RACHUNEK CAA
KOWY
FUNKCJI
JEDNEJ ZMIENNEJ
CAA
KI NIEOZNACZONE
Definicja 1 (funkcji pierwotnej)
Funkcja F jest funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f na przedziale I, je\
eli
F'(x) = f (x), dla ka\
dego x " I .
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 2 / 33
Twierdzenie 1 (podstawowe o funkcjach pierwotnych)
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I.
Wówczas
1. G(x) = F(x) + C (gdzie C " R)
jest funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f na I,
2. ka\
dÄ… funkcjÄ™ pierwotnÄ… funkcji f na I mo\
na przedstawić
w postaci F(x) + D, gdzie D " R.
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 3 / 33
Definicja 2 (całki nieoznaczonej)
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką
nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji
{F(x) + C : C " R}.
Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez f (x)dx.
+"
f (x) nazywamy funkcją podcałkową.
C nazywamy stałą całkowania,
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 4 / 33
Wniosek 1
Zachodzi wzór
f (x)dx = F(x) + C
+"
gdzie F jest jakÄ…kolwiek funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f na
rozwa\
anym przedziale. C jest dowolną, stałą.
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 5 / 33
Fakt 1 (pochodna całki nieoznaczonej)
Niech funkcja f ma funkcjÄ™ pierwotnÄ…, na przedziale I.
Wtedy, dla ka\
dego x " I
[+" f (x)dx] 2 = f (x).
Fakt 2 (całka nieoznaczona pochodnej)
Niech funkcja f ma pochodnÄ… na przedziale I.
Wtedy, dla ka\
dego x " I
2
f (x)dx = f (x) + C , gdzie C " R.
+"
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 6 / 33
CAA
KI NIEOZNACZONE WAśNIEJSZYCH FUNKCJI ELEMENTARNYCH
dla x " R
+"0dx = C
1
xndx = xn+1 + C dla n " N *"{0} oraz x " R
+"
n +1
dx
= ln x + C dla x "(-", 0) lub x "(0, ")
+"
x
ax
x
dla 0 < a `" 1 oraz x " R
+"a dx = ln a + C
x
dla x " R
+"e dx = ex + C
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 7 / 33
dla x " R
+"sin xdx = -cos x + C
dla x " R
+"cos xdx = sin x + C
1
dx = -ctg x + C dla x "(kĄ , (k +1)Ą ), gdzie k " Z
+"sin2
x
Ä„ Ä„
1
öÅ‚, gdzie k " Z
dla x "ëÅ‚- + kÄ„ , + kÄ„
dx = tg x + C
ìÅ‚ ÷Å‚
+"cos2
2 2
x íÅ‚ Å‚Å‚
1
dla x " R
+"1+ x2 dx = arctg x + C
1
dx = arcsin x + C
dla x "(-1, 1)
+"
1- x2
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 8 / 33
Twierdzenie 2 (o liniowości całki nieoznaczonej)
Je\
eli funkcje f i g majÄ… funkcje pierwotne, to
f (x)dx + ² f (x)dx
+"(Ä…f (x) + ²g(x))dx = Ä…+" +"
dla Ä…, ² " R.
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 9 / 33
Twierdzenie 3 (o całkowaniu przez części)
Je\
eli funkcje f i g majÄ… ciÄ…gle pochodne, to
f (x)g'(x)dx = f (x)g(x) - f '(x)g(x)dx.
+" +"
Mo\
na krócej:
+"uv' = uv - +"u'v.
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 10 / 33
Twierdzenie 4 (o całkowaniu przez podstawienie)
Je\
eli
1. funkcja f : I R jest ciągła na przedziale I,
2. funkcja Õ : J I ma ciÄ…gÅ‚Ä…, pochodnÄ… na przedziale J,
to
f (x)dx = f (Õ(t))Õ'(t)dt = F(Õ(t)) + C,
+" +"
gdzie F jest dowolnÄ… funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f oraz C " R.
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 11 / 33
WZORY REKURENCYJNE
sinn-1 x Å"cos x n -1
n n-2
+
+"sin xdx = - +"sin xdx, n e" 2
n n
cosn-1 x Å"sin x n -1
n n-2
+
+"cos xdx = +"cos xdx, n e" 2
n n
1 x 2n - 3 1
+"(1+ x2)n dx = 2(n -1)(1+ x2)n-1 + 2(n -1)+"(1+ x2)n-1 dx, n e" 2
1 x 2n - 3 1
dx = + dx,
+"(a2 +"(a2
m x2)n 2(n -1)a2(a2 m x2)n-1 2(n -1)a2 m x2)n-1
tgn-1x
n n-2
+"tg xdx = n -1 - +"tg xdx, n e" 2 a > 0, n e" 2
+"(ln x)n dx = x(ln x)n - n+"(ln x)n-1dx
xnexdx = xnex - n xn-1exdx
+" +"
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 12 / 33
UśYTECZNE WZORY
2
f (x)
dx = ln f (x) + C , f (x) `" 0
+"
f (x)
n+1
f (x)
n
2
f (x) f (x)dx = + C, n " N *"{0}
+"
n +1
2
f (x)
dx = 2 f (x) + C , f (x) > 0
+"
f (x)
2
f (x) 1
dx = - + C, f (x) `" 0
+" 2
f (x)
f (x)
1
Je\
eli f (x)dx = F(x) + C , to f (ax + b)dx = F(ax + b) + C.
+" +"
a
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 13 / 33
CAA
KOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
Definicja 3 (funkcji wymiernej właściwej)
FunkcjÄ… wymiernÄ…
Lm(x)
W (x) =
Mn(x)
nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku jest
mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku, tj. m < n.
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 14 / 33
Uwaga 1
Ka\
dą funkcję wymierną niewłaściwą (m > n) mo\
na przedstawić
w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 15 / 33
Definicja 4 (ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju)
1. Funkcję wymierną właściwą postaci
A
, gdzie n " N i A" R,
(x + a)n
nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju.
2. Funkcję wymierną właściwą postaci
Ax + B
,
(x2 + px + q)n
gdzie n " N , A, B, p,q " R oraz " = p2 - 4q < 0,
nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 16 / 33
Twierdzenie 7 (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)
Ka\
dą funkcję wymierną właściwą mo\
na przedstawić w postaci
sumy ułamków prostych. Przedstawienie to jest jednoznaczne.
Funkcja wymierna właściwa
P(x)
(x - x1)k1 (x - x2)k2 K(x - xr )kr (x2 + p1x + q1)l1 (x2 + p2x + q2)l2 K(x2 + psx + qs )ls
jest sumą k1 + k2 +K+ kr ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz
l1 + l2 +K+ ls ułamków prostych drugiego rodzaju,
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 17 / 33
przy czym
" czynnikowi (x - xi )ki odpowiada suma ki ułamków prostych
pierwszego rodzaju postaci:
Aiki
Ai1 Ai2
+ +K+ ,
x - xi
(x - xi )2 (x - xi )ki
" czynnikowi (x2 + p x + q )l j odpowiada suma l ułamków prostych
j j j
drugiego rodzaju postaci:
Bjl j x + C
Bj1 x + C Bj2 x + C jl j
j1 j2
+ +K+ .
x2 + p x + q (x2 + p x + q )2
(x2 + p x + qj )l j
j j j j
j
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 18 / 33
A
CAA
KOWANIE UA
AMKÓW PROSTYCH PIERWSZEGO RODZAJU
(x + a)n
Stosujemy podstawienie t = x + a i korzystamy ze wzoru:
Å„Å‚
ôÅ‚ ln | t | +C dla Ä… = -1
ôÅ‚
tÄ…dt =
+"
òÅ‚
ôÅ‚
tÄ… +1
dla Ä… `" -1
ôÅ‚
ół ą +1
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 19 / 33
Ax+ B
CAA
KOWANIE UA
AMKÓW PROSTYCH DRUGIEGO RODZAJU
(x2 + px+ q)n
B
a)
x2 + q
Stosujemy podstawienie x = t q i korzystamy ze wzoru:
dt
= arctg t +C,
+"
1+t2
B
b)
x2 + px+ q
p
Stosujemy podstawienie x = t - i postępujemy jak w a),
2
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 20 / 33
Ax
c)
x2 + q
Stosujemy podstawienie t = x2 + q i korzystamy ze wzoru:
dt
= lnt +C,
+"
t
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 21 / 33
Ax+ B
d) ułamek przedstawiamy w postaci sumy ułamków
x2 + px+ q
Ä…(2x + p) ² A Ap
+ (Ä… = , ² = B - ),
2 2
x2 + px+ q x2 + px+ q
Całkę z pierwszego ułamka obliczamy stosując podstawienie
t = x2 + px+ q i wzór z punktu c).
Całkę z drugiego ułamka obliczamy jak w punkcie b).
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 22 / 33
Ax+ B
e) przedstawiamy w postaci sumy ułamków
(x2 + px+ q)n
Ä…(2x + p) ²
+ .
(x2 + px+ q)n (x2 + px+ q)n
Całkę z pierwszego ułamka obliczamy, stosując podstawienie
dt 1
t = x2 + px+ q i wzór +" = +C.
tn (1-n)tn-1
Całkę z drugiego ułamka obliczamy, stosując podstawienie
p
x = t - . Następnie korzystamy ze wzoru rekurencyjnego
2
1 x 2n - 3 1
dx = + dx
+"(a2 +"(a2
+ x2)n 2(n -1)a2(a2 + x2)n-1 2(n -1)a2 + x2)n-1
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 23 / 33
ALGORYTM CAA
KOWANIA FUNKCJI WYMIERNYCH
1. Funkcję wymierną zapisujemy w postaci sumy wielomianu (być
mo\
e zerowego) i funkcji wymiernej właściwej.
2. Mianownik funkcji wymiernej właściwej rozkładamy na czynniki
liniowe i kwadratowe nierozkładalne.
3. Zapisujemy rozkład (teoretyczny) funkcji wymiernej właściwej
na ułamki proste pierwszego i drugiego rodzaju.
4. Znajdujemy nieznane współczynniki tego rozkładu.
5. Obliczamy całki poszczególnych składników rozkładu funkcji
wymiernej, tj. wielomianu i ulamk6w prostych.
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 24 / 33
CAA
KOWANIE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
n
Dla
+"sin xcosm x dx (n,m"N ) stosujemy:
1. n = 2l +1 (nieparzyste) 2. m = 2k +1 (nieparzyste)
Wykorzystujemy sin2 x =1-cos2 x. Wykorzystujemy cos2 x =1-sin2 x.
StÄ…d sin2l+1 x = (1-cos2 x)l sinx. StÄ…d cos2k+1 x = (1-sin2 x)k cosx.
Podstawienie: t = cosx Podstawienie: t = sinx.
3. n, m  parzyste
1 1
Wykorzystujemy sin2 x = (1-cos2x), cos2 x = (1+cos2x).
2 2
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 25 / 33
Dla
+"R(sinx, cosx) dx.
R(sin x, cos x) jest funkcją wymierną dwóch zmiennych: sin x i cos x.
Przedstawienie
Warunek Podstawienie Ró\
niczka
funkcji
- dt
dx =
R(-u, v) = -R(u, v)
t = cos x
sin x = 1- t2
1- t2
dt
dx =
R(u, - v) = -R(u, v)
t = sin x
cos x = 1- t2
1- t2
t
sin x =
dt
1+ t2
R(-u, - v) = R(u, v) t = tg x
dx =
1
1+ t2
cos x =
1+ t2
R(u,v) = R(sin x, cos x)
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 26 / 33
+"R(sinx, cosx) dx (cd.)
Przedstawienie
Warunek Podstawienie Ró\
niczka
funkcji
2t
x
sin x =
t = tg
R  dowolna 2dt
2 1+ t2
dx =
podstawienie
funkcja 1- t2
1+ t2
cos x =
uniwersalne
1+ t2
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 27 / 33
Dla
+"sinaxÅ"cosbx dx, +"sinaxÅ"sinbx dx, +"cosaxÅ"cosbx dx
stosujemy to\
samości trygonometryczne:
1
sinaxÅ"cosbx = [sin(a +b)x +sin(a -b)x],
2
1
sinaxÅ"sinbx = [cos(a -b)x -cos(a +b)x],
2
1
cosaxÅ"cosbx = [cos(a +b)x +cos(a -b)x].
2
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 28 / 33
CAA
KOWANIE FUNKCJI NIEWYMIERNYCH
Do obliczania całek typu
ax+b
ëÅ‚ öÅ‚ dx,
+"R ìÅ‚x, n cx+d ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ax+b
n
gdzie R jest funkcją wymierną względem zmiennych x i
,
cx+d
n > 1, n " N oraz ad - bc `" 0 stosujemy podstawienie
ax+b
n
= t.
cx+d
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 29 / 33
Je\
eli cx+d =1, to całka przyjmuje postać
( )
+"R x, n ax+b dx
Stosujemy wówczas podstawienie n ax + b = t.
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 30 / 33
Do obliczania całek typu:
ëÅ‚
ax+böÅ‚p1/q1 ax+böÅ‚p2 /q2 ax+böÅ‚pr /qr öÅ‚
÷Å‚ dx,
,ëÅ‚ ,K,ëÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+"R ìÅ‚x, ëÅ‚cx+d ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
cx+d cx+d
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
pr / qr
ax + b
öÅ‚
gdzie R jest funkcjÄ… wymiernÄ… wzglÄ™dem zmiennych x i ëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
cx + d
íÅ‚ Å‚Å‚
i = 1, 2,..., r, pi / qi "Q oraz ad - bc `" 0 stosujemy podstawienie
ax+b
= tn,
cx+d
gdzie n = NWW (q1, q2,..., qr ).
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 / 33
Do obliczania całek typu:
)
1. (x, a2 - x2 dx
+"R
stosujemy podstawienie x = asint (lub x = a tgh t),
)
2. (x, x2 -a2 dx
+"R
a
stosujemy podstawienie x = (lub x = acosht),
cost
)
3. (x, x2 +a2 dx
+"R
stosujemy podstawienie x = a tg t (lub x = asinht),
gdzie a > 0.
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 32 / 33
Do obliczania całek typu
)
(x, ax2 +bx+c dx
+"R
gdzie R jest funkcją wymierną względem zmiennych x i ax2 + bx + c
stosujemy podstawienia Eulera obejmujące następujące przypadki:
1. a > 0, stosujemy podstawienie ax2 + bx + c Ä… x a = t,
2. a < 0 i " > 0, stosujemy podstawienie ax2 + bx + c = (x - x0)t
gdzie x0 jest jednym z pierwiastków trójmianu ax2 + bx + c.
3. c > 0, stosujemy podstawienie ax2 + bx + c = x Å"t Ä… c .
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 33 / 33