9y2 +16x - 54y - 98
2 2
f = -8x +16 f = -18y - 54
x y
2 2
f = f = 0
x y
 18
- 8x +16 = 0 -18y - 54 = 0
x = 2 y = -3
2 2 2 2 2 2 2 2
fxx = -8 f = -18 fxy = f = 0
yy yx
2 2
W(2,-3)= (-8) (-18)- 0Å"0 = 144 > 0 fxx < 0
czyli funkcja f posiada w tym punkcie (2, -3)
maksimum.
 19
W zastosowaniach matematyki do ekonomii
występuje problem wyznaczenia zale\
ności
między wielkościami ekonomicznymi na przykład:
między dochodem narodowym, a inwestycjami,
popytem na dane dobro, a dochodami ludności.
Przez X określimy jedną z wielkości
ekonomicznych, a przez Y drugą oraz zało\
ymy,
\
e mamy odpowiednie informacje statystyczne o
tych wielkościach w ilości  n danych.
Metoda najmniejszych kwadratów polega na
wyznaczeniu parametrów funkcji f(x), które
zapewniałyby, \
e suma kwadratów S odchyleń
przyjmowała wartość najmniejszą:
n n
2
2
S =
"e = "(y - f (xi ))
i i
i=1 i=1
Załó\
my, \
e zale\
ność między zmiennymi ma
charakter liniowy:
Y = aX + b
Metoda najmniejszych kwadratów pozwala nam na
wyznaczenie parametrów a i b :
n
2
S =
"(y - axi - b)
i
i=1
Jest to funkcja dwóch zmiennych a i b
 20
Naszym zadaniem jest znalezienie minimum
funkcji dwóch zmiennych.
Pochodne cząstkowe funkcji S(a,b) określonej
wzorem:
n
2
S =
"(y - axi - b)
i
i=1
wynoszÄ…:
n n
2
Sa (a,b) = 2 xi (yi - axi - b)
"(y - axi - b)Å"(- xi ) = -2"
i
i=1 i=1
n n
2
Sb(a,b) = 2
"(y - axi - b)Å"(-1)= -2"(y - axi - b)
i i
i =1 i=1
warunek konieczny na ekstremum przyjmuje
postać układu równań:
n
"x (yi - axi - b) = 0,
i
i=1
n
"(y - axi - b) = 0,
i
i=1
 21
po przekształceniach równania przyjmują postać:
n n n
a xi2 + b xi =
" " "x yi
i
i=1 i=1 i=1
n n
a xi + nb = yi
" "
i=1 i=1
co daje rozwiązanie tego układu względem
zmiennych a i b:
n n n
n yi
"x yi - "x "
i i
i=1 i=1 i=1
a =
2
n n
2
n ìÅ‚ ÷Å‚
"x - ëÅ‚"x öÅ‚
i i
i=1 íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
n n
yi - a
" "x
i
i=1 i=1
b =
n
Zakładając, \
e:
2
n n
2
n ìÅ‚ ÷Å‚
"x - ëÅ‚"x öÅ‚ `" 0
i i
i=1 íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
 22
funkcja S mo\
e mieć ekstremum w punkcie o
współrzędnych określonych wzorami na a ib
Sprawdzimy jeszcze czy funkcja spełnia warunek
dostateczny istnienia ekstremum w tym punkcie:
n n
2 2
Saa = 2 xi2
"(- xi )(- xi ) = 2"
i=1 i=1
n
2 2
Sbb = 2
"(-1)(-1) = 2n
i=1
n n
2 2
Sab = 2 xi
"(-1)(- xi ) = 2"
i=1 i=1
n n
2 2
Sba = 2 xi
"(- xi )(-1) = 2"
i=1 i=1
Wyró\
nik:
2 2
n n n n
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
2
W(a,b) = 2 xi2 Å" 2n - ìÅ‚2 xi ÷Å‚ = 4 n ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚
" " "x - ëÅ‚"x öÅ‚ śł
i i
i=1 íÅ‚ i=1 Å‚Å‚ i=1 íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Mo\
na udowodnić, \
e je\
eli xi (i=1, 2, 3, 4,& ,n)
 23
nie są wszystkie równe, (zało\
enie to w metodzie
najmniejszych kwadratów jest spełnione), to
2
n n
2
n ìÅ‚ ÷Å‚
"x - ëÅ‚"x öÅ‚ > 0
i i
i=1 íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
Z tego warunku wynika, \
e wyró\
nik jest dodatni
w ka\
dym punkcie (a, b). Jest on funkcją stałą
zmiennych a, b- jest więc dodatni w punkcie o
współrzędnych a, b wyznaczonych MNK. Zatem w
punkcie tym funkcja S ma ekstremum i jest to
2 2
Saa(a,b) > 0
minimum ( dla ka\
dego punktu (a, b).