14. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
14.1. Podstawowe pojęcia
" Def.
FunkcjÄ… dwóch zmiennych x i y okreÅ›lonÄ… w zbiorze D ‚" R2 nazywamy
przyporządkowanie każdej parze (x, y)" D dokładnie jednej liczby z " R , co zapisujemy:
f : (x, y)" D z = f (x, y)" R .
x, y  zmienne niezależne (argumenty funkcji)
z  zmienna zależna (wartość funkcji)
PRZYKA
AD 46
Ze wzoru z=2x-3y+5 można obliczyć z dla dowolnej pary liczb (x,y) np. dla x=1, y=2: z=1.
" Def.
Dziedziną funkcji f nazywamy zbiór tych par (x,y) dla których wzór opisujący daną funkcję
ma sens liczbowy.
PRZYKA
AD 47
Określ i zilustruj w R2 dziedzinę funkcji określonej wzorem: f (x, y) = x2+ y2 -16
Wyrażenie x2+ y2 -16 ma sens, gdy: x2+ y2 -16 e" 0 , czyli x2+ y2 e" 16 . Dziedziną funkcji
jest więc zewnętrze koła o promieniu r=4 i środku (0,0) wraz z brzegiem:
D = {(x, y)" R2 : x2+ y2 e" 16}
4
0 4
" Def.
Wykresem funkcji dwóch zmiennych z = f (x, y) nazywamy zbiór wszystkich punktów
(x,y,z) w przestrzeni trójwymiarowej R3 , dla których z = f (x, y). (Na ogół jest więc to
pewna powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej, którą znajdujemy przyporządkowując
określonym wartościom zmiennych x i y punkt P(x,y) na płaszczyz
nie XY, a następnie punkt
R o tych samych współrzędnych x,y i o współrzędnej z = f (x, y)).
Opracowała: K. Sokołowska
56
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
z
z=f(x,y)
z R(x,y,z)
x x
y
P(x,y)
D
y
14.2. Granica i ciągłość funkcji
" Def.
Ciąg punktów płaszczyzny (xn , yn ) jest zbieżny do punktu (x0 , y0 ), gdy xn x0 ,
n"
yn y0 .
n"
" Def.
Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie (x0 , y0 ), jeżeli dla każdego ciągu
punktów ((xn , yn )), takich, że (xn , yn )" D ,(xn , yn ) `" (x0 , y0 )i zbieżnego do (x0, y0 ),
odpowiadający mu ciąg wartości funkcji f (xn , yn )jest zbieżny do g, co zapisujemy:
limx f (xn , yn ) = g .
(xn ,yn )( ,y0 )
0
PRZYKA
AD 48
Obliczymy granicÄ™:
xy
lim = -2
x1
x - y
y2
" Def.
Funkcja z = f (x, y) jest ciągła w punkcie P0(x0 , y0 )" D jeżeli:
­ ma granicÄ™ w punkcie (x0 , y0 )
­ istnieje wartość funkcji w punkcie (x0 , y0 )
­ granica jest równa wartoÅ›ci funkcji w punkcie (x0 , y0 ),
co zapisujemy:
lim f (x, y) = f (x0 , y0 )
x x0
y y0
PRZYKA
AD 49
xy
Zbadajmy ciągłość funkcji f (x, y) = w punkcie P0 = (1,2).
x - y
xy
lim = -2 , f (1,2) = -2 , więc funkcja f jest ciągła w punkcie (1,2).
x1
x - y
y2
Opracowała: K. Sokołowska
57
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
14.3. Pochodne czÄ…stkowe
" Def.
Otoczeniem punktu P0(x0 , y0 ) o promieniu R>0 nazywamy zbiór punktów
2 2
płaszczyzny, których współrzędne (x,y) spełniają nierówność(x - x0 ) + (y - y0 ) < R2 i
oznaczamy Q(P0 , R).
R
y0
P0 Q(P0, R)
x0
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu (x0 , y0 ).
Jeżeli we wzorze z = f (x, y) jednej ze zmiennych przypiszemy konkretną wartość
liczbowÄ…, np. w miejsce y wstawimy liczbÄ™ y0 , to otrzymamy funkcjÄ™ jednej zmiennej
z = f (x, y0 ).
" Def.
Jeśli tak utworzona funkcja ma pochodną w punkcie x0 , tzn. jeżeli istnieje granica :
f (x0 + "x, y0 )- f (x0 , y0 )
lim ,
"x0
"x
to nazywamy ją pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji z = f (x, y) względem
zmiennej x w punkcie (x0 , y0 ) i oznaczamy:
"z "f
2
, , f w punkcie (x0 , y0 ).
x
"x "x
" Def.
Pochodną cząstkową funkcji z = f (x, y) względem zmiennej y w punkcie (x0 , y0 )
definiujemy analogicznie:
f (x0 , y0 + "y)- f (x0, y0 )
lim
"y0
"y
i oznaczamy:
"z "f
2
, , f w punkcie (x0 , y0 ).
y
"y "y
14.4. Interpretacja geometryczna pochodnej czÄ…stkowej
2
" W interpretacji geometrycznej pochodna cząstkowa f w punkcie (x0 , y0 ) jest równa
x
tangensowi kąta między styczną do krzywej z = f (x, y0 ), a dodatnim kierunkiem osi
Opracowała: K. Sokołowska
58
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
0X, tzn. równa tangensowi kąta miedzy styczną w punkcie (x0 , y0 , z0 ), gdzie
z0 = f (x0 , y0 ), a osią równoległą do osi 0X przechodzącą przez punkt (x0 , y0 ,0).
z
z=f(x,y)
z = f (x, y0 )
x0
x
y0
(x0 , y0 )
y
14.5. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
" Def.
"f "f
Pochodne cząstkowe pochodnych: , nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu
"x "y
drugiego i oznaczamy:
2
üÅ‚
" "f " f
ëÅ‚ öÅ‚
= = f 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
"x "x "x2 xx ôÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚
pochodne cząstkowe jednorodne rzędu drugiego funkcji f(x,y)
żł
ëÅ‚ öÅ‚
" "f "2 f
ôÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ = = f 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
"y "y "y2 yy ôÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
þÅ‚
2
" "f " f üÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
2 2
= = f
ìÅ‚ ÷Å‚
xy ôÅ‚
"y "x "x"y
íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚
pochodne cząstkowe mieszane rzędu drugiego funkcji f(x,y)
żł
" ëÅ‚ "f öÅ‚ "2 f
ôÅ‚
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚ = = f
yx
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚
"x "y "y"x
íÅ‚ Å‚Å‚
þÅ‚
" Tw. Schwarza
Jeżeli funkcja z = f (x, y) ma w pewnym obszarze D ciągłe pochodne mieszane rzędu
drugiego, to pochodne te są sobie równe:
2
" f "2 f
=
"x"y "y"x
w każdym punkcie (x, y)" D .
PRZYKA
AD 50
Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu dla funkcji:
f (x, y) = 5x3 + y4 - 3xy + 4xy5
Opracowała: K. Sokołowska
59
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
"f "f
=15x2 - 3y + 4y5 , = 4y3 - 3x + 20xy4 ,
"x "y
2
"2 f " f "2 f "2 f
= 30x , =12y2 + 80xy3 , = - 3 + 20y4 , = - 3 + 20y4 .
"x2 "y2 "x"y "y"x
14.6. Różniczka funkcji
Niech z = f (x, y) będzie określona w otoczeniu punktu (x0 , y0 ) i różniczkowalna w tym
punkcie.
" Def.
Różniczką zupełną rzędu pierwszego funkcji f w punkcie (x0 , y0 )nazywamy wyrażenie
postaci:
"f "f
df (x0, y0 ) = (x0, y0 )dx + (x0 , y0 )dy
"x "y
" Def.
Różniczką zupełną rzędu drugiego funkcji f w punkcie (x0 , y0 )nazywamy wyrażenie
postaci:
"2 f "2 f "2 f
df (x0 , y0 ) = (x0, y0 )dx2 + (x0 , y0 )dy2 + 2 (x0 , y0 )dxdy ,
"x2 "y2 "x"y
gdzie
dx2 = dxdx
PRZYKA
AD 51
Wyznaczyć różniczkę zupełną drugiego rzędu dla funkcji: f (x, y) = 5x3 + y4 - 3xy + 4xy5
Ponieważ pochodne cząstkowe drugiego rzędu wynoszą:
2
"2 f " f "2 f "2 f
= 30x , =12y2 + 80xy3 , = - 3 + 20y4 , = - 3 + 20y4 .
"x2 "y2 "x"y "y"x
Więc różniczka zupełna drugiego rzędu przyjmuje postać:
df = 30xdx2 + (12y2 + 80xy3)dy2 + 2(- 3 + 20y4)dxdy .
Różniczka zupełna drugiego rzędu w punkcie (1,2) przyjmuje zaś postać:
df (1,2) = 30dx2 + 688dy2 + 634dxdy
14.7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Niech dana będzie funkcja z = f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu P0 (x0 , y0 ).
" Def.
Mówimy, że funkcja posiada w punkcie (x0 , y0 ) maksimum (minimum) lokalne, jeżeli
istnieje otoczenie punktu (x0 , y0 ) takie, że dla każdego punktu (x, y) należącego do tego
otoczenia spełniona jest nierówność:
f (x, y)d" f (x0 , y0 ) ( f (x, y) e" f (x0 , y0 ))
Maksima i minima lokalne Å‚Ä…cznie nazywamy ekstremami lokalnymi.
" Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego funkcji dwóch
zmiennych:
Opracowała: K. Sokołowska
60
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Jeżeli dana jest funkcja dwóch zmiennych z=f(x,y) mająca w otoczeniu punktu P0 (x0 , y0 )
wszystkie drugie pochodne cząstkowe ciągłe oraz jeżeli spełnione są następujące warunki:
"f (x0 , y0 ) "f (x0 , y0 )
- =0, =0, (warunek konieczny)
"x "y
2
2
îÅ‚ Å‚Å‚
"2 f (x0 , y0 ) " f (x0 , y0 ) "2 f (x0 , y0 )
- W (x0 , y0 ) = Å" - > 0 , (warunek wystarczajÄ…cy)
śł
"x2 "y2 ïÅ‚ "x"y
ðÅ‚ ûÅ‚
to w punkcie P0(x0 , y0 ) funkcja ma ekstremum, przy czym:
2
" f (x0 , y0 )
- w punkcie P0(x0 , y0 ) jest minimum lokalne, jeżeli >0
"x2
2
" f (x0 , y0 )
- w punkcie P0 (x0 , y0 ) jest maksimum lokalne, jeżeli <0.
"x2
UWAGA:
Jeżeli spełnione są warunki:
"f (x0 , y0 ) "f (x0 , y0 )
- =0, =0,
"x "y
ale:
" W (x0 , y0 ) <0 to funkcja nie ma ekstremum w punkcie P0(x0 , y0 )
" W (x0, y0 ) =0 to ekstremum w punkcie P0(x0 , y0 ) może istnieć lub nie
PRZYKA
AD 52
Wyznacz, jeżeli istnieją ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 3x2 y - 6xy + y3 .
- Dla funkcji f (x, y) = 3x2 y - 6xy + y3 mamy:
2 2 2
"f "f " f " f " f
= 6xy - 6y , = 3x2 - 6x + 3y2 , = 6y , = 6y , = 6x - 6
"x "y "x2 "y2 "x"y
- Sprawdzamy warunek konieczny
"f (x0 , y0 )
Å„Å‚
= 0
ôÅ‚
6xy
Å„Å‚ - 6y = 0 6y(x y = 0 (" x = 1
Å„Å‚ -1) = 0
Å„Å‚
ôÅ‚ "x
Ô! Ô!
òÅ‚"f (x0 , y0 ) Ô! òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
2 2 2
ół3x - 6x + 3y2 = 0 ół3x - 6x + 3y2 = 0 ół3x - 6x + 3y2 = 0
ôÅ‚
= 0
ôÅ‚
"y
ół
y = 0
Å„Å‚ y = 0 y = 0 P1(0,0)
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
1. Ô!
òÅ‚ òÅ‚3x(x - 2) = 0 Ô! òÅ‚x = 0 (" x = 2 Ò! òÅ‚P
2
(2,0)
ół ół ół 2
ół3x - 6x = 0
x = 1 x = 1 P3(1,1)
Å„Å‚ Å„Å‚ x = 1 Å„Å‚
Å„Å‚
2. Ô! Ô! Ò! .
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
2
(1,-1)
óły
ół- 3 + 3y2 = 0 óły = 1 = 1(" y = -1 ółP4
- Sprawdzamy warunek dostateczny:
- Wartości poszczególnych pochodnych oraz wyróżniki dla każdego z 4 otrzymanych
punktów zestawimy w tabeli:
Opracowała: K. Sokołowska
61
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
 (0,0) (2,0) (1,1) (1,-1)
2
0 0 6 -6
" f
= 6y
"x2
2
0 0 6 -6
" f
= 6y
"y2
2
-6 6 0 0
" f
= 6x - 6
"x"y
2
-36<0 -36<0 36>0 36>0
îÅ‚ Å‚Å‚
"2 f (x0, y0 ) "2 f (x0 , y0 ) "2 f (x0, y0 )
W (x0 , y0 ) = Å" - brak brak min max
śł
"x2 "y2 ïÅ‚ "x"y
ðÅ‚ ûÅ‚
ekstr. ekstr. lokalne lokalne
2
" f
Ponieważ (1,1) = 6 > 0 , więc w punkcie (1,1) istnieje minimum.
"x2
2
" f
Ponieważ (1,-1) = -6 < 0, więc w punkcie (1,-1) istnieje maksimum.
"x2
- fmin (1,1) = -2 , fmax (1,-1) = 2 .
14.8. Zastosowanie rachunku różniczkowego dwóch zmiennych w ekonomii
" Elastyczność funkcji
Elastyczności cząstkowe funkcji dwóch zmiennych definiuje się analogicznie jak
elastyczność funkcji jednej zmiennej.
"f "f
Jeżeli istnieją pochodne cząstkowe i , to elastycznością cząstkową funkcji
"x "y
z = f (x, y):
- względem zmiennej x nazywamy wyrażenie :
x "f
Exf ( x,y) = Å"
f (x, y) "x
- względem zmiennej y nazywamy wyrażenie :
y "f
Eyf (x, y) = Å"
f (x, y) "y
Interpretacja elastyczności
Exf (x,y) określa w przybliżeniu o ile procent wzrośnie wartość funkcji z, gdy zmienna
niezależna x wzrośnie o 1% przy ustalonej wartości zmiennej y.
Eyf (x, y) określa w przybliżeniu o ile procent wzrośnie wartość funkcji z, gdy zmienna
niezależna y wzrośnie o 1% przy ustalonej wartości zmiennej x.
PRZYKA
AD 53
Obliczyć elastyczności cząstkowe funkcji produkcji typu Cobba-Douglasa
z(x, y) = 4x0,1 y0,5 , gdzie z - wielkość produkcji, x  wielkość majątku produkcyjnego, y 
wielkość zatrudnienia.
Obliczamy:
Opracowała: K. Sokołowska
62
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
- pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji z(x, y) względem x :
"f
= 4 Å" 0,1x-0,9 y0,5
"x
- pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji z(x, y) względem y :
"f
= 4 Å" 0,5x0,1 y-0,5
"y
Zatem elastyczności cząstkowe wynoszą:
x "f x
Exf ( x,y) = Å" = Å" 4 Å" 0,1x-0,9 y0,5 = 0,1
f (x, y) "x 4x0,1 y0,5
y "f y
Eyf (x, y) = Å" = Å" 4 Å" 0,5x0,1 y-0,5 = 0,5
f (x, y) "y 4x0,1 y0,5
Jak można zauważyć, elastyczności te są stałe (nie zależą od wyjściowych wartości
wielkości majątku produkcyjnego i zatrudnienia).
Interpretacja:
Wzrost wielkości majątku trwałego o 1% (przy nie zmienionej wielkości
zatrudnienia) powoduje wzrost wielkości produkcji w przybliżeniu o 0,1
%.
Wzrost wielkości zatrudnienia o 1% (przy nie zmienionej wielkości majątku
trwałego) powoduje wzrost wielkości produkcji w przybliżeniu o 0,5
%.
" Wielkości krańcowe
Wielkości krańcowe funkcji dwóch zmiennych definiuje się analogicznie jak wielkości
krańcowe funkcji jednej zmiennej.
Interpretacja wielkości krańcowej
Wielkość krańcowa funkcji f(x,y) w punkcie (x,y) względem zmiennej x mówi, o ile
jednostek w przybliżeniu zmieni się (wzrośnie lub spadnie) wartość funkcji f(x,y) jeśli
argument x wzrośnie o jedną jednostkę (przy nie zmienionej wartości argumentu y).
"f
Obliczamy ją licząc wartość pochodnej funkcji z=f(x,y) w punkcie (x,y) - .
"x
Wielkość krańcowa funkcji f(x,y) w punkcie (x,y) względem zmiennej y mówi, o ile
jednostek w przybliżeniu zmieni się (wzrośnie lub spadnie) wartość funkcji f(x,y) jeśli
argument y wzrośnie o jedną jednostkę(przy nie zmienionej wartości argumentu x).
"f
Obliczamy ją licząc wartość pochodnej funkcji z=f(x,y) w punkcie (x,y) - .
"y
PRZYKA
AD 54
Wyznacz krańcową wydajność (w mln zł) majątku produkcyjnego i zatrudnienia dla funkcji
produkcji Cobba-Douglasa f (x, y) = 4x0,1 y0,5 , dla wartości majątku produkcyjnego x=9 mln
zł i wielkości zatrudnienia y=30 osób.
Obliczamy:
"f
- pochodnÄ… czÄ…stkowÄ… rzÄ™du pierwszego funkcji f (x, y) wzglÄ™dem x : = 4 Å" 0,1x-0,9 y0,5
"x
"f
- pochodnÄ… czÄ…stkowÄ… rzÄ™du pierwszego funkcji f (x, y) wzglÄ™dem y : = 4 Å" 0,5x0,1 y-0,5
"y
"f "f
- wartość pochodnej dla (x,y)=(9,30): (9,30)= 4 Å" 0,1Å" 9-0,9 Å" 300,5 H" 0,303251
"x "x
Opracowała: K. Sokołowska
63
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
"f "f
- wartość pochodnej dla (x,y)=(9,30): (9,30)= 4 Å" 0,5 Å"90,1 Å" 30-0,5 H" 0,454877
"y "y
Interpretacja:
Przybliżony wzrost wartości produkcji, gdy wartość majątku produkcyjnego wzrasta o 1 mln
zł (przy wartości majątku produkcyjnego x=9 mln zł i wielkości zatrudnienia y=30 osób)
wynosi 0,303251mln zł, przy założeniu, że wielkość zatrudnienia nie ulegnie zmianie.
Przybliżony wzrost wartości produkcji, gdy wielkość zatrudnienia wzrasta o 1 osobę (przy
wartości majątku produkcyjnego x=9 mln zł i wielkości zatrudnienia y=30 osób) wynosi
0,454877mln zł, przy założeniu, że wartość majątku produkcyjnego nie ulegnie zmianie.
" Wielkości optymalne
Znalezienie wielkości optymalnej dla danej funkcji w danym przedziale podobnie jak dla
funkcji jednej zmiennej, sprowadza się do wyznaczenia wartości najmniejszej lub największej
w tym przedziale.
PRZYKA
AD 55
Przypuśćmy, że przedsiębiorstwo wytwarza dwa wyroby. Wielkość produkcji pierwszego
wyrobu oznaczmy przez x, drugiego wyrobu oznaczmy przez y. Pomiędzy zyskiem f(x,y)
osiąganym ze sprzedaży tych wyrobów (który jest zależny od wielkości ich produkcji), a
wielkością produkcji tych wyrobów zachodzi zależność:
f (x, y) = 4x2 y - x3 y - x2 y2 .
Wyznaczyć takie wielkości produkcji, aby osiągnięty zysk był maksymalny.
­ ZakÅ‚adamy, że zmienne x i y speÅ‚niajÄ… warunki: x>0, y>0
­ Dla funkcji f (x, y) = 4x2 y - x3 y - x2 y2 mamy:
2
"f "f " f "2 f
= 8xy - 3x2 y - 2xy2 , = 4x2 - x3 - 2x2 y , = 8y - 6xy - 2y2 , = -2x2 ,
"x "y "x2 "y2
"2 f
= 8x - 3x2 - 4xy
"x"y
­ Sprawdzamy warunek konieczny
"f (x0 , y0 )
Å„Å‚
= 0
ôÅ‚
xy(8
Å„Å‚ - 3x2 y - 2xy2 = 0 Å„Å‚ - 3x - 2y) = 0
y = 0 (" x = 0 (" 8 - 3x - 2y = 0
Å„Å‚
ôÅ‚ "x ôÅ‚8xy
Ô! Ô!
òÅ‚"f (x0 , y0 ) Ô! òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
2
2
ôÅ‚ - x3 - 2x2 y = 0
(4
ółx
ółx - x - 2y) = 0 = 0 (" 4 - x - 2y = 0
ôÅ‚ ół4x
= 0
ôÅ‚
"y
ół
Ponieważ z zadania wynika, że x>0, y>0, więc pod uwagę bierzemy tylko poniższe równania
8
Å„Å‚ - 3x - 2y = 0 8 - 3x = 2y 8 - 3x = 2y 8 - 3x = 2y Ò! y = 1
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
Ô! Ô! Ò! P1(2,1)
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
ół4 - x - 2y = 0 ół4 - x = 2y ół4 - x = 8 - 3x ół2x = 4 Ò! x = 2
.
­ Sprawdzamy warunek dostateczny:
­ WartoÅ›ci poszczególnych pochodnych oraz wyróżniki dla każdego z 4 otrzymanych
punktów zestawimy w tabeli:
Opracowała: K. Sokołowska
64
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
 (2,1)
2
-6
" f
= 8y - 6xy - 2y2
"x2
-8
"2 f
= -2x2
"y2
-4
"2 f
= 8x - 3x2 - 4xy
"x"y
2
32>0
2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
" f (x0 , y0 ) "2 f (x0 , y0 ) " f (x0 , y0 )
W (x0 , y0 ) = Å" - max
śł
"x2 "y2 ïÅ‚ "x"y
ðÅ‚ ûÅ‚
lokalne
2
" f
Ponieważ (2,1) = -6 < 0 , więc w punkcie (2,1) istnieje maksimum.
"x2
­ fmax (2,1) = 4 .
Wynika stąd, że optymalnymi wielkościami produkcji obu wyrobów są x=2, y=1. Przy takiej
wielkości produkcji zysk wynosi 4.
Opracowała: K. Sokołowska
65
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com