WYKA
AD Nr 16
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH  c. d.
6. POCHODNA FUNKCJI ZA
OŻONEJ
POCHODNA FUNKCJI ZA
OŻONEJ JEDNEJ ZMIENNEJ NIEZALEŻNEJ
A) Pochodna funkcji z = f (x(t), y(t))
Tw.6.1. (o pochodnej funkcji z = f (x(t), y(t)))
Jeżeli:
- funkcja f (x, y) jest określona w obszarze D,
- funkcje x(t), y(t) okreÅ›lone w przedziale (Ä…, ²), takie że para (x, y)" D odwzorowuje
przedziaÅ‚ (Ä…, ²) w obszar D,
- funkcje x(t), y(t) sÄ… różniczkowalne dla t "(Ä…, ²),
" f " f
- funkcja z = f (x(t), y(t)) ma pochodne , dla każdej pary (x, y)" D oraz są one
" x " y
ciągłe
d z
to wówczas funkcja złożona z = f (x(t), y(t)) ma dla argumentu t pochodną określoną następująco
d t
d z " f d x " f d y
(1) = Å" + Å"
d t " x d t " y d t
Przykład: Niech będzie dana funkcja z = f (x, y) = x2 + y sin x mająca ciągłe pochodne w całej
2 2
przestrzeni R2 oraz niech x = 2t , y = et - t , t " R . Obliczyć pochodną funkcji z = f (x(t), y(t)) dla
t0 = 0 .
" f " f
Rozwiązanie: Ponieważ = 2x + y cos x , = sin x
" x " y
d x d y
= 4t , = et - 2t
d t d t
oraz spełnione są założenia tw.6.1, więc wstawiając powyższe pochodne cząstkowe do wzoru (1) mamy:
d z
= (2x + y cos x)Å" 4t + sin x Å"(et - 2t)
d t
2 2
StÄ…d podstawiajÄ…c za x = 2t , y = et - t otrzymujemy
d z
2 2 2 2
=[2 Å" 2t + (et - t )cos(2t )]Å" 4t + sin(2t )Å"(et - 2t)=
d t
2 2 2 2
=[4t + (et - t )cos(2t )]Å" 4t + sin(2t )Å"(et - 2t)
d z d z
Zatem = (0)= (0 + 1Å"1)Å" 0 + 0 Å"1 = 0
d t d t
t0 =0
d z " f d x " f d y
Uwaga: Można również zastosować wzór = Å" + Å" ,
d t " x d t " y d t
t0 P0 t0 P0 t0
gdzie P0(x(t0 ), y(t0 ) )
207
d z
SCHEMAT OBLICZANIA POCHODNEJ
d t
z = f (x, y)
" f " f
" x " y
x y
d x d y
d t d t
t
d z " f d x " f d y
= Å" + Å"
d t " x d t " y d t
Druga pochodna funkcji z = f (x(t), y(t))
Zachowując założenia z tw.6.1. zakładamy dodatkowo, że występujące tam funkcje mają ciągłe pochodne
2
do rzędu drugiego włącznie (tzn. są klasy C ).
2
d z
SCHEMAT OBLICZANIA POCHODNEJ
2
d t
2
ëÅ‚ öÅ‚
d z d d z
ìÅ‚ ÷Å‚
= = {wstawiamy wzór (1)}
ìÅ‚ ÷Å‚
2
d t d t
d t
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
d " f d x " f d y d " f d x d " f d y öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= Å" + Å" = Å" + Å" = {pochodne iloczynu}
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
d t " x d t " y d t d t " x d t d t " y d t
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
d " f d x " f d x d " f d y " f d y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= Å" + Å" + Å" + Å" = {należy zróżniczkować wzglÄ™dem
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
d t " x d t " x d t " y d t " y
d t d t
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
" f " f
zmiennej t człony , patrz poniższe schematy, a następnie wstawić otrzymane wyrażenia} (*)
" x " y
" f " f
" x " y
2 2 2
"2 f " f " f " f
2
" y " x " x " y
" x2 " y
x y x y
d x d y d x d y
d t d t d t d t
t t
czyli wracajÄ…c do (*):
208
2 2 2 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
"2 f d x " f d y d x " f d x " f d x " f d y d y " f d y
= Å" + Å" Å" + Å" + Å" + Å" Å" + Å" =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 2
d t " x d t " y
d t d t
ðÅ‚" x2 d t " y " x d t ûÅ‚ ðÅ‚" x " y d t " y2 d t ûÅ‚
2 2
2 2 2 2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
" f d x " f d y d x " f d x " f d x d y " f d y " f d y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= Å" + Å" Å" + Å" + Å" Å" + Å" + Å" =
2 2
d t " y " x d t d t " x " x " y d t d t d t " y
" x2 ìÅ‚ ÷Å‚ d t " y2 ìÅ‚ ÷Å‚ d t
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
" f " f
{korzystamy z twierdzenia Schwarza = }
" x " y " y " x
2 2
2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
" f d x "2 f d y d x "2 f d y " f d x " f d y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= Å" + 2 Å" Å" + Å" + Å" + Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
d t " y " x d t d t d t " x " y
" x2 ìÅ‚ ÷Å‚ " y d t d t
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Ostatecznie
2 2
2 2 2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
d z " f d x "2 f d y d x " f d y " f d x " f d y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
(2) = Å" + 2 Å" Å" + Å" + Å" + Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
d t " y " x d t d t d t " x " y
d t " x2 ìÅ‚ ÷Å‚ " y d t d t
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
3
Przykład: Obliczyć drugą pochodną funkcji z = ex-2 y , gdzie x = sin t, y = t
Rozwiązanie: Podana funkcja spełnia założenia w R2 .
2
" z " z " z "2 z "2 z
x-2 y x-2 y x-2 y x-2 y x-2 y
Ponieważ = e , = -2e , = e , = 4e , = -2e
2
" x " y " x " y
" x2 " y
2 2
d x d y d x d x
2
= cos t, = 3t , = - sin t, = 6t
2 2
d t d t
d t d t
Zatem
2
d z
x-2 y x-2 y 2 x-2 y 4
= e Å" cos2 t + 2 Å"(- 2e )Å" cos t Å" 3t + 4e Å" 9t + ex-2 y Å" (- sin t)- 2ex-2 y Å" 6t =
2
d t
3
{wstawiamy x = sin t, y = t }
2 4
= esin t-2t3 Å" cos2 t + -12t esin t-2t3 Å" cos t + 36t esin t-2t3 - sin t Å" esin t-2t3 -12tesin t-2t3 =
2 4
= esin t-2t3 (cos2 t - 12t cos t + 36t - sin t - 12t)
Uwaga: Przykład ten możemy rozwiązać również innym sposobem.
W tym celu obliczamy:
d z
x-2 y 2 3
= e Å" cos t - 2ex-2 y Å" 3t = {wstawiamy x = sin t, y = t } =
d t
d z
2 2 2
= esin t-2t3 cos t - 6t esin t-2t3 = esin t-2t3 (cos t - 6t ), czyli = esin t-2t3 (cos t - 6t )
d t
Wówczas obliczając drugą pochodną traktujemy ją jako pochodną z pierwszej pochodnej funkcji jednej
zmiennej t.
209
B) Pochodna funkcji z = z(x, y(x))
Jeżeli przyjmiemy x = t to otrzymamy funkcję złożoną, której pochodną obliczamy korzystając ze
schematu:
z = z(x, y(x))
" z " z
" x " y
x y
d y
d x
x
Zatem
d z " z " z d y
(3) = + Å"
d x " x " y d x
W przypadku drugiej pochodnej mamy:
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
d z d d z d " z " z d y d " z d " z d y " z d y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= = + Å" = + Å" + Å" =
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
d x d x d x " x " y d x d x " x d x " y d x " y
d x2 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ d x2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2 2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚
" z " z d y " z "2 z d y d y " z d y " z " z d y
ìÅ‚ ÷Å‚
= + Å" + + Å" Å" + Å" = + 2 Å" +
ìÅ‚
" y " x d x " x " y d x d x " y " y " x d x
" x2 " y2 ÷Å‚ d x2 " x2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
" z d y " z d y
ìÅ‚ ÷Å‚
+ + Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
2
d x " y
" y d x2
íÅ‚ Å‚Å‚
Ostatecznie
2
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
d z "2 z "2 z d y "2 z d y " z d y
ìÅ‚ ÷Å‚
(4) = + 2 Å" + + Å"
" y " x d x d x " y
d x2 " x2 " y2 ìÅ‚ ÷Å‚ d x2
íÅ‚ Å‚Å‚
x y
Przykład: Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji z = ln(e + e ), y = x3
RozwiÄ…zanie:
x y 2 x+ y 2 x+ y
" z e " z e " z e " z e
Ponieważ = , = , = , = ,
x y x y 2 2
x y
" x " y
e + e e + e " x2 x + e y 2 " y
(e ) (e + e )
x+ y 2
"2 z - e d y d y
= , = 3x2 , = 6x
2
x y
" y " x d x
d x2
(e + e )
x y x3 x x3
d z e e ex e e + 3x3e
Zatem = + Å" 3x2 = + Å" 3x2 =
x y x y
x x3 x x3 x x3
d x
e + e e + e
e + e e + e e + e
2 x+ y
d z ex+ y - e ex+ y ex
= + 2 Å" 3x2 + Å" 9x4 + Å" 6x =
2 2 x y
y x y
d x2 x + e y 2 e + e
(e ) (ex + e ) (e + e )
x+ x3 x+x3 x+x3 x
e - e e e
= + 2 Å" 3x2 + Å" 9x4 + Å" 6x
2 2 2
x3
x x3 x x3 x
ëÅ‚e + e öÅ‚ ëÅ‚e + e öÅ‚ ëÅ‚e + ex3 öÅ‚ ex + e
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
210
POCHODNA FUNKCJI ZA
OŻONEJ DWÓCH ZMIENNYCH NIEZALEŻNYCH
Tw.6.2. (o pochodnej funkcji z = f (x(u, v), y(u, v)))
Jeżeli:
- funkcja z = f (x(u, v), y(u, v)) klasy C1 jest okreÅ›lona w obszarze D ‚" R2 ,
- funkcje x(u, v), y(u, v) mają ciągłe pochodne I  go rzędu w obszarze D,
- (x(u, v), y(u, v))" D gdy (u, v)" D1
to wówczas funkcja złożona dwóch zmiennych z = f (x(u, v), y(u, v)) ma pochodne cząstkowe I go rzędu
określone następująco:
" z " z " x " z " y
(5) = Å" + Å"
" u " x " u " y " u
" z " z " x " z " y
(6) = Å" + Å"
" v " x " v " y " v
SCHEMAT OBLICZANIA POCHODNYCH CZ
STKOWYCH I  GO RZ
DU
z = f (x, y)
" z " z
" x " y
x y
" x " x " y " y
" u " v " u " v
u v
xy
Przykład: Obliczyć pochodne cząstkowe I  go rzędu względem u i v funkcji z = e , gdzie
v
2
x = ln u + v2 , y = arctg .
u
RozwiÄ…zanie:
Korzystając ze wzorów (5) i (6) dla (u, v)`" (0,0) i u `" 0 mamy:
" z 1 2u 1 v u - v
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
xy
= ye Å" Å" + xexy Å" Å" = exy y + x =
ìÅ‚- ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
2 2
" u
íÅ‚ u Å‚Å‚ íÅ‚ u + v2 u + v2 Å‚Å‚
v
u + v2 2 u + v2 ëÅ‚ öÅ‚
1 +
ìÅ‚ ÷Å‚
u
íÅ‚ Å‚Å‚
v
arctg Å"ln u2 +v2
v u - v
ëÅ‚ öÅ‚
2
u
= e arctg Å" + ln u + v2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
u
íÅ‚ u + v2 u + v2 Å‚Å‚
" z 1 2v 1 1 v u
ëÅ‚ öÅ‚
xy xy
= ye Å" Å" + xexy Å" Å" = e y + x =
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
2 2
" v u
íÅ‚ u + v2 u + v2 Å‚Å‚
v
u + v2 2 u + v2 ëÅ‚ öÅ‚
1+
ìÅ‚ ÷Å‚
u
íÅ‚ Å‚Å‚
v
arctg Å"ln u2 +v2
v v u
ëÅ‚ öÅ‚
2
u
= e arctg Å" + ln u + v2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
u
íÅ‚ u + v2 u + v2 Å‚Å‚
211
POCHODNE CZ
STKOWE RZ
DU II  GO FUNKCJI ZA
OŻONEJ DWÓCH ZMIENNYCH
NIEZALEŻNYCH
2 2
ëÅ‚ " z öÅ‚ ëÅ‚ " z " x " z " y öÅ‚ ëÅ‚ " z öÅ‚ " x " z ëÅ‚ " z öÅ‚ " y " z " y
"2 z " " " " x "
= ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ Å" + Å" = Å" + Å" + ìÅ‚ ÷Å‚ Å" + Å" =
= ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
" u " u " u " x " u " y " u " u " x " u " x " u " y " u " y
" u " u " u
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
"2 z " x " z " y " x " z " x "2 z " x "2 z " y " y " z "2 y
= Å" + Å" Å" + Å" + Å" + Å" Å" + Å" =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 2 2
" u " x " u " y
" u " u
ðÅ‚" x2 " u " y " x " u ûÅ‚ ðÅ‚" x " y " u " y " u ûÅ‚
2 2
2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"2 z " x "2 z " x " y "2 z " y " z " x " z "2 y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= Å" + 2 Å" Å" + Å" + Å" + Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
" u " x " y " u " u " u " x " y
" x2 ìÅ‚ ÷Å‚ " y " u " u
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
ëÅ‚ " z öÅ‚ ëÅ‚ " z " x " z " y öÅ‚ ëÅ‚ " z öÅ‚ " x " z ëÅ‚ " z öÅ‚ " y " z " y
"2 z " " " " x "
= ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ Å" + Å" = Å" + Å" + ìÅ‚ ÷Å‚ Å" + Å" =
= ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
" v " v " v " x " v " y " v " v " x " v " x " v " y " v " y
" v2 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ " v2 ìÅ‚ ÷Å‚ " v2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
"2 z " x " z " y " x " z "2 x " z " x "2 z " y " y " z "2 y
= Å" + Å" Å" + Å" + Å" + Å" Å" + Å" =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2
" v " x x " y " v " v " v " y
" v2 ðÅ‚" " y " v2
ðÅ‚" x2 " v " y " x " v ûÅ‚ ûÅ‚
2 2
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"2 z " x "2 z " x " y " z " y " z " x " z "2 y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= Å" + 2 Å" Å" + Å" + Å" + Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
2
" v " x " y " v " v " v " x " y
" x2 ìÅ‚ ÷Å‚ " y " v2 " v2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚ " z öÅ‚ ëÅ‚ " z " x " z " y öÅ‚ ëÅ‚ " z öÅ‚ " x " z ëÅ‚ " z öÅ‚ " y
"2 z " " " " x "
= ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ Å" + Å" = Å" + Å" + ìÅ‚ ÷Å‚ Å" +
= ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
" u " v " u " v " u " x " v " y " v " u " x " v " x " u " v " u " y " v
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
" z "2 y "2 z " x " z " y " x " z " x "2 z " x " z " y " y
+ Å" = Å" + Å" Å" + Å" + Å" + Å" Å" +
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
" y " u " v " v " x " u " v x " y " u " u " v
" y2 ûÅ‚
ðÅ‚" x2 " u " y " x " u ûÅ‚ ðÅ‚"
2 2
" z "2 y "2 z " x " x "2 z " x " y " z " x " z " x " y "2 z " y " y
+ Å" = Å" Å" + Å" Å" + Å" + Å" Å" + Å" Å" +
2
" y " u " v " u " v " y " x " v " u " x " u " v " x " y " u " v " u " v
" x2 " y
" z "2 y
+ Å"
" y " u " v
"2 z
Analogicznie można wyprowadzić wzór na pochodną .
" v " u
Uwaga: Przy wyprowadzaniu powyższych wzorów korzystaliśmy ze wzorów (5), (6), reguł
różniczkowania sumy i iloczynu oraz następujących schematów:
" z " z
" x " y
x y x y
u v u v
212
2
"2 z "2 z " z
Przykład: Przekształcić wyrażenie różniczkowe - 4 + 3 wprowadzając zmienne u i v
" x " y
" x2 " y2
określone następująco: u = 3x + y , v = x + y .
RozwiÄ…zanie:
W zadaniu mamy do czynienia z pewną funkcją z dwóch zmiennych u i v, z których każda jest funkcją
dwóch zmiennych niezależnych x i y. Zatem z = f ( u(x, y) , v(x, y) ).
Schemat obliczania pochodnych cząstkowych I  go rzędu tej funkcji przedstawia się następująco:
z = f (u, v)
" z " z
" u " v
u v
" u " u " v " v
" x " y " x " y
x y
Korzystając z powyższego schematu otrzymujemy następujące wzory na pochodne cząstkowe I  go
rzędu:
" z " z " u " z " v " z " z " u " z " v
= Å" + Å" , = Å" + Å"
" x " u " x " v " x " y " u " y " v " y
" u " u " v " v
Ponieważ = 3, =1, =1, =1
" x " y " x " y
Zatem
" z " z " z " z " z " z
= Å"3+ Å"1, = Å"1 + Å"1
" x " u " v " y " u " v
czyli
" z " z " z " z " z " z
= 3 + = +
" x " u " v " y " u " v
Obliczamy pochodne cząstkowe rzędu II  go występujące w naszym wyrażeniu różniczkowym:
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"2 z " " z " " z " z " " z " " z "2 z " u "2 z " v
÷Å‚
= ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ + = 3 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ = 3ìÅ‚ Å" + Å" +
= ÷Å‚ +
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚
" x " x " x " u " v " x " u " x " v " x " v " u " x
" x2 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚3 " u
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
"2 z " u "2 z " v "2 z "2 z "2 z "2 z "2 z "2 z "2 z
+ Å" + Å" = 3ìÅ‚ Å" 3 + Å"1÷Å‚ + Å" 3 + Å"1 = 9 + 6 +
2
ìÅ‚ ÷Å‚
" u " v " x " x " v " u " u " v " u " v
" v2 " u " v2 " u2 " v2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
"2 z " z
Z twierdzenie Schwarza = , co zostało powyżej wykorzystane w końcowych obliczeniach.
" u " v " v " u
213
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"2 z " " z " " z " z " " z " " z " z " u " z " v
= ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ + = + = Å" + Å" +
= ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
" y " y " y " u " v " y " u " y " v " y " v " u " y
" y " u
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2 2 2
" z " u " z " v " z "2 z " z " z "2 z "2 z "2 z
+ Å" + Å" = Å"1 + Å"1 + Å"1 + Å"1 = + 2 +
2 2
" u " v " y " y " v " u " u " v " u " v
" v2 " u " v2 " u " v2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"2 z " " z " " z " z " " z " " z "2 z " u "2 z " v
= ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ + = + = Å" + Å" +
= ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2
" x " y " x " y " x " u " v " x " u " x " v " x " v " u " x
" u
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2 2 2 2
" z " u " z " v "2 z "2 z "2 z " z " z " z " z
+ Å" + Å" = Å" 3 + Å"1 + Å" 3 + Å"1 = 3 + 4 +
2 2
" u " v " x " x " v " u " u " v " u " v
" v2 " u " v2 " u " v2
Ostatecznie otrzymaliśmy następujące pochodne cząstkowe II  go rzędu wyrażone za pomocą
zmiennych u i v.
2 2
"2 z " z "2 z " z
= 9 + 6 + ,
2
" u " v
" x2 " u " v2
"2 z "2 z "2 z "2 z
= + 2 + ,
2 2
" u " v
" y " u " v2
"2z "2z "2z "2z
= 3 + 4 +
" x" y "u "v
"u2 " v2
Wstawiając powyższe zależności do podanego wyrażenia różniczkowego otrzymujemy:
2 2 2 2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚
"2 z " z "2 z "2 z " z " z " z " z " z
÷Å‚
- 4 + 3 = 9 + 6 + - 4ìÅ‚3 + 4 + +
2 2 2
" x " y " u " v " u " v
" x2 " y " u " v2 ìÅ‚ " u " v2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚
" z " z " z "2 z "2 z "2 z " z "2 z "2 z
÷Å‚
+ 3ìÅ‚ + 2 + = 9 + 6 + -12 -16 - 4 +
2 2 2
ìÅ‚
" u " v " u " v " u " v
" u " v2 ÷Å‚ " u " v2 " u " v2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
" z "2 z "2 z "2 z
+ 3 + 6 + 3 = -4
2
" u " v " u " v
" u " v2
2
"2 z "2 z " z
Ostatecznie wyrażenie różniczkowe - 4 + 3 po wprowadzeniu zmiennych u = 3x + y ,
" x " y
" x2 " y2
v = x + y przedstawia się następująco:
"2 z "2 z "2 z "2 z
- 4 + 3 = -4 .
" x " y " u " v
" x2 " y2
214