Pochodna funkcji
Oznaczenia:
Df  dziedzina funkcji f: R �� R
D�x  przyrost zmiennej niezależnej D�x=x-x0=h dla x0, x0+D�x��Df
D�f  przyrost wartości funkcji D�f=f(x0+D�x)-f(x0)
Definicja 1: Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 z przyrostem D�x
D�f
nazywamy iloraz .
D�x
Przykłady:
D�s
Iloraz różnicowy może oznaczać średnią prędkość lub średnie natężenie prądu
D�t
D�q
.
D�t
Definicja 2: Pochodną funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę właściwą ilorazu
różnicowego przy D�x �� 0 tzn.
f (x0 +� D�x) -� f (x0)
f '(x0) =� lim
D�x��0
D�x
Jeżeli taka granica nie istnieje, mówimy, że pochodna funkcji f w punkcie x0 nie
istnieje.
D�f
=� tga�
D�x
D�f
f '(�x0 )� =� lim =� tga�0
D�x��0
D�x
a� - kąt nachylenia siecznej
a�0  kąt nachylenia stycznej
Pojęcie pochodnej wprowadził w XVII w. Newton, a metody rachunku
różniczkowego zostały rozwinięte w XVII/XVIII w przez Leibniza.
Oznaczanie pochodnych:
df dy df (x0 )
, ,
1. Notacja Leibniza:
dx dx dx
2. Notacja Lagrange'a: ł
2 (x0) lub ł
2 .
3. Notacja Newtona: oznacza pochodną po czasie, jeśli y=f(t), t  czas.
Przykład: Obliczyć z definicji pochodną funkcji: (1) f(x)=c (2) f(x)=x (3) f(x)=x2 (4)
3
x x
f(x)=1/x (5) f(x)= (6) f(x)= (7) f(x)=ex (8) f(x)=sinx (9) f(x)=cosx w punkcie x0.
W przykładach (8) i (9) stosuje się wzory odpowiednio na różnicę sinusów i
różnicę cosinusów:
a +� b a -� b a +� b a -� b
sin a -� sin b =� 2 cos sin cos a -� cosb =� -�2sin sin
2 2 2 2
Jeżeli w każdym punkcie zbioru X określona jest pochodna funkcji f w tym punkcie,
to otrzymuje się przyporządkowanie każdemu punktowi x��X wartości pochodnej w
tym punkcie f (x), a więc nową funkcję, którą nazywamy pochodną i oznaczamy f .
Obliczanie pochodnych nazywamy różniczkowaniem.
Pochodne jednostronne
f (x0 +� D�x) -� f (x0)
f-�'(x) =� lim
Pochodna lewostronna:
D�x��0-�
D�x
f (x0 +� D�x) -� f (x0)
f+�'(x) =� lim
Pochodna prawostronna:
D�x��0+�
D�x
Twierdzenie 1: Pochodna funkcji f w punkcie x0 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieją pochodne prawo- i lewostronna tej funkcji w tym punkcie i są sobie równe.
Przykład: f(x)=��x��, x0=0
0 +� D�x -� 0
0 +� D�x -� 0
-� D�x
D�x
f-�'(x) =� lim =� lim =� -�1 f+� '(x) =� lim =� lim =�1,
,
D�x��0-� D�x��0-� D�x��0+� D�x��0+�
D�x D�x D�x D�x
więc pochodna funkcji f(x)=��x�� w punkcie x0=0 nie istnieje.
Pochodna w przedziale [a; b] istnieje �� istnieje w (a; b) oraz istnieją f+ (a) i f-
 (b).
Twierdzenie 2: Funkcja, która ma pochodną w punkcie x0 jest ciągła w tym
punkcie.
Funkcja, która nie jest ciągła w punkcie x0, nie ma pochodnej w tym punkcie. Na
1 for x <� a
��
f (x) =�
��10 for x ł� a
przykład
��
Funkcja ciągła w punkcie x0 nie musi mieć pochodnej w tym punkcie. Na przykład
f(x)=��x��.
Czasem nawet funkcja ciągła i  gładka nie ma pochodnej w danym punkcie. Np.
3
x
funkcja y = nie ma pochodnej w punkcie x0=0.
Obliczanie pochodnych
a. działania arytmetyczne na pochodnych: Jeżeli istnieją pochodne f i g , to
- suma (fą�g) =f ą�g
- iloczyn (f��g) =f  ��g+ f��g (dla iloczynu n funkcji
różniczkowalnych zachodzi wzór: (f1��f2"& "fn) =f1 " f2"& "fn +
f1��f2 "& "fn+& + f1��f2"& "fn )
'
f
�� �� =�
- iloraz ć� g �� f ' gg-� fg' , jeśli dodatkowo gą�0
�� �� 2
Ł� ł�
- iloczyn (cf) =cf  , gdzie c dowolna stała.
Przykład: Wyznaczyć wzór na pochodną funkcji (1) f(x)=tgx (2) f(x)=ctgx
b. pochodna funkcji złożonej:
Jeżeli funkcja h(x) ma pochodną w punkcie x0, a funkcja f ma pochodną w
punkcie y0=h(x0) to funkcja złożona f��h ma pochodną w punkcie x0 i zachodzi
wzór:
(f ��h) =f (h(x0))h (x0)
Przykład: Wyznaczyć wzór na pochodną funkcji (1) f(x)=shx (2) f(x)=chx
c. pochodna funkcji odwrotnej:
Jeżeli x=g(y) jest ściśle monotoniczna i posiada pochodną g (y)ą�0, to funkcja
y=f(x) odwrotna do niej posiada pochodną f (x) określoną wzorem
1
f '(x) =� gdzie y =� f (x)
g'(y)
Przykład: Wyznaczyć wzór na pochodną funkcji (1) f(x)=lnx (2) f(x)=arcsinx
(3) f(x)=arccosx (4) f(x)=arctgx (5) f(x)=arcctgx
Nr Funkcja Pochodna Uwagi
1 c 0
c��R
2
xa� a�xa�-1 x,a���R a�ą�0
3 ex ex
x��R
4 ax axlna
a>0 aą�1 x��R
5 sinx cosx
x��R
6 cosx -sinx
x��R
7 tgx 1+tg2x=1/cos2x
xą�(2k+1)p�/2
8 ctgx -1-ctg2x=-1/sin2x
xą�kp�
9 lnx 1/x x>0
10 logax 1/(xlna)
a,x>0 aą�1
11 arcsinx
��x��<1
1/ 1-� x2
12 arccosx
��x��<1
-�1/ 1-� x2
13 arctgx 1/(1+x2)
x��R
14 arcctgx -1/(1+x2)
x��R
15 shx chx
x��R
16 chx shx
x��R
17 thx 1-th2x=1/ch2x
x��R
18 cthx 1-cth2x=-1/sh2x
x��R xą�0
Przykład: Wyznaczyć pochodną funkcji
d. pochodna funkcji określonej parametrycznie:
Jeżeli funkcja y=h(x) jest określona parametrycznie x=f(t) y=g(t) t��(a; b) i
dy
dy
dy dx dt
=�
ą� 0
istnieją pochodne i to istnieje pochodna dla t=f-1(x).
dx
dx
dt dt
dt
x =� r cos t
��
t �� R
��
Przykład: Równanie parametryczne okręgu: , gdzie r 
y =� r sin t
��
promień okręgu, t  kąt pomiędzy osią OX i promieniem wodzącym punktu (x,y).
e. pochodna funkcji określonej w sposób niejawny:
Funkcja y=f(x) dla x��[a; b] jest zadana w sposób niejawny równaniem F(x,
y)=0, jeśli dla wszystkich x��[a; b] F(x, f(x))a"0.
Aby policzyć pochodną trzeba zróżnicować równanie po x i wyznaczyć z niego f
 (x).
Przykład: x2+y2=1
Interpretacja geometryczna pochodnej
Geometrycznie pochodna oznacza tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu
funkcji y=f(x) w punkcie (x0; f(x0)).
Stąd wyprowadzić można:
y -� f (x0) =� f '(x0)(x -� x0)
Równanie stycznej
1
y -� f (x0 ) =� -� (x -� x0 )
Równanie normalnej
f '(x0 )
Kąt przecięcia krzywych:
' '
f (x0 ) -� g (x0 )
tgj� =�
' '
1+� f (x0 ) �� g (x0 )
f (x) =� x
Przykład: Wyznaczyć kąt przecięcia się wykresów funkcji ł
(x) = x� i .
Interpretacja fizyczna pochodnej
D�s
v(t0 ) =� lim
- prędkość w chwili t0
D�t��0
D�t
D�q
i(t0 ) =� lim
- natężenie prądu w chwili t0
D�t��0
D�t
Różniczka i różniczkowalność funkcji
Definicja 3: Funkcję f nazywamy różniczkowalną w punkcie x0, jeżeli istnieje stała
A taka, że:
D�f -� AD�x
lim =� 0
D�x��0
D�x
Twierdzenie 3: Funkcja jest różniczkowalna w punkcie x0 �� ma w tym punkcie
pochodną.
Wówczas A=f  (x0).
Definicja 4: Różniczką funkcji f w punkcie x0 z przyrostem D�x nazywamy iloczyn f
 (x0)D�x i oznaczamy df(x0,D�x) lub krótko df czy dy.
Geometrycznie różniczka df(x0,D�x) oznacza liniową część przyrostu funkcji.
Jeśli f(x)=x to f  (x)=1 czyli df=dx=1""x. Przyrost D�x możemy więc oznaczać przez
dx.
df (x0 )
f '(x0 ) =�
Zatem df(x0,dx)=f  (x0)dx
dx
df dy df (x0 )
, ,
Stąd zamiast f  używamy też symboli .
dx dx dx
Definicja różniczkowalności oznacza, że jeśli funkcja jest różniczkowalna (ma
pochodną) w punkcie x0, to błąd względny (względem D�x) przybliżenia przyrostu
rzeczywistego funkcji D�f przez różniczkę df dąży do zera przy D�x dążącym do zera.
Stąd stosuje się wzór przybliżony:
D�f� df(x0,D�x)=f (x0)D�x
czyli
f(x0+D�x)�f(x0)+f (x0)D�x
Przykład: Obliczyć różniczkę i przyrost funkcji: y=x2 dla x0=1 i D�x=5 oraz
D�x=0,01. Wyniki porównać.
f(1)=1, f(1+5)=36, "f=f(6)-f(1)=36-1=35, df(1,5)=f (1)"5=2"1"5=10
f(1)=1, f(1+0.01)=(1.01)2=1.0201, "f=f(1.01)-f(1)=1.0201-1=0.0201,
df(1,0.01)=f (1)"0.01=2"1"0.01=0.02
4,02 f (x) =� x x0 =� 4 D�x =� 0,02
Przykład: Obliczyć w przybliżeniu
Pochodne i różniczki wyższych rzędów
Jeżeli f jest różniczkowalna w x to jej pochodną nazywamy pochodną drugiego
rzędu funkcji f (lub krótko drugą pochodną) i zapisujemy:
f ''(x) =� [ f ']'(x)
def
Podobnie definiuje się pochodne wyższych rzędów. Ogólnie:
(n) (n-�1)
f (x) =� [ f ]'(x)
def
Przestrzeń funkcji mających ciągłe pochodne do rzędu n włącznie na odcinku [a; b]
oznaczamy symbolem Cn[a; b].
Podobnie określa się różniczki wyższych rzędów:
d2f=d(df)=(df) dx=(f  (x)dx) dx=f   (x)(dx)2
dnf=d(d(n-1)f)=f(n)(x)(dx)n
n
d f
Stosując powyższy wzór n-tą pochodną można oznaczać:
dxn
Twierdzenia o własnościach funkcji różniczkowalnych.
Twierdzenie 1 (Rolla): Jeżeli,
1. f jest ciągła w [a; b],
2. f jest różniczkowalna na (a; b),
3. f(a)=f(b),
to istnieje c��(a; b) takie, że f  (c)=0.
Szkic dowodu: gdy f  stała oczywiste;
Gdy f nie jest stała, to ponieważ jest ciągła na [a; b] istnieje c��(a; b) takie, że
f(c)=m lub M (gdzie m minimum, a M maksimum f w [a; b]). mą�M, bo funkcja nie
jest stała i co najmniej jedno (min lub max) jest osiągane we wnętrzu przedziału [a;
b]. Niech f(c)=m, wtedy
f (c +� D�x) -� f (c)
ł� 0 �� f+� 'ł� 0
D�x
f (c -� D�x) -� f (c)
ł� 0 �� f-� 'Ł� 0
D�x
0 ł� f-�'(c) =� f '(c) =� f+� '(c) ł� 0 �� f '(c) =� 0
Przykład 16: f(x)=sinx, x��(0;p�) .
Twierdzenie 2 (Lagrange a): Jeżeli,
1. f jest ciągła w [a; b],
2. f jest różniczkowalna na (a; b),
to istnieje c��(a; b) takie, że f(b)-f(a)=f (c)(b-a).
Nosi ono nazwę twierdzenia o wartości średniej lub o przyrostach.
f (b) -� f (a)
g(x) =� f (x) -� x
Szkic dowodu: spełnia założenia twierdzenia Rolla.
b -� a
Wnioski z twierdzenia Lagrange a:
a. Jeżeli f (x)=0 dla każdego x��[a; b] to f  stała;
b. Jeżeli f i g mają równe pochodne dla każdego x��[a; b] to różnią się one co
najwyżej o stałą;
c. Jeżeli f (x)>0 dla każdego x��[a; b] to funkcja f jest rosnąca;
d. Jeżeli f (x)<0 dla każdego x��[a; b] to funkcja f jest malejąca.
Twierdzenie 3 (Cauchy ego): Jeżeli,
1. f i g są ciągłe w [a; b],
2. f i g są różniczkowalne na (a; b),
to istnieje c��(a; b) takie, że g (c)(f(b)-f(a))=f (c)(g(b)-g(a)).
Nosi ono nazwę uogólnionego twierdzenia o wartości średniej.
Szkic dowodu: F(x)= g(x)(f(b)-f(a))-f(x)(g(b)-g(a)) spełnia założenia twierdzenia
Rolla.
Twierdzenie 4 (de L Hospitala): Jeżeli,
f f '
1. i są określone w S(x0) (S(x0)  sąsiedztwo punktu x0);
g g'
lim f (x) =� lim g(x) =� 0 lub ą� Ą�
2. (x0 może być również ą�Ą�),
x��x0 x��x0
f '(x)
lim
3. istnieje skończona lub nie
x��x0
g'(x)
f (x) f '(x)
lim =� lim
to .
x��xo x��x0
g(x) g'(x)
Przykłady:
0 x -� arctgx
" " lim
1. ;
x��0
0 x3
Ą� ln x
" " lim
2. ;
x��0+�
Ą� 1+� 2ln sin x
p�x
f (x)
"0 �� Ą�" lim sin(x -�1)tg
3. (sprowadzić do );
x��1-�
1
2
g(x)
ć� g(x) ��
��
lim(�f (x) -� g(x))�=� lim f (x)��1-� ��
"Ą� -� Ą�" lim (x -� ln3 x)
4. (skorzystać z faktu, że i
��
x��x0 x��x0
x��+�Ą�
f (x)
Ł� ł�
g(x)
wyznaczyć najpierw granicę wyrażenia );
f (x)
W przykładach 5. 6. 7. przed policzeniem granicy wyrażenia f(x)g(x) wykonuje się
przekształcenie:
f(x)g(x) =eg(x)lnf(x), a następnie liczy granicę wyrażenia
g(x)lnf(x).
lim
5. "00" x��0+� xsin x ;
1
6. "Ą�0" lim x x ;
x��Ą�
2x
1
��
Ą�
�� ��
7. "1 " limć�1+� x .
x��Ą�
Ł� ł�
Twierdzenie 5 (Taylora):
Jeżeli f jest klasy Cn-1[a; b] i istnieje pochodna f(n)(x) dla x��[a; b], to dla dowolnych
x, x0��[a; b] prawdziwy jest wzór:
(n-�1)
f '(x0 ) f ''(x0 ) f
f (x) -� f (x0 ) =� (x -� x0 ) +� (x -� x0 )2 +� ... +� (x -� x0 )n-�1 +� Rn
1! 2! (n -�1)!
(n)
f (x0 +�q� (x -� x0 ))
Rn =� (x -� x0 )n gdzie 0 Ł� q� Ł� 1
n!
Rn (tzw. reszta Lagrange a) określa dokładność rozwinięcia.
Przy x0=0 otrzymuje się wzór Maclaurina.
Oznaczając D�x=x-x0 i wprowadzając różniczki zupełne uzyskuje się inną postać
wzoru Taylora:
1 1 1 1 1
2 3 (n-�1) (n)
D�f =� df (x0,D�x) +� d f (x0 ,D�x) +� d f (x0,D�x) +� ... +� d f (x0 , D�x) +� d f (x0 +�q�D�x,D�x)
1! 2! 3! (n -�1)! n!
Przykład: Zapisać wzór Taylora dla funkcji f(x)=xex i x0=1. Wykorzystać fakt, że f
(n)
(x)=(x+n)ex.
Przykład: Wyznaczyć liczbę e z dokładnością do 0,001. Zastosować wzór Taylora
do funkcji f(x)=ex, x0=0, D�x=1.
(n-�1) (n)
f '(0) f ''(0) f (0) f (q� )
e =� f (1) =� f (0) +� +� +�...+� +� Rn Rn =� 0 <�q� <�1
1! 2! (n -�1)! n!
f(k)(x)=ex, f(k)(0)=1, f(n)(q�)= eq�.
eq� e 3
<� <� <� 0,001
n! n! n!
1!=1 3/1!=3>0,001
2!=2 3/2!=1,5>0,001
3!=6 3/3!=0,5>0,001
4!=24 3/4!=0,125>0,001
5!=120 3/5!=0,025>0,001
6!=720 3/6!=0,0041(6) >0,001
7!=5040 3/7!=0,000595238<0,001 czyli n=7.
1 1 1 1 1
e =� 1+�1+� +� +� +� +� =� 2 +� 0,5 +� 0,16667 +� 0,04167 +� 0,00833 +� 0,00139 =� 2,71806
2 6 24 120 720
Inne wzory na pochodne rzędu n:
f(x)=sinx, f(n)(x)=sin(x+np�/2);
f(x)=ln(1+x), f(n)(x)=(-1)n-1(n-1)!(1+x)-n;
f(x)=(1+x)a�, f(n)(x)=a�(a�-1)(a�-2)& (a�-n+1)(1+x)a�-n (gdy a� nie jest liczbą
naturalną).
Ekstremum funkcji
Definicja 1: Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 maksimum (minimum)
$�d� >� 0 "�x �� S(x0,d� ) f (x) Ł� f (x0) ( f (x) ł� f (x0))
lokalne, jeżeli .
Jeżeli zamiast nierówności nieostrych w powyższych warunkach zachodzą
nierówności ostre dane maksimum (minimum) nazywamy właściwym.
Minima i maksima nazywamy ekstremami.
Ekstrema absolutne:
"�x��D( f ) f (x) Ł� f (x0) ( f (x) ł� f (x0))
Maksimum (minimum) absolutne:
Twierdzenie 1 (Warunek konieczny istnienia ekstremum):
Jeżeli funkcja f ma ekstremum w punkcie x0 oraz ma w tym punkcie pochodną to
f (x0)=0.
Szkic dowodu: Załóżmy, że w x0 funkcja f ma maksimum. Wówczas
f (x0 +� h) -� f (x0 )
"� 0 <� h <� d� Ł� 0 �� f+� '(x0 ) Ł� 0
��
h
$�d� >� 0
��
f (x0 +� h) -� f (x0 )
��
"� -� d� <� h <� 0 ł� 0 �� f-� '(x0 ) ł� 0
h
0Ł�f- (x0)=f (x0)=f+ (x0)Ł�0 �� f (x0)=0.
Punkt x0, dla którego f (x0)=0, nazywa się punktem stacjonarnym.
Warunek powyższy nie jest wystarczający dla istnienia ekstremum.
Przykład: f(x)=x3.
Funkcja może mieć ekstremum tylko w punktach, w których nie istnieje pochodna
lub istnieje i jest równa 0.
Przykłady: a. f(x)=x2+5x+1; b. f(x)=��x��.
Warunki dostateczne.
Twierdzenie 2 (Warunek dostateczny I): Jeżeli
1. istnieje pochodna f w pewnym sąsiedztwie punktu x0,
2. funkcja f jest ciągła w x0,
3. f (x)<0 dla x0 dla x>x0,
to funkcja ma minimum lokalne w tym punkcie.
(f (x)>0 dla xx0 to funkcja ma maksimum lokalne w tym
punkcie).
Dowód wynika z twierdzenia o wartości średniej.
Przykład: f(x)=x4+32��x��
x>0 f (x)=4x3+32>0
x<0 f (x)=4x3-32<0
Wniosek: W punkcie x=0 funkcja f osiąga minimum równe 0.
Twierdzenie 3 (Warunek dostateczny II): Jeżeli
1. f��Cn(U(x0));
2. f (x0)=...=f (n-1) (x0)=0;
3. f (n) (x0)ą�0
to,
a. gdy n jest nieparzyste, funkcja nie ma ekstremum;
b. gdy n jest parzyste, funkcja ma ekstremum i jest to
- maksimum, gdy f (n) (x0)<0,
- minimum, gdy f (n) (x0)>0.
Przykłady: y=x4, y=x5.
Asymptoty funkcji
lim f (x) =� b lub lim f (x) =� b
Asymptota pozioma y=b:
x��-�Ą� x��+�Ą�
lim f (x) =� -�Ą� lub lim f (x) =� +�Ą�
Asymptota pionowa x=a:
x��a x��a
f (x)
lim =� m i lim ( f (x) -� mx) =� k
Asymptota ukośna y=mx+k:
x��ą�Ą� x��ą�Ą�
x
Ekstremum funkcji danej parametrycznie.
x =� x(t)
��
, t �� (a�; b�)
��
Funkcja określona jest równaniami: .
y =� y(t)
��
Badamy funkcję f=y(x).
y'
f '=�
Pierwszą pochodną obliczamy ze wzoru: ,
x'
dy dy dx
f ' oznacza , y'=� , x'=� .
gdzie
dx dt dt
x'
g'=�
Jeśli x (t0)=0, badamy funkcję g=x(y) i obliczamy g ze wzoru: ,
y'
dx
g' oznacza
gdzie .
dy
y'' x'-� y' x''
f ''=�
Drugą pochodną obliczamy ze wzoru:
(x')3 ,
2 2 2
d y d y d x
f '' oznacza , y''=� , x''=� .
gdzie
dx2 dt2 dt2
2
x'' y'-�x' y'' d x
g''=� g'' oznacza
Jeśli x (t0)=0 obliczamy g  ze wzoru:
( y')3 , gdzie dy2 .
Używając powyższych wzorów stosujemy twierdzenia dotyczące warunków
koniecznych i dostatecznych istnienia ekstremum.
Jeżeli x (t0)=0 i y (t0)=0 to punkt (x(t0); y(t0)) nazywamy osobliwym.
Jeżeli dodatkowo (x  (t0))2+(y  (t0))2>0, to punkt (x(t0); y(t0)) jest punktem zwrotu
y''(t0 )(x -� x(t0 )) -� x''(t0 )(y -� y(t0 )) =� 0
krzywej ze styczną :
Przykład: y(t)=t(t-2), x(t)=t(t+2); t��R
Asymptoty funkcji zadanej parametrycznie
lim x(t) =� ą�Ą� i lim y(t) =� b
Asymptota pozioma y=b:
t��t0 t��t0
lim x(t) =� a i lim y(t) =� ą�Ą�
Asymptota pionowa x=a:
t��t0 t��t0
y(t)
lim =� m i lim(y(t) -� mx(t)) =� k
Asymptota ukośna y=mx+k:
t��t0 t��t0
x(t)
Współrzędne biegunowe.
Niech r oznacza promień wodzący punktu, a j� - kąt nachylenia promienia
wodzącego w stosunku do osi OX. Wówczas:
r =� x2 +� y2 ��
x =� r cosj�
��
��
��
y ż� ��
y =� r sinj�
j� =� arctg
��
��
x ��
Współrzędne (r,j�) noszą nazwę współrzędnych biegunowych.
W tych współrzędnych można podawać równania krzywych w postaci funkcji
r=r(j�).
Otrzymuje się wówczas równania parametryczne tych krzywych w postaci:
x =� r(j�) cosj�
��
��
y =� r(j�)sinj�
��
1
��x =� cosj�
��
x =� r0 cosj� �� j�
��
��
��
Przykłady: 1. Okrąg r=r0 ; 2. Spirala r=1/j� .
1
y =� r0 sinj�
��
�� y =� sinj�
��
j�
��
14. Wypukłość funkcji
Definicja 1: f jest funkcją wypukłą w [a; b], jeśli "� x1,x2��[a; b] "�0Ł�l�Ł�1
f(l�x1+(1-l�)x2)Funkcja jest wypukła, jeżeli jej wykres leży nad dowolną styczną.
Definicja 2: f jest funkcją wklęsłą w [a; b], jeśli "� x1,x2��[a; b] "�0Ł�l�Ł�1
f(l�x1+(1-l�)x2)>l�f(x1)+(1-l�)f(x2)
Funkcja jest wklęsła, jeżeli jej wykres leży pod dowolną styczną.
Twierdzenie 1: Funkcja f różniczkowalna w [a; b] jest wypukła �� f jest rosnąca.
Twierdzenie 2: Funkcja f różniczkowalna w [a; b] jest wklęsła �� f jest malejąca.
Twierdzenie 3: Funkcja f dwukrotnie różniczkowalna w [a; b] jest wypukła ��
f  >0.
Twierdzenie 4: Funkcja f dwukrotnie różniczkowalna w [a; b] jest wklęsła ��
f  <0.
Definicja 3: Punktem przegięcia funkcji f nazywamy punkt, w którym funkcja ta
zmienia wypukłość.
Twierdzenie 5: Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w [a; b] oraz f 
zmienia znak w otoczeniu punktu x0, to x0 jest punktem przegięcia funkcji f.
Przykład: Wyznaczyć punkty przegięcia i wypukłość funkcji:
1
y =� x4 -� 2x2 -� x +�1
1. ;
2
x3 +� 3
y =�
2. .
x3 -�1
15. Badanie przebiegu zmienności funkcji
1. Określenie dziedziny;
2. Określenie charakteru funkcji (np. parzysta, nieparzysta, okresowa);
3. Obliczenie granic w punktach leżących na brzegu dziedziny, ewentualnie w
+Ą� lub -Ą�;
4. Wyznaczenie asymptot;
5. Określenie miejsc zerowych, gdy możliwe;
6. Wyznaczenie przedziałów monotoniczności i punktów, w których f (x)=0 lub
f nie istnieje;
7. Określenie wypukłości i rodzaju ekstremów na podstawie f  (jeśli istnieje);
8. Sporządzenie tabeli;
9. Wykreślenie wykresu.
Przykłady:
1. Zbadać przebieg zmienności funkcji: y=xln2��x��;
2. Znalez
ć największą i najmniejszą wartość funkcji y=��x(x-1)2(x+2)��w
przedziale [-2;1];
3. Zbadać przebieg zmienności funkcji danej równaniami parametrycznymi:
2
��
x =� t -� 2t
t �� R
��
;
2
��y =� t +� 2t
4. Zbadać przebieg zmienności funkcji danej we współrzędnych biegunowych:
r=j�.